四年级数学上册《两条直线的位置关系》研究课教案

第一篇：四年级数学上册《两条直线的位置关系》研究课教案

四年级数学上册《两条直线的位置关系》

研究课教案

教学目标：

.在作图、分类、辨析的活动中，了解两条直线的位置关系，理解在同一平面内两条直线的特殊的位置关系-----平行、垂直。

2.在辨析与理解知识的过程中，初步建立平行与垂直的空间观念，培养学生的空间想象能力。

3.在合作与探究的过程中，培养学生的主动探究与自主学习的意识。

教学重点：

在作图、分类、辨析的活动中，理解两条直线的两种特殊位置关系。

教学难点：

在合作、探究、辨析的过程中理解垂直和平行的意义。

教学准备：、题纸、三角板、小棒、记号笔

教学过程：

一、借助回顾旧知，引出新知。

（一）对一条线的相关知识的回顾。

.出示，回顾旧知。

（1）出示（线段）。

监控问题：这是（线段）。谁还记得它有什么特点？

（生：线段有两个端点，可以测量）

（2）将线段的一端延长，成为射线。

监控问题：现在呢？（射线），它有什么特点？

（生：射线可以向一端无限延长，不能测量）

操作：将射线还原成线段，再延长线段的另一端。

监控问题：：它也是（射线）

（3）将射线还原成线段，同时延长线段的两端，成为直线。

监控问题：这是（直线）它的特点是什么来着？（直线没有端点，不可以测量。）

2.归纳：在这幅图上，你都能找到哪些我们学过的线？来给大家说一说，指一指。

看来，线段和射线都是直线的一部分。

（二）揭示课题：刚才，我们一起回忆了有关一条直线的知识。如果在这个屏幕上画两条直线，会是怎样的位置关系呢？这就是咱们今天研究的内容。（板书课题：两条直线的位置关系）

【设计意图：通过与学生的谈话，将旧知进行了复习，从而很自然地引出新知。】

二、借助分类、学生辨析，了解两条直线的位置关系。

（一）自主探究两条直线的位置关系

.请大家想像一下两条直线会是怎样的位置关系呢，画在纸上，也可以借助手中的小棒，先摆一摆，再画下来。每张纸上只画出一种，画大点让大家都看得见。你能想出几种就摆几种，就画几种。开始！

2.学生动手操作，教师巡视，搜集资源。

监控：（1）这是同学们的想法，看看，你还有什么补充吗？为了研究方便，我们把这种情况标上序号。（标号）

（2）我们一起来看看，既然都是直线，又知道直线是可以向两端无限延长的，咱们给这些直线延长延长，看看会有什么现象出现呢？（学生来延长）（换一种颜色，让学生延长）

（二）集体研讨，辨析两条直线的位置关系

.引导学生分类，辨析。

监控问题：这么多种情况，我们怎么研究呢？（先分类）

请大家两人一组，根据两条直线的位置关系给它们分分类。可以把序号写在题纸的背面，一会儿咱们一起来讨论，开始！

2.集体研讨。

①相交与不相交

②引导学生分类，建立相交、不相交的概念，并板书。

（板书：

不相交

相交）

2.借助辨析，建立相关概念。

（1）建立平行的概念。

监控问题：

①师：我们先来看两条直线的这种位置关系，有人知道这样的两条直线叫什么吗？在生活中你见过吗？在哪儿见过？-----不相交

②数学中这两条直线的位置关系是平行，谁能用自己的话说一说什么是平行？

③我们一起来看看书上是怎么说的？（出示平行线的概念）

提问：跟我们说的意思差不多吧？刚才咱们说的和书中的有什么不一样的吗？（同一平面），这两条直线是在同一平面吗？为什么？（都在这张纸上）这两条直线呢？（黑板上画出一组），能再说说什么是平行吗？

④建立平行线的表示方法。“∥”a与b平行，可以记作：a∥b，读作a平行于b或b平行于a

（2）建立垂直的概念。

监控问题：

①这种情况我们称它为不相交，也就是平行，那你们说这种情况呢？对，相交。

提问：在这种相交的情况下，哪个最特殊？特殊在哪儿？

②建立垂直的概念。

A．谁来用自己的话说一说什么是垂直？

B．看书上的叙述。

c．学习垂直的表示方法。

③建立相交不垂直的概念

那这种呢？相交了，但不垂直，形成了两组对顶角，每组的对顶角是相等的。追问：那垂直呢？相交之后也形成了两组对顶角，它特殊在每组的对顶角都是相等的，都是90°其实只要是相交就会形成对顶角，这些知识我们到了中学还会继续学习。

④欣赏生活中的平行与垂直。（ppt）

其实，在我们的生活中有许多平行与垂直呢，我们一起来看看。（数学作业和课本中也能找到平行和垂直呢？）

⑤重合的处理：

预设：A.如果学生画图的时候出现了“重合”

监控问题：这个同学画出的一个平面内两条直线的位置关系和刚才我们研究的都不一样，你知道这是什么吗？（请画出图的同学介绍）演示：重合的过程

（两条直线有无数个交点）

B.如何学生没有在画图中出现，教师给图理解“重合”。

（3）小结：看来，在一个平面内，两条直线的位置关系除了相交和不相交，还会有重合。对于重合的两条直线，我们到了中学之后还会对这样的直线作进一步的研究。

【设计意图：通过学生自主探究、集体辨析，得到了一个平面内的两条直线的位置关系，并进行了分类研究，在这个过程中，充分发挥了学生的主动性和积极性，真正成为学习的主人。】

三、在不同的练习中巩固新知。

、出示平面图形和组合图形。

过渡语：刚才我们了解了同一平面内，两条直线的位置关系，也在生活中看到了平行与垂直的例子，那如果是一个平面图形的呢？你还能找到平行或者是垂直吗?来，我们一起来试一试！要求：指出下面图形中的一组垂直与平行。（学生边指边说）

（1）平面图形中的平行与垂直。

追问：第五个，有互相垂直的两条边吗？

过渡语：你们真了不起！也能在平面图形中找到我们今天所学的知识，那如果是一个组合图形呢？还行吗？来，我们一起来看一看！

（2）在组合图形中寻找平行与垂直。

看来，要想验证是不是垂直，三角板帮了我们大忙，真是数学学习的好帮手。

2.深入研究平行与垂直的传递性。

（1）

摆一摆，把两根小棒都摆成和第三根小棒平行，看一看这两根小棒互相平行吗？

（2）把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直。看一看这两根小棒有什么关系？

过渡语：我们看了，也找了，那如果让你们动手摆一摆呢？行吗？来，小组合作，请你按照要求动手摆一摆，互相说一说，看看你能有什么发现？开始！

监控：①哪组把你们摆的拿上来给我们大家来欣赏一下！再说说你们发现了什么？

②还有一个呢？先想象一下，猜猜看！然后再动手摆一摆进行验证！

③来给我们大家说一说吧！你们先猜的是什么？摆完之后呢？跟你们大家的想法一样吗？

小结：看来，数学知识有的时候不能单凭猜测，需要我们进行验证，才能知道答案是否正确！

四、结合板书，总结全课。

师：这节课我们一起研究了两条直线的位置关系，以后我们还会应用这些知识学习更多的知识。

五、板书设计：

两条直线的位置关系

同一平面内

不相交

相交

重合平行“∥”

（对顶角）

垂直

不垂直

第二篇：高中两直线位置关系教学设计

篇一：两条直线的位置关系教学设计

两条直线的位置关系教学设计

新课改下教师的教学策略要实现新转变,由重知识传播向学生发展转变,由重教师教学内容选择向重学生学习方法指导转变,由统一规格教育向差异性教育转变。教师在教学方法上要有新的突破,在课堂教学的设计上要多下功夫。本着这个理念,我在两条直线的位置关系教学设计中做了以下工作:

一、教学背景分析

1、教材结构分析。“两直线的位置关系”安排在《全日制普通高级中学教科书(必修)数学》第二册(上)第七章第3节第一课时。主要内容是两直线平行与垂直条件的推导和公式的应用。从初中平面解析几何中平行和垂直的定性过渡到高中解析几何的定量计算。它是学生在研究了直线倾斜角、斜率、直线方程的基础上学习的又一平面解析几何的基础知识。本节的研究,将直接影响以后的曲线方程、导数、微分等的进一步学习,贯穿于高中教学的始终,具有承上启下的作用。

2、学情分析。两条直线位置关系的探究是学生在已经掌握了三角函数、平面向量的基础上进行的。说明学生已具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力。但由于学生接触平面解析几何的时间还不长学习程度较浅,特别是处理抽象问题的能力还有待提高,在学习过程中可能会出现困难。因此,教师要在今后的教学滚动中逐步深化,使之和学生的知识结构同步发展完善。

3、教学目标。(1)知识和技能目标。①理解两条直线平行与垂直充要条件的推导、公式及应用。②能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。(2)过程与方法目标。①通过探索两条直线平行或垂直的充要条件和推导过程,培养学生“会观察”、“敢归纳”、“善建构”的逻辑思维能力,渗透算法的思想。②通过灵活运用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力。(3)情感态度和价值目标。培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣即成为本节的情感目标。

4、教学重点与难点.根据学生现状、教学目标及教材内容分析,确立本节课的教学重点为两条直线垂直和平行的条件。

教学难点为两直线平行与垂直问题转化为与两直线斜率的关系问题。突破难点采用了从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略,利用了类比归纳的思想,由浅入深,让学生自主探究,分析发现两直线平行、垂直的规律。

二、教法学法分析

1、教法分析。基于本节通过引导学生了解数形结合数学方法,我采用合作探究式教学法及类比发现式教学模式,对数学知识结构进行创造性的“教形结合”,将 篇二：高中精编教学设计两条直线的位置关系

高中精编教学设计

两条直线的位置关系教学设计

教学目标

1.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 2.理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角． 教学重点：两条直线的平行与垂直的判断；两条直线的夹角．

教学难点：两条直线垂直条件的推导；一条直线到另一条直线的角的概念和公式的推导．

教学过程

一、复习引入

1.两条直线的位置关系:重合、平行、相交（特例：垂直）.2.引入两直线所成的角相关的概念：

两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角．我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角．不大于直角的角叫做两条直线所成的角，简称夹角.3.平面向量中与平行、垂直、夹角相关的几个结论

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a与b的夹角为q（）则 a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1 ＝

a⊥ba·b＝ox1x2＋y1y2＝ cosq=

二、讲授新课

(一)斜率存在时两直线的平行、垂直与夹角

设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是 l1： y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2．则 1.l1|| l2?k1=k2,且b1≠b2;2.l1⊥l2?k1?k2=-1;3.有关角的公式：当1+k1k2=0时，l1到l2的角，l1和l2的夹角均为90o；当1+k1k2≠0时

（1）若q为l1到l2的角，则，（2）若q为l1和l2的夹角则，(二)斜率不全存在时两直线的平行、垂直与夹角

当两条直线中有一条直线没有斜率时：

1.当另一条直线的斜率也不存在且横截距不相等时，两直线平行； 2.当另一条直线的斜率为0时，两直线互相垂直． 3.若另一条直线的斜率k≠0，q为l1和l2的夹角，则

三、例题

例1 已知两条直线

l1： 2x-4y+7=0，l： x．-2y+5=02 求证：l1∥l2．

例2求过点 a(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程．

例3 已知两条直线

l1： 2x-4y+7=0，l： 2x+y-5=0．2 求证：l1⊥l2．

例4 求过点a(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程．

例5 求直线l1:y=-2x+3;l2: y=x-2 的夹角.例6等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．

四、作业 同步练习

篇三：1.2.2空间两直线的位置关系(二)教学设计

一、课题名称： 异面直线

二、设计思路

空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上来研究的，学生对此已有一定的感性认识，但学生空间想象能力还较薄弱。故本节课要利用好模型展示，多给学生思考的时间和空间，以有助于空间想象能力的形成。坚持以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法。设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识。

三、教学目标

知识与能力目标：掌握异面直线的判定，理解异面直线所成的角的概念，会用反证法证明两条直线是异面直线。

过程与方法目标：通过模型的展示，使学生了解、感受异面直线所成角的概念；探究异面直线所成角的求法，提高分析与解决问题的能力，体会空间问题平面化的基本数学思想方法。

情感态度与价值观目标：通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，培养学生的空间想象能力。鼓励学生大胆尝试、勇于探索，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、数学的严谨美。

四、教学重点

异面直线的判定、异面直线所成角的定义及计算。

五、教学难点

异面直线所成角的方法的探究。

六、教学准备

正方体、三棱锥等教具，小木棍及阅读、寻找生活中的一些关于异面直线问题。

七、教学过程

1温故知新，引入课题

我有针对性设置下面两个问题： ①回答图中两直线的位置关系：

②思考图中表示两条直线a、b异面的方法正确吗？为什么？

【设计意图】通过学生观察两组图形语言，很好的起到复习与引入的效果，激发了学生的兴趣，引发学生的思考，培养学生的观察能力。2 知识探究，形成概念

引导学生回答问题2中，三种表示方法共同特点：就是用平面来衬托，离开

平面的衬托，不同在任何一个平面的特征则难以体现.数学讲究严谨，如何说明两直线异面呢?显然，利用定义证明有难度，下面我们介绍一种立几中常用的方法：反证法.问题：若l??，a??，b??，b?l，证明：直线ab与l是异面直线。

证明：假设ab与l共面，由于经过点b和

直线l的平面只能有一个，所以直线ab与l 都应在平面?内，于是点a在平面?内，这

与点a在平面?外矛盾。因此，直线ab与l是异面直线。

异面直线的判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。a 学生练习：

如图,试找出三棱锥a?bcd中, 那些棱所在的直线互为异面直线？ db（结论：三棱锥中对棱互为异面直线。）学生总结： c1上述反证法证题的步骤：反设；归谬；结论；

2判断两直线异面的方法：定义法；判定定理；反证法。小组讨论：

我们知道两条相交直线所成的角刻画了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度，那么用什么量来刻画两条异面直线中一条直线相对于另一条直线的倾斜程度呢？然后给出如下的流程图，引导学生考虑：

异面直线所成的角：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点o，作直线a∥a，b∥b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b所成的角。

小组讨论：

1由于点o是任意的，大家说这样作出的角有多少个？这无数个锐角(或直角)的大小有什么关系？

2解题时，把点o选在何处较好？

3请同学们举出日常生活中见到过的两条异面直线所成角的实例。学生练习： c d1 1 已知abcd?a1b1c1d1是棱长为a的正方体，则异面直线aa1与bc所成的角为 异面直线bc1与ac所成的角为。学生总结： a1 d c b1 a b 1异面直线所成角?的范围：0, ? ?? ?2? ；

2找异面直线所成角的关键：要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

【设计意图】数学教学的核心是学生的再创造。让学生自主探究，小组讨论，体验数学知识的发生、发展的过程，从而使学生更好地理解数学概念和方法，突出了重点，化解了难点。3 学以致用，提炼方法

例1在空间四边形abcd中，已知ab?cd?2 , e、f分别是bc、ad 的中点，且ef? a 求ab和cd所成的角。

解析：取ac的中点g，连结ge、gf，?e、f分别是bc、ad的中点，?eg∥ab?eg f ,gf∥cd,eg? 12 ab?1,gf? 1 2b cd1。g d 和gf所成的角?fge，即为异面直线abd e 又ef??fge?90?。

方法探究：引导学生考虑其他解法，如：选取bd的中点；过点bc作cd的平行线；过点d作ab的平行线等，可让学生课后尝试求解。

学生练习（变式演练）：

例1中，若ef?其余条件不变，则ab和cd所成的角为。（提示：本题要注意：异面直线所成角???0, ?? ?? ?2?。）d1 c 例2 如图，有一块长方体的木料，p为木料表面a1c1 内的一点，其中点p不在对角线b1d1上，过点p a1 c1 在平面a1c1内作一直线l，使l与直线bd成?这样的直线有几条，应该如何作图？ a 思路探究：本题直接求解，极易出错，可先将?具体化，如：?? 2 ；?? 3 等，给学生以思路的启发。从而再对参数?的讨论，能做到不重不漏。

解：在平面a1c1内，作m∥l，使m与b1d1相交成?角。?b1d1∥bd, ?m与bd 也成?角，m即为所求作的直线。? 2 若m与bd是异面直线：当??时，这样的直线m有且只有一条； 当?? ? 2 时，这样的直线m有两条；

若m与bd共面，这样的直线m只有一条。学生总结：

1求异面直线所成角步骤：①作；②证；③计算；亦即“作平行线，构造三角形”； b所成角是直角，b互相垂直，2当异面直线a、则称异面直线a、记作a?b。

其与平面上两直线垂直有什么区别呢？

小组讨论（可用小木棍摆一摆）： 下列命题是否正确，并说明理由： 1若a∥b，c?a，则c?b； 2若a?c，b?c，则a∥b。

【设计意图】通过例题的讲解板演，注重培养学生的能力，及时的归纳总结，使学生的知识得到深化。通过变式训练，有利于培养学生思维的发散性。4 归纳总结，升华提高

为使学生对所学的知识有一个完整而深刻的印象，请学生从以下几方面自己小结：

①通过学习你对异面直线所成角有那些认识？ ②求异面直线所成角时，应注意那些问题？ ③本节课你还有哪些问题？

作业：课本第27页 第7题、第8题。

【设计意图】及时的归纳，有利于学生养成良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也能培养学生数学交流和表达的能力。

八、教学反思

我在整节课的处理上，采取了知识、方法来源于课本，挖掘其深度、广度，符合现代教学要求。注重发展学生的合情推理能力，降低几何证明的难度。同时，加强空间观念的培养，注重知识产生的过程性，具体体现在以下几个方面：

1异面直线的判定定理没有直接给出，而是让学生在对图形语言观察感知基础上，进行思考并给出证明，这样就避免了学生死记硬背，有利于理解数学的本质。

2异面直线所成角的引入，则让学生联想初中“刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度”，“那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？”引起学生思考，讨论交流，并给出流程图供参考。使学生更好的参与教学活动，展开思维，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

3对于异面直线所成角的求解，本节给出了两种最常见的载体：长（正）方体、三棱锥，及其在实际问题中的应用。并注重一题多解、一题多变，解题步骤、思想方法的及时总结，很好的强调了异面直线所成角的范围问题。同时，在教学中，始终注重训练学生准确地进行三种语言（文字语言、图形语言和符号语言）的转换，培养运用图形语言进行交流的能力。4 以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括。

第三篇：直线与圆的位置关系教案

《直线与圆的位置关系》教案

教学目标：

根据学过的直线与圆的位置关系的知识，组织学生对编出的有关题目进行讨论.讨论中引导学生体会

（1）如何从解决过的问题中生发出新问题.（2）新问题的解决方案与原有旧方法之间的联系与区别.通过编解题的过程，使学生基本了解、把握有关直线与圆的位置关系的知识可解决的基本问题，并初步体验数学问题变化、发展的过程，探索其解法.重点及难点：

从学生所编出的具体问题出发，适时适度地引导学生关注问题发展及解决的一般策略.教学过程

一、引入：

1、判断直线与圆的位置关系的基本方法：

（1）圆心到直线的距离

（2）判别式法

2、回顾予留问题：

要求学生由学过知识编出有关直线与圆位置关系的新题目，并考虑下面问题：

（1）为何这样编题.（2）能否解决自编题目.（3）分析解题方法及步骤与已学过的基本方法、步骤的联系与区别.二、探讨过程：

教师引导学生要注重的几个基本问题：

1、位置关系判定方法与求曲线方程问题的结合.2、位置关系判定方法与函数或不等式的结合.3、将圆变为相关曲线.备选题

1、求过点P（-3，-2）且与圆x2+y2+2x-4y+1=0相切的直线方程.备选题

2、已知P(x, y)为圆(x+2)2+y2=1上任意一点，求（1）（2）2x+3y=b的取值范围.备选题

3、实数k取何值时，直线L：y=kx+2k-1与曲线: y=两个公共点；没有公共点.三、小结：

1、问题变化、发展的一些常见方法，如：

（1）变常数为常数，改系数.（2）变曲线整体为部分.有一个公共点；=m的最大、最小值.（3）变定曲线为动曲线.2、理解与体会解决问题的一般策略，重视“新”与“旧”的联系与区别，并注意哪些可化归为“旧”的方法去解决.自编题目：

下面是四中学生在课堂上自己编的题目，这些题目由学生自己亲自编的或是自学中从课外书上找来的题目，这些题目都与本节课内容有关.①已知圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，P（x0, y0）是圆外一点，求过P点的圆的两切线的夹角如何计算？

②P（x0, y0）是圆x2+(y-1)2=1上一点，求x0+y0+c≥0中c的范围.③圆过A点（4，1），且与y=x相切，求切线方程.④直线x+2y-3=0与x2+y2+x-2ay+a=0相交于A、B两点，且OA⊥OB，求圆方程？

⑤P是x2+y2=25上一点，A（5，5），B（2，4），求|AP|2+|BP|2最小值.⑥圆方程x2+y2=4，直线过点（-3，-1），且与圆相交分得弦长为3∶1，求直线方程.⑦圆方程x2+y2=9，x-y+m=0，弦长为

2，求m.⑧圆O(x-a)2+(y-b)2=r2，P(x0, y0)圆一点，求过P点弦长最短的直线方程？

⑨求y=的最值.圆锥曲线的定义及其应用

[教学内容]

圆锥曲线的定义及其应用。

[教学目标]

通过本课的教学，让学生较深刻地了解三种圆锥的定义是对圆锥曲线本质的刻画，它决定了曲线的形状和几何性质，因此在圆锥曲线的应用中，定义本身就是最重要的性质。

1．利用圆锥曲线的定义，确定点与圆锥曲线位置关系的表达式，体现用二元不等式表示平面区域的研究方法。

2．根据圆锥曲线定义建立焦半径的表达式求解有关问题，培养寻求联系定义的能力。

3．探讨使用圆锥曲线定义，用几何法作出过圆锥曲线上一点的切线，激发学生探索的兴趣。

4．掌握用定义判断圆锥曲线类型及求解与圆锥曲线相关的动点轨迹，提高学生分析、识别曲线，解决问题的综合能力。

[教学重点]

寻找所解问题与圆锥曲线定义的联系。

[教学过程]

一、回顾圆锥曲线定义，确定点、直线（切线）与曲线的位置关系。

1．由定义确定的圆锥曲线标准方程。

2．点与圆锥曲线的位置关系。

3．过圆锥曲线上一点作切线的几何画法。

二、圆锥曲线定义在焦半径、焦点弦等问题中的应用。

例1．设椭圆+=1(a>b>0)，F1、F2是其左、右焦点，P(x0, y0)是椭圆上任意一点。

（1）写出|PF1|、|PF2|的表达式，求|PF1|、|PF1|·|PF2|的最大最小值及对应的P点位置。

（2）过F1作不与x轴重合的直线L，判断椭圆上是否存在两个不同的点关于L对称。

（3）P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3, y3)是椭圆上三点，且x1, x2, x3成等差，求证|PF1|、|PF2|、|PF3|成等差。

（4）若∠F1PF2=2，求证：ΔPF1F2的面积S=btg

（5）当a=2, b=最小值。

时，定点A（1，1），求|PF1|+|PA|的最大最小值及|PA|+2|PF2|的2例2．已知双曲线-=1，F1、F2是其左、右焦点。

（1）设P(x0, y0)是双曲线上一点，求|PF1|、|PF2|的表达式。

（2）设P(x0, y0)在双曲线右支上，求证以|PF1|为直径的圆必与实轴为直径的圆内切。

（3）当b=1时，椭圆求ΔQF1F2的面积。

+y=1 恰与双曲线有共同的焦点，Q是两曲线的一个公共点，2例3．已知AB是过抛物线y=2px(p>0)焦点的弦，A(x1, y1), B(x2, y2)、F为焦点，求证：

（1）以|AB|为直径的圆必与抛物线的准线相切。

（2）|AB|=x1+x2+p

（3）若弦CD长4p, 则CD弦中点到y轴的最小距离为

2（4）+为定值。

（5）当p=2时，|AF|+|BF|=|AF|·|BF|

三、利用定义判断曲线类型，确定动点轨迹。

例4．判断方程=1表示的曲线类型。

例5．以点F（1，0）和直线x=-1为对应的焦点和准线的椭圆，它的一个短轴端点为B，点P是BF的中点，求动点P的轨迹方程。

备用题：双曲线实轴平行x轴，离心率e=，它的左分支经过圆x+y+4x-10y+20=0的2

2圆心M，双曲线左焦点在此圆上，求双曲线右顶点的轨迹方程。

第四篇：直线与抛物线的位置关系教案

课题：直线与抛物线的位置关系 教学目地

培养学生从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相验证的数学方法，提高数形结合的能力。

教学重点

运用解析几何的基本方法建立数形联系。媒体运用

电脑powerpoint 课件，几何画板动态演示，实物投影 教学课型 新授课 教学过程

（一）复习引入

通过问题复习方程和曲线的关系。

1、怎样判断直线L与抛物线C的位置关系？

为了使学生思考更有针对性，给出具体的例题：已知直线L：y1(x1)，抛物线C：2y24x，怎样判断它们是否有公共点？若有公共点，怎样求公共点？

1y(x1)估计学生都能回答：由方程组的解判断L与C的关系，紧接着提出问题： 2y24x1y(x1)

2、问为什么说方程组有解，L与C就有公共点，为什么该方程组的解对2y24x应的点就是L与C的交点？

通过这一问题，复习一下的对应关系： 直线L上的点方程y1(x1)的解；抛物线C上的点方程y24x的解；L与21y(x1)C的公共点方程组的解。2y24x既然有了这样的一一对应的关系，那么研究直线与抛物线的公共点，可以通过研究对应的方程组的解来解决；同样，讨论方程组是否有解，也可通过研究直线与抛物线是否有公共点来解决。这样就引出了解决这一类问题的两种方法，代数法和几何法。

（二）分析讨论例题

讨论直线L：ym(x1)与抛物线C：y24x公共点的个数。

ym(x1)请一位学生说一下解题思路，估计能回答出：考虑方程组2的解，然后让

y4x学生尝试自己解决。

提出下列几个问题：

1、从几何图形上估计一下，能否猜想一下结论？

如果被提问的学生不会回答，可作引导：直线L有什么特点？m表示什么？抛物线C有什么特点？在解决这些问题的同时画出图形。

2、m为何值时，L与C相切？

3、当m很接近于零但不等于零时（在提问同时用图形表示），L与C是否仅有一个公共点？

后两个问题从图像看不准，对于问题3，可能有部分同学认为仅有一个公共点，另外一些同学认为会有两个公共点，带着这个问题用代数法验证。

探究：请学生画出图形表示上述几个位置关系，从图中发现直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况？（几何画板动态演示）<有两种情况，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等。

（三）小结：

1、几何关系与代数结论的对照

AxByC0直线L ：Ax+By+C＝0与抛物线C：y＝2px的位置关系讨论方程组2y2px2的解，消元转化为关于x或y方程axbxc0(或aybyc0)。

L与C的对称轴平行或重合a=0； L与C有两个不同的公共点22a0a0；L与C相切于一点  00L与C相离 a0

02、学会从几何、代数两个角度考虑问题。解决该类问题的一般步骤是：先从几何角度观察估计，再用代数方法运算分析，最后利用较精确的图形验证结论。如遇矛盾，应从两方面检查：是几何估计偏差还是代数运算有误？从而总结经验教训。

（四）课堂训练（学生解答）

1、直线yx1与抛物线yx2的交点有几个？

2、讨论直线x=a与抛物线y22x的交点的个数？

3、若直线L：y1ax2与抛物线y22x有两个交点，求a在什么范围内取值？

4、直线ya1x1与曲线y2ax恰有一个公共点，求a的值。

前两个题由学生口头回答，在学生回答时提醒他们从代数、几何两个不同的角度考虑。后两个题请学生动笔演算后在回答。其中3题作为依形判数的典型：先从几何角度得出结论（即当L与x轴平行时与C交与一点，否则都交于两点），然后估计联立方程后将会得到什么相应的结论（消元后得到一元二次方程ax2bxc0(或ay2byc0)，必须在计算之前，先考虑二次项系数a与零的关系）最后用代数解法验证以上估计。其中4题作为就数论形的典型，该题从几何图形上不易直接得出结论，因此只能先用代数方法分析，得出结论（a0,1,

（五）总结

1、再一次强调要养成从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相补充，互相验证的数学方法。

2、对比几何、代数两种方法的优劣。

在总结中强调代数法能解决一般问题，不能让学生形成“代数法繁琐”这样的偏见，强调以代数法为主，以几何法为辅的思想。说到底，解析几何就数用代数方法研究几何问题的一门数学学科。

（六）布置作业

1、直线y2x1与抛物线y2x的公共点的有几个？求出公共点坐标。

2、由实数p的取值，讨论直线yx1与曲线y2px的公共点个数

3、若不论a取何实数，直线yma(x1)与抛物线y4x总有公共点，求实数m的取值范围。

2224）后，再利用图形逐一验证。

54、已知抛物线C:y24x，直线L:y1k(x2),.当k为何值时，直线L与抛物线C只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

解：由题意，设直线l的方程为y1k(x2)，y1k(x2)由方程组2，（*）

y4x消去x，可得ky24y4(2k1)0.①（1）当k0时，由方程①得 y＝1.把y＝1代入y4x，得x21.414这时，直线l与抛物线只有一个公共点(,1).(2)当k0时，方程①的判别式为16(2k2k1).21°由0，即2kk10，解得

于是，当k1,或k1时，方程①只有一个解，从而方程组（*）只有一个解.这时，21.2直线l与抛物线只有一个公共点.22°由0，即2kk10，解得1k于是，当1k1，且k0时，方程①有两个解，从而方程组（*）有两个解.这时，21。2直线l与抛物线有两个公共点.23°由0，即2kk10，解得k1,或k于是，当k1,或k与抛物线没有公共点.综上，我们可得 当k1,或k当1k1时，方程①没有实数解，从而方程组（*）没有解.这时，直线l21，或k0时，直线l与抛物线只有一个公共点.21，且k0时，直线l与抛物线有两个公共点.21当k1,或k时，直线l与抛物线没有公共点.2 备注：

这堂课的教案是基于在国培期间学习时，受到以下诸位专家教授观点的启发并结合自己的一点思考写下的，敬请各位同行和各位专家予以批评指正。

1、“搬”——30岁的时候我将知识从书上搬到授课笔记上，再从授课笔记搬到黑板上（并且书写工整，保存完整，尽量不檫黑板）

“卷”——现在我将学生卷入课堂，数学教学从数学问题开始。

数学是玩概念的，许多老师却不重视概念，不重视概念应用的教学。做题目为什么——巩固概念，理解概念。概念课就应该使概念出得自然、水到渠成，否则就不叫做“教数学”、“学数学”．

一定要重视概念教学，核心概念的教学更要“不惜时、不惜力”．

————陶维林

2、缺乏问题意识，对学生的创新精神和实践能力培养不利；

重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”，关注知识背景和应用不够，导致学习过程不完整

讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、理性精神不够，对学生整体数学素养的提高不利。立意不高是普遍问题，许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求，严重影响数学育人。

数学概括能力是数学学科能力的基础，数学概括能力的训练是数学思维能力训练的基础。概括是思维的速度，灵活迁移的程度，广度和深度、创造程度等思维品质的基础。概括是概念教学的核心，概括是人们掌握概念的直接前提，把概括的机会让给学生。

————章建跃

3、石家庄二中试验学校的老师讲的课《导数的应用》时，所采用的例题是从课本上的一道例题衍生而来的，只是几个字母的变化，却能体现小台阶大容量的思维过程，水到渠成般的实现了能力的提升。受其启发，本节课所选案例题也尽量体现由一道例题衍生而来的过程，力求抓住其中的内在联系和思维的逐步延伸性。

第五篇：直线与抛物线的位置关系 教案

2.4.2直线与抛物线的位置关系

教学目标

1、知识与技能 掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；

2、过程与方法 联立方程组的解析法与坐标法

3、情感态度价值观 让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神

教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法

教学难点： 直线与抛物线的位置关系的判断方法的应用

教学方法：多媒体教学、学案式教学

教学过程

一、课题引入

师：之前我们学习了直线与椭圆和双曲线的位置关系，请位同学说说如何判断直线与椭圆和双曲线的位置关系.提问的目的：

1、类比直线与椭圆及双曲线的位置关系得出直线与抛物线的三种位置关系；

2、“直线与双曲线有一个交点不一定是切点”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切的情形”类似，为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.）

师：在学案给出的抛物线图中，画直线，观察直线与抛物线的位置关系，从交点个数入手，有几种情况？（培养学生动手和归纳总结的能力）在研究直线与椭圆和双曲线位置关系时，除了从几何图形入手研究位置关系外，我们还可以用什么方法来研究直线与圆锥曲线的位置关系？（引出代数法）

二、新课讲授

例1：已知抛物线的方程为y4x动直线l过定点P(-2,1),斜率为k.。当k为何值时，直线l与抛物线y4x。（1）只有一个公共点。（2）有两个公共点；（3）没有公共点

例题设计思路及目的：在本例中，学生会用几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k的具体取值范围无法确定。另一方面在学完直线与椭圆及双曲线位置关系后，几何法行不通学生自然会想到利用方程联立得到新的一元二次方程，通过判断及判断交点的个数，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想.那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢？此处引导学生消元（消去x或y）得到关于y或x的方程，同时注意消元方法的选择（板书过程中，引导学生消元，消去哪一个未知数在下一步计算当中更方便一些，通过比较得出最好的一种消元方法）.消元后的方程ky4y4(2k1)0①这样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同，我们只需讨论消元后的方程①解的个数.提问学生，该方程一定是关于y的一元二次方程吗？学生意识到系数符号不同，方程的类型也不同.若系数为零，则是一次方程，此时消元后的方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，从而直线与抛物线只有一个公共点.若系数不为零，则消元后的方程是二次方程，由于二次方程的解的个数与判别式符号有关，故只需讨论判别式的符号.当判别式0时，方程有两个解，对应的方程组就有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当判别式0时，方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当0时，方程没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点.该环节体现了转化的思想与分类讨论的思想.根据上述分析过程，教师在黑板上示范整个书写过程，同时让学生总结出“直线与抛物线的 222位置关系”及“相应的判断方法”：直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等（根的判别式0）,所利用的方法叫代数方法.教师在学生总结的基础上归纳出整个解题的基本步骤.课堂练习1 变式训练

已知抛物线的方程为y24x，直线l过定点P(0,1)，斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线y24x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

在例题的基础上做相应的变式训练，强化解题的过程及解题要点，叫一名同学到板前解题，解题结束后做相应的点评.要点一：求直线的方程

要点二：消元的基本方法（简单）要点三：对系数进行分类讨论

要点四：解一元二次不等式，注意取“交集”

2、（1）过点（3,1）与抛物线y4x 只有一个公共点的直线有 ____条

（2）过点（1,2）与抛物线y4x只有一个公共点的直线有 ____条

（3）过点（0,2）与抛物线y4x 只有一个公共点的直线 有____条

（4）已知直线ykxk及抛物线y2px(p0)，则（）A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点

3、思维拓展

在抛物线y4x上是否存在一点，使它到直线l:yx3的距离最短，并求此距离.课堂总结

本节课我们学习了

1、直线与抛物线的位置关系，以及用代数的方法来判断其位置关系要注意直线与抛物线位置关系的特殊性.2、数学思想：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想.作业： 222222