第一篇：总结离散数学和概率论的应用
总结离散数学和概率论的应用
马涛
2901312017
摘要：离散数学、概率论是工科基础课程，它们都是后续课程的准备课程，而且各自在实际的生产生活中都有着重要的应用。总结各门课程各部分在实际生活中的应用，指出它们在相关领域的重要性。关键词：离散数学、概率论
0引言
离散数学是现代数学的一个重要分支，也是计算机科学与技术的理论基础，所以又称为计算机数学。首先它是数据结构，软件技术基础，操作系统，人工智能等计算机科学专业的准备课程；其次，离散数学还是计算机科学的重要研究工具。概率论作为数学重要的一个分支，在生活及经济领域有重要作用，而且是学习随机信号分析，信息论等课程前的必修课程。
1离散数学的应用
1.1在计算机学科中的应用
离散数学把计算机科学中所涉及到的研究离散量的数学综合在一起，进行较系统的、全面的论述，为研究计算机科学的相关问题提供了有力的工具。计算机要解决一个具体问题，必须运用数据结构知识。对于问题中所处理的数据，必须首先从具体问题中抽象出一个适当的数学模型，然后设计一个解此数学模型的算法，最后编出程序，进行测试、调整直至得到问题的最终解答。而寻求数学模型就是数据结构研究的内容。寻求数学模型的实质是分析问题，从中提取操作的对象，并找出这些操作对象之间含有的关系，然后用数学的语言加以描述。数据结构中将操作对象间的关系分为四类：集合、线性结构、树形结构、图状结构或网状结构。数据结构研究的主要内容是数据的逻辑结构，物理存储结构以及基本运算操作。其中逻辑结构和基本运算操作来源于离散数学中的离散结构和算法思考。离散数学中的集合论、关系、图论、树四个章节就反映了数据结构中四大结构的知识。1.2在通信领域的应用
代数系统在计算机中的应用广泛,例如有限机,开关线路的计数等方面。但最常用的是在纠错码方面的应用。在计算机和数据通信中,经常需要将二进制数字信号进行传递,这种传递常常距离很远,所以难免会出现错误。通常采用纠错码来避免这种错误的发生,而设计的这种纠错码的数学基础就是代数系统。纠错码中的一致校验矩阵就是根据代数系统中的群概念来进行设计的,另外在群码的校正中,也用到了代数系统中的陪集。
1.3在人工智能中的应用
人工智能是计算机学科中一个非常重要的方向,离散数学在人工智能中的应用主要是数理逻辑部分在人工智能中的应用。数理逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑,命题逻辑就是研究以命题为单位进行前提与结论之间的推理,而谓词逻辑就是研究句子内在的联系。大家都知道,人工智能共有两个流派,连接主义流派和符号主义流派。其中在符号主义流派里,他们认为现实世界的各种事物可以用符号的形式表示出来,其中最主要的就是人类的自然语言可以用符号进行表示。语言的符号化就是数理逻辑研究的基本内容,计算机智能化的前提就是将人类的语言符号化成机器可以识别的符号,这样计算机才能进行推理,才能具有智能。由此可见数理逻辑中重要的思想、方法及内容贯穿到人工智能的整个学科。
1.4在现实生活中的应用
离散数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理、交通规划、战争指挥、金融分析等领域都有重要的应用。正是由于离散数学的重要作用，美国已将离散数学列为21 世纪应重点发展的三个数学领域之一，在美国有一家用离散数学命名的公司，他们用离散数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名离散数学家利用离散数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。
2概率论的应用
2.1在经济学中的应用
假如某个企业拥有三支能够赢得利润相互独立的股票，同时，三支股票能够赢得利润的概率分别为0.7、0.5、0.4，求：(1)从三支股票中任意取出两支股票，有大于等于一支的股票能够赢得利润的概率；(2)在三支股票中，有大于等于一支的股票能够赢得利润的概率。
设A、B、C 分别表示三支股票能够赢得利润，A、B、C 是相互独立的。P(A)=0.7，P(B)=0.5，P(C)=0.4，则由乘法公式与加法公式：
(1)从三支股票中任意取出两支股票，有大于等于一支的股票能够赢得利润等价于三支股票至少有两支能够赢得利润的概率。P1=P(AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)+P(B)P(C)-2P(A)P(B)P(C)=0.7×0.5+0.7×0.4+0.5×0.4-2×0.7×0.5×0.4=0.55(2)在三支股票中，有大于等于一支的股票能够赢得利润的概率。
P2=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=0.7+0.5+0.4-0.7×0.5-0.7×0.4-0.5×0.4+0.7×0.5×0.4 =0.91 通过上面的计算，能够看出：投资三支股票能够赢得利润的概率要比投资两支股票能够赢得利润的概率大，也就能够推出，投资许多支股票能够赢得利润的概率要比投资少数的几支股票能够赢得利润的概率大。因此，在经济分析中进行股票的投资决策时，可以通过投资多支股票来达到分散风险的目的。2.2 在环境保护中的统计与概率 在环境保护中，统计与概率也在发挥其作用。
例如：根据某地环境保护法规定，倾入河流的废水中某种有毒化学物质含量不得超过3（ppm）。该地区环保组织对沿河各厂进行检查，测定每日倾入河流的废水中该物质的含量。某厂连日的记录为：2.9，3.1，3.2，3.3，2.9，3.5，3.4，2.5，4.3，2.9，3.6，3.2，3.0，2.7，3.5。试在显著水平为0.05 上判断该厂是否符合环保规定（假定废水中有毒物质含量。分析，该题可以利用假设检验的方法做出判断。因为该题没有给出方差，可以求出样本的方差S=0.421，用统计量,而拒绝域为C{t≥(14)}，显然样本观察值落入拒绝域C 中。因此在显著水平为0.05 上认为该厂废水中有毒化学物质含量超标，不符合环保规定，应采取措施来降低废水中有毒物质的含量。通过这个例子知道，统计与概率知识是进行环保，执行政策离不开的有力工具。
2.3 在保险业务中的应用
随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。保险业越来越多地走进人们的生活。例如：在保险公司里有2 000个同龄人参加人寿保险，参加保险者在1 年的第1 天交付20 元保险金。若在1 年内保险者死亡，其家属可从保险公司领取3 000 元赔偿费。设在1 年里这些人的死亡率为0.25%。
（1）求保险公司1 年中至少盈利10 000 元的概率。
（2）求保险公司亏本的概率，求保险公司1 年内的平均盈利。
解：设参加保险1 年内的死亡人数为随机变量ξ，则ξ～B（2 000,0.0025）（1）因为2 000·20-3 000≥10 000 可解得0≤ξ≤10 保险公司1 年中至少盈利10 000元的概率为P（0≤ξ≤10）=0.986 3，即保险公司以98.63%把握至少盈利10 000元。（2）因为3 000ξ>40 000 可解的ξ≥14 保险公司1 年内亏本的概率为P（ξ≥14）=0.000 7 由此可见保险公司亏本的概率是极小的。（3）保险公司1 年内的平均盈利为
E（40 000-3000ξ）=40 000-3000 E（ξ）=40 000-3 000·2 000·0.0025=25 000（单位：元）保险公司正是看清每年能平均盈利才发展下去的 结束语
离散数学已经成为计算机学科的核心课程，在计算机各学科中都有重要的应用。而概率论更是在许多方面都有应用，成为经济等领域的最主要数学工具，为生产生活带来诸多便利。做为数学学科的两个重要分支，概率论和离散数学都得到极快的发展和及广泛的应用，虽然是基础性课程，但无论在生产生活中，还是后续学习中都有很重要的作用。
参考文献
[1]傅彦，顾小丰.离散数学及其应用[M].高等教育出版社，2009 [2]徐全智，吕蜀.概率论与数理统计[M].高等教育出版社，2010 [3]陈敏，李泽军．离散数学在计算机学科中的应用．电脑知识与技术．2009．1：251—252 [4]林志兴.概率与直觉［C］.数理统计与管理，2009，
第二篇：离散数学总结
一、课程内容介绍：
1．集合论部分： 离散数学学习总结
集合论是离散数学中第一个抽象难关，在老师的生动讲解下，深入浅出，使得集合论成了相当有趣的知识。只是对于以后的应用还不是很了解，感觉学好它很重要。直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如： 方程x2－1＝0的实数解集合；
26个英文字母的集合；
坐标平面上所有点的集合；
集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。
表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法，如果两个集合的交集为，则称这两个集合是不相交的。例如B和C是不相交的。
两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交： A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An}
2．关系
二元关系也可简称为关系。对于二元关系R，如果
例如R1={<1,2>,
给出一个关系的方法有三种:集合表达式，关系矩阵和关系图。设R是A上的关系，我们希望R具有某些有用的性质，比如说自反性。如果R不具有自反性，我们通过在R中添加一部分有序对来改造R，得到新的关系R'，使得R'具有自反性。但又不希望R'与R相差太多，换句话说，添加的有序对要尽可能的少。满足这些要求的R'就称为R的自反闭包。通过添加有序对来构造的闭包除自反闭保外还有对称闭包和传递闭包。
3．代数系统
代数结构也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数系统。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实际世界中的离散结构。例如在形式语言中常将有穷字符表记为∑，由∑上的有限个字符（包括0个字符）可以构成一个字符串，称为∑上的字。∑上的全体字符串构成集合∑*。设α,β是∑*上的两个字，将β连接在α后面得到∑*上的字αβ。如果将这种连接看作∑*上的一种运算，那么这种运算不可交换，但是可结合。集合∑*关于连接运算就构成了一个代数系统，它恰好是抽象代数系统--半群的一个实例。抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数的知识。代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统。
构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。请看下面的例子。
整数集合Z和普通加法＋构成了代数系统〈Z,＋〉，n阶实矩阵的集合Mn(R)与矩阵加法＋构成代数系统〈Mn(R),＋〉。幂集P(B)与集合的对称差运算也构成了代数系统
。类似这样的代数系统可以列举出许多许多，他们都是具体的代数系统。考察他们的共性，不难发现他们都含有一个集合，一个二元运算，并且这些运算都具有交换性和结合性等性质。为了概括这类代数系统的共性，我们可以定义一个抽象的代数系统
为了研究抽象的代数系统，我们需要先定义一元和二元代数运算以及二元运算的性质，并通过选择不同的运算性质来规定各种抽象代数系统的定义。在此基础上再深入研究这些抽象代数系统的内在特性和应用。
4．图论部分
图论是作为我们计算机专业的一门很有用处的知识，也是新兴的一个数学分支，在计算机迅速发展的同时，图论也迅速发展。因此，图论给我们以一种神奇的感觉，在学习图论中，老师总是把图论分析得很透彻，学起来很有趣，同时也很简单。图论在数据结构方面的应用极其广泛，对我们学计算机专业的人来说，是一门必须要学好的知识。
一个图可以用一个图形表示，定义中的结点对可以是有序的，也可以是无序的，若边所对误码的结点对（a,b）是有序的，刚称L是有向边，a称为L的起点，b称为L的终点，若边L所对应的结点对（a,b）是无序的，则称L是无向边。
5．数理逻辑部分
数理逻辑作为离散数学的最后一部分，充满着对逻辑思维的挑战，同时锻炼了我们思考问题的严密性，当然最重要的是学会如何用数学方法去分析逻辑问题。
数理逻辑又称符号逻辑，它是用数学方法支研究抽象思维的规律的应用学科，1.命题：把能判断真假的陈述句称为命题，作为命题的陈述句表达的判断结果称为命题的真值。命题公式、对偶与范式、命题演算的推理等等。
二、学习总结与体会
在本学期一开始学习这门课程时，老师就明确的告诉我们这门课程很重要，是我们大学中专业课程的核心课程，同时由于难度系数较高，故本门课程较为难学。总的来说，一个学期下来，自认为比较好地掌握了离散数学的基础知识，并在平时的各方面得到了很好的应用。
对于离散数学，在刚开始学习的不知道他的重要性，以为他与高等数学一样，或者学习的时候的时候，一定要有高等数学的知道，其实不然，当我开始学习之后才知道，只有掌握了高等数学以及线性代数等相关知道才能更好的学习离散数学。而且，作为计算机科学专业的学生，离散数学当中所涉及到相关知道，对于我们是至关重要的。比如，关系、群、路径、图的矩阵表示、树等内容，都是在计算机程序设计以及相关
信息当中要用到的内容。
所以学习了离散数学课之后，我的收获是很多的。对于一些数学相关的知识有了不同的理解，学会了用不同的方法去解决程序设计方法以及将计算机和数学有机联系起来，不过在学习的过程中也遇到了一些难题，最为突出的，就是书本上的和老师讲解的都还是比较的简单，自己在课堂上也能听懂，但是到具体的应用就很困难了。
特别是不看书，就很多的东西都还给了老师，所以，我会严格的要求自己，学过的东西，都要下来练习，尽量的多做一些习题，尽量的把学过的数学基础知识练熟悉，这样才能够提高自己专业知识，提高自己解决问题的能力。
有一点让我遗憾的是没有学完这门课程，但在这门课程快要结束的时候，我总结了学习中遇到的一些问题，最为突出的是，书本上的知识与老师讲的都比较容易懂，可是在真正运到实际生活中时，就不能将老师所讲的知识点与书上所罗列的。因此，针对这一情况，在以后的学习中我会严格要求自己，多参加实践，只有这样，才能够提高运用知识，解决问题的能力。
三、教学建议
1.在课程开设方面，对于离散数学等相关基础、重要的课程，应当在大一或大二开设，不应放在大三下期，这样对于我们学习时也有一定的帮助。我希望这一本书上能多一些练习题，以便我们学过了，下课了也有很多的练习题做，来巩固课堂上的新内容。同时，我也希望在有些程序部分，能给出详细的注释语句。
2.相互学习，教师应当努力使现代教学手段与传统教学手段有机结合，相互取长补短。在教学实施中既能发挥教学手段的优势，又能善于运用传统方式，使教学效果达到最佳。建议能给一些学生练习的时间，这样我们才能对学过的新内容有一个巩固的时间，其实这样更有助于以后的教学，前面的基础知识打牢了，后面的学习更愉快。
3.提升技能：教师应重新认识离散数学与计算机联系。同时，要始终把学生放在讲课对象的中心位置，特别是在课余时间，建议由老师组
织学生进行分组，大家共同学习，由于现今的大学学习较为分散，很多时候同学们都不同在课堂上完成任务，只能下来之后继续完成，所以组建学习小组后，通过完成任务等方式，让学生学习到更多的知识点。学会更多的内容。
4.任务引领：充分调动学习学习积极性让学习在完成任务的过程当中，充分学习到多媒体课件的制作以及多媒体信息的处理等等。
第三篇：《离散数学》课程总结
《离散数学》学期总结
转眼之间，这学期要结束了。我们的离散数学，这门课程的学习也即将接近尾声。下面就是我对这门课一些认识及自己的学习心得。
首先我们这门课程离散数学到底包含了哪几大部分？每部分具体又有什么内？这门课程在计算机科学中有什么地位？这门课程在我们以后的学习生活中，以及在将来的工作中有什么帮助？下面我将以上几个方面具体谈一谈并将总结一下自己本人在这门课程学习过程中遇到的一些问题和心得体会。
这门课程有数理逻辑，集合论，代数系统和图论四部分。这四大部分通常被称为离散数学的四大体系。其中每一部分都是一个独立的学科，内容丰富。而我们离散数学中的内容是其中最基本，最重要且和计算机科学最密切相关的内容吸收到离散数学中来，并使它们前后贯通，形成一个有机整体。这门课的主要内容有命题逻辑、谓词逻辑，属于数理逻辑部分，集合论中有集合、二元关系、函数，代数系统包含代数系统基础、群、环、域以及格和布尔代数的知识（这部分我们没有涉及）。
那么这门课程在计算机科学中有着什么样的地位呢，这门课程是计算机科学专业中重要的专业基础课程，核心课程，可以这么说，离散数学，既是一门专业基础课，是一门工具性学科。这门课讲授的内容，与后续专学习业密切相关。在这门课里我们讲授了大量的计算机学科专业必要的基本概念，基本理论和基本方法。为我们以后的学习，工作打下良好基础。在算法设计，人工智能，计算机网络，神经网络，智能计算等学科中有着重要的作用。在计算机科学中有着广泛的应用。通过这门课可以对我们计算机算法的理解和逻辑思维得到提高。
那么我们具体学了什么内容呢？
（一）首先集合论是整个数学的基础，（不管是离散数学还是连续数学）如果没有专门学过，那么出现在离散数学中还是很合适的。至于由集合论引出的二元关系，函数的内容，也是理所应当的。
数理逻辑是一个让人眼前一亮的东西。我第一次发现，原来有些复杂的推理问题是可以通过“计算”的方法解决的。
数理逻辑，又叫符号逻辑。就是依靠专门的数学符号去推导过程对的科学。在推导过程中，我们探索出一套完整的规则。这个规格就是我们的推理规则。竟然为了确保这套规则的，准确性。防止二义性，以至于可以将公理理论公式化，依据各项规则，证得论证的有效性。
这一章里，我们首先学习了，命题逻辑的基本概念。并和一些逻辑连接词。包括真值连接词的否定，真值连接词合取，析取。我们可以用，符号形式写出各种命题，并利用真值表来判断命题的真假。用真值表来判断，命题是十分有效方便的。所以，对于真值表的记忆是十分重要的。命题公式的表示，也是用符号话的需要来给出的。随后我们学习了永真式和永假式，对于永真式和永假式的证明，用制表技术可以方便的给出。对于永真式，因为原子命题变元，不论表示什么命题，是真的还是假的，它总是真的。所以它反映的是命题逻辑的逻辑规律。所以我们着重研究永真式。下面，在一个公式中，如果用另外的是替换其中某个或某些原子命题变元，就会得到全新的公式，这个全新的公式，和原公式什么关系呢？进而引出了我们的代入规则和替换规则。为了更方便的证明各种命题，我们学习了，等价和蕴涵的各种定理，还有范式和范式的判定问题，其中主要是主析取范式和合取范式的概念，定理，证明。证明过程我们在课上都已经证明过了。在这一章还学习了三段式的证明，此证明方法在以后的学习过程中经常使用。
谓词逻辑就是对命题和推理做深一步的研究的学习。在谓词演算中，原子命题分为谓词和个体两部分。谓词逻辑就是将命题的内涵，通过个体和谓词中的表现出来，把同一类命题，用命题函数表示，增强其表达能力。在这里要注意的是，命题还是不是命题，因为其没有确定的真假异议，但是可以将一个命题函数转化为问题，方法有二，（1）用个体域中的特定个体去替换个体变元；（2）这个体域上，将命题函数量化。所谓量化，就是用量词的命题函数中的个体变元进行约束，由此引入了量词的概念。量词分为全称，量词与存在量词，量词反映了个体域与量词间的真假关系。此外，在谓词逻辑中，个体的个体域也是很重要的。将一个命题用谓词，逻辑符号化时，通常经以下步骤（1）确定特性谓词及其他谓词。（2）确定量词。（3）量词与逻辑连接词的搭配。有了量词的概念后，谓词逻辑表达能力就让广泛了，它所刻画的语句也也更为普遍，更为深刻。
代数系统，在计算机科学中也非常重要。在计算机科学中带出系统科，用作研究，抽象数据结构的性能及操作，也是程序设计语言的理论基础。
图论这一章里，我们学习的图并不是几何学中的图形。而是客观世界中某些事物具体联系的一个数学抽象。用点代表事物，用边表示各事物间的二元关系。这一章刚开始学的概念很多，让我感觉有些乱。所以在课后要自己多下功夫了。
然后就是我在学习中出现的一些问题及解决方法了，今天，在学习数理逻辑的时候，觉得离散数学这门课程很简单。但是随着学习的进一步深入，我发现我的想法是错误的。对于后面的一些推理论证，自己缺乏思路。虽然，老师在课上也教给了我们推理的方法，但是，还是忍不住去看书上的证明。这一点在随后的学习中，我一般尽量克服，也是在老师的帮助下，在证明时尽量自己想，憋自己一下，让自己的思维得到训练，自己的推理论证能力得到提高。进而使综合素质，都要提高。
再说一下李勇老师的讲课吧，讲的非常棒。首先它会对每一部分的内容，及，基本概念给大家进行讲解。然后就是强调自己的推理能力。每节课都会让我们自己推理，验证定理。从基础出发，从小定理验证到大定理，由特殊推广到一般。一般都会让我们从两三个开始验证，逐步得到结论，发现规律。一次，李勇老师对，课堂教学有着自己深刻的理解，对这门课的教学方法，教学模式有着独特的看法。还有就是李勇老师，朋辈式的教学方法，在教学过程中，我们共同进步，教学相长，这样是非常好的。
对于老师每节课让我们自己推理的使用模式，我表示非常赞同。我认为，最好的学习办法就是找到合适自己解决问题的方法。学习任何课程都是为了解决实际问题。离散数学也是如此，有了对概念的理解，有了正确的思考问题的方式，解决问题的时候就不会走弯路了，也就是说，基本的解决问题的方法就自然而然的掌握了。对于我们从小缺乏锻炼的推理能力，在这里得到了非常高的提升。
第四篇：离散数学学期总结
200820174036何志伍计算机科学与技术
离散数学学期总结
离散数学是描绘一些离散量与量之间的相互逻辑结构及关系的学科。它的思想方法及内容渗透到计算机学科的各个领域中。因此它成为计算机及相关专业的一门重要专业基础课。主要内容包括：集合论、关系、代数系统、图论和数理逻辑五个部分。结构上，从集合论入手，后介绍数理逻辑，便于学生学习。为了能很好的消化理解内容，列举了大量的较为典型、易于接受、说明问题的例题，配备了相当数量的习题，也列举了部分实际应用问题。
一． 知识点
第一章.集合论
集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含集合、元素和成员关系等最基本数学概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。
本章主要介绍集合的基本概念、运算及幂集合和笛卡尔乘积。这章是本书的基础部分，要学好离散数学就必须很好的掌握集合的内容。集合论的概念和方法已经渗透到所有的数学分支，因而各数学分支的完整体系，都是在所取集合上。
第二章．关系
关系在我们日常生活中经常会遇到关系这一概念。但在数学中关系表示集合中元素间的联系。本章主要学习关系的基本概念、关系的性质、闭包运算、次序关系、等价关系，本章学习的重点：关系的性质、闭包运算、次序关系。
关系这一章是集合论这一章的延伸，对集合论的理解程度对学习关系这一章是非常有影响的。而关系又是学习下一章代数系统必不可少的，所以本章是非常重要的章节。
第三章．代数系统
代数结构也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数系统。抽象代数研究的中
心问题就是一种很重要的数学结构--代数系统：半群、群等等。
本章主要学习了运算与半群、群。学习本章需要学会判断是否是代数系统、群和半群，以及判断代数系统具有哪些运算规律，如：结合、交换律等及单位元、逆元。这些都在我们计算机编码中体现出重要的作用。
第四章．图论
图论〔Graph Theory〕起源于著名的柯尼斯堡七桥问题，以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
本章主要学习图的基本概念、路径与回路、图的矩阵表示、平面图和二部图、以及树。学习的重点：图的矩阵表示、平面图和二部图、以及树。
第五章．数理逻辑
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支。是用数学方法研究逻辑或形式逻辑。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。数理逻辑与计算机科学有着密切的关系，它已成为计算机科学的基础理论。
本章学习的重点：命题及联结词、命题公式及公式的等值和蕴含关系、对偶与范式、命题演算的推理规则、谓词逻辑简介。
二．学习情况
离散数学作为一门必修课，其地位是非常重要的。学习好这门课对于我们也是颇有益处。而且离散数学还是一门有很深内涵的学科。
集合论是本书的这一章节，我们在以前已经学习过集合，为什么现在还要学习呢，这就足见集合在离散数学这门课程中的重要，把集合的知识作为一个基础的知识点，来作铺垫。所以说要想学习好离散数学就必须先将集合的知识掌握好。
关系是集合知识点的延伸，关系是相对于集合而言的。关系也是一个重要的知识点，对后续知识的学习也有重要的作用。后面的代数系统就必须依赖关系才存在的。如果一个系统里不存在关系，那么这个系统也是不存在的。系统里必然存在某种关系，这才使系统存在有意义。
代数系统的学习是对前面的集合论与关系的以个总结。学习了集合论与关系有什么用，在这一章节我们就可以看出来。通过学习这一章，对前面两章有了更深的理解，也对前面所学知识有了一个总结。但同时本章也是本书中比较难以了理解的章节，在本章的学习中遇到一些问题，但是在同学的帮助下都一一解决了。
图论的学习对于我们计算机专业的学生来说是非常的重要的，因为它与我们
计算机专业的关系最密切。在学习中，图不再是我们以前接触的图，而是学习的事如何在点与点之间连结的问题。这对于发散我们的思维有很大的帮助。
数理逻辑是本书最重要的章节，它是培养我们的抽象思维，让我们能在其他学科能够运用一定的思维方式来解决问题。对于计算机专业来说，数理逻辑提高了计算机的工作效率。数理逻辑在计算机专业方面起到了重要的作用。
三．学习体会
学习了离散数学这门课程，对于一个爱好数学的人来说，我是非常受益的。同时，离散数学作为一门与计算机学科相关的专业基础课，对我学专业知识也有很大的帮助。
学习离散数学，可以培养我们的逻辑思维方式，对于我们学习计算机方向的学生来说是非常有用的。尤其是在计算机编程方面对逻辑思维就有一定的要求。离散数学这门课程，是一门比较难学的课程，它有太多的概念、定义，需要我们有很好的记忆力，但是要完全记住这么多的概念、定义是非常困难的。所以说我们在有好的记忆力之外，还要运用理解记忆的方法来解决，这样我们就不必花费过多的时间和精力去记忆这么多的概念和定义了。离散数学作为一门理科学科，在我看来最好的学习方法就是多动手、多做题，在做题得过程中，慢慢积累做题得经验，同时也可以对概念和定义有一个更深层次的理解。
学习各个学科都有其各自的学习方法与思维方式，只有运用对了学习方法才能更好的学习这门课程。学习一门课程都是为了解决实际问题，学习离散数学也不例外。学通了一门课程才能在解决问题的时候不会走弯路。
上面说到了离散数学是一门比较难学的课程，在学习的过程中，也肯定会遇到许多的问题，比如在第三章学习的代数系统中的半群与运算，关于单位元与逆元素这两个知识点遇到一些问题。但是通过反复的理解概念及做练习题和与同学交流，最后还是解决了这些问题。当解决问题的时候心中有一种成就感。
学习离散数学的过程中，也有许多的乐趣。但在轻松学习的过程中，还得从中学到东西，学到道理。我在学习这门课程之后，对我的专业知识方面有了很大的帮助，让我的思维有了进一步的发散，使我在其他的学科中受益匪浅。
第五篇：概率论章节总结
第一章考核内容小结 种类相加，步骤相乘 排列（数）：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作或。的计算公式为：
排列数
例如：
（四）组合（数）：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。
=45 例如：
组合数有性质
（1）例如：，（2）
，（3）
（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生-------（3）A，B，C三事件都不发生--------（5）A，B，C三事件只有一个发生--------
（2）A，B，C三事件都发生-------ABC
（4）A，B，C三事件不全发生---------
（6）A，B，C三事件中至少有一个发生-------A+B+C（1）A，B都发生且C不发生
（2）A与B至少有一个发生而且C不发生
简记AB+AC+BC
简记
（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生）（4）A，B，C中最多有一个发生（5）A，B，C中恰有两个发生（6）A，B，C中至少有两个发生）（7）A，B，C中最多有两个发生
（一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式
计算简单的古典概型的概率
（二）知道事件的四种关系
（1）包含：表示事件A发生则事件B必发生
（2）相等：
（3）互斥：与B互斥
（4）对立：A与B对立AB=Φ，且A+B=Ω
（三）知道事件的四种运算
（1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生 性质：（1）若，则A+B=A（2）且
（2）事件积（交）AB表示A与B都发生，则AB=B∴ΩB=B且
性质：（1）若
（2）
（3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生
∴
（4）
性质
，且A-B=A-AB 表示A不发生
（四）运算关系的规律
（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律（AB）C=A（BC）
（3）A（B+C）=AB+AC叫分配律（A+B）（A+C）=A+BC
叫对偶律
（4）
（五）掌握概率的计算公式
（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）
特别情形①A与B互斥时：P（A+B）=P（A）+P（B）
②A与B独立时：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）
③
推广P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）
（2）
推广：
因为，而，而BA与明显不相容。
特别地，若所以当
，则有AB=A
当事件独立时，P（AB）=P（A）P（B）
P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）
与B，A与，与
均独立
性质若A与B独立
（六）熟记全概率公式的条件和结论
若A1，A2，A3是Ω的划分，则有
简单情形
熟记贝叶斯公式
若已知，则
（七）熟记贝努利重复试验概型的计算公式
第二章考核内容小结
（一）知道随机变量的概念，会用分布函数求概率
（1）若X是离散型随机变量，则 P（a （2）若X是连续型随机变量，则 P（a P（a≤x＜b）=F（b）-F（a） °P{X≤b}=F(b).P（a °P{X>b}=1-P{X≤b}=1-F(b) （二）知道离散型随机变量的分布律 会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数，且若 则 （三）掌握三种常用的离散型随机变量的分布律 （1）X～（0,1） P（x=k）= （2）X～B（n,p） （3）X～P（λ）P（x=k）= 并且知道泊松分布是二项分布当n很大，p很小的近似值，且λ=np （四）知道连续型随机变量的概率密度概念和性质，概率密度和分布函数的关系及由概率密度求概率的公式。 （1）概率密度f（x）的性质 ①f（x）≥0 ② （2）分布函数和概率密度的关系 （3）分布函数的性质 ①F（x）连续，可导 ②F（－∞）＝0，F（+∞）＝1 ③F（x）是不减函数。（4）概率计算公式： ①P（a ②P（a （五）掌握连续型随机变量的三种分布 （1）X～U（a,b） X～f（x）= X～F（x）=（2）X～E（λ） ①X～f（x）= ②X～F（x）=（3）X～N（0,1） ①X～ ②X～ 性质：Φ（-x）=1-Φ（x）P（a ①X～ ②P（a （六）会用公式法求随机变量X的函数Y＝g（x）的分布函数 （1）离散型 若 且g（x1）,g（x2）, …g（xn）不相同时，有 （2）连续型 若X～fX（x）,y=g（x）单调，有反函数x=h（y）且y的取值范围为（α,β），则随机变 量X的函数Y=g（x）的概率密度为 当α=－∞β=+∞时，则有 简单情形，若Y＝ax+b则有 Y～fY（y）= 在简单情形下会用公式法求Y＝ax+b的概率密度。 （3）重要结论 （i）若X～N（μ,σ2），则有Y＝ax+b时 Y～N（aμ+b,a2σ2） （ii）若X～N（μ,σ2），则有Y＝ 叫X的标准化随机变量。 第三章内容小结 （一）知道二维随机变量的分布函数的概念和性质。（1）（X，Y）～F（X,Y）=P（X≤X,Y≤Y） =P（-∞＜X≤X,-∞＜Y≤Y）（2）F（X,Y）的性质（ⅰ）F（+∞，+∞）=1（ⅱ）F（-∞，Y）=0，F（X，-∞）=0 F（-∞，-∞）=0（3）X～FX（X）=F（X,+ ∞） Y～FY（Y）=F（+∞,Y） （二）离散型二维随机变量（1）（X，Y）的分布律 性质 （2）X的边缘分布 证明 P1·=P11+P12+…P1N，P2·=P21+P22+…P2N，… pm·=pm1+pm2+…pmn （3）Y的分布律 证 P·1=P11+P21+…pm1，P·2=P21+P22+…pm2，… P·N= P1N+P2N+…+pmn （4）X，Y独立的充要条件是： X，Y独立P（X=xi,Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj） （i=1,2,…,M；j=1,2,…,N）判断离散性随机变量X，Y是否独立。 （5）会求 Z=X+Y的分布律 （三）二维连续型随机变量（1）若 已知 f（X,Y）时，会用上式求F（X,Y） 性质 （2） 已知F（X,Y）时，会用上式求f（X,Y） （3）会用公式 求（X，Y）在区域D上取值的概率。 （4）会用公式 分别求X，Y的概率密度（边缘密度）（5）会根据X，Y独立 判断连续型随机变量X，Y的独立性。（6）知道两个重要的二维连续随机变量 ①（X，Y）在D上服从均匀分布 S是D的面积 X，Y独立（7）若X，Y独立，且 则 第四章小结 本章的考核内容是 （一）知道随机变量的期望的定义和计算公式，性质。 （1）离散型： （2）连续型： （3） （4） 期望的性质：（1）E C=C（2）E（kX）=kEX（3）E（X±Y）=EX±EY（4）X,Y独立时，E（XY）＝（EX）（EY） （二）知道方差的概念和计算公式以及方差的性质 ∴X是离散型随机变量时 X是连续型随机变量时 （2）计算公式 （3）性质 ①DC＝0 ② ③D（X±Y）=DX+DY±2E[(X-EX)(Y-EY)] =DX+DY±2Cov(X,Y) ∴X,Y独立X,Y不相关时D(X±Y)=DX+DY Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)] 计算公式Cov(X,Y)=E(XY)－(EX)(EY) 相关系数 定理X，Y独立 X，Y不相关（） 特别情形X，Y正态，则有 X，Y独立X，Y不相关 第五章考核要求 （一）知道切比雪夫不等式 或 并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。 （二）知道贝努利大数定律 其中n是试验次数，m是A发生次数，p是A的概率，它说明试验次数很多时，频率近似于概率。 （三）知道切比雪夫不等式大数定律 它说明在大量试验中，随机变量 （四）知道独立同分布中心极限定理 取值稳定在期望附近。 若 记Yn～Fn（x），则有 它说明当n很大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态N（nμ,nσ2）所以，无论n个独立同分布的X1,X2,…Xn服从何种分布，n很大时，X1+X2+…Xn却近似正态N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 若Zn表示n次独立重复事件发生次数，即 Zn～B（n,p）,则有 即Zn近似正态N（np,np（1-p）2）。并会用中心极限定理计算简单应用问题。 第六章章小结 本章的基本要求是 （一）知道总体、样本、简单样本和统计量的概念 （二）知道统计量和s2的下列性质。 E（s2）=σ2 （三）若x的分布函数为F（x），分布函数为f（x），则样本（x1,x2,…xn）的联合分布函数为F（x1）F（x2）…F（xn）样本（x1,x2,…xn）的联合分布密度为f（x1）f（x2）…f（xn），样本（x1,x2,…xn）的概率函数，p（x1,x 2 ,…xn）=p（X=x1）p（X=x2）…p（X=xn）因而顺序统计量x（1），…x（n）中 X（1）的分布函数为1-（1-F（x））n X（n）的分布函数为[F（x）]n （四）掌握正态总体的抽样分布 若X～N（μ，σ2）则有 （1） （2） （3） （4）若 => 当时。 （五）知道样本原点矩与样本中心矩的概念 第七章章小结 本章考核要求为 （一）点估计 （1）知道点估计的概念 （2）会用矩法求总体参数的矩估计值，主要依据是 （3）会用最大似然估计法求总体参数的估计值。 基本方法是由样本x1，x2，x3，…，xn构造一个似然函数或似然函数的对数 L（x1，x2，x3，…，xn，）=P（X=x1）P（X=x2）…P（X=xn）L（x1，x2，x3，…，xn，）=f（x1）f（x2）…f（xn） 。是 然后由ln L（x1，x2，x3，…，xn，）取最大的值时的值为的值，即 L的最大值点。 （二）点估计量的评价标准 （1）若 （2）若 （3）若 就说是的相合估计，则是的无偏估计。都是的无偏估计，且。 就说 有效。 以上三条标准中主要掌握无偏估计和有效估计 （三）区间估计 （1）知道区间估计的概念 （2）会求一个正态总体的参数的置信区间。公式见表7-1 第八章小结 （一）理解假设检验的基本思想，知道假设检验的步骤。 （二）知道两类错误 （三）掌握单个正态总体的均值和方差的检验方法，并会简单应用，这是本章主要重点。 （四）两个正态总体 （1） （2），会检验 第九章小结 本章考核要求： （一）会根据样本（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）求y与x的线性回归方程 其中 （二）会用F检验法判断y与x的线性关系是否明显
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