相交直线所成的角(教学比武教案)

第一篇：相交直线所成的角(教学比武教案)

相交直线所成的角

澧县永丰中学：尹笑

教学目标：

1.理解对顶角，并能在图形中找出对顶角。

2.会运用已学知识证明对顶角的性质并学会运用。3.理解同位角、内错角、同旁内角的概念。

4.会在两直线被第三条直线所截的图中，找出所有的同位角，内错角，同旁内角。

5.用对顶角相等、等量代换、等式的性质理解P77的一个结论。教学重点：

在图中辨认对顶角、同位角、内错角、同旁内角，掌握一个性质、理解一个结论。

教学难点：辨认和寻找同位角、内错角、同旁内角。教学方法：目标教学，合作探究 教学过程：

一、创设情境，引入新课

用多媒体呈现一些大千世界中的美丽图片，让学生通过观察回答看到了什么，从而引入新课内容。今天，我们就一起来学习相交直线所成的角。

二、自主探索，合作交流

（一）自主导学，交流成果

根据教师给出的本堂课的学习目标，安排学生预习课本P75、P76、P77的内容，然后在课堂上分组讨论学案上的第二部分“小试牛刀”的习题，然后请学习小组派代表回答相关问题。

（二）教师引导，巩固新知

在学生回答问题的过程中，教师用课件对于本节课的重难点部分进行详细讲解：（主要围绕以下四部分进行）1.对顶角的概念和性质。

2.“三线八角”的组成，强调三线相交的语言描述，并教会学生找出截线与被截线。

3.引导学生总结并归纳“同位角、内错角、同旁内角”在图形中所体现的与截线和被截线的相对位置关系。

（同位角：截线同侧，被截线同方；内错角：截线两侧，被截线内部；同旁内角：截线同侧被截线内部）

4.教会学生在相关习题中找到同位角、内错角和同旁内角。

三、“三线八角”的认知创新

1.“字母化”创新

同位角可以看做字母“F”，内错角可以看做字母“Z”，同旁内角可以看做字母“U”

2.“变手游戏”的创新

全班以手为道具，以手指构造模型

（先给学生进行讲解说明，然后通过小游戏进行体验）

四、分级检测，巩固提升

整个练习题分为A、B、C三等级，从易到难，让学生以小组为单位，学生根据自己的能力自选等级，分工合作完成，以比赛的形式评选出优胜小组。（习题在学案和课件上均呈现出来）

五、课堂小结，记好数学笔记 要求：

1.仔细思考通过本节课的学习，你学到了那些知识？在学案中记下来。

2.把学案上的各目标掌握的情况用五角星做好标记。（掌握很好：5颗星，较好：4颗星，不够好：3颗星）3.把学案上的相关题目过程整理好，待完成课后作业后一并交上来。

六、布置作业

请学生在课后完成学案上的作业

第二篇：【湘教版】七年级数学下册：4.1.2《相交直线所成的角》教案

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相交直线所成的角

知识与技能：

1．理解相交直线所成的角意义，理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念。2．理解对顶角相等的性质。

3．会运用对顶角相等及等量代换的性质得到三条直线相交所得8个角之间的等量关系及互补关系。过程与方法：

通过认识图形的组合（由简到繁），培养学生识别图形基本结构的能力。情感态度与价值观：

经历知识发生的过程，通过动手操作，体验数学概念的发展是现实生活的需要，感受数学学习的价值，积极参与探索过程。

教学重点：

三条直线构成的角的关系，对顶角相等的性质。教学难点：

准确地找出三条直线构成的8个角之间的关系，用对顶角相交及等量代换得到它们之间的等量关系。教学过程：

一、预学：

1、在同一平面内的两条直线有几种位置关系？

2、经过直线外一点怎样画出这条直线的平行线？

3、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行 即：如果b∥a，c∥a，那么b ∥ c。

二、探究： 如图4-7，剪刀的两个交叉腿构成四个角，将其简单地表示为图4-8.1 4 3 2 图4-7

图4-8

1、做一做：1与∠3有什么关系？

2、对顶角的概念

如图∠1与∠3有共同的顶点O，其中一个角的两边分别 是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。

3、学生从做一做中得出相应的结论，也可从简单的推理中得到：

对顶角相等。

∠1与∠3都是∠2的补角，因为同角的补角相等，所以∠1＝∠3。

4、说一说：生活中的对顶角

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5、画直线AB、CD与MN相交，找出它们中的对顶角。

三、精导：

1、讲解同位角、内错角、同旁内角的概念。直线AB，CD都与第三条直线MN相交(有时也说直线AB和CD被第三条直线MN所截)，可以构成8个角，如图所示.2、假设直线AB，CD被MN所截，有一对同位角相等 比如说∠1＝∠5，找出图形中相等的角或互补的角。

3、应用“对顶角相等”及“等量代换”及等式的性质，可以得出相应的一些结论：（1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么其他几对同位角也相等，并且内错角也相等，同旁内角互补。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果有一对内错角相等，那么其他几对内错角也相等，并且同位角也相等，同旁内角互补。（3）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同旁内角互补，那么另一对同旁内角也互补，并且同位角相等，内错角也相等。

例1 如图，直线EF与AB，CD相交，构成8个角.指出图中所有的对几对对顶角、同位角、内错角和同旁内角.解：略

例2 如图，直线AB，CD被直线MN所截，同位角∠1 与∠2相等，那么内错角∠2与∠3相等吗？

四、提升：

如图，直线a，b被直线c所截，找出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角.若∠1=∠5=108°，求其他角的度数.教学反思：

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第三篇：直线 射线 角教案及反思

《直线、射线、和角》教学设计

教学内容：人教版小学数学四年上册35—36页内容

教学目标：

1、知识目标：使学生进一步认识直线和线段，认识射线，掌握射线的概念与特征，并能区别射线、直线和线段。认识角，知道角的各部分名称及其表示方法。

2、能力目标：会分辨怎样的图形是射线、角；会用角的符号记录一个角；

3、情感目标：通过知识的学习，对学生进行“事物间普遍联系”的辩证唯物主义观点启蒙教育。

4、层次目标：通过这堂课的教学，要使大部分学生知道直线、线段、射线及角之间的关系，掌握射线和角的概念并会判断，及角各部分的名称、角的表示方法。

教学重点：

掌握直线，线段、射线的区别和联系。

掌握角的概念和特征。

教学难点：

正确理解射线和角的概念和特征。

教具准备：

投影仪、课件、尺

教学过程：

一、情境引入

师：大家看过电视连续剧《西游记》吗？老师也很喜欢看，因为里面有个叫孙悟空的人，他有一根金箍棒。有谁知道他的金箍棒有什么特点呢？（能打妖怪、能变大、能缩小、能伸长。。。）1.认识射线

师：现在孙悟空把金箍棒的一端插入地中，接着说“变长，变长，变长”，又会变成什么样子？（课件演示）

师：这就是我们今天要来认识的新朋友？有谁知道它叫什么？（射线）

师：仔细观察一下，射线有什么特点？（有一个端点，可以向一端无限延伸）

师：找一找生活中有哪些线可以近似地看成是射线？（手电筒、汽车灯、太阳等射出来的光）

2．认识直线

师：我想问同学们，我把射线的一端拿掉，那他会发生什么变化啊？（可以向两端无线延伸，没有端点）

师：那么在数学上这个线叫什么线啊？（直线）

师：那同学们能够老师归纳一下直线有什么特点吗？

师：请同学跟着老师画一画 3.认识线段

师：现在我在直线上画两端，有谁能够告诉老师，这条线发生什么变化了?(有两个端点，可以测量长度)

师：那在数学上这个线叫什么线啊？（线段）

师：请同学告诉老师，这个线段有什么特点啊？（请郑晨同学回答）

师：请同学跟着老师画一画！

二、比较中直线、射线、线段间的联系和区别

1、指导：我们认识了直线、射线、线段，那么这三者间有什么不同点和相同点。接下来就需要大家一起认真观察，讨论，找一找他们三线的区别和联系，活动之前请大家听清楚活动要求。

师：把你们的发现填在表格中、每组一名学生汇报。

2、师：通过我们大家的努力，发现了它们的相同点、不同点和它们之间联系。

3、师：直线、射线都可以无限延伸，那么究竟哪个比较长呢？（不能比较，因为它们都无限延长）

三、解决问题

1、做游戏：我们现在做个小游戏，看谁在15秒内过一点画的直线最多？

2、假设：如果再给你时间还能画么？（能）你发现了什么？（经过一点可以画无数条直线）课件展示结果。

3、那么猜一猜经过两点可以画多少条直线，动手画一画。（经过两点只能画一条直线。）

4、拓展：那么经过一点可以画多少条射线呢？（请吕梦婷同学回答）

四、角的认识

1、经过一点我们知道可以画无数条射线，现在请大家画一点，然后从这点开始只画两条射线。（学生画后，老师展示不同的作品）

2、大家看我们都得到了一个什么图形？（角）

3、但我没有让你们画角，怎么画出来的是角呢？（原来从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角）师用课件动态展示角的形成过程（学生齐读角的定义）

4、介绍角的各部分组成：这个点叫角的顶点，这两条射线是角的边。课件逐一演示。

5、认识表示角的符号。同学们看这里有这么多角，怎么把它们一一区分开呢？

在日常生活中，为了书写方便，我们通常要用一个符号表示角（板书：＜ 这个符号和我们以前学过的哪些符号相似，是完全一样的吗？（指导写法，注意与小于号区别）

6、学习表示角的方法：观察的很认真，为了区分不同的角，我们还要给角编上号，如＜1，读作：角1。如果是角3怎么写？

7、请你把刚才画的角标上角的符号，记一记，读一读。

三、巩固应用

1、课堂练习；（请李芳燕、李露微、陈彦稀）

A、判断：（1）线段是直线的一部分。（）

（2）一条直线长5米。（）

（3）手电筒发出的光是直线。（）B:完成相应作业本作业

板书设计： 直线、射线和角

直线：无限长的，没有端点

角：＜略＞（不可度量）

线段：有限长的，有2个端点（可以度量）

射线：无限长的，有1个端点

（不可度量）

反思：

在本节课中，包含了以下知识点：1.通过动手画、想象、观察、结合实际、了解直线、射线的特征，建立射线、直线的表象，感受“无限延伸”2.通过讲解、对比，利用填表的方式了解直线、射线、线段的异同。3.通过画一画，体会“两点确定一条直线”“有限”“无限延伸”。4.建立角的概念，学会角的标记符号。

这堂课我从体会射线入手，然后因此直线与线段。“首先，我让学生经过一点画一条直直的射线，看谁画的最长”学生通过操作、和同学比较。发现，只要自己的纸张再扩大一些，那么这条射线就能画得更长；而且，通过课件的演示和想象，进而体会到，只要这张纸不断扩大，那么这条直直的射线就能无限延长。然后让学生闭上眼睛想象，一条直线没有墙、没有房屋、没有树的阻隔，可以一直无限变长是怎么样的。”从而更加能够体会到“有限”与“无限”的区别。

整堂课利用课件，能够比较完整地将一节课上下来。在上课过程中，发现学生初步了解了直线、射线和角的概念，并能够纸上进行操作，同时对于扩展的内容，也能及时的了解。不足之处较多，上课之前忘记带教学用尺；对于学生的回答错误的问题，显得太过焦急，没有给学生更多时间进行思考；上课语速较快，有可能让学生在认识上出现一点难度；也许是提问方式不对，同学们的举一反三能力较弱。最后，在平时课堂纪律管理上较差，学生在上课中，没有老师的允许，直接站起来回答问题！

第四篇：用向量运算证明两条直线垂直或求两直线所成的角

高二数学理（B）学案

用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

编号：10编制：王井雷审核：刘红英时间：2012.2.18

【学习目标】

1、掌握两条直线垂直的充要条件，知道直线夹角和其方向向量夹角的关系。

2、会用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角。【重点难点】

教学重点：用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角。教学难点：直线的方向向量。【知识梳理】



1、两条直线l1与l2所成的角，两条直线l1、l2的方向向量v1,v2所成的

角v1,v2的范围，与v1,v2的关系是。

变式训练1：.已知正方体ABCD-ABCD 中，点E,F分别是棱BB与面对角线B'D'的中点。求证：直线EF直线A'D

例2.已知三棱锥O-ABC，OA＝4,OB＝5,OC＝3,∠AOB＝ ∠BOC＝60o, ∠COA＝90o,M、N分别是棱OA、BC的中点。求直线MN与AC所成的角（用反三角函数表示）。

变式训练2：已知四棱锥SABCD的高SO3，底面是边长为2，ABC60的棱形，O为

2、l1l2，cos【课前达标】



1、若异面直线l1、l2的方向向量分别是a0,2,1，b2,0,4，则异面直线l1与l2的夹

角的余弦值等于（）A、

5B、2

5C、

5D、52、在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分别CC1,AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于（）A

5B

5C、4

5D、2

3底面的中心，E,F分别为SA和SC的中点，求异面直线BF与DE所成的角

【典型例题】

例1.已知正方体ABCD-ABCD 中，点M、N分别是棱BB与对角线CA的中点。求证：MNBB；MN AC。

高二数学理（B）学案

【巩固练习】

1．在正三棱柱A1B1C1-ABC中，若1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）

6.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．

7.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（1）求BN的长（2）求cos

1>的值；（3）求证：A1B⊥C1M.A．60 B．90 C．105 D．75

2．A1B1C1-ABC是直三棱柱， BCA=90，点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点，若

BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）

A．

3010

B．

2C．

301

5D．

3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，F是B1D1的中点，则BE与DF所成角的余弦值为__________.4.已知F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点，则异面直线A1C1与DF所成的角的余弦值为__________.5.在棱长为1的正方体中ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、BD的中点，G在CD上，且CG

＝CD/4，H为C1G的中点，⑴求证：EF⊥B1C；⑵求EF与C1G所成角的余弦值；⑶求FH的长。

第五篇：高中立体几何教案 第一章 直线和平面 两条异面直线所成的角和讲解

高中立体几何教案 第一章 直线和平面 两条异面直线所成的角和距离教案

教学目标

1．运用类比推理，理解引入有关概念的必要性、重要性；

2．理解、掌握有关概念的定义，并会初步应用有关概念的定义来解题． 教学重点和难点

这节课的重点与难点都是异面直线所成的角和距离这两个概念的引入，和使学生真正地理解、掌握这两个概念．

教学设计过程

一、引入有关概念的必要性

师：我们都知道空间的两直线的位置关系有三种：相交、平行、异面．这只是“定性”来研究对象，当我们要“定量”来研究对象时就必需要引入一些有关的新概念．

（这时教师拿出两根小棍做平行直线演示并说）

例如a∥b，c∥d（如图1），虽然它们都是平行直线，但是它们之间有什么区别呢？

生：虽然它们都是平行直线，但是它们的之间的距离不同．

师：对，为了区别都是平行直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究平行直线，就必须引入有关“距离”这个概念．

（这时教师又拿出两根小棍做相交直线，并且使其角度各有不同，并说）

师：又例如a与b是相交直线，c与d也是相交直线（如图2）．虽然它们都是相交直线，但是它们之间有什么区别呢？

生：虽然它们都是相交直线，但是它们的夹角大小不同．

师：对，为了区别两相交直线的不同情况，也就是说为了“定量”的研究相交直线就必须引入有关“角”的概念．

（这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其距离的大小演示给学生看，让其观察后，得出相应的结论）

师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？ 生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间的距离不同．

（这时教师又拿出两根小棍做异面直线状，并变动其所成角的大小演示给学生看，让其观察后，得出相应的结论）

师：直线a，b是异面直线，直线c，d也是异面直线，它们之间有什么不同？ 生：虽然它们都是异面直线，但是它们之间所成的角大小不同．

师：对，通过观察我们可以发现为了“定量”的研究异面直线，必须引入异面直线所成的角和异面直线的距离这两个概念．下面我们先来研究异面直线所成的角这个概念的定义．

二、异面直线所成的角的定义

（教师拿出两根小棍做异面直线状，演示给学生看，使其观察如何给异面直线所成的角下定义）师：我们来看这模型，怎样给异面直线a、b所成的角下定义？

生：可以把直线a平移与b相交，这时由a平移而得的a′与b相交所成的角，就可以定义为异面直线a与b所成的角．

师：对，但是为了使这个定义更有一般性，我们给异面直线所成的角做如下的定义． 定义 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．（如图3）

师：由定义来看，O是空间中任意一点，当然我也可以在空间任意取一点O1，过O1分别引a1∥a，b1∥b，那么这时a1和b1所成的锐角与a′和b′所成的锐角是否相等呢？

生：相等，因为有等角定理的推论“如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等”．因为a′∥a，a1∥a可推出a′∥a1，同理可推出b′∥b1，所以可用等角定理的推论．

师：对，我们在上两节课讲的公理4和等角定理，在某种意义来说都是为给异面直线所成的角下定义做理论上的准备，正因为角的大小与O点的选择无关，所以为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，所以你们一开始给异面直线所成的角下的定义是对的．

师：我们如何给两条异面直线互相垂直下定义呢？

生：如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直． 师：设两条异面直线所成的角为θ，问θ角的取值范围？ 生：θ∈（0°，90°]，半开、半闭区间． 师：θ角能否等于0°．

生：不能，因为当θ=0°时，异面直线就转化为平行直线．

师：对，θ≠0°，否则，量变就转化为质变，异面直线就转化为平行直线了．至于异面直线所成的角规定为锐角或直角，则是为了所成的角是唯一确定的．

三、练习

例 正方形ABCD－A1B1C1D1．求：

（1）A1B与CC1所成的角是多少度？为什么？（2）A1B1与CC1所成的角是多少度？为什么？（3）A1C1与BC所成的角是多少度？为什么？（4）在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱B1B 垂直的棱有几条？（如图4）

师：请你们依次回答上述的四个问题．

生：（1）因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，CC1∥BB1，所以A1B与CC1所成的角为∠B1BA1，而∠B1BA1=45°，所以A1B与CC1所成的角为45°．

师：请回答第（2）问．

生：因为CC1∥BB1，所以A1B1与CC1所成的角为∠BB1A1，而∠BB1A1=90°，所以A1B1与CC1所成的角为90°．

师：请回答第（3）问．

生：因为BC∥B1C1，所以A1C1与BC所成的角就是∠B1C1A1，而∠B1C1A1=45°，所以A1C1与BC所成的角为45°．

师：请回答第（4）问． 生：与棱B1B垂直的棱有8条．

师：有哪几条是与B1B相交垂直？有哪几条是与B1B异面垂直？

生：与B1B相交垂直的棱有4条，为AB，A1B1，BC，B1C1；与B1B异面垂直的棱也有4条，为AD，A1D1，CD，C1D1．

师：对．这里我们需要指出，在立体几何中．“垂直”、“相交垂直”、“异面垂直”这三个不同概念的联系和区别．以后我们讲两直线垂直，则是指这两直线可能是相交垂直，也可能是两直线异面垂直．这里我们要破除在平面几何中形成的思维定式，就是一说两直线垂直就是指两直线相交垂直．而要了解：“垂直”=“相交垂直”+“异面垂直”．

四、异面直线的距离的定义 师：和两条异面直线都垂直的直线有多少条？（同时拿出两根小棍做为异面直线a，b，再拿出一根小棍c摆出与a、b都垂直状，而小棍c在保持与a、b都垂直的情况下可平行移动，用这样的模型让学生观察，再让学生回答）

生：有无数条．

师：对．现在再问与这两条异面直线都相交垂直的直线有几条？ 生：只有一条．

师：对，由对模型的观察我们知道和两条异面直线都相交垂直的直线有而且只有一条，现在可以给出下面两个定义．

定义

和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．

定义

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离． 要注意这两个定义之间的联系与区别，公垂线是一条直线，这直线在这两条异面直线间（两垂足间）的线段的长度是这两条异面直线的距离．

五、练习

例

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4cm，BC=3cm，B1B=2cm。求：（1）异面直线A1A与BC的距离；（2）异面直线A1A与C1D1的距离；

（3）异面直线A1B1与BC的距离．（如图5）

师：在第（1）问中A1A与BC的距离等于多少？为什么？

生：因为ABCD－A1B1C1D1是长方体，AB⊥A1A于A，AB⊥BC干B．所以AB的长度就是异面直线A1A与BC的距离，因为AB=4cm，所以A1A与BC的距离为4cm．

师：在第（2）间中，A1A与C1D1的距离等于多少？为什么？

生：因为A1D1⊥A1A于A1，A1D1⊥C1D1于D1，A1D1的长度就是异面直线A1A与C1D1的距离，因为A1D1=BC=3cm，所以A1A与C1D1的距离为3cm．

师：在第（3）问中，A1B1与BC的距离等于多少？为什么． 生：因为B1B⊥A1B1于B1，B1B⊥BC于B．B1B的长度就是异面直线A1B1与BC的距离，因为B1B=2cm，所以A1B1与BC的距离等于2cm．

师：现在你们自己看课本第15页到第16页的例，看完后你们自己来讲．可根据课本来回答． 例 设图6中的正方体的棱长为a．

（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线？（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小；（3）求异面直线BC和AA′的距离．

（可根据课堂情况灵活掌握让学生看3～5分钟后，叫学生回答）师：现在你们先回答第（1）问．

生：因为A′平面B′BCC′，而点B、直线CC′都在平面B′BCC′内，且B CC′．所以直线BA′与CC′是异面直线．

同理，直线C′D′，D′D，DC，AD，B′C′都和直线BA′成异面直线． 师：刚才回答是正确的，但它们的理论根据是什么呢？

生：是根据课本第10页例，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．

师；对，过去我们已经讲过，课本第10页上的例，应该明确把它“升格”为定理．这定理有的书上叫它为异面直线存在定理，有的书上把它叫做异面直线判定定理．以后，我们叫这定理为异面直线判定定理．过去我们还小结过，证明两条直线是异面直线的方法有两个，是哪两个方法．

生：一是用反证法，二是用异面直线的判定定理． 师：现在回答第（2）问．

生：因为C′C∥BB′，所以BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角．因为∠A′BB′=45°，所以BA′和CC′所成的角是45°． 师：现在回答第（3）问．

生：因为AB⊥AA′于A，AB⊥BC于B．所以AB是BC和AA′的公垂线段，因为AB=a，所以BC和AA′的距离是a．

师：今天我们讲了两个很重要的概念，两条异面直线所成的角和距离，我们一定要很好的理解、掌握这两个概念并能应用它们来解有关的题．

作业

课本第17页，第9，10两题． 补充题

1．正方体12条棱中，组成异面直线的对数是多少？[24] 2．空间四边形的对角线互相垂直，顺次连结这个四边形各边的中点，所得的四边形是矩形，试证明．[提示：证有一个角是直角的平行四边形是矩形] 3．空间四边形ABCD，AB，BC，CD的中点分别是P，Q和R，[90°] 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，CD和CC1的中点，求异面直线EF和GH所成的角是多少度？[60°] 课堂教学设计说明

1．为了使学生理解引入异面直线所成的角和距离这两个概念的必要，一定要运用类比推理的思想，从平面几何为了区别不同的平行直线要有距离的概念，为了区别不同的相交直线要有角的概念．这样为了区别不同的异面直线要引入异面直线所成的角和距离就是很自然很合理的了． 一定要使学生观察模型，使他们理解两异面直线所成角的概念的定义合理性．并且要求自己给出这个定义．

一定要使学生理解垂直、相交垂直、异面垂直这三个相互联系又相互区别的三个概念，使学生理解与两异面直线都相交垂直的直线有且只有一条，从而给异面直线的距离下定义做准备． 这节课引入两个新概念要用较多的时间，所以应用这两个概念的练习要很简单、很基本，使学生一看就会，目的是加深对概念的理解．

2．在立体几何第一章的教学中要有四个“高潮”（也可借用音乐中的一个术语，就是要有四个华彩乐段）．第一个“高潮”是在讲了异面直线所成的角和距离以后；第二个“高潮”是在讲了三垂线定理及其逆定理以后；第三个“高潮”是在讲了二面角及其平面角以后；第四个“高潮”是在讲了两平面垂直的定义．判定和性质以后． 所谓“高潮”是指在这一阶段教学中，要选较多、较全的题型，要多讲几次练习课，学生要多做些题，使学生能通过这一阶段的教学在解题的能力上有较大的提高，也就是说在逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等跃上一个新的台阶或者说达到一个新的层面．所以在讲了异面直线所成的角和距离这节课后，还应安排两次练习题．为了节省篇幅，我们把第一节练习课的提纲写在下面．

3．第一节练习课提纲

例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中．（1）求AD1与B1B所成的角是多少度？（45°）

（2）问与AD1异面，且所成的角是45°的正方体的棱有哪几条？（4条即为B1B，C1C，B1C1，BC）（3）问AD1与B1C所成的角是多少度？（90°）

（4）如果M，N分别是B1C1，C1C的中点，问MN与AD1所成的角是多少度？（90°）

由第（4）问这个特殊的题，用一般化的方法得出定理：一直线垂直于平行直线中的一条，也垂直于另一条．

例2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中．（1）求AD1与A1C1所成的角的度数？（△D1AC为等边三角形，∠D1AC=60°）

（2）如果M，N分别为A1B1，B1C1的中点，求MN与BC1所成的角的度数？（60°）

（3）如果P，Q分别是A1A，A1D1的中点，求PQ与MN所成的角的度数？（60°）

例3 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，B1B=2．求：（1）AB与A1C1所成的角的正切？

（2）A1A与BC1所成的角的正弦？

（3）A1C1与AD1所成的角的余弦？

这叫余弦定理，我们补充的定理．详见代数课本第239页二 解斜三角形中的3．5余弦定理． 在讲完这三个例题后，可做如下总结． 小结

（1）以概念为指导作出异面直线所成的角；

（2）找出这个角所在的三角形（直角三角形或斜三角形）；（3）解这个三角形，求出所要求的角．

在求异面直线所成的角的三个步骤中，关键是第（1）步，即把空间角（异面直线所成的角）转化为平面角，把解立体几何中的问题化归为解平面几何中的问题．

这节课可留如下作业．（1）重做课堂练习中的例3．

（2）看代数课本第239～242页．余弦定理只要求记住定理和用法，定理证明过程可略．（3）做代数课本中第243页练习1（1）（2）（3）（4）．

以上就是讲完异面直线所成的角和距离后第一节练习课的讲课提纲．在这节课中我们补充了余弦定理．在讲立体几何第一章中要不要提前补充余弦定理．在什么时候补充余弦定理，下面就谈一下自己在教学实践中的想法． 4．对补充余弦定理想法

余弦定理本来是初中的教材，在立体几何第一章的教学中不存在补充的问题．现在的教材把余弦定理放在高一的下半学期才讲，这就出现了在立体几何第一章的教学中要不要补充余弦定理的问题．

从理论上来说，求异面直线所成角的问题都要归结到解三角形的问题．而解直角三角形的问题一般来说都比较简单，达不到提高学生解题能力的目的．而要解斜三角形，一般来说就要用到余弦定理，所以余弦定理是我们在解立体几何有关问题时思维链条中不可缺少的一个环节，所以一定要补上这一环，否则学生的解题能力很难提高．