概率论总结论文

第一篇：概率论总结论文

概率论与数理统计在生活中的应用

摘要：随机现象无处不在，渗透于日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论就是通过研究随机现象及其规律从而指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。生活中买彩票显示了小概率事件发生的几率之小，抽签与体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平，用概率来指导决策，减少错误与失败等等，显示了概率在人们日常生活中越来越重要。数理统计在人们的生活中也不断的发挥重要的作用，如果没有统计学，人们在收集资料和进行各项的大型的数据收集工作是非常困难的，通过对统计方法的研究，使得我们处理各种数据更加简便，所以统计也是一门很实用的科学，应该受到大家的重视。

关键字：概率、保险、彩票、统计、数据、应用

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学。随着社会的不断发展，概率论与数理统计的知识越来越重要,运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思考方式。目前，概率论与数理统计的很多原理方法已被越来越多地应用到交通、经济、医学、气象等各种与人们生活息息相关的领域。本文将就概率论与数理统计的方法与思想，在日常生活中的应用展开一些讨论，,推导出某些表面上并非直观的结论，从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性。

一、彩票问题

“下一个赢家就是你！”这句响亮的具有极大蛊惑性的话是大英帝国彩票的广告词。买一张大英帝国彩票的诱惑有多大呢？只要你花上1英镑，就有可能获得2200万英镑！

一点小小的投资竟然可能得到天文数字般的奖金，这没办法不让人动心，很多人都会想：也许真如广告所说，下一个赢家就是我呢！因此，自从1994年9月开始发行到现在，英国已有超过90%的成年人购买过这种彩票，并且也真的有数以百计的人成为百万富翁。如今在世界各地都流行着类似的游戏，在我国各省各市也发行了各种福利彩票、体育彩票，各地充满诱惑的广告满天飞，而报纸、电视上关于中大奖的幸运儿的报道也热闹非凡，因此吸引了不计其数的人踊跃购买。很简单，只要花2元的人民币，就可以拥有这么一次尝试的机会，试一下自己的运气。

但一张彩票的中奖机会有多少呢？让我们以大英帝国彩票为例来计算一下。大英帝国彩票的规则是49选6，即在1至49的49个号码中选6个号码。买一张彩票，你只需要选六个 1

号、花1英镑而已。在每一轮，有一个专门的摇奖机随机摇出6个标有数字的小球，如果6个小球的数字都被你选中了，你就获得了头等奖。可是，当我们计算一下在49个数字中随意组合其中6个数字的方法有多少种时，我们会吓一大跳：从49个数中选6个数的组合有13983816种方法！

这就是说，假如你只买了一张彩票，六个号码全对的机会是大约一千四百万分之一，这个数小得已经无法想象，大约相当于澳大利亚的任何一个普通人当上总统的机会。如果每星期你买50张彩票，你赢得一次大奖的时间约为5000年；即使每星期买1000张彩票，也大致需要270年才一次六个号码全对的机会。这几乎是单个人力不可为的，获奖仅是我们期盼的偶然而又偶然的事件。

那么为什么总有人能成为幸运儿呢？这是因为参与的人数是极其巨大的，人们总是抱着撞大运的心理去参加。孰不知，彩民们就在这样的幻想中为彩票公司贡献了巨额的财富。一般情况下，彩票发行者只拿出回收的全部彩金的45%作为奖金返还，这意味着无论奖金的比例如何分配，无论彩票的销售总量是多少，彩民平均付出的1元钱只能赢得0.45元的回报。从这个平均值出发，这个游戏是绝对不划算的。

二、生日概率问题

我们来看一个经典的生日概率问题。【数学情境】

每个人都有自己的生日（指一年365天中某一天），随机相遇的两人的生日要在365天中的同一天，即使有也是很凑巧，但如果相聚的人数增多，可能性会增大；某次随机相遇无论男女、老幼，若人数达到了50以上，形成一个团体（如集会、上课、旅游等）。

【提出问题】

1．随意指定一个人，你猜某天正好是他的生日，猜对的可能性有多大？ 2，随意指定二个人，你猜他俩生日是同一天，猜对的可能性有多大？

3．某一团体有一群人，我绝对可以肯定至少有2人生日相同，这群人人数至少要多少？ 4．如果某个随机而遇的团体有50人以上，我敢打贿，这个团体几乎可以肯定有生日相同的两个人，你相信吗？

【问题解决】

1问题1.解：一年有365天，他某天生日概率p＝ 365 ≈0.0027，故猜对的可能性微乎其微。

问题2.解：两个人生日，总共可能性有365×365种搭配，其中有365种生日相同，故随

3651意指定二个人，生日相同的概率p= 365365 = 365 ≈0.0027，故猜对的可能性仍旧微乎其微。

问题3.解：某一团体中，绝对肯定至少有2人生日相同，即为必然事件，p＝1。由抽屉原理可知，这群人至少要有366人。

问题4.解：要解决这个概率问题，我们首先来计算一下，50个人生日的搭配一共有多少种可能情况。第一个人生日，可以是一年中任何一天，一共有365种可能情况，而第二、第三及其它所有人生日也都有365种，这样50个人共有365种可能搭配。如果50人的生日无一相同，那么生日搭配可能情况就少得多了。第一个人有365种可能，第二人因不能与第一个生日相同，只有364种可能，依次类推，如50人生日无一相同，其生日搭配情况只有365×364×363ׄ„×317×316 种只占3655050种情况中的3％，即p＝36536431731636550 ＝3％。即反面推至生日2人相同概率有97％。同理可推算如果某群人有40人，至少两人生日相同概率有89％，如果有45人至少两人生日相同的概率达94％。故这样赌局，几乎可以稳操胜券。

三、保险赔偿问题

目前, 随着人们的经济水平越来越高，自身及家人的安全问题、财产安全及养老问题等受到了极大的重视，有一定经济条件的人纷纷选择购买保险来给自己一份保障;我们可能就有疑惑, 是保险公司受益还是投保人受益, 谁才是最大受益者? 通过下面这个例子也许他们会明白一些。

某一保险公司, 有3000 个统一年龄层的相同社会阶层的人参加保险。在一年内, 每个人死亡的概率为0.002。每个参加保险的人在1月1 日付12 元保险费, 而当他在这一年死亡时, 家属可从公司领取保险费2000 元, 问保险公司每年盈利的概率是多少? 且获利不少于10000 元的概率是多少? 乍一看, 很难知道保险公司是否盈利, 但经过一系列计算就可以得知保险公司几乎是必定盈利的!设X 表示参保的3000 人中一年内死亡的人数, 则X 可能的取值有0,1,2,3„3000, 且X 服从B(3000 ,0.002)。用A 表示“保险公司盈利”, B表示“保险公司营利大于10000 元”，由题可知A={3000×12-2000X>0}={X<18},B={3000×12-2000X≥10000}={X≤13}.P(A)= P{X<18}=

Cii017i3000i=0.999;0.0020.9983000 P(B)=P{x<=13}=

Cii01330000.002i0.9983000i=0.9964;以上结果表明, 保险公司盈利的概率高达0.999944, 而盈利在10000元以上的概率也为0.996408。这也就说明了保险公司非常乐于开展保险业务的原因。

上述所列举的例子, 只是概率论在生活中的几个非常简单的应用。事实上,这些看似简单，实则深奥的概率论方法，在国民经济的某些问题中，对有效地使用人力和物力进行科学管理等方面同样有着重要作用，在我们整个国家的发展乃至整个人类社会的进步中都起到了至关重要的作用。

统计学的思想可归纳为：对某事做出决策之前，必须先收集数据，然后利用统计学技术分析它，最后做出决策。应用统计学技术，不能无视必要的数学知识，但作为本课程，即社会经济统计学的原理来说，严密的数学论证完全是没有必要的。因此，在教育教学过程中，避开繁琐的数学推导，把重点放在统计方法在学校教育领域中的应用。这才能充分发挥心理与教育统计学的社会价值。

我们身边的概率问题还有很多, 需要我们不断地去发现, 最大限度地挖掘概率论方法的潜能,使之更好地为人类服务。同时，通过学习概率论与数理统计，使我们更加发现数学问题种类繁多，解题思路千差万别但是应用起来灵活而方便，而要学好数学，最重要的一点就是要能够做到灵活地应用所学知识去解决各种数学问题，也就是真正做到“学得活，用得巧”，使数学能够更多的为我们服务。

第二篇：概率论章节总结

第一章考核内容小结 种类相加，步骤相乘 排列（数）：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作或。的计算公式为：

排列数

例如：

（四）组合（数）：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。

=45 例如：

组合数有性质

（1）例如：，（2）

，（3）

（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生-------（3）A，B，C三事件都不发生--------（5）A，B，C三事件只有一个发生--------

（2）A，B，C三事件都发生-------ABC

（4）A，B，C三事件不全发生---------

（6）A，B，C三事件中至少有一个发生-------A+B+C（1）A，B都发生且C不发生

（2）A与B至少有一个发生而且C不发生

简记AB+AC+BC

简记

（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生）（4）A，B，C中最多有一个发生（5）A，B，C中恰有两个发生（6）A，B，C中至少有两个发生）（7）A，B，C中最多有两个发生

（一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式

计算简单的古典概型的概率

（二）知道事件的四种关系

（1）包含：表示事件A发生则事件B必发生

（2）相等：

（3）互斥：与B互斥

（4）对立：A与B对立AB=Φ，且A+B=Ω

（三）知道事件的四种运算

（1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生 性质：（1）若，则A+B=A（2）且

（2）事件积（交）AB表示A与B都发生，则AB=B∴ΩB=B且

性质：（1）若

（2）

（3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生

∴

（4）

性质

，且A-B=A-AB 表示A不发生

（四）运算关系的规律

（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律（AB）C=A（BC）

（3）A（B+C）=AB+AC叫分配律（A+B）（A+C）=A+BC

叫对偶律

（4）

（五）掌握概率的计算公式

（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

特别情形①A与B互斥时：P（A+B）=P（A）+P（B）

②A与B独立时：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）

③

推广P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

（2）

推广：

因为，而，而BA与明显不相容。

特别地，若所以当

，则有AB=A

当事件独立时，P（AB）=P（A）P（B）

P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）

与B，A与，与

均独立

性质若A与B独立

（六）熟记全概率公式的条件和结论

若A1，A2，A3是Ω的划分，则有

简单情形

熟记贝叶斯公式

若已知，则

（七）熟记贝努利重复试验概型的计算公式

第二章考核内容小结

（一）知道随机变量的概念，会用分布函数求概率

（1）若X是离散型随机变量，则 P（a

（2）若X是连续型随机变量，则

P（a

P（a≤x＜b）=F（b）-F（a）

°P{X≤b}=F(b).P（a

°P{X>b}=1-P{X≤b}=1-F(b)

（二）知道离散型随机变量的分布律

会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数，且若

则

（三）掌握三种常用的离散型随机变量的分布律

（1）X～（0,1）

P（x=k）=

（2）X～B（n,p）

（3）X～P（λ）P（x=k）=

并且知道泊松分布是二项分布当n很大，p很小的近似值，且λ=np

（四）知道连续型随机变量的概率密度概念和性质，概率密度和分布函数的关系及由概率密度求概率的公式。

（1）概率密度f（x）的性质

①f（x）≥0

②

（2）分布函数和概率密度的关系

（3）分布函数的性质 ①F（x）连续，可导

②F（－∞）＝0，F（+∞）＝1 ③F（x）是不减函数。（4）概率计算公式：

①P（a

②P（a

（五）掌握连续型随机变量的三种分布

（1）X～U（a,b）

X～f（x）=

X～F（x）=（2）X～E（λ）

①X～f（x）=

②X～F（x）=（3）X～N（0,1）

①X～

②X～

性质：Φ（-x）=1-Φ（x）P（a

①X～

②P（a

（六）会用公式法求随机变量X的函数Y＝g（x）的分布函数

（1）离散型

若

且g（x1）,g（x2）, …g（xn）不相同时，有

（2）连续型

若X～fX（x）,y=g（x）单调，有反函数x=h（y）且y的取值范围为（α,β），则随机变

量X的函数Y=g（x）的概率密度为

当α=－∞β=+∞时，则有

简单情形，若Y＝ax+b则有

Y～fY（y）=

在简单情形下会用公式法求Y＝ax+b的概率密度。

（3）重要结论

（i）若X～N（μ,σ2），则有Y＝ax+b时 Y～N（aμ+b,a2σ2）

（ii）若X～N（μ,σ2），则有Y＝

叫X的标准化随机变量。

第三章内容小结

（一）知道二维随机变量的分布函数的概念和性质。（1）（X，Y）～F（X,Y）=P（X≤X,Y≤Y）

=P（-∞＜X≤X,-∞＜Y≤Y）（2）F（X,Y）的性质（ⅰ）F（+∞，+∞）=1（ⅱ）F（-∞，Y）=0，F（X，-∞）=0 F（-∞，-∞）=0（3）X～FX（X）=F（X,+ ∞）

Y～FY（Y）=F（+∞,Y）

（二）离散型二维随机变量（1）（X，Y）的分布律

性质

（2）X的边缘分布

证明 P1·=P11+P12+…P1N，P2·=P21+P22+…P2N，… pm·=pm1+pm2+…pmn

（3）Y的分布律

证 P·1=P11+P21+…pm1，P·2=P21+P22+…pm2，… P·N= P1N+P2N+…+pmn

（4）X，Y独立的充要条件是：

X，Y独立P（X=xi,Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj）

（i=1,2,…,M；j=1,2,…,N）判断离散性随机变量X，Y是否独立。

（5）会求 Z=X+Y的分布律

（三）二维连续型随机变量（1）若

已知 f（X,Y）时，会用上式求F（X,Y）

性质

（2）

已知F（X,Y）时，会用上式求f（X,Y）

（3）会用公式

求（X，Y）在区域D上取值的概率。

（4）会用公式

分别求X，Y的概率密度（边缘密度）（5）会根据X，Y独立 判断连续型随机变量X，Y的独立性。（6）知道两个重要的二维连续随机变量 ①（X，Y）在D上服从均匀分布

S是D的面积

X，Y独立（7）若X，Y独立，且

则

第四章小结

本章的考核内容是

（一）知道随机变量的期望的定义和计算公式，性质。

（1）离散型：

（2）连续型：

（3）

（4）

期望的性质：（1）E C=C（2）E（kX）=kEX（3）E（X±Y）=EX±EY（4）X,Y独立时，E（XY）＝（EX）（EY）

（二）知道方差的概念和计算公式以及方差的性质

∴X是离散型随机变量时

X是连续型随机变量时

（2）计算公式

（3）性质

①DC＝0

②

③D（X±Y）=DX+DY±2E[(X-EX)(Y-EY)]

=DX+DY±2Cov(X,Y)

∴X,Y独立X,Y不相关时D(X±Y)=DX+DY

Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]

计算公式Cov(X,Y)=E(XY)－(EX)(EY)

相关系数

定理X，Y独立

X，Y不相关（）

特别情形X，Y正态，则有

X，Y独立X，Y不相关

第五章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX|≥ε或|X-EX|<ε的概率。

（二）知道贝努利大数定律

其中n是试验次数，m是A发生次数，p是A的概率，它说明试验次数很多时，频率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大数定律

它说明在大量试验中，随机变量

（四）知道独立同分布中心极限定理

取值稳定在期望附近。

若

记Yn～Fn（x），则有

它说明当n很大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态N（nμ,nσ2）所以，无论n个独立同分布的X1,X2,…Xn服从何种分布，n很大时，X1+X2+…Xn却近似正态N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理

若Zn表示n次独立重复事件发生次数，即

Zn～B（n,p）,则有

即Zn近似正态N（np,np（1-p）2）。并会用中心极限定理计算简单应用问题。

第六章章小结

本章的基本要求是

（一）知道总体、样本、简单样本和统计量的概念

（二）知道统计量和s2的下列性质。

E（s2）=σ2

（三）若x的分布函数为F（x），分布函数为f（x），则样本（x1,x2,…xn）的联合分布函数为F（x1）F（x2）…F（xn）样本（x1,x2,…xn）的联合分布密度为f（x1）f（x2）…f（xn），样本（x1,x2,…xn）的概率函数，p（x1,x 2 ,…xn）=p（X=x1）p（X=x2）…p（X=xn）因而顺序统计量x（1），…x（n）中

X（1）的分布函数为1-（1-F（x））n

X（n）的分布函数为[F（x）]n

（四）掌握正态总体的抽样分布

若X～N（μ，σ2）则有

（1）

（2）

（3）

（4）若

=>

当时。

（五）知道样本原点矩与样本中心矩的概念

第七章章小结

本章考核要求为

（一）点估计

（1）知道点估计的概念

（2）会用矩法求总体参数的矩估计值，主要依据是

（3）会用最大似然估计法求总体参数的估计值。

基本方法是由样本x1，x2，x3，…，xn构造一个似然函数或似然函数的对数 L（x1，x2，x3，…，xn，）=P（X=x1）P（X=x2）…P（X=xn）L（x1，x2，x3，…，xn，）=f（x1）f（x2）…f（xn）

。是

然后由ln L（x1，x2，x3，…，xn，）取最大的值时的值为的值，即

L的最大值点。

（二）点估计量的评价标准

（1）若

（2）若

（3）若

就说是的相合估计，则是的无偏估计。都是的无偏估计，且。

就说

有效。

以上三条标准中主要掌握无偏估计和有效估计

（三）区间估计

（1）知道区间估计的概念

（2）会求一个正态总体的参数的置信区间。公式见表7-1

第八章小结

（一）理解假设检验的基本思想，知道假设检验的步骤。

（二）知道两类错误

（三）掌握单个正态总体的均值和方差的检验方法，并会简单应用，这是本章主要重点。

（四）两个正态总体

（1）

（2），会检验

第九章小结

本章考核要求：

（一）会根据样本（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）求y与x的线性回归方程

其中

（二）会用F检验法判断y与x的线性关系是否明显

第三篇：概率论与数理统计课程结业论文

概率论与数理统计课程结业论文

学院：生命科学与技术学院 专业：生物工程

班级：生工5班

姓名：学号：1401410536

摘要：《概率论与数理统计》课程已经结束，通过本学期的学习，了解了该课程其它课程的联系以及其在生活中的应用。清楚了概率在生活中的重要意义。同时也使我掌握了一种新的学习方法，让我在之后的学习中更加游刃有余。关键字：课程简介 实际应用 学习心得 课程建议 正文：

一、课程简介

随着学习的深入，我们在大一下学期开了《概率论与数理统计》这一门课。概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，其理论与方法的应用非常广泛，几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产、国民经济以及我们的日常生活。学习这门课，不仅能培养我们的理论学习能力，也能在日后给科研及生活提供一种解决问题的工具。说实话，这门课给我的第一印象就是它可能很难很抽象，很难用于实际生活中，并且对于这门课的安排与流程我并没有太确切的认识。但在第一节课上听了老师的讲解我才理出了一些头绪。这门课分为概率论与数理统计两个部分，其中概率论部分又是数理统计的基础。我们所要课程就是围绕着这两大部

分来学习的。

二、在实际中的应用

1、抽奖问题 生活中抽奖的越来越多。商场中，各种活动，各种抽奖令人眼花缭乱；各种彩票更是层出不穷。通过学习《概率论与数理统计》这门课程，我们能够计算出中奖的的概率，同时在一些问题的处理中，我们也可以通过计算某一事件发生的概率进而个人或企业的决策。

2、保险问题

目前,保险问题在我国是一个热点问题。保险公司为各企业、各单位和个人提供了各种各样的保险保障服务,人们总会预算某一业务对自己的利益有多大, 会怀疑保险公司的大量赔偿是否会亏本，我们可以通过中心极限定理说明它在这一方面的应用。

3、经济管理学问题

在经济管理决策中的应用 在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本。利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标。下面以数学期望、方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应。

4、经济损失估计问题

在经济损失估计中的应用 随着经济建设的高速发展火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方

法。利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小。可以通过参数估计说明它在这一方面的应用。

5、在经济中的应用

在求解最大经济利润问题中的应用 如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。比如课本中期望一节中例四，通过计算家用电器收费Y的期望来预测商家的收入。

三、学习心得： 如今经过了一学期的学习，在收获了不少知识的同时也颇有些心得体会。首先，它给我们提供了一种解决问题的的新方法。我们在解决问题不一定非要从正面进行解决。在某些情形下，我们可以进行合理的估计，然后再去解决有关的问题。并且，概率论的思维方式不是确定的，而是随机的发生的思想。其次，在这门课程学习中，我意识到其实概率论与数理统计才是与生活紧密相连的。它用到高数的计算与思想，却并不像高数那样抽象。而且老师所讲例题均与日常生产和生活相关，让我明白了日常生产中如何应用数学原理解决问题，我想假设检验便是很好的诠释。最后，概率论与数理统计应该被视为工具学科，因为它对其他学科的学习是不可少的。它对统计物理的学习有重要意义，同时对于学习经济学的人在探究某些经济规律也是十分重要的。总之，通过学习这门课程，我们可以更理性的对待生活中的一

些问题，更加谨慎的处理某些问题。最后，感谢老师半学期来的辛苦教学与谆谆教导。

四、对本课程的建议 《概率论与数理统计》课程已经结束了，在学习期间我们学习到了很多了的知识和一些新的学习方法，胡老师的板书既漂亮又工整。下面是我对老师您和该课程的建议。

1、让我们轻松接受知识。虽然大学是学生自学为主，老师为辅，不过还是希望老师能够在上课多多和我们交流，虽不能说是谈笑风生，但是还是希望老师能够多笑点，这样课堂气氛才更加活跃，我们才能更好的学习。

2、师生互动，一同学习，一起进步。老师在授课的过程中，多和我们交流，了解我们的学习情况，根据我们的学习进展并结合自己设计的进度，协调性的授课。

3、主次分明，重点多讲，难点简化。对于重点的知识点，要进行重点的讲，同时在授课的过程中，不断的与同学进行交流，重点可以多讲几遍的。对于难点，适当的进行简化，使之成为简化的、易懂的知识。

结束语：《概率论与数理统计》课程已经结束，相信在以后的学习、生活和工作中，我都能不断的利用该课程中学习到的知识不断的解决实际问题。同时在其他的课程中，也能够利用该课程中的学习方法，更好的学习其他课程。

第四篇：概率论教案

西南大学本科课程备课教案 2015 —2016 学年第 1 学期

（理论课程类）

课 程 名 称 概率论

授课专业年级班级 统计专业 2014 级 教 教

师 师

姓 职

名 称

凌成秀 讲师

I

数学与统计学院

课程性质

专业必修

□专业选修

□公共必修

□通识教育选修

概率论是统计专业本科生的一门建立在微积分、基本代数知识基础上的重要

课程简介

专业课程，是继续学习、研究统计学及其应用的一门重要课程。该课程旨在 如何刻画随机现象的统计规律性，包括随机事件及其概率，随机变量及其分 布，随机变量的数字特征、特征函数、极限定理等。本课程总学时 5*18=90 节。

教材

孙荣恒《应用概率论》第二版，2005，科学出版社

（总学时）

教学方式 讲授式、启发式、研究型、收集网络小论文探究式

使用教具 黑板、粉笔

[1] 《概率论基础》第三版，李贤平著，高等教育出版社，2010.[2] 《概率论与数理统计》第四版，盛骤，谢式千，潘承毅 著，高等教育出 版社，2010.[3] 《概率论与数理统计习题全解指南》第四版，盛骤，谢式千，潘承毅 著，高等教育额出版社，2010.[4] Probability Essentials(Second edition), Jean Jacod and Philip Protter, Springer,2004.[5]《概率论与数理统计教程》第二版,茆诗松 程依明、濮晓龙，高等教育出 版社，2000.参考书目及文献（或互联网网址）

考核方式 闭卷笔试

II

随机事件及其概率

第一章 随机事件及其概率

概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现 象）规律性的一门应用数学学科，20 世纪以来，广泛应用于工程技术、经济及 医学技术等各个领域.本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的 概念之一.第一、二节 随机事件及其关系与运算

教学内容： 随机事件是本课程的最基础的概念，主要涉及到包括确定性现象、随机现象、样本空间、样本点、随机事件等定义；以及事件的包含、相等、互不 相容（互斥）、互为对立等关系；事件的和、积、差、逆等运算的定义；事件的 运算律、文氏图等；事件序列的极限。会用简单事件通过其关系与运算将复杂事 件表示出来。重点难点：

随机事件的定义；互不相容、互为对立、互逆事件的判别；用简单事件通过其运 算将复杂事件表示出来；事件的恒等式证明；事件序列的极限关系 教学目标：

会判断给出的现象是否为随机现象；会写随机试验的样本空间；会判别随机事件 的类型；熟悉事件关系与运算的定义；熟悉事件的运算律、会作文氏图；能判别 事件的互不相容、互为对立、互逆等关系；能用事件的运算关系将复杂事件表示 出来；掌握事件的不等式、恒等式证明 教学过程：

1、确定性现象与随机现象。确定性现象：在一定的条件下必然发生某种结果的现象。例如：（1）重物在高处必然下落；（2）在标准大气压下纯水加热到 100 摄氏度时必然会沸腾；

（3）异性电荷必相互吸引。随机现象（偶然性现象）：在一定的条件下，有多种可能结果发生，事前人们不 能预言将有哪个结果会出现的现象，但大量重复观察时具有某种规律性。如：（1）从一大批产品中任取一个产品，它可能是合格品，也可能是不合格品；（2）一门炮向一目标射击，每次射击的弹落点一般是不同的，事前无法预料。2、随机试验与样本空间。

试验：我们把对自然现象的一次观察或一次科学试验统称为试验。随机试验：一个试验若满足条件

（1）在相同的条件下可以重复进行；

（2）每次试验的结果不止一个，并能事先明确试验的所有可能结果；

1随机事件及其概率

（3）试验前不知道哪一个结果会出现。

则称这样的试验为随机试验，用 表示。

样本空间：随机试验所有可能出现的基本结果的集合称为样本空间。用 表 示。

样本点：随机试验的每一个可能出现的基本结果称为样本点，常用 表示。

3、随机事件

随机事件：由随机试验的某些样本点做成的集合称为随机事件，简称事件。用大写英文字母、、、…表示。在随机试验中随机事件可能发生，也 可能不发生。称某个事件发生当且仅当它所包含的某个样本点出现。1）基本事件：只包含一个样本点的事件，记为{w}。

2）不可能事件：一个样本点都不包含的集合，记为。不可能事件在试验中 一定不会发生。

3）必然事件：包含所有样本点的集合，记为。必然事件在试验中一定会发 生。

一般事件（复合事件）：由不止一个样本点做成的事件。例 1 以下哪些试验是随机试验？

（1）抛掷一枚硬币，观察出现的是正面在上还是反面在上；（2）记录某电话机在一天内接到的呼叫次数；

（3）从一大批元件中任意取出一个，测试它的寿命；（4）观察一桶汽油遇到明火时的情形；

（5）记录一门炮向某一目标射击的弹着点位置；

解：（1）（2）（3）（5）是随机试验，（4）不是随机试验 例 2：写出下列随机试验的样本空间。

（1）抛掷一颗骰子，观察出现的点数；（2）抛掷二次硬币，观察出现的结果；

（3）记录某汽车站在 5 分钟内到达的乘客数；（4）从一批灯泡中任取一只，测试其寿命；（5）记录一门炮向其目标射击的弹落点；（6）观察一次地震的震源； 解：（1）1  1，2，3，4，5，6

 ；

（2）  （正，正），（正，反），（反，正），（反，反） ；（3）  01 2 3...；

，（4） 0

4  x x  ,其中 x 表示灯泡的寿命；（5）

 ,

（x，y x y ,其中 x、y 分别表示弹着

         5  )，点的横坐标、纵坐标；

2  

（6）

 （，,) , 0 ,其中 x、y、z 分别表 5 x y z   x  ,  y  z 

 2



示震源的经度、纬度、离地面的深度。

例 3 抛掷一个骰子，观察出现的点数。用 A 表示“出现的点数为奇数”，B 表示“出现的点数大于 4”，C 表示“出现的点数为 3”,D 表示“出现的点 数大于 6”，E 表示“出现的点数不为负数”，（1）写出实验的样本空间；（2）用样本点表示事件 A、B、C、D、E；（3）指出事件 A、B、C、D、E 何 为基本事件，何为必然事件，何为不可能事件。解：

（1）  1，2，3，4，5，6；（2）A  1，3，5，B   5,6 ，C   3 ，D  ，E  1，2，3，4，5，6（3）C 为基本事件，E 为必然事件，D 为不可能事件 讨论题：请给出现实生活中随机现象的一个例子。

4、事件的关系与运算

因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间 的关系和运算来处理.1）事件之间的关系与简单运算

设 A、B 为试验 E 的二事件，（1）子事件（事件的包含）：若 A 中的每一个样本点都包含在 B 中，则记为，也称事件 A 是事件 B 的子事件，或事件 B 包含了事件 A。此时事件 A 发生必然导致事件 B 发生。显然，对任意事件 A，有（2）事件的相等：若 等价的，记为。

且，则称事件 A 与事件 B 是相等的，或称

（3）事件的和（并）：用 A  B 表示属于 A 或属于 的样本点的集合，称之 为 与 的和（并）事件。事件

表示事件 与事件 B 至少有一个发生。

（4）事件的积（交）：用 A  B（或 AB）表示同时属于 A 与 B 的样本点的 集合，称为 A 与 的积（交）事件。事件 AB 表示事件 A 与事件 B 同时发生 的事件。

（5）事件的互不相容（互斥）：若 AB  ，则称为事件 A 与事件 B 互不相 容。即 A 与 B 不能同时发生。

当 与 B 互不相容时，记为。

（6）事件的差：用 A  B 表示包含在 A 中而不包含在 B 中的样本点的全体，称为事件 与事件 的差。事件 A  B 表示 A 发生而 B 不发生的事件。

第五篇：概率论课外作业（范文）

大数定律与中心极限定理在实际中的应用

大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值，它是“算术平均值法则"的基本理论，在现实生活中，经常可见这一类型的数学模型。例如：在分析天平上秤重量为a的物品，若以x1,x2,x3,...,xn表示n次重复称

1n量的结果，经验告诉我们，当n充分大时，它们的算术平均值xi与

ni1a的偏差就越小。

中心极限定理比大数定律更为详细具体，它以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体分布如何，样本均值总是服从或是近似的服从正态分布。正是这个结论使得正态分布在数理统计和误差分析中占用特殊的地位，是正态分布得以广泛应用的理论基础。概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律。

切比雪夫不等式：设随机变量X具有有限数学期望和方差2，2则对于任意正数，如下不等式成立 P2。

切比雪夫不等式的应用：在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值。

例1 已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200～9400之间的概率。

(X)= 解 设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则E（X）=7300，D(X)=700 则P{ 5200X9400}=P{ X73002100}=1-P{ X7300>2100}

70021 而P X73002100221009所以P 5200X9400

概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。

独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1,X2,...,Xn相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期望和方差2，则随机变量

89YXi1ninn的分布函数Fn(x)满足如下极限式

nXt2ix1limFn(x)limPi1xe2dt 2n定理的应用：对于独立的随机变量序列{Xn }，不管Xi(i=1，2，⋯，n)服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和Xi近似地服从正态分

i1n布N(n,n2)。

二项分布的极限分布是正态分布即如果X～B(n，p)则

tnnpb12Pabedt(b)(a)anp(1p)22例2 现有一大批种子，其中良种占1／6，今在其中任选60O0粒，试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算在这些种子中

良种所占的比例与1／6之差小于l％的概率是多少? 解

设取出的种子中的良种粒数为X，则 X～B(6000，)于是

E(X)np600011000616155D(X)np(1p)60001000

666(1)要估计的规律为PX11PX100060，相当60006100于在切比雪夫不等式中取=60，于是

X11D(X)PPX100060126000610060由题意得1D(X)511100010.23150.7685 26063600即用切比雪夫不等式估计此概率不小于0.7685(2)由中心极限定理，对于二项分布(6000，)可用正态分布N(1000，51000)近似，于是所求概率为 616X1(10601000)(9401000)P0.01P940X106010005/610005/660006从本例看出．用切比雪夫不等式只能得出来要求的概率不小于0.7685．而用中心极限定理可得出要求的概率近似等于0.9625．从而知道由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的．但由于它的要求比较低，只要知道X的期望和方差，因而在理论上有许多运用．

当Xi独立同分布(可以是任何分布)，计算P(aX1X2...Xnb)的概率时，利用中心极限定理往往能得到相当精确的近似概率，在实际问题上广泛运用．

例3某单位有200台电话分机，每台有5％的时间要使用外线通话，假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？

解

设有X部分机同时使用外线，则有X～B(n，P)，其中n=200，P=0.05，np=10，np(1p)3.08 设有N条外线．由题意有P{XN}0．9 有

PXNPXnpnp(1p)NnpNnpN10()()3.08np(1p)np(1p)N101.28 3.08查表得(1.28)=0．90，故N应满足条件即N13.94，取N=14，即至少要安装14条外线．

参考文献：

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