【名师测控】2016春八年级数学下册 2.4 一元二次方程根与系数的关系教案 (新版)浙教版

第一篇：【名师测控】2016春八年级数学下册 2.4 一元二次方程根与系数的关系教案 (新版)浙教版

第2章 一元二次方程

2.4 一元二次方程根与系数的关系 【教学目标】 知识与技能

要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。过程与方法

通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。情感、态度与价值观

通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。【教学重难点】

重点：一元二次方程根与系数的关系

难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。【导学过程】 【知识回顾】 解下列方程：

2x2+5x+3=0

3x2-2x-8=0 并根据问题2和以上的求解填写下表

请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？ 【新知探究】

1.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。

2.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组讨论以上的问题，并作出推理证明

若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2。则

x1+x2= ；

x1.x2= ·

韦达是法国十六世纪最有影响的数 学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过 议会的议员，在对西班牙的战争中曾为 政府破译敌军的密码。韦达还致力于数 学研究，第一个有意识地和系统地使用 字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦 达讨论了方程根的各种有理变换，发现 了方程根与系数之间的关系（所以人们 把叙述一元二次方程根与系数关系的结 韦达（1540－1603）论称为“韦达定理”）。韦达在欧洲被尊称为“代数学之 父”。3.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程； ②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。

⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0 4.根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）2x2-3x+1=0

x1+x2= ________

x1x2= _________

（2）3x2+5x=0

x1+x2= ________

x1x2= __________

（3）5x2+x-2=0

x1+x2= _________

x1x2= __________

（4）5x2+kx-6=0

x1+x2= _________

x1x2= _______ 【随堂练习】

一、填空题

1．如果x1、x2是一元二次方程x26x20的两个实数根，则x1+x2=_________． 2．一元二次方程xx30两根的倒数和等于__________．

3．关于x的方程x2pxq0的根为x112,x21-2，则p=______，q=____． 4．若x1、x2是方程x5x70的两根，那么x1+x2=，（x1-x2）．

22225．已知方程xxk0的两根之比为2，则k的值为_______．

26．已知x1,x2为方程x3x10的两实根，则x13x220__________.227．方程x5x20与方程x2x60的所有实数根的和为___________． 8．关于x的方程ax2x10的两个实数根同号，则a的取值范围是__________．

二、选择题

29．已知a、b是关于x的一元二次方程xnx10的两实数根，则式子222ba的值是（）． abA．n2 B．n2 C．n2 D．-n-2 10．以3和—2为根的一元二次方程是（）．

A．xx60 B．xx60 C．xx60 D．xx60

11．设方程3x5xm0的两根分别为x1，x2，且6x1x20，那么m的值等于（）． 222222222222 B．—2 C． D．—

939612．点P（a，b）是直线y=—x+5与双曲y的一个交点，则以a，b两数为根的一元二

xA．次方程是（）．

A．x5x60 B．x5x60 C．x5x60 D．x5x60 13．已知x2(m1)x(2m2)0两根之和等于两根之积，则m的值为（）． A．1 B．—1 C．2 D．—2 【知识梳理】

通过这节课的学习，你有什么收获? 1.一元二次方程根与系数的关系是什么? 2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特 别注意，方程有实根的条件，即在初中代数 里，当且仅当 b 2 ? 4ac ? 0 时，才能应 用根与系数的关系.【达标测评】

1.已知x1、x2是方程x－x－3=0的两个实数根，则A、22222x1x2的值为（）x2x17171 B、 C、D、3333

2.下列方程中两根之和是2的方程是（）

A、x+2x+4=0 B、x－2x－4=0 C、x+2x－4=0 D、x－2x+4=0

23.若方程x+px+2=0的一个根是2，则另一个根是，p=.4.写一个根为x=1，另一个根满足—1

25.已知关于x的方程2x－px＋q＝0的两个根是4和－3，求p和 q的值 2222

第二篇：八年级数学浙教版下册2.4一元二次方程根与系数的关系同步测试题

2.4

一元二次方程根与系数的关系

同步测试题

班级：_____________姓名：_____________

一、选择题

（本题共计

小题，每题

分，共计24分，）

1.如果3是方程2x2-c=0的一个根，则方程的另一个根是（）

A.12

B.-12

C.3

D.-3

2.关于x的一元二次方程x2-6x+k=0的一个根是1，则另一个根是()

A.5

B.-5

C.-6

D.-7

3.下列一元二次方程中，两实数根的积为4的是（）

A.2x2-5x+4=0

B.3x2-5x+4=0

C.x2+2x+4=0

D.x2-5x+4=0

4.方程2x2+4x-3=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（）

A.2

B.-2

C.32

D.-32

5.已知m，n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解，若(m-1)(n-1)=-6，则a的值为（）

A.-10

B.4

C.-4

D.10

6.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=-2，x2=4，则b+c的值是（）

A.-10

B.10

C.-6

D.-1

7.已知关于x的一元二次方程x2-bx+c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝-2，则b与c的值分别为（）

A.b＝-1，c＝2

B.b＝1，c＝-2

C.b＝1，c＝2

D.b＝-1，c＝-2

8.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一根是另一个根的14，则a、b、c的关系正确的是（）

A.5ac=4b2

B.25b2=25ac

C.4b2=25ac

D.4b2=-25ac

二、填空题

（本题共计

小题，每题

分，共计30分，）

9.设x1，x2是方程x2-4x=3两根，则x1x2的值为________.10.已知矩形两边长分别是方程x2-50x+35=0的两根，则矩形的面积为________．

11.设x1，x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根，则x1+x2+x1x2=________．

12.一元二次方程x2+3x-1=0与x2-3x-1=0的所有实数根的和等于________.13.若方程3x2-mx-6=0的一个根是2，则另一个根是________．

14.若方程2x2-4x-3=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=________.15.已知a2+a-1=0，b2+b-1=0(a≠b)，则a2b+ab2=________．

16.关于x的方程x2-23x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1x2+x2x1=________．

17.已知x1，x2是方程x2-73x+13=0的两根，若实数a满足a+x1+x2-x1x2＝2018，则a＝________．

18.若x1，x2方程x2-3x-1=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为________．

三、解答题

（本题共计

小题，共计66分，）

19.已知关于x的方程x2+5x-c=0一根为2，求另一根及c的值．

20.已知一元二次方程：x2-3x-1=0的两个根分别是x1、x2，求x12x2+x1x22的値．

21.已知a，b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个根，求a2-a+b+3ab的值．

22.已知-3x2+mx-6＝0的一个根是1，求m及另一个根．

23.已知：关于x的一元二次方程2x2-4x-3=0有两个根x1，x2．求：

(1)(x1-1)(x2-1)

（2）x2x1+x1x2．

24.在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与-3；小王看错了q，解得方程的根为4与-2．

（1）求p和q的值；

（2）设α，β是方程x2+px+q=0的两实数根，不解方程求α2+2β2+pβ 的值．

25.阅读材料：已知实数m，n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，求nm+mn的值．

解：由题知m，n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，根据根与系数关系得m+n=1，mn=-1，所以nm+mn=m2+n2mn=m+n2-2mnmn=1+2-1=-3.根据上述材料解决以下问题：

(1)一元二次方程5x2+10x-1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=_______，x1x2=_______；

(2)类比探究：已知m，n满足7m2-7m-1=0，7n2-7n-1=0，求m2n+mn2的值；

(3)思维拓展：已知p，q满足p2=9p-6，3q2=9q-2，求p2+9q2的值．

第三篇：《一元二次方程根与系数的关系》教案

《一元二次方程根与系数的关系》教案

教学目标：

1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。

2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。

3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。教学重点：

一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。教学难点：

一元二次方程的根与系数的关系的推导。数学思考与问题解决：

通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

一、自学互研 探索发现（每小题10分，共30分）（自主完成，组长检查）

【师生活动】：

教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。

学生独立完成导学案，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；小组长检查小组成员完成情况；分小组汇报自学成果。【设计意图】：

本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。【学案内容】：

1、方程：X2+3X–4=0（1）二次项系数是_____，一次项系数是______，常数项是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）则X1+X2=_______，方程中 一次项系数（）

二次项系数常数项（）(4)X1·X2=_______，方程中

二次项系数

2、方程3 X2+X-2=0（1）二次项系数是_____，一次项系数是______，常数项是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。

（3）则X1+X2=_______，方程中 一次项系数 （）二次项系数比一比，你发现了什么呢：__________________________________(4)X1·X2=_______，方程中

常数项（）

二次项系数比一比，你发现了什么呢：__________________________________

3、方程X2-2X=（1）二次项系数是_____，一次项系数是______，常数项是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）由你发现的规律可知: X1+X2=(________)

X1·X2=（）（________)(_________)（）

(_________)

二、合作求证 生成新知（每小题10分，共20分）（合作完成，交换检查）

【师生活动】：

教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；鼓励学生参与合作学习，调动学生合作交流的主动性和积极性。

学生小组合作完成导学案，通过推导证明前面的结论；实现一元二次方程的根与系数的关系感性认识到理性认识的转变；小组长检查小组成员完成情况后，两小组交换检查推导过程；分小组汇报合作学习成果。【设计意图】：

本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的证明过程，即理性认识过程。让学生自己发现问题、探求规律，两从理论角度加以验证，经历从特殊到一般的科学探索过程，培养学生科学、严谨的求学态度，团队精神和合作意识，促进学生的相互交流、学习。【学案内容】：

（1）根据以上规律，若aX2+bX+c=0(a≠0)的两个根为X1和X2，则X1+X2=_______，X1·X2=_______。（2）这是不是一个普遍规律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？请用一元二次方程的一般形式证明：(b2-4ac≧0)∵ X1=bb24acbb24ac

X2=

2a2a∴X1+X2=

∴X1·X2=

三、交流展示 目标达成（每小题10分，共40分）（合作完成，分组展示）

【师生活动】：

教师巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并适时点拨、强调；充分利用现有设施设备，为学生搭建电子白板、实物投影、黑板等不同的展示自我的平台；适时评价、鼓励学生能多种方法解决问题，促进发散思维的培养。

导学案【目标1】：学生先独立完成，组长检查，后组内交流，全班汇报、评价。（学生利用一体机白板演示解题过程）

导学案【目标2】：小组合作完成，组长督促，全班汇报、评价。（学生利用实物投影展示解题过程）

导学案【目标3】：小组合作完成，组长督促，全班汇报、评价。（学生利用黑板展示解题过程）

【设计意图】：

本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的实践过程，即教学目标的达成、检测过程。设计了三个不同难度且有梯度的“目标”，让学生由易到难、由浅入深，加深对一元二次方程的根与系数的关系的理解和应用，强调学生对科学的严谨性和书写的规范性，培养学生对所学知识的应用意识和应用能力，以及合作学习意识与数学语言的表述能力。【学案内容】：

【目标1】不解方程，求下列方程的两根的和与两根的积各是多少？

（1）x2-3x+1=0;

（2）3x2-2x=2;

【目标2】已知方程X2-4X+M=0的一个根是-2，求方程的另一个根及M的值。

【目标3】已知X1，X2 是方程2X2-4X-1=0的两个实数根，求

x1的值。

2x22

四、查漏补缺 总结提高（共10分）（自主完成，集体分享）

【师生活动】：

教师鼓励学生谈所学所想所获，集体分享学习成果，归纳课堂所学知识点，解决学习中仍然存在的问题和困惑。【设计意图】：

本环节为本节课的总结提高过程。目的是帮助所有学生总结回顾、查漏补缺，形成知识体系，培养学生及时小结、善于归纳梳理的学习习惯，提高学生运用数学语言的能力和口头表达能力。【学案内容】：

请你谈谈本节课的收获或存在的问题。__________________

第四篇：复习教案 一元二次方程根与系数关系

第十三课时 一元二次方程根与系数关系

一、复习目标：掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理，并会灵活运用它们解决问题.二、复习重点和难点：

（一）复习重点： 一元二次方程根的韦达定理.（二）复习难点：灵活运用韦达定理解决问题.三、复习过程：

（一）知识梳理：

1、根与系数的关系（韦达定理）

一元二次方程ax2bxc0(a0)，如果有实数根（即b4ac0），设两实数根为x1，x2，则x1x2

2、常见的含两根的对称式：

（1）x1x2(x1x2)22x1x2（2）222bc，x1x2 aaxx211 1x1x2x1x2（3）(x1x2)2(x1x2)24x1x2 ； x1x2(x1x2)24x1x2

x2x1x1x2(x1x2)22x1x2（4）； x1x2x1x2x1x2

3、利用根与系数的关系判定一元二次方程的两根符号： 22c可判断两根符号之间的关系： acc 若x1x20，则x1，x2同号； 若x1x20，则x1，x2异号，即一正一负

aab 再由x1x2可判断两根大小的关系。

a由x1x2

4、由x1，x2两根可构造的一元二次方程 以x1，x2为根的一个一元二次方程为x2(x1x2)xx1x20；

5、一元二次方程与二次函数的联系：

若二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有两交点，分别设为A（x1，0），B（x2，0），则x1、x2就是一元二次方程axbxc0(a0)的根，因此，求二次函数y=ax+bx+c

22的图象与x轴有交点坐标，只要令y=0，解axbxc0(a0)的根，就可得到二次函

2数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点坐标的横坐标。

强调：应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： ①根的判别式b24ac0 ②二次项系数a0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.（二）典例精析：

一、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根。

例

1、已知方程x6xm2m50的一个根为2，求另一个根及

分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把22

2的值。

代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。

解：设方程的另一个根为x1，根据题意，利用韦达定理得：

x126x14x14，解得：或 2m3m12xm2m51∴方程

二、不解方程，判断两根的情况。

例

2、不解方程，试判断方程x3x60两根的符号；

分析：要判断方程根的符号，可以根据根的定义，这样的方法显得很笨拙，而我们如果利用根与系数的关系就显得非常巧妙。

解：由34(6)330，方程有两个不相等的实数根。设这两根为x1,x2，得x1x260，易得方程两根一正一负。

如果得出x1x20，需考虑x1x2的正负，从而判断方程有两个正根还是两个负根。

三、求作新的方程；

例

3、作一个一元二次方程，使它的两个根为一元二次方程x3x10的两根的平方． 解：设方程x3x10的两根为x1,x2，那么所求的方程的根为x1,x2，由根与系数关系可得：x1x23,x1.x21，∴x1x2(x1x2)22x1x2322(1)11，22222的另一个根为4，的值为3或—1。

222 x1x2(x1x2)2(1)21，∴所求作的方程为x11x10．

四、不解方程，求方程两根所组成的某些代数式的值，这种应用与根的判别结合在一起。例4（1）已知关于x的方程3x+6x-2=0的两根为x1，x2，求

222211的值.x1x2 分析：已知方程，求两根组成代数式的值。这里主要说明解题格式，学生完成过程.（2）已知关于x的方程3x-mx-2=0的两根为x1，x2，且2

22113，求 ①m的值；②求x1x2x1+x2的值.分析：第（1）题是已知方程，求两根组成代数式的值，而第（2）题的第一问就反来了，也就是已知代数式的值求方程。第②问，再进一步，已知代数式的值，求另一个代数式的值.但是，无论是哪一个问题，所要用到的都是根与系数的关系.小结：1.求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.例

5、（2000年四川省中考试题）若关于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且cosB=

23,b-a=3,5是否存在整数m,使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边的平方？若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，说明理由.“存在性”问题）

分析：（１）提问：此题与哪些知识有关？（勾股道理、解直角三角形、根与系数的关系、根的判别式）

（２）如何利用条件cosB=

3？ 5（３）“使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边的平方”通过这句话，你能明白什么？你先必须求什么？

（４）然后按照解决“存在性”问题的过程去解题.（５）求出m后，要考虑它是否符合题意.通过此题，使学生明白解决这类问题，一般遵循“三步曲”，即假设存在——推理论证——得出结论（合理或矛盾两种情况）.五、利用根与系数关系解决一元二次方程与二次函数的综合题： 例

6、已抛物线y(m1)x2(m2)x1（m为实数）。

（1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

（2）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。

分析：抛物线与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m应满足的条件。

m10略解：（1）由已知有，解得m0且m1 2m0（2）由x0得C（0，－1）

又∵ABm am1∴SABC∴m11mABOC12 22m144或m 35122126∴yxx1或yxx1

3355

第五篇：一元二次方程的根与系数的关系的九年级教案

一、复习引入

导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？

二、探究新知

1.课本思考

分析：将（x-x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0与x2+px+q=0对比,易知p=-(x1+x2)，q=x1x2.即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.2.跟踪练习

求下列方程的两根x1、x2.的和与积.x2+3x+2=0；x2+2x-3=0;x2-6x+5=0;x2-6x-15=0

3.方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？

分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？

4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？

分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.5.跟踪练习

求下列方程的两根x1、x2.的和与积.13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0;3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；

25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x

6.拓展练习

1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b=,c=.2已知关于x的方程x2+x-2=0的一个根是1，则另一个根是,的值是.3若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p=若两个根互为倒数，则q=.分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数