概率论辅导范围

第一篇：概率论辅导范围

概率统计复习范围及要求

第一章：

1、事件与概率的性质和运算；

2、概率的计算（包括古典概型和几何概型）：条件概率、乘法公式、加法公式、全概公式、贝叶斯公式；（古典概型、几何概型一般无大题）

3、事件独立性和贝努利概型。

第二章：

1、随机变量分布问题（包括连续型和离散型）；

2、随机变量及随机变量函数的数字特征、切比雪夫不等式条件和结论（其它几个相关的不等式不需要记）；

3、记住几种重要的离散和连续型分布的密度及其数字特征（两点、二项、泊松、均匀、指数、正态分布）；

4、随机变量函数之分布（简单的离散型求分布、分布函数法求密度）

第三章：

1、二维离散或连续型随机向量的联合、边缘和条件分布或条件密度函数、独立性判断的理解；

2、二维随机向量的期望、方差、相关系数以及二维随机向量函数的期望、方差；

3、二维随机向量函数的分布（掌握和的类型）；

4、随机向量的数字特征；

5、了解大数定律的条件和结论和会利用中心极限定理计算概率；

6、条件期望不考。

第四章：

1、总体、个体、样本容量、统计量、枢轴量、分位数的概念；

2、理解t-分布、卡方分布、F分布的构造性定义（不需记忆密度函数），会查分布表；

3、抽样分布重点是正态总体的抽样分布，主要掌握定理4.1、4.2、4.3（要求记住结论并掌握简单的构造性证明）；

4、一般总体抽样分布不考。

第五章：

1、矩估计、极大似然估计求法；

2、无偏性、有效性和一致性的概念（重点是无偏性、有效性判断）。

3、区间估计重点是单正态总体参数的区间估计（不含大样本情形）；

4、假设检验重点是单正态总体参数的检验；

5、双正态和一般总体的参数检验不考。

说明：

1、如果有单选或填空题，考点也在上述所要求的范围内（书5.5之前含5.5）。

2、考题难度与书上各节后的练习题相近，由于各章后总习题较难，不作要求。

3、题目类型：单选、计算、综合或证明。

4、可以带计算器（但实际上不考太复杂的计算）

第二篇：2012年-概率论复习范围

概率统计复习范围及要求

第一章：

1、事件与概率的性质和运算；

2、概率的计算（包括古典概型和几何概型）：条件概率、乘法公式、加法公式、全概公式、贝叶斯公式；（古典概型、几何概型一般无大题）

3、事件独立性和贝努利概型。

第二章：

1、随机变量分布问题（包括连续型和离散型）；

2、随机变量及随机变量函数的数字特征、切比雪夫不等式条件和结论（其它几个相关的不等式不需要记）；

3、记住几种重要的离散和连续型分布的密度及其数字特征（两点、二项、波松、均匀、指数、正态分布）；

4、随机变量函数之分布（简单的离散型求分布、分布函数法求密度）

第三章：

1、二维离散或连续型随机向量的联合、边缘和条件分布或条件密度函数、独立性判断的理解；

2、二维随机向量的期望、方差、相关系数以及二维随机向量函数的期望、方差；

3、二维随机向量函数的分布（重点掌握分布函数法求密度的方法、求简单的离散型随机变量函数的分布，卷积公式、商的公式一般不涉及）；

4、随机向量的数字特征；

5、了解大数定律的条件和结论和会利用中心极限定理计算概率；

6、条件期望不考。

第四章：

1、总体、个体、样本容量、统计量、枢轴量、分位数的概念；

2、理解t-分布、卡方分布、F分布的构造性定义（不需记忆密度函数），会查分布表；

3、抽样分布重点是正态总体的抽样分布，主要掌握定理4.1、4.2、4.3（要求记住结论并掌握简单的构造性证明）；

4、一般总体抽样分布不考。

第五章：

1、矩估计、极大似然估计求法；

2、无偏性、有效性和一致性的概念（重点是无偏性、有效性判断）。

3、区间估计重点是单正态总体参数的区间估计（不含大样本情形）；

4、假设检验重点是单正态总体参数的检验；

5、双正态和一般总体的参数检验不考。

说明：

1、如果有单选或填空题，考点也在上述所要求的范围内（书5.5之前含5.5）。

2、考题难度与书上各节后的习题相近，由于各章后总习题较难，不作要求。

3、题目类型：单选、计算、综合或证明。

4、可以带计算器（但实际上不考太复杂的计算）

第三篇：2008-2009(上)概率论与数理统计考试范围

2008－2009学年第一学期

《概率论与数理统计》课程考试范围

教材：李博纳，赵新泉《概率论与数理统计》/陈文灯、杜之韩总主编，高等教育出版社ISBN：9787040193749

第一章 随机事件与概率

§1.1 随机事件，§1.2 概率的公理化定义，§1.3 等可能概型（几何概型除外），§1.4 条件概率与全概率公式，§1.5 独立性

第二章 随机变量及其概率分布

§2.1 随机变量，§2.2 离散型随机变量，§2.3 随机变量的分布函数，§2.4 连续型随机变量，§2.5 随机变量函数的分布

第三章 多维随机变量及其分布

§3.1多维随机变量，§3.2 二维离散型随机变量，§3.3 二维连续型随机变量（条件分布除外），§3.4 二维正态分布（只要求结论），第四章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望（条件数学期望除外），§4.2 方差，§4.3 协方差、相关系数（性质及例4.25不要求证明；矩除外）

第五章 大数定律中心极限定理

§5.1大数定律（重点为切比雪夫不等式），§5.2中心极限定理

第六章 数理统计的基本概念

§6.1 随机样本和统计量，§6.3 抽样分布（定理6.4、6.5除外）

第七章 参数估计

§7.1点估计（矩估计除外），§7.2点估计量的评选标准（一致性除外），§7.3 参数的区间估计（两个正态总体的均值差和方差比的区间估计与单侧置信区间除外）

第八章 假设检验

§8.1 假设检验的基本概念，§8.2 一个正态总体参数的假设检验

卷面分布

概率论部分约占65分；统计学部分约占35分

考试题型

填空题与计算题（如有证明题，基本以计算为主）

第四篇：概率论教案

西南大学本科课程备课教案 2015 —2016 学年第 1 学期

（理论课程类）

课 程 名 称 概率论

授课专业年级班级 统计专业 2014 级 教 教

师 师

姓 职

名 称

凌成秀 讲师

I

数学与统计学院

课程性质

专业必修

□专业选修

□公共必修

□通识教育选修

概率论是统计专业本科生的一门建立在微积分、基本代数知识基础上的重要

课程简介

专业课程，是继续学习、研究统计学及其应用的一门重要课程。该课程旨在 如何刻画随机现象的统计规律性，包括随机事件及其概率，随机变量及其分 布，随机变量的数字特征、特征函数、极限定理等。本课程总学时 5*18=90 节。

教材

孙荣恒《应用概率论》第二版，2005，科学出版社

（总学时）

教学方式 讲授式、启发式、研究型、收集网络小论文探究式

使用教具 黑板、粉笔

[1] 《概率论基础》第三版，李贤平著，高等教育出版社，2010.[2] 《概率论与数理统计》第四版，盛骤，谢式千，潘承毅 著，高等教育出 版社，2010.[3] 《概率论与数理统计习题全解指南》第四版，盛骤，谢式千，潘承毅 著，高等教育额出版社，2010.[4] Probability Essentials(Second edition), Jean Jacod and Philip Protter, Springer,2004.[5]《概率论与数理统计教程》第二版,茆诗松 程依明、濮晓龙，高等教育出 版社，2000.参考书目及文献（或互联网网址）

考核方式 闭卷笔试

II

随机事件及其概率

第一章 随机事件及其概率

概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现 象）规律性的一门应用数学学科，20 世纪以来，广泛应用于工程技术、经济及 医学技术等各个领域.本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的 概念之一.第一、二节 随机事件及其关系与运算

教学内容： 随机事件是本课程的最基础的概念，主要涉及到包括确定性现象、随机现象、样本空间、样本点、随机事件等定义；以及事件的包含、相等、互不 相容（互斥）、互为对立等关系；事件的和、积、差、逆等运算的定义；事件的 运算律、文氏图等；事件序列的极限。会用简单事件通过其关系与运算将复杂事 件表示出来。重点难点：

随机事件的定义；互不相容、互为对立、互逆事件的判别；用简单事件通过其运 算将复杂事件表示出来；事件的恒等式证明；事件序列的极限关系 教学目标：

会判断给出的现象是否为随机现象；会写随机试验的样本空间；会判别随机事件 的类型；熟悉事件关系与运算的定义；熟悉事件的运算律、会作文氏图；能判别 事件的互不相容、互为对立、互逆等关系；能用事件的运算关系将复杂事件表示 出来；掌握事件的不等式、恒等式证明 教学过程：

1、确定性现象与随机现象。确定性现象：在一定的条件下必然发生某种结果的现象。例如：（1）重物在高处必然下落；（2）在标准大气压下纯水加热到 100 摄氏度时必然会沸腾；

（3）异性电荷必相互吸引。随机现象（偶然性现象）：在一定的条件下，有多种可能结果发生，事前人们不 能预言将有哪个结果会出现的现象，但大量重复观察时具有某种规律性。如：（1）从一大批产品中任取一个产品，它可能是合格品，也可能是不合格品；（2）一门炮向一目标射击，每次射击的弹落点一般是不同的，事前无法预料。2、随机试验与样本空间。

试验：我们把对自然现象的一次观察或一次科学试验统称为试验。随机试验：一个试验若满足条件

（1）在相同的条件下可以重复进行；

（2）每次试验的结果不止一个，并能事先明确试验的所有可能结果；

1随机事件及其概率

（3）试验前不知道哪一个结果会出现。

则称这样的试验为随机试验，用 表示。

样本空间：随机试验所有可能出现的基本结果的集合称为样本空间。用 表 示。

样本点：随机试验的每一个可能出现的基本结果称为样本点，常用 表示。

3、随机事件

随机事件：由随机试验的某些样本点做成的集合称为随机事件，简称事件。用大写英文字母、、、…表示。在随机试验中随机事件可能发生，也 可能不发生。称某个事件发生当且仅当它所包含的某个样本点出现。1）基本事件：只包含一个样本点的事件，记为{w}。

2）不可能事件：一个样本点都不包含的集合，记为。不可能事件在试验中 一定不会发生。

3）必然事件：包含所有样本点的集合，记为。必然事件在试验中一定会发 生。

一般事件（复合事件）：由不止一个样本点做成的事件。例 1 以下哪些试验是随机试验？

（1）抛掷一枚硬币，观察出现的是正面在上还是反面在上；（2）记录某电话机在一天内接到的呼叫次数；

（3）从一大批元件中任意取出一个，测试它的寿命；（4）观察一桶汽油遇到明火时的情形；

（5）记录一门炮向某一目标射击的弹着点位置；

解：（1）（2）（3）（5）是随机试验，（4）不是随机试验 例 2：写出下列随机试验的样本空间。

（1）抛掷一颗骰子，观察出现的点数；（2）抛掷二次硬币，观察出现的结果；

（3）记录某汽车站在 5 分钟内到达的乘客数；（4）从一批灯泡中任取一只，测试其寿命；（5）记录一门炮向其目标射击的弹落点；（6）观察一次地震的震源； 解：（1）1  1，2，3，4，5，6

 ；

（2）  （正，正），（正，反），（反，正），（反，反） ；（3）  01 2 3...；

，（4） 0

4  x x  ,其中 x 表示灯泡的寿命；（5）

 ,

（x，y x y ,其中 x、y 分别表示弹着

         5  )，点的横坐标、纵坐标；

2  

（6）

 （，,) , 0 ,其中 x、y、z 分别表 5 x y z   x  ,  y  z 

 2



示震源的经度、纬度、离地面的深度。

例 3 抛掷一个骰子，观察出现的点数。用 A 表示“出现的点数为奇数”，B 表示“出现的点数大于 4”，C 表示“出现的点数为 3”,D 表示“出现的点 数大于 6”，E 表示“出现的点数不为负数”，（1）写出实验的样本空间；（2）用样本点表示事件 A、B、C、D、E；（3）指出事件 A、B、C、D、E 何 为基本事件，何为必然事件，何为不可能事件。解：

（1）  1，2，3，4，5，6；（2）A  1，3，5，B   5,6 ，C   3 ，D  ，E  1，2，3，4，5，6（3）C 为基本事件，E 为必然事件，D 为不可能事件 讨论题：请给出现实生活中随机现象的一个例子。

4、事件的关系与运算

因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间 的关系和运算来处理.1）事件之间的关系与简单运算

设 A、B 为试验 E 的二事件，（1）子事件（事件的包含）：若 A 中的每一个样本点都包含在 B 中，则记为，也称事件 A 是事件 B 的子事件，或事件 B 包含了事件 A。此时事件 A 发生必然导致事件 B 发生。显然，对任意事件 A，有（2）事件的相等：若 等价的，记为。

且，则称事件 A 与事件 B 是相等的，或称

（3）事件的和（并）：用 A  B 表示属于 A 或属于 的样本点的集合，称之 为 与 的和（并）事件。事件

表示事件 与事件 B 至少有一个发生。

（4）事件的积（交）：用 A  B（或 AB）表示同时属于 A 与 B 的样本点的 集合，称为 A 与 的积（交）事件。事件 AB 表示事件 A 与事件 B 同时发生 的事件。

（5）事件的互不相容（互斥）：若 AB  ，则称为事件 A 与事件 B 互不相 容。即 A 与 B 不能同时发生。

当 与 B 互不相容时，记为。

（6）事件的差：用 A  B 表示包含在 A 中而不包含在 B 中的样本点的全体，称为事件 与事件 的差。事件 A  B 表示 A 发生而 B 不发生的事件。

第五篇：概率论课外作业（范文）

大数定律与中心极限定理在实际中的应用

大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值，它是“算术平均值法则"的基本理论，在现实生活中，经常可见这一类型的数学模型。例如：在分析天平上秤重量为a的物品，若以x1,x2,x3,...,xn表示n次重复称

1n量的结果，经验告诉我们，当n充分大时，它们的算术平均值xi与

ni1a的偏差就越小。

中心极限定理比大数定律更为详细具体，它以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体分布如何，样本均值总是服从或是近似的服从正态分布。正是这个结论使得正态分布在数理统计和误差分析中占用特殊的地位，是正态分布得以广泛应用的理论基础。概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律。

切比雪夫不等式：设随机变量X具有有限数学期望和方差2，2则对于任意正数，如下不等式成立 P2。

切比雪夫不等式的应用：在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差，即可对X的概率分布进行估值。

例1 已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200～9400之间的概率。

(X)= 解 设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则E（X）=7300，D(X)=700 则P{ 5200X9400}=P{ X73002100}=1-P{ X7300>2100}

70021 而P X73002100221009所以P 5200X9400

概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。

独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1,X2,...,Xn相互独立，服从同一分布，且有有限的数学期望和方差2，则随机变量

89YXi1ninn的分布函数Fn(x)满足如下极限式

nXt2ix1limFn(x)limPi1xe2dt 2n定理的应用：对于独立的随机变量序列{Xn }，不管Xi(i=1，2，⋯，n)服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和Xi近似地服从正态分

i1n布N(n,n2)。

二项分布的极限分布是正态分布即如果X～B(n，p)则

tnnpb12Pabedt(b)(a)anp(1p)22例2 现有一大批种子，其中良种占1／6，今在其中任选60O0粒，试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算在这些种子中

良种所占的比例与1／6之差小于l％的概率是多少? 解

设取出的种子中的良种粒数为X，则 X～B(6000，)于是

E(X)np600011000616155D(X)np(1p)60001000

666(1)要估计的规律为PX11PX100060，相当60006100于在切比雪夫不等式中取=60，于是

X11D(X)PPX100060126000610060由题意得1D(X)511100010.23150.7685 26063600即用切比雪夫不等式估计此概率不小于0.7685(2)由中心极限定理，对于二项分布(6000，)可用正态分布N(1000，51000)近似，于是所求概率为 616X1(10601000)(9401000)P0.01P940X106010005/610005/660006从本例看出．用切比雪夫不等式只能得出来要求的概率不小于0.7685．而用中心极限定理可得出要求的概率近似等于0.9625．从而知道由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的．但由于它的要求比较低，只要知道X的期望和方差，因而在理论上有许多运用．

当Xi独立同分布(可以是任何分布)，计算P(aX1X2...Xnb)的概率时，利用中心极限定理往往能得到相当精确的近似概率，在实际问题上广泛运用．

例3某单位有200台电话分机，每台有5％的时间要使用外线通话，假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证分机用外线时不等待？

解

设有X部分机同时使用外线，则有X～B(n，P)，其中n=200，P=0.05，np=10，np(1p)3.08 设有N条外线．由题意有P{XN}0．9 有

PXNPXnpnp(1p)NnpNnpN10()()3.08np(1p)np(1p)N101.28 3.08查表得(1.28)=0．90，故N应满足条件即N13.94，取N=14，即至少要安装14条外线．

参考文献：

[1]庄楚强.吴亚森．应用数理统计基础[M]．广州：华南理工大学出版社，2002．

[2]黄清龙.阮宏顺．概率论与数理统计[M]．北京：北京大学出版社，2005．

[3]贾兆丽．概率方法在数学证明中的应用[J]．安徽工业大学学报，2002，19(1)：75—76．

[4]周少强．大数定律与中心极限定理之问的关系[J]．高等数学研究，2001(1)：15—17．

[5]刘建忠．中心极限定理的一个推广及其应用[J]．华东师范大学学报(自然科学版)．2001，18(03)：8-12．

[6]杨桂元．中心极限定理及其在统计分析中的应用[J]．统计与信息论坛，2000(03)：13—15．

[7]钟镇权．关于大数定律与中心极限定理的若干注记[J]．玉林师范学院学报．2001(03)：8一10．

[8]周概容．概率论与数理统计[M]．北京：高等教育出版社，1984．