排列组合常见的解题策略

第一篇：排列组合常见的解题策略

“排列组合常见的解题策略”课例

张玉华

一、教材分析

排列和组合是数学基础知识的重要组成部分之一，它在解决实际问题以及科学技术的研究中都有广泛的应用；在排列组合问题中充分体现了分类、化归的数学思想。它应用性强，具有题型多变，条件隐晦，思维抽象，分类复杂，问题交错，易出现重复和遗漏以及不易发现错误等特征。因而在这部分教学中，应充分调动学生的积极性，强调学生的主体作用，明确基本原理，注重思维过程的分析，让学生在问题解决的过程中不断反思探索规律，体验成功，从而提升学生的思维能力。而且是概率的基础。

二、学情分析

高三(1)班的同学基础差，但勤奋好学，有一定的潜力。

三、教学目的

1、认知目标：

使学生进一步理解并掌握处理排列组合问题的基本策略，进一步体会分类与化归的数学思想方法以及分析与解决问题的能力，培养学生的探索创新意识。

2、技能目标：

充分发挥教师的主导和学生的主体作用，使学生的自主意识、自学能力、探索创新意识得到发展。

3、情感目标：

培养学生的自信心和学习兴趣，树立实事求是的科学态度和不怕困难的进取精神，积极探索，进而培养学生的创新能力。

四、教法分析

根据排列组合的知识特点“条件隐晦，思维抽象”，在教学中采用发现法，坚持“思路教学”，深钻教材，注意从实验入手，模拟发现，从特殊到一般，归纳出一般的规律，优化学生的思路，激活学生的思维。

五、教学过程分析

1、复习思考

（1）处理排列组合问题的常见解题策略(提问学生作答)问题

一、街道旁有编号1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共十只路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中的三只灯相灭，但不能同时熄灭相邻两只，在两端的两只路灯不熄灭的情况下，问不同的熄灯方法有多少种? ①通过复习提问总结解决排列组合问题的基本思路和方法。

②设置问题情景，激发学生的学习欲望。通过引导，学生得出多种解法，从而优化思维，发现规律为构造数学模型一做好铺垫。

2、创设情景 练习（1）：四个相同苹果分给三个人，没人至少一个，有多少种分配方案?(提问，多解)，电脑演示。

（2）：把六个名额分给三个班级，没班至少一个名额，有多少种分法?(提问多解)，电脑演示，介绍插板法。巩固创设情景。

体现化归思想，并将问题发散，从不同角度展示出问题的共性，给学生自主发现、探索的空间，引入“插板”这一解决问题的策略。

3、提出猜想

你能编一道与本题意思相近的习题或将本题推广吗? 学生是学习的主体，是课堂教学的探索者、发现者和创造者，让他们的智慧火花充分闪亮。

4、探得索出分结析论 模型一：把n个相同的小球放入m个不同的盒子中，要求每盒至少有一个球，问有多少种不同的方法? 归纳出共性，推广到一般，抽象出数学模型，使学生的思维得到提升。

5、问题解决进一步推广 练习：(分组讨论)（1）求方程x+y+z=16的正整数解的组数。

（2）15个苹果分给三个人，每人至少两个，有多少种分法?（3）把二十个相同的小球放入编号为1、2、3、4、的四个盒子中，要求每个盒子中的小球数目不少于编号数，求不同的放法种数。

弄清问题本质，将问题转化为模型，并能应用模型解决问题。

6、新情境设计

（1）第二小题条件改为每人至少三个，有多少种分法?（2）学生总结规律。

（3）如果条件改为每人分得苹果个数不限，有多少种分法种数?（4）你能将本题推广吗?（5）改变条件提出新问题，让学生有一个再发现，再创造的过程。（6）培养学生自主探索创新意识。

7、探索分析

用电脑演示每人至少分得一个苹果、二个苹果和三个苹果的情形，并由学生总结规律。体现从特殊到一般的思维方法，模拟发现，激励探索，激活思路。

8、得出结论

模型

二、把n个相同的小球放入m个不同盒子(n≥m≥1)，每个盒子容量不限，有多少种不同方法? 比较差异，将模型一进一步推广，使学生在“好奇”中产生“内驱力”，进而产生不断探索的愿望。

9、问题

（1）中日围棋擂台赛规定各国各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛„，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一个比赛过程，试求中方获胜的所有可能出现的比赛过程的种数?（2）从7个学校选出12人组成足球联队，要求每校至少有一个人参加，问各校名额分配共有多少种不同情况? 将问题综合，让学生分享探索带来的成果，感受问题解决的成功喜悦，同时也使他们进一步掌握分类的数学思想和化归的方法，激发探索的欲望。

10、小结

小结：回顾上述几个例题的解答过程，我们可以看到一个共同的特点，就是利用一一对应关系将一种不易直接求得其数目的计数模式转化为另一种易于计算的模式，从而收到了简化问题的效果，可以说，这种通过建立一一对应关系而化难为易的方法是数学中一种常用的方法，并且在代数问题发挥着极大的作用。另外，我们还推出了两个模型，大家回去后希继续对这个模型进行研究，掌握这个模型的各种变化，并要善于把各种具体问题归结成这个模型的某一种方式，那么解排列组合问题就有了一定的规律可循了。

六、课题后记

1、本着坚持以学生是探索发现的主体这一教学原则，教师的角色从知识的传播者转化为学生主动学习，主动探索的引导者和促进者：学生以被动接受知识转到主动参与，在讨论探索中获取知识。学生在教师的适时点拨下，通过自己动脑，探索出两个模型。由于学生亲自品尝了自己发现的乐趣，更激起了他们强烈的求知欲和创造欲。

2、体现循序渐进原则。本课例的例题，练习题的安排体现了思维的阶梯性，一步一个台阶，逐步引向深入。由于问题处在学生思维水平的“最近发展区”，因而为学生提供了自由想象的空间，最后指引学生进行变式练习，提出了新的探索目标，从而满足了不同层次学生的需要，充分体现了数学素质教育的思想。同时充分肯定学生的每一点进步，使学生增强学好数学的信心。

3、通过现代化教育技术，以电脑动画方式模拟思维的动态过程，将抽象内容形象化，激发学生兴趣，培养学生观察、分析和抽象概括能力。学生的“再发现”不是放任自流，而是在教师精心设计教学过程，创设问题情境，让学生自己从知识的发生，发展过程中去发现新知识，认识新知识，从而积极主动地参与学习，充分体现教师的主导作用。

4、层层建构，分层递进，引导学生逐步深入，符合学生的认知特点使学生易于理解，培养学生的创新精神，优化学生的思维品质。解决重点，突破难点，通过分层递进，既可照顾后进生，又可促进优等生，达到面向全体学生的目的，使不同的学生都能得到发展。

七、点评

学习数学的过程是知识建构的过程，是思维训练的过程。本节课充分发挥学生的主体作用，通过精心设计问题，让学生去探索，发现从特殊到一般，归纳规律，构造数学模型，掌握分类的数学思想和化归的方法，分层递进不断深化。课堂思维密度大，高潮迭起，是培养学生创新能力和课堂开展研究性学习的典型范例。

第二篇：排列组合问题的解题策略的教学设计

《排列组合问题的解题策略》教学设计

河北围场一中 王嘉伟

一、整体设计思路、指导依据：

《数学新课程标准》中指出好的数学教育要从学习者的已有知识和实际生活经验出发，提供给学生数学实践和交流的机会。”数学是解决生活中一些实际问题的工具，同时还开发智力，培养学生的逻辑思维能力。面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，是数学应用意识的重要体现。为学生后面学习排列组合问题打下基础。

二、教学背景分析： “排列组合问题的解题策略”是人教版普通高中课程标准（实验）教科书选修2-3第一章计数原理中的内容，排列和组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。在高考中也是考点之一，本节重点在向学生渗透分类讨论，转化等数学思想方法，并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识，为学生今后学习组合数学和学习概率统计奠定基础。简单的两种计数原理和排列组合 基本掌握了，由于本班学生的基础不是很好，数学水平参差不齐，所以采取小组合作学习的方式合理分配学生资源，借助集体的智慧来解决问题。本节课是在学生掌握简单的排列组合问题的基础上的，对排列组合问题的一个拓展。

三、教学目标：

知识目标：1.掌握加法原理和乘法原理，并能用这两个计数原理解决简单问题。2.掌握排列、组合问题应用的几种常见方法。能力目标：掌握有限制条件的排列组合的应用题的常用分析方法。情感目标：体会解决排列组合问题中运用的数学思想。

四、教学重点、难点分析：

重点：有限制条件的排列组合问题的综合应用。难点：解决较复杂的排列组合问题的思想与解题策略

五、教学过程设计：

1．课程引入：平安夜的故事：

“苹果”是平平安安的谐音，象征着平安、祥和之意，所以说平安夜吃苹果能保一年平安。时间：13年12月24日晚。地点：XX职校女生公寓楼302室。

人物：寝室所有成员，包括英亚、竹萍、陈燕、刘佳、徐红、周甜、龚佳、钱丽共八人。在这个特别的夜晚，刘佳提议，准时在十二点吃苹果，可大家发现没有准备苹果。陈燕说：“我这里有些苹果。”她拿出一袋苹果。大家一看，只有大小不一的五个。竹萍说：“我柜子里面还有几个梨。”竹萍拿出来一清，有四个形状各异的梨。大家说：“没办法了，拿三个梨来凑吧。”

出招：从四个形状各异的梨中拿出三个，有多少种方法？ 竹萍从中拿出了三个最好看的梨。

徐红说：“我不喜欢吃梨，我只喜欢吃苹果，所以我一定要吃苹果。” 英亚说：“好吧。我来负责分派。”

出招：要保证徐红一定吃到苹果，有多少种分派方法？ 周甜说：“我也要吃苹果！平安夜当然吃苹果。”

出招：，徐红和周甜两人都吃到苹果，有多少种分派方法？

竹萍出招：五个大小不一的苹果和三个形状各异的梨分给八个人，每人一个，其中周甜吃苹果，徐红吃梨，有多少种分派方法？

有人说，你们俩只能有一个人吃苹果。徐红说：“那让周甜吃苹果吧，我吃梨好了。钱丽说：“这样吧，我们把八个水果放在桌上排成一排，然后关灯，每人摸一个。” 出招：八个不同的水果排成一排，有多少种排方法？

刘佳说：“平安夜，第一个一定要放苹果以示平安。”出招：五个大小不一的苹果和三个形状各异的梨排成一排，第一个一定要放苹果，有多少种排法？

陈燕说：“第一个放不放苹果不要紧，大家只要尽量把苹果和梨分开就好，就是不要让任何两个梨挨在一起。” 出招：五个大小不一的苹果和三个形状各异的梨排成一排，其中梨不能挨在一起，有多少种排方法？ 徐红说：“这样不好，分梨分离。我们寝室每个人都应该团结，心不能分离。所以，应该把这些梨全放在一起。出招：五个大小不一的苹果和三个形状各异的梨排成一排，其中梨必须放在一起有多少种排方法？ 正在大家讨论得正热烈的时间，响起了熄灯铃声。

“唉啊，快。”英亚低声叫道：“睡觉时间到了！快去床上！”

英亚连忙关掉灯。黑暗中谁低声叫了一句：“快拿水果！”大家连忙从桌上各自摸起一个水果，快速钻入被窝。寝室迅速安静下来。

渐渐地，八个同学都在安静中睡着了。当然，最终她们没有破坏寝室的纪律，没有在半夜起来吃苹果。故事新编:(课下思考）

对＜平安夜的故事＞进行重新编排，要求在故事里穿插至少三个有关排列，组合，或基本计数原理的问题。

从上面的故事中找出我们所运用到的排列组合这一章所学的知识和方法。

设计意图：用一则小故事引出排列组合常见的问题：相邻，不相邻，特殊元素，特殊位置安排的问题。

2、典例分析：（分组讨论，学生讲解，教师指导帮助总结）

（1）特殊元素和特殊位置优先策略：

例

1、由0,1,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。师：若改成偶数呢，又该如何分析？

变式：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种中间，也不种在两端的花盆里，问有多少种不同的种法？

设计意图： 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，要求学生熟练掌握。（2）相邻元素捆绑策略：

例2.7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法。练习：5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法？ 设计意图：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.（3）不相邻问题插空策略: 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈，两个相声，三个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？

变式：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同的插法种数为________.师：元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 拓展：请同学把上述两个问题综合在一起出道题，题中包含相邻和不相邻问题。

设计意图：帮助学生分析这两类问题的解决办法，并进行延伸，通过小组讨论解决问题，形成思路。（4）、定序问题：空位，插入；倍缩策略

例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？

练习：学考考试6门科目，历史要排在化学前面考，有多少种不同的安排顺序？ 师：定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插入模型处理

设计意图：通过演示，板书让学生理解占位插入模型的含义，从而解决排列组合中相似的问题。（5）重排问题求幂策略：

例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？ 练习：

1、4人争夺3个比赛项目的冠军，问冠军得主的可能性。

2、某8层大楼，一楼电梯上来8名乘客，他们到各自的一层下电 梯，下电梯的方法有（）种。师：一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为(6)排列组合混合问题先选后排策略：

种

例6.有5个不同小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一球，共有多少种不同的装法。

练习：一个班有6名战士，其中正副班长各1人，现在从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加，则不同的选法有________种。师：解决排列组合的混合问题,先选后排是最基本的指导思想.设计意图：近几年高考中出现频率较多的一类问题，通过典型例题找出解决问题的思路，引导学生寻求解题办法。

(7)平均分组问题除法策略：

例8.6本不同的书，按如下方式分配，各有多少种不同的分法？ 1.分成一堆一本，一堆2本，一堆3本。2.甲得一本，乙得2本，丙得3本。3.一人得一本，一人得2本，一人得3本。4.平均分成3堆，每堆2本.5.分给甲乙丙三人，每人选2本。

练习：1.将13个球队分成3组，一组5个队，其他2组4个队，有多少分法？

2.某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为__________.师：平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。

设计意图：学生对于这类问题容易把几个问题混淆，通过解决这个例题让学生理解平均分组问题的解决方案。

（8）合理分类与分步策略：

例8.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能够唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？

师：请同学们选择3个分类标准进行讨论：

练习：从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有________.设计意图：解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

课堂检测：(考题重现）

1、(2014年广西）有6名男医生，5名女医生，从中选出2名男医生，1名女医生，组成一个医疗小组，则不同的选法共有____种。

2、（2013大纲卷）6个人排成一行，其中甲乙两人不相邻的不同排法有____种。

3、（2013北京）将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观卷，全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的2张参观卷连号，那么不同的分法种数是_____种。

4、（2014北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_____种。

5、（2014四川）6个人从左到右排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有_____种。

6、（2014重庆理）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，两个小品和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_____.小结：

回顾上述几个例题的解答过程，我们可以看到一个共同的特点，就是利用一一对应关系将一种不易直接求得其数目的计数模式转化为另一种易于计算的模式，从而收到了简化问题的效果，可以说，这种通过建立一一对应关系而化难为易的方法是数学中一种常用的方法，并且在代数问题发挥着极大的作用。另外，我们还推出了几个模型，大家回去后希继续对这个模型进行研究，掌握这个模型的各种变化，并要善于把各种具体问题归结成这个模型的某一种方式，那么解排列组合问题就有了一定的规律可循了。

六、教学评价与反思：

学习数学的过程是知识建构的过程，是思维训练的过程。本节课充分发挥学生的主体作用，通过精心设计排列组合中常见的问题，进行分类，让学生去探索，发现规律，总结方法，并能构造数学模型，通过小组合作和教师的点拨，使学生的思维拓展，本节课堂容量较大，通过学生提前做学案预习基本能顺利完成，本节课设计较合理，环环相扣比较连贯，是培养学生创新能力和课堂开展研究性学习的典型范例。

第三篇：高中数学教学论文 排列组合的解题策略（本站推荐）

高中数学教学论文：排列组合的解题策略

让学生成为“演员”——也谈排列组合的解题策略

排列组合作为高中代数课本的一个独立分支，因为极具抽象性而成为“教”与“学”难点。有相当一部分题目教者很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教者觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应。从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得“云里雾里”.针对这一现象，笔者在日常教学过程中经过尝试总结出一些个人的想法跟各位同行交流一下。

笔者认为之所以学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。

下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：

1、占位子问题例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？

① 仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。

② 转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？

③ 解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C 种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C =20（种）。这样原题也就得到了解决。

④ 学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）

⑤ 老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。

2、分组问题例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？

用心

爱心

专心 1

（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P ×P）

① 仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。

② 转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，有一位同学A将题目转换如下：从班级的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？

③ 解决问题：接着我就让同学A来提出选人的方案同学A说：先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P ×P 种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P ×P 种选法；最后由乘法原理得出结论为（P ×P）×（P ×P）（种）。（这时同学B表示反对）

同学B说：如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P ×P.（同学们都表示同意，但是同学C说太蘩）

同学C说：可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C ×C ×P（种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）

这样原题的解答结果就“浮现”出来C ×C ×P（种）。

④ 老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。

以上是我一节课两个例题的分析过程，旨在通过这种方法的尝试（教学效果比较明显），进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。

用心

爱心

专心 2

第四篇：龚前祥 排列组合解题探究

排列组合解题探究

秭归二中

龚前祥

排列组合历来是高中学生认为难学的内容，原因之一是由于它们研究的对象不具体，而且结果不便于检验.而排列组合应用广泛.如抽奖、比赛场次、任务安排、物品分配等都涉及到排列组合.很多涉及到排列组合的问题，只要加强类比分析和归纳，仍然有规律可循，收到多题一法，一法多用的效果.现就排列组合问题的求解策略做一下探究.一、排列组合应用题解法

解排列组合应用题，不能单靠现成的公式，更不能死套公式，首先需要认真审题，弄明确题中每一个字和每一句话的确切含义，弄明确题中所要做的“事情”是什么，以及怎样的结果才算完成了这样事情，然后紧紧抓住是排列问题还是组合问题，是乘法原理还是加法原理的问题进行分析，这样不仅有助于寻找正确答案的解题途径，而且还能培养我们细致深入思考问题的习惯和分析问题与解决问题的能力.例1 把4个男同学和4个女同学平均分成4组，到4辆公共汽车上劳动，如果同样的2人在不同的汽车上劳动作为不同情况看待，问有几种不同的分法？如果每个小组必须是一个男同学和一个女同学，问有几种不同的分发？如果男同学、女同学分别分组，又有几种分法？

解：（1）题中要做的“事情”是把男女8个同学混在一起平均分成4组，分配到4个汽车上去，我们把这个分配的总任务分成4个步骤来做，首先安排其中2人上第一

2辆车，有C82种分法，再由其余的6人中安排2人到第2辆车，有C6种分法，然后依次

22安排第3，4辆车分别有C4、C2种分法.由于各车分派人数是相关的，而且都必须安2222排好，由乘法原理，共有C8C6C4C22520种分法.（2）要求每一个车上必须要有一男一女，我们不妨先把4个男同学分别派上4辆车上，这显然是一个与顺序有关的排列问题，有P44种不同的方法.再把4个女同学安排上这4辆车，这自然也是一个排列问题，有P44种不同的方法.男、女安排是相关的，而且每一辆车上的男女都必须搭配好，由乘法原理，共有：

44P4P4576种不同的分法.2（3）男女分别分组，4个男同学平均分成两组，有C43种方法（这是一个与顺序无关的问题，这与把4个男同学平均分成两组分别上甲、乙两汽车的分法不同，222后者是与顺序有关的，其分法为C4（或C4，同样，4个女同学平均分C2）种分法）2成2组，也有C4/23种分法，由乘法原理，分组的方法就有339种，对于这样的每一种分法中的4个小组分别上4辆不同的车，又有P44种分法，再由乘法原理，所以共有9P44216种不同的分法.例2 分配5个人分别担任5种不同的工作，如果甲不能担任第一种工作，乙不能担任第5种工作，有多少种分配法？

为了明确起见，我们可以用a,b,c,d,e表示这5个人，那么这个问题就是5个不同 1 元素a,b,c,d,e全取的排列，求a不排在首位，b不排在末位的排列数.解法一：因a不能在首位，因此排在首位的只能是b或c,d,e，所以可将所求的排列数分为两类：

一类是b在前位，此时余下的四个元素a,c,d,e不论怎么排都合要求，这种排列

1b有P44个，另一类是先想c,d,e三个元素之一排在首位，有P3种方法.次将排在中间133个位置上，又有P最后将其它3个元素排在其它3个位置上，有P3种方法，3种方法，3这3步是相关联的，而且必须都完成，由乘法原理，这类排列共有33P3个，再由43加法原理，所求的排列共有P433P378个.故有78种合乎条件的排列法.（注）本题若不仔细分析，可能得出下面两个错误的解法：一是错误的把题设条件理解为“a与b不同时排在首、末两个位置上.”5个元素a,b,c,d,e的全排列有

3P55个，其中a排在首位，同时b排在末位的排列数有1P31个，故所求的排列有53555个元素的全排列有P这PP5P3114种.第二种是计算的错误，5种，5种包括了a为首位的P44种，也包括了b排在末位的P44种，故所求的排列有：

544P5P4P472种.现把上述两种错误解法加以改正，得到以下两种正确的解法：

解法二： 前一解法的错误在于没有把不合条件的排列都除去.因为在53bbPP53144种中，既包括a排在首位，但不能排在末位上，也包括排在末位，43但a不排在首位上，这两类排列数均为PP43，所以，正确的答案为：

5343P5P32(P4P3)78种.解法三： 后一解法的错误在于忽略了在a排列首位的P44种排列中和b排在末位的P44种排列中有公共的部分，这公共的部分就是a排在首位，同时b排在末位的3排列，这种排列数P3被减去了两次，应补加一次才行，故正确的答案为： 5443P5P4P4P378种.（注）解法一的特点是将所要求的排列先分解成若干类，然后分别计算各类的排列数，最后相加，即分解法.使用这种解法的要点是使适合所求条件的每一个排列必须属于而且只能属于所分的某一类；解法二与解法三的特点都是从所有的排列中排除不合要求的排法，即排除法.使用这种解法的要点是必须把不合要求的排法排除干净，既不能排除多了，也不能排除少了.例3 从1,2,3,,100中取两个数相乘，其积能被3除尽的有几对？

“据两数之积能被3除尽的充分必要条件是至少有一个因数是3的倍数”.必须调查在1，2，3，…，100这100个整数中有多少个是3的倍数.解法一：（分解法）

在1,2,3,,100这100个数中3的倍数有33个，不是3的倍数的数有67个，两数之积能被3整除的有而且只有下面的两情况：

11（1）所取2个数中有一个是3的倍数，另一个不是3的倍数，故共有C33 对； C672（2）所取两个数都是3的倍数，共有C33对.112由加法原理，能被3整除的数共有C33C67C332739对.解法二：（排除法）

22先由1,2,3,,100这100个数中，任取其两数之积有C100个，在这C100个整数中，222不能被3整除的有而且只有C67个必须排除，所以合乎条件的有C100C672739对.二、“插空法”应用系列

所谓“插空法”，是指先排定某些元，再用余下的元插空的排法，这是大家很熟悉的方法.根据其应用的广泛性，可以归纳出十个系列.（1）相邻排列与插空

例

七人排一排，要求甲、乙两人之间正好隔两人的不同排法共有多少种？ 解：先在甲、乙两人之间插入两人排定，然后将这四人视作一个元，与其余三

24人一起排列，共有P22P5P4960种.（2）不全相邻排列与插空

例

由1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中，1，2，3不全相邻的五位数有多少个？

解：先排1，2，3成四个空，再用4，5去插空，分为4与5连在一起或单个两种情况去插空.且不把4，5同时排在首末两位.故所排的五位数共有3212P3[P2P2(P42)]84.本题的间接求解是：在1，2，3，4，5的全排列中去掉1，2，3全相邻的那些全

533排列，所排的五位数个数是P5P3P384.（3）全不相邻与插空

例

要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？

解：先排6个歌唱节目的不同排法有P66种；再用4个舞蹈节目插空，共有P66P74种排法.（4）部分有序排列与插空

E例

A,B,C,D,五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（可以不相邻），那么不同的排法有多少种？

3解：先排定C,D,E三人有P然后由A,B分单个或两个并一起插4个空，3种方法；21321共有C4种插空方法.由乘法原理，共有排法PC43(C4C4)60种.（5）重复排列与插空

例

由1，2，3，4，5组成的含三个相同数字的五位数共有多少个？

3解：先取3个不重复的数字，取法有C5种，令某一个数字重复3次且排成一排1的排法是C3种；然后用不重复的两个数字插4个空，分单个或两个并一起插的方法31221有P42P42P41种，由乘法原理，共有五位数C5C3(P4P2P4)600个.（6）圆排列与插空

例

四个大人和四个小孩围坐一圆桌，大人之间，小孩之间各不相邻的坐法有几种？

4解：四个小孩的圆排列为3!6种；大人插空方法有P424种.共有坐法 3 624144种.（7）相间抽取与插空

例

在前100个自然数中抽取互不相邻的20个数，抽取方法共有多少种？ 解：取80个相同的黑球排成一排，又取20个相同的白球去插黑球相间（含两端）20的81个空，有C81种.对于每种插法，把这100个球从左到右赋值为1，2，3，……，20100，便得一个合条件的抽法.故共有C81种.（8）不定方程与插空

例

已知方程xyz15，求自然数解的个数.解：x,y,zN，且其和为15，构造如下模型：把15个1排成一排成14个相间空（不含两端），用两个“0”插空，分15个1成3组，每组里分得1的个数依次记为x,y,z.每个分法唯一对应着一个自然数解.2故自然数解的个数共有C1491个.（13）有序分拆与插空

例

上一个有10级的台阶，每步可上1级或者2级，共有多少种上台阶的方法？ 解：这一实际问题就是把10写成1或2之和，且加数（含顺序）不全相同.求共有多少个分拆方法.以含有1的个数分类：

含10个1时，有1种分拆方法；

1含8个1时，则含一个2，用2去插9个空的插法有C9种，每个插法对应一个分拆，此时有9种分法；

含6个1时，则有2个2，用2个2去插7个空且分单一或并一起插，得分法12C7C728种；

123含4个1时，则有3个2，得分法C5PC5535种；

1含2个1和4个2时，得分法C5C5215种； 含5个2时，有1种分法.则共有19283515189种.可见,只要我们抓住问题的本质,找准突破口,解起题来就得心应手了.

第五篇：集合常见解题思路

1、设集合M{x|mxm}，N{x|nxn}，并且M N都是集合{x|0x1} 的子集,如果b-a叫做集合{x|axb}的长度,那么集合M3413N长度的最小值是多少? 解：首先，M、N均是{x/0＜=x＜=1}的子集，则有m=>0,m+3/4=<1,n-1/3>=0,n＜=1.从而有0<=m<=1/4,1/3<=n<=1.假设m>=n-1/3,则有m+3/4>n.故M,N交集为{x/m＜=x＜=n},其长度为n-m.取m最大，n最小即可。n=1/3,m=1/4.长度为1/12

同理，设m<=n-1/3，此时无法比较m+3/4和n的大小。继续假设m+3/4>n，M,N交集为{x/n-1/3＜=x＜=n},长度为1/3.再假设m+3/4

故最小为1/12