高等数学公式总结、概率论、线性代数考点总结

第一篇：高等数学公式总结、概率论、线性代数考点总结

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一）。

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2010年全国硕士研究生入学考试数学二试题

2010年全国硕士研究生入学考试数学三试题

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学习计划的制定：考研复习阶段分析（计划+执行+坚持=考研成功）

跨校考研注意事项（跨校的同学一定看看）

考研第一考上清华研究生的经历（坚持就是胜利）

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导师信息库：

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第二篇：【2011考研数学宝典】高等数学公式总结、概率论、线性代数考点总结结!!数学目标140!!

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另外，复习的时候一定要找到几个研友，彼此鼓励坚持下去！坚持就是胜利!

第三篇：高等数学公式

高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

一些初等函数：

两个重要极限：

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

sin

cos

tg

ctg

-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

90°-α

cosα

sinα

ctgα

tgα

90°+α

cosα

-sinα

-ctgα

-tgα

180°-α

sinα

-cosα

-tgα

-ctgα

180°+α

-sinα

-cosα

tgα

ctgα

270°-α

-cosα

-sinα

ctgα

tgα

270°+α

-cosα

sinα

-ctgα

-tgα

360°-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

360°+α

sinα

cosα

tgα

ctgα

·和差角公式：

·和差化积公式：

·倍角公式：

·半角公式：

·正弦定理：

·余弦定理：

·反三角函数性质：

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

中值定理与导数应用：

曲率：

定积分的近似计算：

定积分应用相关公式：

空间解析几何和向量代数：

多元函数微分法及应用

微分法在几何上的应用：

方向导数与梯度：

多元函数的极值及其求法：

重积分及其应用：

柱面坐标和球面坐标：

曲线积分：

曲面积分：

高斯公式：

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

常数项级数：

级数审敛法：

绝对收敛与条件收敛：

幂级数：

函数展开成幂级数：

一些函数展开成幂级数：

欧拉公式：

三角级数：

傅立叶级数：

周期为的周期函数的傅立叶级数：

微分方程的相关概念：

一阶线性微分方程：

全微分方程：

二阶微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)式的通解

两个不相等实根

两个相等实根

一对共轭复根

二阶常系数非齐次线性微分方程

第四篇：高等教育学考点总结

高等教育学考点总结

考试题型：

一、单项选择（10题，每题1分）（书上的知识点，一目了然，例如，某一具体的教学原则来源于古代哪一个文献，4选一，例如，教学相长来自于（）文献。选项：A《论语》、B《大学》、C《中庸》、D《学记》）

二、判断（10题，每题1分）（只需答勾或x，不要改错。注意审题，例如，“就是”、“仅仅是”等极端的语句。例如，学历，是在教育机构中的学习经历。错，是在法定教育机构中的。）

三、简答（4题，每题8分）（简要回答，答出要点，需要解释性的拓展语句。例如，备课的基本要求：三点，备教材、备学生、备方法，还要加以解释。）

四、论述（2题，每题15分）

五、案例（分析）题（1题，18分）（重点：教学论中的内容，有话说，围绕主题说）

第二章高等教育发展简史 第三章 高等教育发展的社会基础 第四章：高等教育的价值与功能

第五章 高等教育目标 第六章 高等学校专业与课程 第七章 高等学校教学过程与原则

第八章 高等学校教学形式 第九章 高等学校的科学研究

第十章 高等学校教师

第十三章

当代国际高等教育发展趋势

第二章高等教育发展简史

小点一：在西方文明古国，“博物馆”和“图书馆”是古代从事高等教育活动的重要场所。P14 小点二：中国古代高等教育早在3000年前就出现。（P15）小点三：大学要学六艺：礼、乐、射、御、书、数（P15）小点四：高等教育私学：齐国的，稷下学宫（P15）小点五：太学的建立，标志着中国封建社会官立大学制度的确立。（P16）

小点六：中世纪大学的特点：行会性、自治性、国际性（P18）小点七：中世纪大学实行的是专业教育：文学、法学、医学、神学（P19）

小点八：19世纪，洪堡开创了高等教育史上的“洪堡时代”（P24）

洪堡提出了高等教育的两条最基本的原则：教学与科研相统一的原则；学术自由的原则。（P24）

小点九：赠地学院：康乃尔大学、威斯康辛大学（P29）威斯康辛思想：（P29）

①把学生培养成有知识能工作的公民； ②进行科学研究，发展科学与文化；

③把知识传播给广大民众，直接为全州社会与经济服务。与“洪堡时代”相比，多了为社会服务的思想。

小点十：1862年成立的京师同文馆是中国近代第一所具有高等性质与功能的学校，也是中国最早采用班级授课制的学校。（单选）（P32）

第三章 高等教育发展的社会基础

第一题：高等教育发展的政治基础（小题）（P44-48）第一，政治制度的发展方向规定高等教育发展方向。第二，阶级关系规定高等教育发展的利益追求。第三，政治任务影响高等教育的发展重点。

第四，主流意识形态影响高等教育发展的主要环节。第五，教育民主化运动促进了高等教育机会的扩展。第六，建立国家高等教育体制。

第二题：经济制约着高等教育发展的几个方面：（大题，简答题）（P53-54）

第一，经济制约着高等教育发展规模。第二，经济发展制约高等教育发展决策。第三，经济制约高等教育结构的完善程度。第四，经济促进高等教育终身体系的形成。

第三题：基础教育（中小学教育）与高等教育的关系。（判断题）（P65-66）

①基础教育质量制约高等教育质量。②基础教育规模影响高等教育规模。

第四章：高等教育的价值与功能

第一题：小题：高等教育表现出独特的社会价值和个人价值。（P68）

高等教育是再生产社会政治关系。（P69）

第二题：高等教育的经济价值（P71-72）１）作为经济增长的动力和源泉。（美国经济学家，舒尔茨提出人力资本理论：认为美国1929~1957年间国民经济增长额中，有33%应归因于教育。他因此，在1979年获得诺贝尔经济学奖）

２）有助于个人收入分配趋于平等，促进社会公平。

第三题：高等教育对文化的发展作用主要表现在传承、改造和创新方面。（小题P75）

第四题：高等教育的个人价值（大题，P77-79）

第一章不要

１）提高个人的知识与能力水平。

２）养成良好的综合素质。

３）提高个人劳动效率，增加个人收入。４）提升个人社会地位。

第五题：高等学校的职能（大题，P79-81）①高等学校的职能主要表现为三大方面： １）培养高级专门人才（基本职能）。２）发展科学（主要职能）。

３）直接为社会服务的职能（高效职能的延伸）。

②三项职能的关系：这三项职能是相互联系、相互渗透的。其中，（P82）１）培养人才是高等学校的基本职能和中心任务，是高等学校之所以是高等学校的根本理由； ２）发展科学是高等学校的重要职能，它既是高等学校培养高水平人才的保障，又是高等学校不同于其他层次学校的本质要求； ３）社会服务是高等学校前两项职能在当地社会的合理延伸与实际应用，既是高效应对当地社会应尽的义务，也是高效本身发展的内在需要。在办学实践中，我们应以培养高级专门人才为中心，处理好三项职能之间的关系。

第五章 高等教育目标

第一题：教育目标

高等教育目标是高等教育教学活动的总方向，也是高等教育工作的出发点和归宿。（P87）①定义：教育目标是指培养人的质量和规格。广义是指教育目的，狭义上是指培养目标。（补充）②特征（小题）：１）高等教育目标具有主观性质。（P87）

２）高等教育目标还有相当的复杂性。(P88)③高等教育目标的意义（作用）。（大题）(P89)１）高等教育目标是高等教育活动的总方向，对高等教育活动的结果起着规范的作用。——导向作用 ２）高等教育目标是高等教育活动的依据，是一切高等教育工作的出发点。——调控作用 ３）高等教育目标还是高等教育活动的归宿，具有检验高等教育效果的标准作用。（教育目标不仅是教育活动的指南，而且是教育评价的依据。）——评价和激励作用 教育目标是教育评价的依据。（小题）(P89)

第二题：高等学校培养目标是高等教育目标在不同的高等学校的具体化。（即细化了的教育目标。）(P93)

第三题：通才和专才(P98)

通才：知识面和职业应用面宽广的是通才。专才：知识面和职业适应面单一的是专才。

第四题：高等教育的任务（P102）

是培养具有创新精神和实践能力的高级专门人才，发展科学技术文化，促进社会主义现代化建设。

第六章 高等学校专业与课程

第一题：高等学校课程的特征（P114）（大题，简答题）答题要点：专业性、探究性、前沿性 第一，高等学校课程具有专业性。第二，高等学校课程具有探究性。第三，高等学校课程具有前沿性。

第七章 高等学校教学过程与原则

第一题：怎样理解教学过程的特点（大题，P125-128）（答题要点：三性）教学过程：学生在教师的指导下，对人类已有经验的认识活动和改造主观世界，形成和发展个性时间活动的统一过程。（1）特殊性 首先，教学过程的认识对象与一般认识活动的对象不同，它不是以尚未发现的事物或真理为对象，而是以他人或者前人已经发现的系统的学科知识为对象，主要是以教材为中介的间接经验，也可以说是书本知识。

其次，教学认识的条件和形式与一般的认识活动也有所不同（即，条件不同）。教学认识活动不是学生独立的发现活动，而是在教师指导下学习和掌握知识的过程，亦即再发现的过

程。第三，科学家和人类的认识活动是无限的，而教学认识过程是有时限的（时间有限性）。（2）双向性

首先，教师在教学过程中起着主导的作用。同时，学生又是学习的主体。再者，师生双方双边活动的过程不仅体现在认识方面的交流和分享，还有着情感方面的交流和影响。（3）发展性

第一，学生在掌握和运用知识的过程中，不仅记忆力、思考力得到了发展，形成技能技巧，而且逐步深入对事物的理解，为进一步发展解决问题的能力准备了条件。第二，教学活动作为年轻一代成长过程中的主要途径，对他们的人生观和世界观形成具有至关重要的作用，实质上影响和决定着一个人基本素质的形成和发展。

第三，不同的教学活动对学生有不同影响。

小题：

判断题：教学认识活动不是学生独立的发现活动。（正确）（P125）

单项选择：智力的核心就是思维力。（P127）

第二题：高等学校教学过程的特点（四点，P129-130）专业性 独立性 创造性 实践性

第三题：教学原则的特点（补充）实践性

科学性（客观性）

第四题：谁提出什么样的教学思想。（记住，小题）孔子提出：启发教学，因材施教（P131）《学记》总结出：教学相长，长善救失 朱熹提出：循序渐进原则 孔子提出：启发式教学方式 不愤不启，不悱不发

悱：学生想说心里话，表达不出来； 发：教师指导学生把心理话说出来（P133）《学记》：道而弗牵：教师要诱导，而不是牵着学生走（P133）

强而弗抑：要强迫学生顺从（P133）

开而弗达：学生在思考阶段，老师要给予启发，又

要有保留（P133）

思想性：文以载道：寓理想性于教学中（P132）判断题：知识与能力成不成正比？（不成正比）（补充）判断题：直观不是目的，仅仅是一种手段。（正确）（补充）贯彻博与专相结合的原则：“对专业中的某一点懂一切，对专业外的一切懂一点”。（P138）

第五题：你能否结合你所任教的专业课，对教学原则体系进行一番评述。（P131-138）

要点三个方面：①教学原则的概念

②教学原则的体系

③能否选取其中两条进行阐述。

①教学原则是根据教学的目的和教学规律，在总结教学实践经验基础上制定出来的对教学的基本要求。它是成功地进行教学活动所必须依据的准则。②教学原则体系包括：

1）科学性与思想性统一的原则。

2）教师主导作用与学生主体性相结合的原则。3）传授知识与发展能力相统一的原则。4）理论联系实际的原则。

5）直观性与抽象性相统一的原则。

6）统一要求和因材施教相结合的原则。7）博与专相结合的原则。

8）教学与科研相统一的原则。

以上八条是一个相互联系、相辅相成的整体。

③选取其中两条进行阐述（您还可以选择别的原则进行阐述，并且要结合自己的所讲的课）博与专相结合的原则： 博与专相结合的原则，是高等教育专业性的内在要求，是科学技术在高度分化基础上高度综合发展趋势的客观反映。高等教育是培养高级专门人才的专业教育，专业性是高等教育的本质特征之一。

贯彻这一教学原则的基本要求是：

1）首先要明确专业教学目标和计划，使每门课程、每种教学活动，都要直接或间接地围绕着专业培养目标来组织。

2）在专业教育的前提下，拓宽专业口径，拓展学生的知识面。3）贯彻博与专相结合的原则，对于教师同样提出很高的要求。教师须既有专业所长，又要有广博的知识面。“对专业中的某一点懂一切，对专业外的一切懂一点”。教学与科研相统一的原则： 教学与科研相统一的原则，是高等学校教学过程独立性、创造性特点的反映，也是高等学校一条特殊的教学原则。这一原则的基本含义是，将科学研究引入教学过程，使教学过程科研化，同时将教学活动体现于科研过程，使科研活动教学化，从而将高等学校的这两种主要的活动，有机地统一为一体，共同实现高等学校的职能。

贯彻这一教学原则的基本要求是： 1）用过程教育代替结论教育。2）为学生参与科研提供环境。

3）把研究列为考核学生学业的重要指标。

第八章 高等学校教学形式

第一题：班级授课制（P141）

是在17世纪由捷克教育学家——夸美纽斯创立，后经德国教育学家——赫尔巴赫进一步完善得以推广。我国首次使用：1861年，京师同文馆

第二题：班级授课制的优缺点（考点：年年都考，出大题）（P141）

班级授课制是将学生按年级、学业程度等因素编成班级，教师面对班级里的全体学生，根据教学计划和大纲的统一要求进行教学的组织形式。优点：

1．有利于提高教学的效率、扩大教育对象。2．有利于教师作用的充分发挥。

3．有利于发挥集体的教育作用，使班级内的学生有更多“相观而善”的机会。缺点：由于对班级进行的是统一的教学，因而不能很充分地兼顾学生的个别差异，难以针对学生的个人爱好与特长充分体现因材施教。（即不利于因材施教，不利于兼顾个别差异。）因此，要求在教学过程中，要处理好统一要求和个别差异的关系，同时注意班级授课制与其他教学组织形式的配合。

第三题：教学组织形式的发展趋势（小题）（P143）1）教学活动的小规模化 2）教学活动的短学程化 3）教学活动场所多样化

第四题：备课（P144）

答题要点：备教材、备学生、备方法。首先，教师备课要钻研教学大纲和教材，透彻领会教学目的和具体章节的具体要求，对教材体系和基本内容、结构、重点章节以及各章节的重点、难点等了然于胸。其次，教师备课还要备学生，教师要通过各种途径去了解自己的学生，了解他们原有的知识基础、知识结构、理解能力和接受能力、兴趣爱好、社会特征等，乃至还要了解他们的个别差异和个性特点。

第三，备方法，在吃透内容并了解到学生的实际情况后，寻求最适宜的教学方法，写出具体的教案。

第五题：大学上课不用讲究？或上好一堂课的基本要求（即，评价一堂好课的基本标准。）（补充）第一，目标明确

第二，内容正确（懂，透，化）第三，方法得当 第四，表达清晰 第五，气氛活跃

第六题：教学方法（重要内容）（Ｐ148）

教学方法包括：教师教的方法和学生学的方法。小题：教学方法是教师施教活动方式的综合。（×错误，解析：是传统观点，是不对的。）

第七题：讲授法（要求新教师掌握的内容）（Ｐ150）运用最为广泛，最基本的方法。①明确的目的性 ②内容的科学性 ③内容的逻辑性 ④语言的感染性

此外，教学方法还包括：问答法、讨论法、试验实习法、演示法、参观法、自学指导法、练习法。（能判断，哪种具体的教学行为归属于这里何种方法。）（P150-154）

演示法：是教师配合讲授或谈话，把实物、教具呈现给学生，或者向学生作示范，以说明或印证所教知识的一种方法。（重要）（P152）

启发式不是一种具体的教学方法。（正确，补充）教学有法，但无定法。（正确）（P159）

第八题：教学方法选择依据（补充）①要依据教学的具体目的和任务 ②要依据教学内容的特点 ③要依据学生的具体情况 ④要依据教师自身的素养条件

⑤要依据各种教学方法的效果及适用范围 ⑥要依据教学的时间和效率的要求

第九题：教学评估（P163）高等学校教学评估，是对教学效果和教学质量的一种价值判断活动。（判断题，正确）

第九章 高等学校的科学研究

第一题：小题目

科学研究是衡量高等学校水平的重要标志。（P166）真正具有科学性质的高校科研，从19世纪开始。（P167）科研作为高校职能的提出者：德国人

洪堡（重复前面内容）

第二题：高等学校的教育研究（即教育科学的研究）的内容（简答）（P176-177）

①教育教学研究是高等学校科学研究体系中的特色内容。②含义：高校教师通过对自己教学活动的研究，通过对自己的教育对象的研究，才能真正了解学生，用正确的教育理论武装自己，改进教学方法，更新教学手段，从而有效地提高教学质量。

③内容：

1）研究教育对象。2）研究教学内容。3）研究教学方法。

小题：科学研究的起点是发现并提出有价值的问题。（P178）

第十章 高等学校教师

第一题：与教师相关的几个法律法规（P188-189，以及补充）1985年2月12日

五届人大常委会十三次会议，《学会条例》 1993年10月31日

第八届人大常委会 四次

《教师法》 1995年3月18日

八届人大会议，三次

《教育法》 1996年5月15日

八届人大常委会

十九次会议

《职业教育法》

1998年8月29日

九届人大常委会

四次会议

《高等教育法》

第二题：教师的含义（P189）

教师是履行教育教学职责的专业人员。

第三题：高等学校教师的价值（即教师的三大基本任务或三项重要职能）（P192-193）

要点：教学、科研、为社会服务

1）培养高级专门人才的重要承担者：通过对教材的加工，创造性地传播文化科学知识；开启学生智慧，培养学生能力；教书育人，促进学生全面发展（即，思想品德教育）。2）发展和创新科学技术的重要实现者 3）通过知识传播及运用直接为社会服务

第四题：高等学校教师的劳动特点（大题，记住，P194-195）1）教师劳动的复杂性——决定了教师具有持久、稳定性 2）教师劳动的创造性——决定了教师具有强烈的成就感 3）教师劳动的示范性——决定了教师应有强烈的自警自省意识

4）教师劳动的群体性——决定了其高度的协作意识 小题：教学有法而无定法体现了教师劳动的什么性？（创造性）小题：向师性体现了教师劳动的什么性？（示范性）

小题：身教重于言教体现了教师劳动的什么性？（示范性）

第五题：高等学校教师的素质（补充）高等学校教师的素质，是高校教师在教育教学活动中表现出来的心理品质的总和。

对高校教师素质的要求，是由教师的地位、性质、劳动特点及高校教师的特殊性决定的。一般分为如下几个方面：

①政治思想素质（坚定的共产主义信念，强烈的爱国之情，用于坚持真理）②职业道德素质（热爱学生，教书育人，以身作则，为人师表，团结协作，尊重集体）

③文化知识素质（基础知识，专业知识，教育理论知识，相关学科知识）

④能力素质（驾驭教学内容的能力，多渠道获取信息的能力，组织和管理的能力，教学实验和研究能力）⑤身心素质（一是身体素质：体制健康，耐受力强，反映敏捷，精力充沛；二是心理素质：愉快的心境，开朗的心胸，幽默地情绪，顽强的毅力）

第六题：教师的教育情意（P198）①教育理想 ②教育情操 ③教育性向 ④教师自我

第七题：教师的权利（6点，P201-202）①教育教学权 ②科学研究权 ③管理学生权 ④获取报酬权 ⑤民主管理权 ⑥进修培训权

第十三章

当代国际高等教育发展趋势

当代国际高等教育发展趋势（每节标题，记住即可）①高等教育大众化 ②高等教育国际化 ③高等教育多样化 ④高等教育综合化 ⑤高等教育私营化

第一题：有人认为高等教育的目的在于培养全面和谐的人，也有人认为高教的目的是直接满足社会的现实需要，请对这些观点加以阐述。（补充）答：①这是高等教育的两种基本价值观，前者称为个人本位价值观，后者为社会本位价值观。②个人本位价值观（含义）：个人本位价值观从个人需要，个体发展角度出发涉及高等教育的目的，强调教育要为人本身的需要服务。

③社会本位价值观（含义）：从社会发展需要出发，涉及高等教育目的，强调个人只是教育加工的原料，个人发展必须服从社会需要。

④两种价值观都有其合理性，同时也各有其片面性和局限性。1）个人价值观确认个人价值高于社会价值，提出了尊重人性以人为本的自由发展思想，但把社会视作个体的简单结合，使得教育面对复杂的个体需要无所适从，导致教育中的极端个人主义、自由化倾向、个体社会责任感下降。

2）社会本位价值观肯定教育的价值在于促进国家和社会的发展，对于教育密切与社会的联系起到了积极的推动作用，但也容易导致教育的某种被动性，助长了高等教育的短视行为，影响了社会的长远利益，导致对学生个性的抹杀。

⑤在现实社会背景下要寻求两种价值选择之间的协调与整合，历史上出现的高等教育在个人与社会之间的单项选择已被视作为一种教训，要针对我国高等教育的世纪做出积极的动态调整。

第二题：大学生素质教育（增加补充的内容）

①概念：所谓素质教育，着眼于人的全面、和谐、长远、健康的发展，而不是片面的、急功近利的甚至畸形的发展。素质教育强调知识的内化和人的潜能的发展，强调人的素养和品质的全面提高。

素质教育与单纯的应试教育相对应。

②素质教育兴起的背景（四大发展趋势、潮流）

1972年 法国的报告、学会生存——教育世界的今天和明天 1979年 罗马俱乐部、学无止境：创新性学习（终生教育）代替维持性学习

1989年 北京面向二十一世纪教育国际研究会 学会关心：关心自己、关心他人、关心社会、关心环境 二十一世纪最成功的人：全面发展

1996年 国际二十一世纪教育委员会：教育——财富蕴藏其中 知识经济 未来教育四大支柱：学会认识、学会动手、学会与人相处（合作）、学会发展

我国素质教育发展的几个阶段： 1949—1978（30年）“双基”教育阶段：基础知识、基本技能 1979—1982（4年）发展智力

1983—1989（7年）学生非智力因素的培养 1990—至今素质教育，其核心是创新教育 ③国际上教育的行情 经济发展的社会化、全球化使职业的变动、岗位的转化成为常态，对人的可迁移性要求更突出。

现代科学技术的发展对人的素质内涵提出新的要求——对责任感、道德伦理提出新的要求。人的发展要求：身心、知识、能力素质的和谐发展，这是人的发展的基本要求。④大学素质教育的定位：

大学素质教育是一种指导思想。

大学素质教育必须贯穿于高等学校教育活动的全过程。⑤大学素质教育实施的重点和难点：

重点：科学和人文（大学素质教育的两翼）难点：发展情感

第三题：扫尾知识点： 小点十一：高等学校组织具有“二重性”，即高等学校兼有“教育性”“学术性”的组织属性。（P208）小点十二：国家举办的高等学校实行中国共产党高等学校基层委员会领导下的校长负责制。（P216）小点十三：高等教育管理制度大致上分为三种模式：集权模式（我国属此）、分权模式、并重模式（P232-233）小点十四：高等学校享有办学自主权和法人资格。（P234）小点十五：学历，使指受教育者在具备法定条件的教育机构中的学历经历。（P237）

小点十六：我国学位制度分为三级，包括学士、硕士和博士学位。（P239）

小点十七：分段标准（P248）精英教育阶段：15%以下

大众化高等教育阶段：15%~50%，我国已属此阶段，在18%左右

普及高等教育阶段：超过50% 标准：国家适龄青年（18~22岁）中接受高等教育人数的比例，又称高等教育毛入学率。

第五篇：线性代数总结

线性代数总结 [转贴 2008-05-04 13:04:49]

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线性代数总结

一、课程特点

特点一：知识点比较细碎。

如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。特点二：知识点间的联系性很强。

这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。复习线代时，要做到“融会贯通”。

“融会”——设法找到不同知识点之间的内在相通之处； “贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。

二、行列式与矩阵

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和 阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。

对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于、、等的相关性质，及性质（其中 为矩阵 的特征值）。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、、、的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。

三、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组（一般式）还具有两种形式：（Ⅰ）矩阵形式，其中，（Ⅱ）向量形式，其中 ，向量就这样被引入了。

1）齐次线性方程组与线性相关、无关的联系

齐次线性方程组 可以直接看出一定有解，因为当 时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式 中的 只能全为0才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为0的 使上式成立；但向量部分中判断向量组 是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。2）齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组 组成的矩阵 有 说明向量组的极大线性无关组中有 个向量，即 线性无关，也即等式 只有零解。所以，经过

“秩 → 线性相关无关 → 线性方程组解的判定” 的逻辑链条，由 就可以判定齐次方程组 只有零解。当 时，的列向量组 线性相关，此时齐次线性方程组 有非零解，且齐次线性方程组 的解向量可以通过 个线性无关的解向量（基础解系）线性表示。

3）非齐次线性方程组与线性表示的联系

非齐次线性方程组 是否有解对应于向量 是否可由 的列向量组 线性表示，即使等式 成立的一组数 就是非齐次线性方程组 的解。当非齐次线性方程组 满足 时，它有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若 线性无关，而 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，且表示方法唯一”。性质1.对于方阵 有：

方阵 可逆ó

ó 的行列向量组均线性无关ó ó 可由克莱姆法则判断有唯一解，而 仅有零解 对于一般矩阵 则有： ó 的列向量组线性无关

ó 仅有零解，有唯一解（如果有解）

性质2．齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组 是否有解对应于 是否可以由 的列向量组线性表出。

以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁。

应记住的一些性质与结论 1．向量组线性相关的有关结论：

1）向量组 线性相关ó向量组中至少存在一个向量可由其余 个向量线性表出。2）向量组线性无关ó向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。

3）若 线性无关，而 线性相关，则向量 可由向量组 线性表示，且表示法唯一。

2．向量组线性表示与等价的有关结论：

1）一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。2）如果向量组 可由向量组 线性表示，则有

3）等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量； 4）任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。3．常见的线性无关组：

1）齐次线性方程组的一个基础解系； 2）、、这样的单位向量组； 3）不同特征值对应的特征向量。4．关于秩的一些结论： 1）； 2）； 3）； 4）；

5）若有、满足，则 ； 6）若 是可逆矩阵则有 ； 7）若 可逆则有 ； 8）。

4．线性方程组的解：

1）非齐次线性方程组 有唯一解则对应齐次方程组 仅有零解；

2）若 有无穷多解则 有非零解； 3）若 有两个不同的解则 有非零解；

4）若 是 矩阵而 则 一定有解，而且当 时有唯一解，当 时有无穷多解； 5）若 则 没有解或有唯一解。

四、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下： 1．特征值和特征向量的定义及计算方法 就是记牢一系列公式如、、和。常用到下列性质：

若 阶矩阵 有 个特征值，则有 ；

若矩阵 有特征值，则、、、、、分别有特征值、、、、、，且对应特征向量等于 所对应的特征向量； 2．相似矩阵及其性质

定义式为，此时满足、、，并且、有相同的特征值。

需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵 与矩阵 等价（）的定义式是，其中、为可逆矩阵，此时矩阵 可通过初等变换化为矩阵，并有 ；当 中的、互逆时就变成了矩阵相似（）的定义式，即有 ；矩阵合同的定义是，其中 为可逆矩阵。

由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若 与 合同或相似则 与 必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。3．矩阵可相似对角化的条件

包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是 阶矩阵 有 个线性无关的特征向量；充要条件2是 的任意 重特征根对应有 个线性无关的特征向量；充分条件1是 有 个互不相同的特征值；充分条件2是 为实对称矩阵。4．实对称矩阵及其相似对角化

阶实对称矩阵 必可正交相似于对角阵，即有正交矩阵 使得，而且正交矩阵 由 对应的 个正交的单位特征向量组成。

可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂：直接相乘来求 比较困难；但如果有矩阵 使得 满足（对角矩阵）的话就简单多了，因为此时

而对角阵 的幂 就等于，代入上式即得。引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且 中的、也分别是由 的特征向量和特征值决定的。

五、二次型

本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵 存在正交矩阵 使得 可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在 为实对称矩阵时的应用。本章知识要点如下：

1．二次型及其矩阵表示。2．用正交变换化二次型为标准型。3．正负定二次型的判断与证明。

标签: 线性代数总结

.学习线性代数总结

2009年06月14日 星期日 上午 11:12

学习线性代数总结

线性代数与数理统计已经学完了，但我认为我们的学习并没有因此而结束。我们应该总结一下这门课程的学习的方法，并能为我们以后的学习和工作提供方法。这门课程的学习目标：《线性代数》是物理系等专业的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得线性代数的基本思想方法和行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换等方面 的系统知识，它一方面为后继课程（如离散数学、计算方法、等课程）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力等重要作用。同时随着计算机及其应用技术的飞速发展，很多实际问题得以离散化而得到定量的解决。作为离散化和数值计算理论基础的线性代数，为解决实际问题提供了强有力的数学工具。

我总结了《线性代数》的一些学习方法，可能有的同学会认为这已经为时过晚，但我不这么认为。从这门课程中，我们学会的不仅仅是线性代数的一些相关知识（行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换等方面的系统知识），更重要的是，从这门课程中我们应该掌握一种很重要的思想——学习如何去使用工具的方法。这个工具狭隘的讲是线性代数这门数学知识，但从广义地说：这个工具应该是生活中的一切工具（如电脑软件的学习方法、机器的操作方法、科学调查方法等）。在这门课程给我的感触就是：这门课告诉我们如何去学知识的方法。

我认为：学习任何一门知识的方法是：

一、明确我们要学习什么知识或者要掌握哪些方面的技能。

只能我们明白我们自己要学习什么之后，我们才会有动力去学习，在我们的大学里，有些同学不明白学习课本知识有何作用，认为学习与不学习没有什么区别，或者认为学习课本知识没有多大的作用，就干脆不学（当然我在这里没有贬低任何人的意思）。不过我认为学习好自己的专业的知识，掌握专业技能是每个大学生的天职。

二、知道知识是什么，了解相关知识的概念和定义。

这是学习的一切学习的基础，只有把握这个环节，我们的学习实践活动才能得以开展，知识是人类高度概括、总结的经验，不可能像平常说话那么通俗易懂。所以我们要想把知识学好，就得在概念上下功夫。例《线性代数》这门课程中的实二次型，那我们首先得非常清楚的知到，什么叫做实二次型。否则这一块的知识没有办法开展。

三、要知到我们学的知识可以用到何处，或者能帮我们解决什么问题。

其实这一点和第一点有点重复。但是对于我们的课本知识非常得有用，因为我们现在所学的课本知识。说句实在话，我们确实不知到能为我们生活中能解决什么问题，但如果我们知到它能用到何处，相信将来一定会有用。有一句话说得好，书到用时方恨少，说得是这个道理。总之，我们现在要为以后遇到问题而积累解决问题的方法，我们现在是在为以后的人生在打基础。

四、学习相关概念后，要学会如何去操作。

像《线性代数》这门课程，在这一点就体现得很突出。如在我们学习正交矩阵这个概念后，我们得要学会如何去求正交矩阵；再如，当我们认识了矩阵的对角化定义之后，我们得掌握如何去将一个矩阵对角化。其

实，就是学会如何去操作，这是我们掌握数学工具的使用方法的重要途径，所以这部分的工作是我们的学习中心和重点。只有掌握了这部分，我们才能在以后学习或者生活中遇到相似的问题，就有了这个工具去为我们解决实际的问题。

五、将所学习的知识反作用于生活（即将所学的知识用到实处）。

这才是我们学习的真正目的所在。一个人的解决问题的能力应该和他所掌握的知识成正比。学之所用才叫学到实处，才能发挥真正学习的作用。记得这个给我印象最深的是：在我们学C++编程时，有一道题是讲的是用一百元钱去买母鸡、公鸡、小鸡。母鸡5元钱一只，公鸡3元钱一只，小鸡3只一元，并且母鸡、公鸡、小鸡的总数为一百只，求有多少种可能。

这其实就是一道最简单的线性代数题了，设x代表小鸡，y代表公鸡，z代表母鸡：则根据题意有线性方程组

x3+3y+5z=100

x+y+z=100

解此线性方程组得

x=3z/4+75

y=-7z/4+25 z=z

用z作为循环变量控制，这个程序不到十行就可以编出来。这就说明学习知识总会有用的，只要我们去积累，只要我们现在把基础打牢，我相信以后解决问题的方法多了，大脑用活了，我们的竞争力就强了，自然在社会上有一席之地。

总之：我个人觉得学习知识很有用处。虽然就业压力在压着大家，大家为就业而奔波，但至少现在找工作不是我们的重点。把我们手头上的事做好才是最关键，我还是喜欢军训中我的那个“胖胖”所说的话：“一个萝卜，一个坑”，一步一个脚印，脚踏实地。相信我们80年后或90年后的一代能够担任起国家建设的重任和使命。

楼主 大 中 小 发表于 2008-10-10 23:50 只看该作者

线性代数超强总结.√ 关于 ：

①称为 的标准基，中的自然基，单位坐标向量；

② 线性无关；

③ ； ④ ；

⑤任意一个 维向量都可以用 线性表示.√ 行列式的计算：

① 若 都是方阵（不必同阶）,则

②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：

√ 逆矩阵的求法:

① ②

③

④

⑤

√ 方阵的幂的性质：

√ 设，对 阶矩阵 规定： 为 的一个多项式.√ 设的列向量为 , 的列向量为，的列向量为 , √ 用对角矩阵 左乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵 右乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘，与分块对角阵相乘类似,即：

√ 矩阵方程的解法：设法化成当 时，√

和 同解（列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；

② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；

③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断 是 的基础解系的条件：

①

线性无关；

②

是 的解；

③

.①

零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②

单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③

部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④

原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤

两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.⑥

向量组 中任一向量

≤ ≤ 都是此向量组的线性组合.⑦

向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示.⑧

维列向量组 线性相关 ；

维列向量组 线性无关.⑨

.⑩

若 线性无关，而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法惟一.?

矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.?

矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.向量组等价

和 可以相互线性表示.记作： 矩阵等价

经过有限次初等变换化为.记作：

?

矩阵 与 等价

作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵 与 作为向量组等价

矩阵 与 等价.?

向量组 可由向量组 线性表示

≤.?

向量组 可由向量组 线性表示,且，则 线性相关.向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 ≤.?

向量组 可由向量组 线性表示,且,则两向量组等价；

?

任一向量组和它的极大无关组等价.?

向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.?

若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.?

若 是 矩阵,则 ,若，的行向量线性无关；

若，的列向量线性

无关,即： 线性无关.线性方程组的矩阵式

向量

式

矩阵转置的性质：

矩阵可逆的性质：

伴随矩阵的性质：

线性方程组解的性质：

√ 设 为 矩阵,若 ,则 ,从而 一定有解.当 时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关.是 的上限.√ 矩阵的秩的性质：

①

②

≤

③

≤

④

⑤

⑥ ≥ ⑦

≤ ⑧

⑨

⑩

且 在矩阵乘法中有左消去律:

标准正交基

个 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1..是单位向量

.√ 内积的性质：

① 正定性：

② 对称性：

③ 双线性：

施密特

线性无关，单位化：

正交矩阵

.√

是正交矩阵的充要条件： 的 个行（列）向量构成 的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质：①

；

②

；

③

是正交阵,则（或）也是正交阵；

④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.的特征矩阵

.的特征多项式

.的特征方程

.√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的 各元素.√ 若 ,则 为 的特征值,且 的基础解系即为属于 的线性无关的特征向量.√

√ 若 ,则 一定可分解为 =、,从而 的特征值为： ，.√ 若 的全部特征值，是多项式,则:

①的全部特征值为 ；

② 当 可逆时, 的全部特征值为 , 的全部特征值为.√

√

与 相似

（为可逆阵）

记为：

√

相似于对角阵的充要条件： 恰有 个线性无关的特征向量.这时, 为 的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为 的特征值.√

可对角化的充要条件：

为 的重数.√ 若 阶矩阵 有 个互异的特征值,则 与对角阵相似.与 正交相似

（为正交矩阵）√ 相似矩阵的性质：①

若 均可逆

②

③

（为整数）

④,从而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即: 是 关于 的特征向量, 是 关

于 的特征向量.⑤

从而 同时可逆或不可逆

⑥

⑦

√ 数量矩阵只与自己相似.√ 对称矩阵的性质：

① 特征值全是实数,特征向量是实向量；

② 与对角矩阵合同；

③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④

重特征值必定有 个线性无关的特征向量；

⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有 个线性无关的特征向量, 可能有重的特征值,重

数=）.可以相似对角化

与对角阵 相似.记为：

（称 是 的相似标准型）

√ 若 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）.√ 设 为对应于 的线性无关的特征向量,则有：

.√ 若 , ,则：.√ 若 ,则 ,.二次型

为对称矩阵

与 合同

.记作：

（）

√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√ 两个矩阵合同的充分条件是：

√ 两个矩阵合同的必要条件是： √

经过

化为 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由

惟

一确定的.√ 当标准型中的系数 为1，-1或0时,则为规范形.√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 任一实对称矩阵 与惟一对角阵 合同.√ 用正交变换法化二次型为标准形: ①

求出 的特征值、特征向量； ②

对 个特征向量单位化、正交化；

③

构造（正交矩阵）, ；

④

作变换 ,新的二次型为 , 的主对角上的元素 即为 的特征值.正定二次型

不全为零，.正定矩阵

正定二次型对应的矩阵.√ 合同变换不改变二次型的正定性.√ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：

①

正惯性指数为 ； ②的特征值全大于 ； ③的所有顺序主子式全大于 ； ④

合同于，即存在可逆矩阵 使 ； ⑤

存在可逆矩阵，使

（从而）； ⑥

存在正交矩阵，使

（大于）.√ 成为正定矩阵的必要条件：；

.b

b s

.k ao

y a n.c o m

内容相互纵横交错 线性代数复习小结

概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，使学知识能融会贯通，举一反三，根据考试大纲的要求，这里再具体指出如下：

行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。

矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次，一是矩阵的符号运算，二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中，首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简，然后再代入数值，算出具体的结果，矩阵的求逆（包括简单的分块阵）（或抽象的，或具体的，或用定义，或是用公式 A-1= 1 A*，或 A用初等行变换），A和A*的关系，矩阵乘积的行列式，方阵的幂等也是常考的内容之一。

关于向量，证明（或判别）向量组的线性相关（无关），线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关（无关）的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。

向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。

在 Rn中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，应该概念清楚，计算熟练，当然在计算中列出关系式后，应先化简，后代入具体的数值进行计算。

行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容，它们不是孤立隔裂的，而是相互渗透，紧密联系的，例如 ?OA?O≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r（A）=n(满秩阵)〈===〉A的列（行）向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2 „PN，其中PI(I=1,2,„，N)是初等阵〈===〉r(AB)=r(B)<===>A初等行变换

I〈===〉A的列（行）向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件，故对考生而言，应该认真总结，开拓思路，善于分析，富于联想使得对综合的，有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。

关于特征值、特征向量。一是要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程 ?OλE-A?O=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值（的取值范围），可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用，二是有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵，反过来，可由A 的特征值，特征向量来确不定期A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2（λ2≠λ1）对应的特征向量，从而确定出A。三是相似对角化以后的应用，在线性代数中至少可用来计算行列式及An.将二次型表示成矩阵形式，用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个：一是化二次型为标准形，这主要是正交变换法（这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法），在没有其他要求的情况下，用配方法得到标准形可能更方便些；二是二次型的正定性问题，对具体的数值二次型，一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别，而抽象的由给定矩阵的正定性，证明相关矩阵的正定性时，可利用标准形，规范形，特征值等到证明，这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。

一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。

线性代数的概念很多，重要的有：

代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。

例如，矩阵A＝(α1，α2，„，αm)与B＝(β1，β2„，βm)等价，意味着经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r(A)与r(B)是否相等，而向量组α1，α2，„αm与β1，β2，„βm等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息，因此，由向量组α1，α2，„αm与β1，β2，„βm等价，可知矩阵A＝(α1，α2，„αm)与B＝(β1，β2，„βm)等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。

又如，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使CTAC＝B，要实现这一点，关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP＝B成立，进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵A～BAB，即相似是合同的充分条件。

线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：

行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。

二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有

r(B)≤n-r(A)即r(A)＋r(B)≤n

进而可求矩阵A或B中的一些参数

再如，若A是n阶矩阵可以相似对角化，那么，用分块矩阵处理P-1AP＝∧可知A有n个线性无关的特征向量，P就是由A的线性无关的特征向量所构成，再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值，则齐次方程组(λiE-A)x＝0的基础解系由ni个解向量组成，进而可知秩r(λiE-A)＝n-ni，那么，如果A不能相似对角化，则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)＜n-ni，若A是实对称矩阵，则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r(λiE-A)＝n-ni，此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。

又比如，对于n阶行列式我们知道：

若｜A｜＝0，则Ax＝0必有非零解，而Ax＝b没有惟一解(可能有无穷多解，也可能无解)，而当｜A｜≠0时，可用克莱姆法则求Ax＝b的惟一解；

可用｜A｜证明矩阵A是否可逆，并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1；

对于n个n维向量α1，α2，„αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2„αn｜是否为零来判断向量组的线性相关性；

矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的最高阶数来定义的，若r(A)＜r，则A中r阶子式全为0；

求矩阵A的特征值，可以通过计算行列式｜λE-A｜，若λ＝λ0是A的特征值，则行列式｜λ0E-A｜＝0；

判断二次型xTAx的正定性，可以用顺序主子式全大于零。

凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。

三、注重逻辑性与叙述表述

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

线性代数中常见的证明题型有：

证｜A｜＝0；证向量组α1，α2，„αt的线性相关性，亦可引伸为证α1，α2„，αt是齐次方程组Ax＝0的基础解系；证秩的等式或不等式；证明矩阵的某种性质，如对称，可逆，正交，正定，可对角化，零矩阵等；证齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否有解(亦即β能否由α1，α2„，αs线性表出)；对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解；证二次型的正定性，规范形等。

《线性代数》是一门研究线性问题的数学基础课，线性代数实质上是提供了自己独特的语言和方法，将那些涉及多变量的问题组织起来并进行分析研究，是将中学一元代数推广为处理

大的数组的一门代数。

线性代数有两类基本数学构件.一类是对象：数组；一类是这些对象进行的运算。在此基础之上可以对一系列涉及数组的数学模型进行探讨和研究，从而解决实际问题.既然线性代数有自己独特的内容，我们就要用适当的学习方法面对。这里给出五点建议：

一、线性代数如果注意以下几点是有益的.由易而难 线性代数常常涉及大型数组，故先将容易的问题搞明白，再解决有难度的问题，例如行列式定义，首先将3阶行列式定义理解好，自然可以推广到n阶行列式情形；

由低而高 运用技巧，省时不少，无论是行列式还是矩阵，在低阶状态，找出适合的计算方法，则可自如推广运用到高阶情形；

由简而繁 一些运算法则，先试用于简单情形，进而应用于复杂问题，例如，克莱姆法则，线性方程组解存在性判别，对角化问题等等；

由浅而深线性代数中一些新概念如秩，特征值特征向量，应当先理解好它们的定义，在理解基础之上，才能深刻理解它们与其他概念的联系、它们的作用，一步步达到运用自如境地。

二、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。

1、线性代数的概念很多，重要的有：

代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

2、线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：

行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。

三、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

四、注重逻辑性与叙述表述

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解学生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查学生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家学习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

总之，数学题目千变万化，有各种延伸或变式，同学们要在学习过程中一定要认真仔细地预习和复习，华而不实靠押题碰运气是行不通的，必须要重视三基，多思多议，不断地总结经验与教训，做到融会贯通。