教孩子了解简单的力学原理的教案[优秀范文5篇]

第一篇：教孩子了解简单的力学原理的教案

科学探索活动：纸张魔术师 活动目标：

1． 通过玩纸张游戏，了解简单的力学原理。

2． 在操作探索活动中培养幼儿爱动脑思考、爱尝试的意愿。在尝试操作中学习解决问题的方法。

活动准备：各种纸张、剪刀、书本等。活动过程：

（一）会站立的纸张

教师提出游戏的问题：“怎样才能让你手里的纸站立起来。”引导幼儿在操作中尝试不同的办法让纸站起来。

（二）站立的纸张承受力量

提出问题：“怎么才能让纸撑起一本书？”引导幼儿尝试用不同的折叠方法是纸张有力量。

（三）用纸撑起一个人的力量

提出问题：“一张纸的力量到底有多大？总不能达到撑起一个人的力量吧？”尝试动手让纸变一变让纸能撑起一个人的力量。

第二篇：乒乓球技术的力学原理

随着乒乓球技术日新月异的发展。乒乓球的打法向着高速度和旋转两个方向发展。一般运动员所走的道路总是在教练指导下按步就班地提高乒乓球技术水平。教练员总是力求用最高最新的技术培养人才。我是一名乒乓球的业余爱好者，我有个特长就是喜欢独立思考。因此象我打乒乓球走了一条曲折而又漫长的道路，很可能走进死胡同，永远也打不好，这是常见的事。但是，从另一角度来讲也可能有所发现。由于我长期以来对乒乓球执着的爱好，坚韧不拔的意志和反反复复的思考，我摸索了一套关于攻球的方法。我觉得这套方法是有效的，对于我国运动员在重大国际比赛中发挥有效进攻会有所帮助。我是一名从事力学教学的教师。下面我从力学的角度分析分析各种攻球方法的利和弊，如何提高攻球的稳定性和速度。

乒乓球与球拍接触，而球拍总是带有胶皮和海绵的。所以首先可以把乒乓球理想化为一个刚体。认为乒乓球与球拍碰撞的过程中，乒乓球不变形。当用球拍击球时，球拍给球一个作用力。根据力学中的力线平移实现。这个力向质心移动就产生作用于质心的一个力和一个力偶。这就说明球拍对球的作用产生两种效应：一是使球随质心作平动，另一方面又使球围绕质心作旋转。

平动效应的基本要求是使球过网弧度尽量低，这样才能产生较快的速度。而转动效应要提高球的旋转。不仅使球落台快，而且也提高了稳定性，避免下网和出界，下面我就来球为不下旋和来球为下旋的攻球方法：（拍型为直拍，胶皮为反贴）

如果来球为不下旋，攻球种类可分以下几种：

⒈在球上升期向下推

⒉前倾拍型先提拉球后再下压

⒊球拍后仰插球下，原地后翘拍下边转击球

⒋球拍充分前倾，几乎摩擦球的顶部

第一种方法：优点是速度快、力量大，缺点是必须在上升期，且旋转不够、稳定性差。在我观看王楠和李菊比赛时，王楠拍子压得低，以磨擦为主，而李菊反手会向下压，失误较多。

第二种方法：具有一定稳定性，但是台面球不太好处理，旋转不太强。

第三种方法：对于台面小球起板能力大大加强，但对于来球速度快，来不及打，不能发挥手臂和腰部的力，另外反手不易翻过去。

第四种方法：在速度和旋转方面表现极大的优越性，注意要在正反手和追身情况下要预先保证拍子充分压下去。欧洲优秀选手采用横拍，两边拉技术十分凶狠，对我国运动员造成严重威胁。在我观看比赛时总是有一种想法，为什么在来球不下旋时，我国运动员对拍型下压有时不够。下压不够向下推又易于下网。充分下压后纯提拉，既提高击球准确性，又加快球的上旋程度和进攻的速度，落点也易于控制。我分析了国家运动员比赛时，当来球不下旋时的失误主要原因乃是拍型预先压得不够。

从力学角度来考虑，拍型充分前倾，在提拉时球拍对球的作用，使球的质心的运动方向对准网的上边缘。又由于是纯摩擦，使球强烈上旋，使球成为前冲弧圈球。拍子向左向右一歪，或者力度强弱有变化，就能打进落点变化、质量很高的上旋球。

如果来球为下旋，攻球方法大致有以下几种：

⒈垂直拍型、拍型后侧，向前方推击，后转拍下压。

⒉球拍后仰插球下，击球时拍子下边向后回收提拉，然后转拍下压。或者靠球较紧立即回地转拍击球。

⒊拍子适当前倾纯提拉。形成弧圈球攻球方法。

⒋拍子垂直状态，拍面向左方或者向右方。置拍于球侧面而转推击球。若下旋不强，可以在球侧前方，保持球拍垂直状态转拍。

第一种方法：比较容易掌握。若下旋强，向前方的推击力量大，若下旋弱，向前方推击力量小。但速度旋转受到限制。

第二种方法：是我国运动员用于台面上起板方法。一般用于在球下降期，这样长下旋球就比较困难。

第三种方法：也是我国运动员常用的正反手弧圈球打法。其优点上旋力强，攻球速度快。但是对于台面小发挥不出威力。而且由于拍型位置（靠前靠后、靠上靠下）也会引起失误。而且直板正手威力大，反手威力小，追身球要求侧身快，动作幅度大不易复原。

第四种方法是我自创的一种手法，独立于前几种，也是本文的重点。这种方法在比赛中还未见到，但它确是解之有效。拍型垂直可保证击球的力为水平，转击时沿球中部磨擦。用这种方法有以下几个优点：

优点1：身体动作小、还原快、不会产生大幅度身体动作，便于连续攻击。

优点2：不论球的长短高低，落点位置都可以发挥其进攻威力，因为它既不需要插球下，也不需要发力提拉，因为拍子在球侧面本身就是提拉。我国运动员在用小球进行控制，说明小球不敢轻易起板。而我这种方法只要步伐拍型到位，攻球可随心所欲。

优点3：球的落点可以容易变化，便对手猝不及防，因为它是运用手腕转动形成的方向变化极其灵活。

优点4：打出去的球侧上旋，因为它是从球侧面攻，所以使球侧上旋。

优点5：反手比正手更好打。反手更易放在球侧面，进攻更方便。

以上几个优点是切实可行的，我希望这种方法对于乒乓球运动水平的提高能尽我一点微薄的贡献。

总起来说攻球分为两个方面，其一是判断来球是否带下旋下旋的强度是多大。其二是击球速度要特别快，不能给对方有喘气的机会。在攻球手法上也分为两个方面，其一是设定状态，若来球不下旋状态，拍子使劲向前翻，几乎水平。若来球为下旋，拍型垂直，拍而向左（反手攻），拍而向右（正手攻），并且运动到球侧方位置。其二是快速动作，若来球为不下旋，提拉球顶部，若来球为下旋，侧向转拍即可。

庄则栋“加速制动”技术的力学原理（转帖）

JinLong Wang f_007@tom.com

同一座山，横看成岭侧成峰，远近高低各不同。各有各的视角，各有各的美。欲识内在美，须入此山中。当你置身于庐山三叠泉瀑布下的龙潭池边，看见飞流直下撞击岩石的瞬间，重力加速度似乎突然制动消失，出现银河坠天、浪花腾翻的奇异景象，你一定会感到飞瀑突变带来的心灵震撼，惊叹大自然造化的动态美。

好像飞瀑撞石的自然奇观，“加速制动”技术发明者庄则栋先生创造的乒坛奇迹，同样让人久久感叹和思考。庄则栋先生把“加速制动”称为自己制胜的绝招和法宝。此招绝妙，此宝珍贵，此法达理。从力学上看，这一法宝不仅对乒乓球运动，而且对其他球类运动，乃至对其他竞技体育运动，都是一个不可多得的制胜法宝。何以为据？理由如下。

1.动量变化的效果

庄则栋先生在他的专著《闯与创》和许多撰文演讲中，一直强调“加速制动”的重要性，并应用动量变化、冲击力、以及碰撞与惯性等物理概念，从力学上做出了解答。这一创新理论对乒乓球技术的发展具有重要的意义，从下面几个例子可看到“加速制动”的作用和影响。例1，庄则栋直板正胶两面攻的特点是采用了在哪碰球就在哪停的弹击动作。被誉为世界第一反手的王涛是横拍生胶反手弹击，其威力之大以致令国内外高手与他交手时，总是想法避开他的反手。从原创到顶峰，这一爆发力、杀伤力俱强的弹击技术可为“加速制动”的典范。例2，我国传统快攻打法的独有技术正手突击，动作要点就是爆发用力，而且有制动动作，其作用表现在人与拍、拍与球之间的动量传递，加强了动作的突然性。例3，在目前弧圈球横行的天下，近台正手突击几乎看不见，而台内正手爆挑却威风八面。看看马林的爆挑镜头，那暴跳飞身之势令对手失措、让观众惊叹。再细看一下慢镜，你就会发现一个定格：挑前瞬间先固定支点，然后飞身发力挑打。这不是“制动加速”吗？这一突现式的先静后动，正巧与“加速制动”的先动后静相对应，只是二者的转换方向相反，而转换方式及其功能却有异曲同工之妙。从动量变化的角度看，二者互为反例，均可看出动量变化的作用和效果。

“加速制动”与 “制动加速”的共同特点是把人击球的动量变化增量极限化。从动量定理（dp = F dt）可知，动量增量叫冲量，动量变化过程中产生的力叫冲力，这个冲力随着冲量增大而增大，而且也随动量变化的时间缩短而增大。在动量变化的过程中，冲力是这个变化的效果之一，同时还产生另外两种容易被忽视的效果：力臂和力矩。通常人用球拍击球时，用力方向多偏离球心，而且会在球表面上产生不同程度的摩擦。根据力向一点平移定理（FB =FA，M = MB（FA）= rBA ´ FA）作用到球上的一个力平移摩擦后附加了一个力偶。由力和力偶矩分别产生平动和转动的两种运动效应，使球边前进边旋转地运动。因此，乒乓球运动的动力来源于动量变化。当你具备了这一动力源，在旋转的乒乓世界里，怎样驾驭旋转呢？

2.力偶矩的效应

对于“加速制动”过程中的相互作用力，庄则栋还是运动员的时候已经体悟到“加速是一个力，制动是另一个力，而且是相反的作用力。”现在可以从他的一张正手攻球照片上看到，他右手向左前方挥去，左手反向转到右腋下面。这种非同常人的击球姿势，表现出了由剪切力产生力偶矩效应的生动形象。如果把这张照面与徐寅生自传《我与乒乓球》一书封面上反手攻球的照片相对比，将会发现这两位著名乒乓球大师击球姿势的美妙。虽然他们分别是正反手、内外旋、方向不一样，可是他们的姿态却具有相同的不变的内涵。只是一个正手内旋，轴在前胸；另一个反手外旋，轴在后脊，而他们两人不同外形的相同内涵就是身体转动的力偶矩。

力偶矩（M = rBA ´ F）是描述转动效应量度的概念，一种容易体验的方法是，在驾车过程中用双手转动方向盘控制方向。人开车要靠加速、制动和方向盘，而打球要靠加速、制动和力偶矩。前者三要素必须分离控制，而后者却要融为一体。打球“加速制动”时，由于力偶与力臂的相互作用，在轴向上产生力偶矩，同时在力臂载体上显现出转动效应。从物理本质上讲，打球是把人体力偶矩做功的能量通过拍与球的作用，利用撞击和摩擦方式传递到球上，最后表现出球的平动和转动效应。

乒乓球运动来源于网球运动。从人体动力学和运动学原理看，它与太极拳运动更为相似。这两种外观截然不同形式的运动，却都属于由力偶矩（力矩、动量矩）所决定的圆（混圆、螺旋）运动。一般平动由力产生，而在转动中，力矩的概念占据着关键的主导地位。刘嗣传先生在《武当三丰太极拳》中明确指出，太极拳内劲功力来自身体平衡和重心偏移产生的偏心力矩。此论精准，一语中的，惟有偏心力矩，方能四两拨千斤。武坛奇才王世清在日开武馆时，打遍日本无敌手。全日相扑冠军滕田来馆挑战，只是一个照面，只听“噗”的一声，这个200多公斤重的人体圆球，被摔出丈远，落倒了墙角。那种叫做爽的感觉，众多球友似曾有过：只是一个爆冲，只听“唰”的一声，乒乓球擦过台边，落到了墙角。大凡能制造“噗”、“唰”音响者，不管在武馆，还是在乒馆，必是演奏“引进落空合即出”、“闪开中正定横冲”三步曲的高手。此曲第一步，“引进落空”，吃住球、准备力偶矩；第二步，“闪开中正”，重心转移、制造偏心力矩；第三步，“合即出”、“定横冲”，则是蹬腿、转腰、甩臂摩擦，进行力矩做功。

3.力矩做功的效能

力偶矩就是力矩，只是力偶产生的力矩。对于控制球的旋转来说，它是一个看不见的法宝。为了形象描述、理解和应用它，我们不妨把“加速”和“制动”这两种相反的、围绕同一轴心相互作用的力，比喻成两条连续环游、转成一团的黑鱼和白鱼。用负阴而抱阳的太极图像表示力偶矩，可以清晰地看到一个太极乒乓的形象。它的静态形象可隐喻力偶矩的元素含义，而动态形象则反映力矩做功的过程和效能。从动力学角度看，庄则栋先生创新的“加速制动”技术，可衍生出重要的力学效应。如上所述，增大动量变化产生力偶矩，能控制击球的力量、速度和旋转等要素。若从运动整体效果看，“加速制动”技术的重要性在于它决定着力矩做功的效能。所谓力矩做功是在转动中力做功的一种特殊形式，它由一般的力做功变换为力矩对角位移积分的力矩做功（W=∫F dr → w=∫M dθ）。其中力矩和角位移二矢量均由乒乓球技术的要素所构建: 力矩由发力（重心交换、腰臂合一、发力方式等）和力臂（转动幅度、击球动作等）产生；角位移是力与运动方向之间的角度变化，与发力方向、拍面方向、拍形角度等要素有关。力矩做功则表示力矩与角位移相互作用的积累效应，该效应对应于乒乓技术所有要素发生统一作用的整体效应。由此可见，力矩做功决定着击球质量、连续性和综合技术水平。其中连续性，反映了力矩做功过程的动态特性，做功的效能及其效能所达到的境界。

关于连续性的问题，庄则栋先生一直强调用“加速制动”打球，击球的准备时间，自己多了，而对手少了。不仅能快一板，而且能连续地快。国家队李晓东教练尤其重视连续性，曾提出“先发动、先下手、抢时空”，一板球与下一板球之间的衔接，环环相扣，行云流水，流畅自如。这样的连续性，能达什么境界？乒乓精英们用体语的回答，留下了历史记录：著名世界冠军郭跃华为了提高攻球命中率，与同伴训练对攻，龙腾虎跃，连续对攻，一个球整整打了两个小时；夺得世界冠军数目和种类最多的王楠，打小就打下了好基础。有一次与队友练习正手对攻，一次性连续打了4800板。四千八百板，板板乒乓响。一曲交响乐，人球共振荡。“长时间的、激动人心的来回往复，伴随着不同的旋转与各种精彩技术的组合----这就是我眼中的乒乓艺术。”这是世界乒坛常青树、艺术殿堂上传奇人物老瓦的心声。

在多彩的大千世界里，绘画大师达芬奇曾在研究力的平衡时提出了重要的力矩概念，乒乓球大师庄则栋发明了具有如虎添翼威力的“加速制动”技术。在这两种发明之间偶尔显出一种内在联系: 前者寓于后者，而后者基于前者。二者联系的形象模式，好像庐山飞瀑落地成河，刹那间水流转变了方向，从垂直转变为水平，形成了一个直角尺形的偃矩。关于曲直形态的变换，我国古代的商高归结为：“圆出于方，方出于矩”。这个矩是看得见的几何形状，而力矩则是看不见的旋转动力因。如果你用心感知一项运动的外形和内因，并且沿着它的轨迹控制好力、力矩和力矩做功，或许当你陶醉于运动过程的时候，已经进入了一种美妙的境界。

转自小鱼儿jlw

关于乒乓球螺旋球的新概念及新技术--兼论乒乓球运动的数学和力学基础

徐庆和

(北京大学 数学科学学院 北京 100871)摘要：研究目的：建立关于乒乓球螺旋球（helical balls）、挠旋球（torsional balls）的新概念、新技术、及新系统。研究方法：应用现代数学理论（微分不变量）和电脑程序来研究乒乓球的旋转。研究结果：（1）给出了乒乓球螺旋球、挠旋球的新概念和科学定义。（2）给出了乒乓球螺旋球系统的新的旋转分类法。（3）阐明了乒乓球运动在3维空间的数学和力学原理及运动的基本规律。（4）建立了乒乓球螺旋球、挠旋球的理论系统和技术系统。

关键词：乒乓球运动；旋转；螺旋球；弧圈；曲率；微分不变量；运动学

New Concept and Technique of Helical Balls in Table Tennis

--Discussion on Mathematical and Mechanical Foundation of Table Tennis Xu qinghe(School of Mathematical Science, Peking University, Beijing 100871, China.)Abstract: In order to set up new concept and technique of the helical balls and torsion spin balls in table tennis, this paper studies the spins of table tennis by means of modern mathematical theory and computer program.The result shows that(1)giving the scientific definition and concept of helical balls.(2)giving the scientific classification system of helical balls.(3)giving the scientific regulation of table tennis in three dimensional space.(4)establishing the theoretical and technical system of helical ball and torsional balls.Keywords: table tennis；spin；helical ball；torsional balls；mathematica

１ 螺旋、螺旋球和挠旋、挠旋球的定义： 1.1 乒乓球螺旋和挠旋的定义：

在连续（变化）的合力作用下（这个合力，在不同的时间具有不同的方向，并且可以是不在一个平面上），在使乒乓球前进时，又使乒乓球产生一种旋转，球运行的轨迹，呈螺旋线形（即螺旋线的一部分）(图1, 图2)，这种旋转，称为螺旋。

图1 3维空间螺旋面, 它是由 图2 3维空间圆柱螺旋线 3维空间螺旋线组成 如果在上述条件下，乒乓球运行的轨迹，呈挠旋线形（即挠旋线的一部分），这种旋转，称挠旋。

1.2 螺旋球和挠旋球的定义：

具有强列螺旋的球，称为螺旋球。具有强烈挠旋的球，称挠旋球。螺旋球和挠旋球与“弧圈球”的区别和联系：

关于弧圈和弧圈球，目前乒乓球专业书上的叙述有几个要点：(１)首先给出弧的概念，它是圆的一部分，或者是一条平面曲线（圈则是指圆圈的圈）。(２)它是一种上旋球，即旋转的方向是向上的。(３)合力的方向，是向上向前的。关于所谓弧圈的“弯度”，一般都是用直观描述法，来叙述一下，没有给出具有科学原理的定义，没有应用数学曲率的科学概念，更没有应用挠率的科学概念。关于弧圈的命名，在乒乓球专业书《乒乓球的旋转》中，是这样给出的：“由于弧圈球飞行时犹如半个圆圈，弧圈球便由此得名”。

上述“弧圈”这个概念，无论是从现代数学、现代力学的理论观点，还是从乒乓球的实践观点来分析，都存在严重的片面性、局限性等缺陷。用一句话来概括，现在所谓的“弧圈”这个概念，缺乏科学的依据、科学的分析、和科学理论的支持，特别是缺乏现代数学科学和力学理论的支持。由于乒乓运动的开展，最基本的一条，就是需要有一个现实的空间，在数学上来刻画它，就需要建立一个3维空间，而我们从现行书上的描述（上述的3个要点），从大多数情况来看，它的主要格局，包括所有的示意图（参看２０００年６月最新出版的体育辞典上所有有关图示及其概念）其几乎都是用2维平面上的圆弧, 至多也是用2维平面上的曲线来刻画的，这样的刻画和描述不仅仅是粗糙的、片面的，而且是违背实际的，它不利于乒乓球运动的理论研究，不利于推动乒乓球运动的进一步发展。螺旋球、挠旋球与“弧圈球”的区别：主要有4条：

(１)旋转概念不一样；由上旋的定义，上旋球的旋转方向是向上，而由螺旋的定义，螺旋球旋转方向是呈螺旋线形的；

图3 3维空间圆锥螺旋线(２）作用的空间不一样，上旋球是用二维平面中圆圈或曲线来刻画的，而螺旋球是用三维空间中螺旋线形来刻画的；(３)螺旋球是用3维空间中科学而精确的曲率和挠率来刻画的，而在目前的乒乓球专业书中，关于上旋球的一切探讨，是从来不考虑挠率这个极重要的科学参数；(４)原有的提法，缺乏科学内涵和理论支撑，从而制约了乒乓球技术的深入和理性的发展，螺旋球的科学概念和理论系统，有利于用电脑和现代技术研究和发展乒乓球运动(图4)。

图4 3维空间圆锥螺旋线及 在3个平面的投影螺旋线

这里应指出的是：弧圈球是一种上旋球，而所谓的上旋球，可以看成是螺旋球的特例。因此，螺旋球，挠旋球是“弧圈球”技术的新发展和更新换代，它是定义在螺旋和挠旋等现代科学概念的基础上。空间曲线和螺旋线的数学定义、力学意义及其基本规律： 3.1 空间曲线的方程的几种表示：

3.1.1 参数式；3.1.2 交面式；3.1.3 矢量式；3.1.4 空间曲线的自然方程。3.2 曲率和挠率的定义：

曲率：度量曲线上相邻两点的切向量的夹角关于弧长的变化率。直线的曲率恒为0。圆周的曲率等于其半径的倒数。

挠率：度量曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率。平面曲线是挠率恒为零的曲线。空间曲线如不是落在－平面上，则称为挠曲线。

曲率和挠率是两个微分不变量，它们决定了曲线的形状特征，是刻画空间曲线在某点邻域弯曲程度和离开密切平面而扭曲程度的量。3.3 空间曲线的基本定理和自然方程：

给出闭曲线上的两个连续函数κ（ｓ）和τ（ｓ），其中κ（ｓ）＞０，则除了空间的位置差别以外，唯一的存在一条空间曲线，使得参数ｓ是曲线的弧长，并且κ（ｓ）和τ（ｓ）分别为曲线的曲率和挠率。

把κ＝κ（ｓ），τ＝τ（ｓ）称为空间曲线的自然方程。这是空间曲线的基本定理, 它的重要性在于它指明了空间曲线除了它在空间的位置外，由它的自然方程唯一的确定。它从理论上进一步指明：不但曲线的形状决定了它的曲率和挠率，而且曲率和挠率还决定了曲线的形状。

3.4 特殊曲线一般性的理论研究： 如果曲线的曲率和挠率满足线性关系：Ａκ＋Ｂτ＋Ｃ＝０，其中Ａ、Ｂ、Ｃ为常数，则曲线可分为下面几种情况： １)Ｃ＝０，一般螺旋线。特殊情况：Ａ≠０，Ｂ＝０（κ＝０）时：直线；Ａ＝０，Ｂ≠０（τ＝０）时：平面曲线（挠率恒为零的曲线为平面曲线）。

２)Ｃ≠０，Ａ＝０，Ｂ≠０：挠率固定的曲线。３)Ｃ≠０，Ａ≠０：贝特朗曲线。

我们用它们可以精确地给出任意一条空间曲线，并可以由相关的公式，计算出曲率和挠率，及空间曲线的长度。它们是研究乒乓球在空间运行曲线的数学工具和主要的计算方法。

在空间曲线中最具代表性的曲线，就是螺旋线和挠旋线，它是从现实生活、社会实践和科学试验中，对物质运动的轨迹进行抽象，而得到的具有确定方程、可计算的空间曲线。因此，应用它，我们可以比较科学地研究乒乓球在空间运行的曲线。

3.5 螺旋线的数学定义：

若曲线Ｃ为挠曲线，若其曲率和挠率具有固定比值，称为螺旋线。它的特征是切线与－固定方向做成定角。如果曲率和挠率均为非零常数,那么Ｃ是圆柱螺线, 即它在圆柱面上且与直母线做成固定角。3.6 螺旋线的力学意义：

从力学意义上来说，我们可以把乒乓球在空间的运动，视为刚体一般运动（general motion of a rigid body），即对运动学条件没有任何限制的刚体的自由运动。乒乓球在作自由运动时，球体内没有任何固定于空间的点，而且任何3个不共线的点的轨迹不会相同。刚体作一般运动时有6个自由度。3.7 乒乓球在空间运动的基本规律：

1）乒乓球在空间作一般运动时的任何位移都可分解为随基点的平动位移和绕基点上某轴的转动位移，改变基点的选择，只影响平动位移而不改变转动位移的转角。2）乒乓球在空间作一般运动时的任何位移都可化成螺旋位移,由绕某轴的转动和沿该轴的平动位移合成。这个轴称为螺旋轴。

3)乒乓球在空间作挠旋运动时的任何位移都可分解为随基点的平动位移和绕基点上某轴的转动位移，改变基点的选择，不仅影响平动位移而且可以改变转动位移的转角。挠旋运动是指：曲率和挠率的比不等于常数。

4)乒乓球在空间作挠旋运动时的任何位移都可化成挠旋位移, 由绕某轴的可变角转动和沿该轴的平动位移合成。这个轴称挠旋轴。

也就是说上述乒乓球在空间的一般运动，可归结为在每瞬时沿着和绕着瞬时螺旋轴的螺旋运动。随着时间的推移，瞬时螺旋轴在固定空间描出一个线生曲面，同时它在刚体内部也描出一个线生曲面。这两个曲面相切于该瞬时的螺旋轴。因此，乒乓球的一般运动可视为绕螺旋轴的翻滚和沿该轴的滑动这2种运动的合成。螺旋线和挠旋线的区别及螺旋和螺旋球的分类： 4.1 螺旋线和挠旋线的区别：

从数学的角度来分析，主要用具有运动学意义的微分不变量--曲率和挠率，来刻画空间的曲线：如果一条空间曲线，不是落在一个平面上，我们称它为挠旋线，这时它的挠率不等于０；若一条挠旋线，其曲率和挠率具有固定比值，称为螺旋线。4.2 螺旋线的数学分类：

1）圆柱螺旋线；2）圆锥螺旋线（这种曲线投影到Ｏｘｙ平面上，刚好是对数螺线）；3）一般螺旋线，它的特殊情形，是圆柱螺旋线。4.3 螺旋和螺旋球的科学分类： 总体上分3种情况：

4.3.1 关于接球的螺旋和螺旋球的分类;4.3.2 关于发螺旋球及其分类;4.3.3 台内螺旋球的分类.下面分别进行实际和具体的研究及其科学分析: 4.3.1 关于接球的螺旋和螺旋球的分类：共有4种分类法：(1)按身体发力部位分类：

1)手腕螺旋球（挠旋球）：主要发力部位是手腕关节和手指关节的合力，发力地点是台内近网处；

2)肘螺旋球（挠旋球）：主要发力部位是肘关节和手腕关节和手指关节的合力，发力地点是台内；

3)大臂螺旋球（挠旋球）：主要发力部位是脚掌、腿、腰、大臂、肘关节和手腕关节和手指关节的合力；发力地点是台外，针对半出台、和出台球。(2)按运行曲线分类: 1)高吊螺旋球（挠旋球）；2)前冲螺旋球（挠旋球）；3)右冲螺旋球（挠旋球）；4)左冲螺旋球（挠旋球）。(3)按击球地点分类：

1)近网螺旋球（挠旋球）；2)台中螺旋球（挠旋球）；3)台外螺旋球（挠旋球）。

(4)按数学定义分类： 由螺旋线的数学分类，我们相应地把螺旋球分为： 1)圆柱螺旋球；2)圆锥螺旋球；3)一般螺旋球。统称为螺旋球（图5）。

图5 圆柱螺旋线在3维空间的轨迹 4.3.2 关于发螺旋球及其分类：

乒乓球的发球，和其它任何球类的发球不一样，有其独特而鲜明的特色：即发球时，球首先是击打在自己这一方，然后再弹跳到对方，而不像羽毛球、排球等，可以直接击打到对方。因此，对发球的力量就受到限制（而接球的力量就没有这个限制，只要准确上台即可）。因此，乒乓球发球的旋转，就显得更加重要。螺旋和螺旋球、挠旋球理论系统和新技术系统的建立，为乒乓球发球技术发展打下了理论基础。发螺旋球的分类如下：(１)正手螺旋发球；(２)反手螺旋发球；(３)下蹲螺旋发球；(４)高抛螺旋发球；(５)滚动螺旋发球。4.3.3 台内螺旋球的分类： 主要有3种情况：

(1)快带螺旋；(2)兜底螺旋；(3)直扭螺旋。

（注：由于空间的曲线，是由曲线的曲率和挠率及相应的方程来确定的，它可以是2次曲面上的曲线，例如：圆柱球面、椭球面、双曲面、抛物面、马鞍面等各种2次曲面上的曲线，因此，在实践中，特别是为了便于深入地、全面地、精确地进行乒乓球运动轨迹的科学研究和理论研究，我们分别把具有这些轨迹的旋转和击球，称为：１）球面旋转球;２)椭球旋转球;３)双曲旋转球;４)抛物旋转球;５)马鞍旋转球等。并统称为螺旋和挠旋球。）5 螺旋和螺旋球的应用：

从总体上说，根据科学的现代数学原理、现代力学理论和数学弹性力学的基本规律（如变形连续规律、应力-应变关系的规律、运动或平衡的规律及球体和球壳的理论），乒乓球在空中运行时，绝大多数情况，都是在某种旋转（包括平行运动，或旋转的组合）的情况下进行的，因此我们在了解到或掌握螺旋和螺旋球的概念、定义和理性知识之后，就可以在各个环节，如发球、接球、拉球、攻球、搓球及各种击球的环节，预先设定乒乓球的螺旋方式及旋转方式，预先在电脑上通过程序来显示, 并达到预期目的。以下对螺旋和螺旋球的应用, 进行实际动作理论和技术分析: 5.1 发螺旋球：

在发球时，手挥动球拍击球时的轨迹，包含触球点及在球拍上延续的轨迹，呈螺旋状态，即螺旋线的一部分（可以是圆柱螺旋线的一部分、圆锥螺线的一部分、一般螺旋线的一部分等），统称为发螺旋球（和上旋球、下旋球的区别：现行专业书上叙述，在发上旋球、下旋球时，手挥动球拍击球时的轨迹，包含触球点，是方向向上、方向向下的）。再细分，可以发方向偏上的上螺旋球（图6）和发方向偏下的下螺旋球。也可以发高抛螺旋球、正手或反手螺旋球。这里应说明的是：现在书上所谓的上旋球、下旋球，可以看成是上螺旋球和下螺旋球的特例。当然我们还可以发各种挠旋球。

图6 发上圆柱螺旋球, 球拍在三维空间挥动路线

发螺旋球技术的6结合9组合: 6结合：螺旋曲线和落点结合；螺旋曲线和速度结合；螺旋曲线和力量结合；速度和落点结合；速度和力量结合；落点和力量结合。9组合：长短球组合；左右（大角、长）球组合；远近球组合；转和不转球组合；正手发球和反手发球组合；右螺旋和左螺旋组合；上螺旋和下螺旋组合；圆柱螺旋和圆锥螺旋组合；高抛螺旋和低抛螺旋组合。

5.2 拉螺旋球, 分2种情况： 5.2.1 出台球: 适于拉左冲、右冲、前冲等各种螺旋球，在引拍时，应用脚掌、腿、腰、大臂、前臂的力量形成合力，球拍挥动路线呈螺旋线形，触球的时间，是在球的上升期或最高点，并且触球点在球的偏上或顶点的位置，在球拍触球的瞬间，加上手碗和食指的甩动合力（直拍用手碗和中指），适当加长球和球拍磨擦的时间，减少碰撞的时间，并仍使球在球拍上的运动轨迹呈螺旋线形。左冲螺旋球和右冲螺旋球的飞行轨迹呈螺旋线形，在球接触对方球台时，以螺旋线形状向左、右等各种可以预测的各个方向飞出。由于拉左冲、右冲、前冲等各种螺旋球的运行轨迹，不在一个平面上，不仅具有一定的曲率，还具有一定的挠率，而且变化种类多样，常使对方难于判断和措手不及。

5.2.2 半出台球（包括左半出台球、右半出台球、正手半出台球、反手半出台球）: 适于拉高吊螺旋球：其要领和拉左冲、右冲、前冲螺旋球相似，球拍挥动路线呈螺旋线形，在球拍触球的瞬间，仍使球在球拍上的运动轨迹呈螺旋线形，但触球的时间，是在球的下降时期，并且触球点在球的中和中偏上的位置(中偏右下, 为兜底高吊螺旋球)。这里应注意的是：由于高吊螺旋球(图7)可以在左半出台、右半出台、正手半出台、反手半出台等各种情况下应用，因此，球拍的初始角度、综合应用合力的大小、螺旋线的大小和方向、曲率和挠率的大小的掌握，在实际操作时有一定的分寸及自由度，不宜过分僵硬，但上述要领，必须掌握住。

图7 高吊螺旋球在3维空间的飞行轨迹 5.3 台内螺旋球：

5.3.1 台内螺旋球，和出台、半出台螺旋球的主要区别是 ：

(1)击球的动作比较小；(2)基本动作在台内完成；(3)主要是由大臂、上臂、手碗、和手指，特别是手碗和手指的发力起了重要的作用。5.3.2 台内螺旋球主要有3种情况：

(1)快带螺旋：在台内球的上升后期，球拍迎着球，先碰撞后磨擦，球拍向上甩动的弧线是螺旋线形；

(2)兜底螺旋：球拍由球的底部触球，由下向上翻转，先碰撞后磨擦，球拍翻转甩动及球在球拍上磨擦的曲线是螺旋线形；

(3)直扭螺旋：球拍接近垂直略向后仰，球拍迎着球，球拍向右前上（或左前上）发力扭动，扭动的弧线是螺旋线形。

在上述相同的情况，我们还可以拉出或发出各种挠旋球。创建螺旋和螺旋球概念的理论意义和现实意义： 通过曲面上每一点沿着每一方向有唯一的一条测地线，而曲面Ｓ上一条由曲线ｃ在平面上伸展为直线的充要条件是：曲线ｃ是曲面上的测地线，也就是说在某种意义下，联结曲面上两点的一切曲线中，测地线最短（也称其为短程线）。因此，在乒乓球的实际运用中经常强调的有3个要素：一个是速度，一个是旋转，一个是落点, 那么怎样使3者组成最佳结合呢？现代数学理论告诉我们：使乒乓球在空间的运行路线，形成一条测地线，这是一个最佳的选择。而我们上述定义的螺旋球，它的运行轨迹，呈螺旋线型，如同圆柱面、圆锥面上的螺旋线，它恰好正是一条测地线。这是可定向、可展曲面所具有的很好的内蕴性质（如果在只需强调速度的时候，则使乒乓球在空间的运行路线，形成一条直线或球大圆，这两者也都是测地线。由于路程最短，在其它条件不变的情况下，耗时最少，速度最快）。上面的论述，具有实际经验的好手，也许能够体验到，但这绝不是偶然的巧合，这正体现了现代数学理论对乒乓球实践的指导意义，从而使乒乒球的实践建立在坚实的科学理论的基础上。

有了螺旋和螺旋球及挠旋和挠旋球的科学概念、定义和理论系统，有利于实现打知识球、打文化球、打科技球的理念.我们就可以用现代数学的眼光，用3维空间（和高维空间）的視角，用变量、变化的观点，用微分不变量--曲率和挠率这科学的尺度，用空间的几何曲线，用电脑高科技, 来分析乒乓球运动轨迹和旋转，那么对于乒乓球的相关研究，便可以纳入现代数学和现代力学的范畴，并可由此为核心内容和基本框架，建立一门《乒乒球的数学和力学原理》，对乒乓球的运动和旋转的规律，进行系统、科学、全面的研究（而不是仅仅是进行一些直观并且粗糙的描述），使乒乓球的研究，真正升华到理论的高度，成为一门有现代数学、现代力学和计算机智能专家系统作为基石的一门科学技术，也就是成为作者创立的智能数学的一个组成部分，从而推动乒乓球运动向科学和纵深的方向发展。

参考文献

[1] 韩志忠 周建军编著.乒乓球理论与实践方法探索[M] 云南出版社, 1995:44.[2] 徐寅生主编.乒乓世界[J].1998-2002.[3] 徐庆和主编.文科高等数学学习指导(2册)[M] 北京:清华大学出版社,2001:78.[4] Xu qinghe.A survey of quasiconformal mappings and new advances [J].Journal of Jiangxi Normal University, 2000(24)1:34-39.[5] Xu qinghe.An outline of collected papers on complex analysis [J].China Information Review.1994 6:36.[6] Xu qinghe Some results of collected papers on complex analysis[J].China Information Review.1994 10:36.Tel: 88372060 Email: qinghe31@sina.com Website: www.xiexiebang.com 发表在<<体育科学>> 2003 第23卷 第5 期(总第117期)p115-119

乒乓球运动与力学原理

作者： 黄冬根 文章来源： 物理教师

乒乓球运动是学生喜爱的一种体育活动，其中包含有许多力学知识，用力学知识来指导乒乓球运动，学生对物理知识会有更深的理解，对乒乓球运动会更加热爱。在乒乓球运动中主要有以下几方面与力学知识有关。

1力矩与球的旋转

在乒乓球运动中，旋转球是克敌致胜的法宝，那末如何使球能在前进中旋转呢?

如图l所示：给物体施加一个过质心“O”点的推力，该物体就只能沿力的方向平动。

如图2所示：给物体施加一个偏离质心“ O ”点的作用力，物体就可在F的作用下既平动又产生旋转。其转动效果由F对 O 点产生的力矩的大小决定。

由以上分析可知，要使乒乓球旋转起来，则要求给球施加一个不通过其球心的力的作用。

2擦力与球的转动

从前面的分析可知，使球转动的关键在于作用在球上的力不通过球心，而这个力从何而来呢?这个力来源于球拍对球的摩擦力。如图3一5所示，在拍击球的同时，使拍对球有相对运动就能产生摩擦力。

如图3，拍击球的瞬间向上拉动球拍，则球受F弹和 摩擦力 f。两个力的作用，F禅过球心不产生力矩，球在F弹力作用下向前飞行的同时，f’与球相切，产生使球逆时针旋转的效果，这即是乒乓球运动中的上旋球。

同理，只要在拍击球瞬间向不同方向拉动球拍，就会使球产生不同方向且与球相切的摩擦力(如图4、5)。

实际上在乒乓球运动中的：切、削、搓、拉、带、提等技术动作都是指拍与球接触瞬间使拍与球产生侧向相对运动，从而使球受侧向摩擦力作用，而产生旋转。

3伯努利原理与弧线球

在乒乓球飞行轨迹中，会出现许多轨迹不在同一竖直平面内的弧线球，类似足球中的香蕉球。这些球为何会出现不同的各种弧线，主要原因是空气在作怪。要解决这个问题就必须了解伯努利原理。请看图6。在两条自由下垂的白纸条之间吹气，发现两纸条会相互吸引，根据伯努利原理可知，流体流速大处压强小，而流速小处压强大，这样两纸片就受到侧向压力F 1 和F 2 的作用而吸引。

在乒乓球前进过程中，由于球的旋转也会产生类似情况，如图7所示，对下旋球来研究，球上方空气相对于球的流速小，而下方空气相对于球的流速大，这样就产生对球向下的侧向压力。

使球的飞行轨迹变低，而上旋球则刚好相反。对侧旋球会出现侧向压力，这种侧向压力的作用使球的飞行方向侧转，类似于足球的香蕉球。(如图8)轨迹①是不转球的抛物线型轨迹，而轨迹②是强侧旋球的S型轨迹线。

4、动量定理与接发球

乒乓球运动中，对付高速、强旋转球是非常困难的，如果对动量定理有较深刻的理解，加上平时的刻苦训练，对付起来也会容易一些。

动量定理告诉我们，冲量等于物体动量的改变，可用以下公式说明 ： F.t =△(mv)当接高速强旋转球时，要对球进行减力，必须延长球与拍间的作用时间，而延长作用时间的方法，可以从选择球拍上着手，球拍选择软质的球拍，可延长作用时间 ：，从而减小作用力F。

而在球拍选好的情况下要减力，则要求运动员握拍要松持，这样也能对来球起到缓冲作用，从而减小球与拍间的作用，而不致使回球出界。

5、速度、加速度与攻防

乒乓球运动中，运动员在进攻时，要收到较好的进攻效果就必须使球有高速的运动和较强的旋转。

如何使球产生更大的速度呢?主要是增大拍对球的打击力。从而使球产生较大的加速度，在瞬间使球产生一个较大的速度。

例如，设乒乓球质量为m，拍对球的打击力为F，则在这种打击力作用下产生的加速度为a(即a =F/m)，如果作用时间为t，则有球速，v = at=Ft/m)可见球速的大小主要取决于拍对球的作用力。

而在防守时，则必须首先判断来球的速度、旋转和落点等，作好应对准备以争取反应时间，提高防守能力。

6、物理知识与球拍的选择

选择一适合自己的球拍能更快的提高运动水平。在运动中不同的人对球有不同的打法和不同的理解，技术动作也各不相同。对快攻型选手，要求争取时间使打出的球速度快，具有较大的威胁，这样就要求选择能产生强弹力的较硬的球拍。对削球型选手和以弧线球取胜的选手，主要是使球在运行过程中产生高速自转来增强攻击能力，这时选择的球拍要有较大的动摩擦因数，且拍质较软的球拍，让球可在拍面上产生较长时间接触，使摩擦力对球的作用时间能更长，从而产生更强的旋转。

而对于初学者来说，选择的球拍要求质地松软，且拍面较光滑，这时就不会因为技术动作的不熟练和经验不足导致接球失误。当然要选择好球拍还要对不同球拍的性能以及能发挥的作用有一个清楚的认识。

第三篇：拔河比赛中的力学原理

拔河比赛中的力学原理

拔河比赛除参加比赛的运动员多以外，还有更多的啦啦队员积极参与，所以，拔河比赛是常见的群众性体育比赛之一。比赛时，最终获胜的原因是什么呢？当然是关注拔河比赛中两队运动员的拉力大小。

多数人认为：最终获胜的队拉力比较大。

学习物理过程中常说：不论哪一队赢，两队运动员的拉力是相等的。

物理学中能听到这样的理论分析：因为这两个力是相互作用力，所以，拉力大小总是相等的。

物理学中会看到这样的实验检验（1）：在绳子中间接入弹簧测力计甲、乙，模拟甲、乙两队运动员进行拔河比赛时，甲、乙弹簧测力计示数相等，所以，两队运动员的拉力是相等的。

正确的答案是„„？

下面，对拔河比赛作一剖析，希望得到同行们指教。

1．受力分析

对拔河比赛中两队运动员和绳子进行受力分析。

1．1 建立理想模型

把拔河比赛中两队运动员和绳子看成理想的模型，在水平方向上受到的力如图1所示，甲队运动员受到二个力f甲、F甲’，绳子受到二个力F甲、F乙，乙队运动员受到二个力F乙’、f乙。

1．2 判定相互作用力

F甲’与F甲是相互作用力，F乙’与F乙是相互作用力，根据牛顿第三运动定律可知，相互作用力的大小相等，即：F甲’=F甲、F乙’=F乙。但是，绳子所受到的二个力F甲、F乙并不是相互作用力，所以，说“这两个力是相互作用力”是错误的。

1．3 F甲、F乙的性质

甲、乙两队运动员进行拔河比赛时，甲队运动员拉力F甲施力物体是甲队运动员，受力物体是绳子；乙队运动员拉力F乙施力物体是乙队运动员，受力的物体是绳子。从施力物体与受力物体可以看出F甲、F乙是可以不依赖于对方而独立存在，且F甲与F乙受力物体都是绳子，所以，F甲与F乙并不是相互作用力。因此，力F甲与F乙的大小不一定相等。（有

关人员意识到F甲、F乙不是相互作用力时，就用附加“绳子质量不计”这样条件，是有违物理思维的。）

2．分析拉力大小

绳子受到二个力F甲、F乙的大小决定着绳子的运动状态。

2．1 F甲=F乙

当F甲=F乙时，绳子受到的力是平衡力，可以用牛顿第一运动定律解释。

（1）如果绳子原来是静止的，绳子将保持静止状态。

（2）如果绳子原来是运动的，绳子将保持原来运动状态，继续沿原先方向运动。可见，拔河比赛过程让绳子向运动员自己一方运动是非常重要的，一当绳子向运动员自己这个方向运动了，这时即使拉力与对方拉力相等，也是赢。

2．2 F甲>F乙

当F甲>F乙时，绳子受到的力不是平衡力，要用牛顿第二运动定律解释。

（1）如果绳子原来是静止的，绳子将开始向甲队运动员方向做加速运动，若能持续一段时间，甲队运动员就会取得胜利。（刚开始绳子是处于静止状态的，绳子会向哪一方运动，一定是该方运动员对绳子的拉力大于另一方运动员对绳子的拉力）

（2）如果绳子原来是向甲队方向运动的，绳子将向甲队运动员方向做加速运动，继续向甲队运动员方向运动，甲队运动员取胜就近在眼前了。

（3）如果绳子原来是向乙队方向运动的（之前乙队运动员对绳子的拉力一定大于甲队运动员对绳子的拉力），绳子将开始做减速运动，直至速度为零，若乙队还未赢，绳子就开始向甲队运动员方向做加速运动，若能维持足够长时间，甲队运动员就会取得胜利。

2．3 F甲

当F甲

3．几点说明

理论分析、实验探究、假设条件等等存在哪些问题？拔河比赛需要注意哪些事项？

3．1 相互作用力大小为何不相等

“二个力是相互作用力，它们的大小一定相等”没有错。但是，拔河比赛过程，绳子所受到的二个力F甲、F乙并不是相互作用力，所以，说“这两个力是相互作用力”是错误的，前提已经错了，再说“这两个力是相互作用力，大小一定相等”当然也是错误的。若绳子所受到的二个力F甲、F乙相等的话，也只能说因为这二个力是平衡力，所以大小相等，绝对不会因为绳子质量不考虑时，F甲、F乙变成了相互作用力。

3．2 弹簧测力计的示数为何相等

在绳子中间接入弹簧测力计模拟甲、乙两队运动员进行作拔河比赛，如图2所示，会观察到不论哪一队赢，弹簧测力计的示数都相等，弹簧测力计的示数为何都相等呢？因为，此时甲、乙弹簧测力计测到的力是一对相互作用力，并不是甲、乙两队运动员对绳子的拉力F甲、F乙，所以，会观察到不论哪一队赢，弹簧测力计的示数都相等（这样分析只适用于静止情况）。

3．3 绳子质量为何不能忽略不计

若绳子的质量忽略不计，即质量为零，当F甲大于F乙时，根据牛顿第二运动定律得出，绳子的加速度无穷大，这是不可能的。那么，可否由这个“不可能”得出“拉力大小不可能不相等，也就是拉力大小总是相等”，答案是否定的，正确的结论应该是这种情况绳子的质量再小也不能不计，有的题目附加说明不考虑绳子质量的假设是不成立的，所以，物理学建立模型时要考虑建立符合实际的理想模型。

3．4 拔河比赛需要注意哪些事项

拔河比赛时，可以选体重大的运动员，靠增大对地面的压力而增大摩擦、运动员要穿和地面之间摩擦较大的鞋，靠改变接触面来增大摩擦，防止对方把人直接拉过去；运动员身体要适当后倾、两腿弯曲，防止人被对方拉倒；利用啦啦队保证运动员瞬间产生最大的拉力，争取让绳子向自己这个方向运动，得到主动权；选择“肌肉会产生大力气的运动员”绝对重要。

综上所述，认真剖析“拔河比赛”，对避免混淆平衡力、相互作用力的概念，避免混淆静力学、动力学的概念很有帮助，对正确理解牛顿三大运动定律也是非常有益。

第四篇：建筑力学教案

【课程】1静力学基本概念

【教学要求】

掌握力的概念、合成与分解；

掌握静力学定理。

【重

点】

掌握静力学定理。【难

点】

力的合成与分解。【授课方式】

课堂讲解 【教学时数】

共计4学时

绪

论

一、《建筑力学》的研究对象

在建筑物中承受并传递荷载而起骨架作用的部分叫做建筑结构，简称结构。组成结构的单个物体叫构件。构件一般分三类，即杆件、薄壁构件和实体构件。在结构中应用较多的是杆件。

对土建类专业来讲，《建筑力学》的主要研究对象就是杆件和杆件结构。

二、《建筑力学》的主要任务 《建筑力学》的任务就是为解决安全和经济这一矛盾提供必要的理论基础和计算方法。

三、《建筑力学》的内容简介

第一部分讨论力系的简化、平衡及对构件（或结构）进行受力分析的基本理论和方法；第二部分讨论构件受力后发生变形时的承载力问题。为设计即安全又经济的结构构件选择适当的材料、截面形状和尺寸，使我们掌握构件承载力的计算。第三部分讨论杆件体系的组成规律及其内力和位移的问题。

四、《建筑力学》的学习方法

《建筑力学》是土建类专业的一门重要的专业基础课，学习时要注意理解它的基本原理，掌握它的分析问题的方法和解题思路，切忌死记硬背；还要多做练习，不做一定数量的习题是很难掌握《建筑力学》的概念、原理和分析方法的；另外对做题中出现的错误应认真分析，找出原因，及时纠正。

引

言

同时作用在物体上的一群力，称为力系。对物体作用效果相同的力系称为等效力系。

物体在力系作用下，相对于地球静止或作匀速直线运动，称为平衡。它是物体运动的一种特殊形式。

建筑力学中把运动状态没有变化的特殊情况称为平衡状态。满足平衡状态的力系称为平衡力系。

使物体在力系作用下处于平衡力系时应满足的条件，称为力系的平衡条件。

第一章

力的基本性质与物体的受力分析

第一节

基本概念

一、刚体的概念

在外力作用下，几何形状、尺寸的变化可忽略不计的物体，称为刚体。

二、力的概念

力是物体间相互的机械作用，这种相互作用会使物体的运动状态发生变化（外效应）或使物体发生变形（内效应）。

实践证明：力对物体的作用效果取决于力的三要素。

1.力的大小

力的大小表明物体间相互作用的强弱程度。2.力的方向

力不但有大小，而且还有方向。

3.力的作用点

当作用范围与物体相比很小时，可以近似地看作是一个点。在描述一个力时，必须全面表明这个力的三要素。力是矢量。

用字母表示力矢量时，用黑体字F，普通体F只表示力矢量的大小。

第二节

静力学公理

一、力的平行四边形公理

作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。

二、二力平衡公理

作用在同一刚体上的两个力，使刚体处于平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等，方向相反，且在同一直线上。

三、加减平衡力系公理

在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。也就是说，如果两个力系只相差一个或几个平衡力系，则它们对刚体的作用是相同的，可以等效代换。

推论1

力的可传性原理

作用在刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移动到刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用效果。

推论2

三力平衡汇交定理

作用于同一刚体上共面而不平行的三个力使刚体平衡时，则这

三个力的作用线必汇交于一点。

四、作用与反作用公理

两物体间的作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反，沿同一直线并分别作用于两个物体上。

必须注意：不能把作用力与反作用力公理与二力平衡公理相混淆。

第三节

工程中常见的约束与约束反力

一、约束与约束反力的概念

对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束体，简称约束。阻碍物体运动的力称为约束反力，简称反力。

所以，约束反力的方向必与该约束所能阻碍物体运动的方向相反。由此可以确定约束反力的方向或作用线的位置。

物体受到的力一般可以分为主动力、约束反力。一般主动力是已知的，而约束反力是未知的。

二、几种常见的约束及其反力 1.柔体约束

FT

2.光滑接触面约束

FN 3.圆柱铰链约束

4.链杆约束

画出简图 分别举例

三、支座及支座反力

工程中将结构或构件支承在基础或另一静止构件上的装置称为支座。建筑工程中常见的三种支座：固定铰支座（铰链支座）、可动铰支座和固定端支座。

1.固定铰支座（铰链支座）2.可动铰支座

3.固定端支座

画出简图 分别举例

作

业：思考题5、6

复习

第四节 物体的受力分析和受力图

物体的受力分析。

物体的受力图。受力图是进行力学计算的依据，也是解决力学问题的关键，必须认真对待，熟练掌握。

一、单个物体的受力图 例14、5

受力图注意以下几点： 1.必须明确研究对象。

2.正确确定研究对象受力的数目。3.注意约束反力与约束类型相对应。4.注意作用力与反作用力之间的关系。作

业：习题1、2、3

复习

【课程】2平面汇交力系

【教学要求】

掌握力在坐标轴上的投影及合力投影定理； 掌握平面汇交力系、平面一般力系的平衡条件； 【重

点】

掌握平面汇交力系、平面一般力系的平衡条件； 掌握物体系统的平衡条件。【难

点】

平面汇交力系的解法

【授课方式】

课堂讲解加练习【教学时数】

共计4学时

第二章

平面汇交力系

静力学是研究力系的合成和平衡问题。

平面汇交力系

平面力系

平面平行力系

力系

平面一般力系

空间力系

本章将用几何法、解析法来研究平面汇交力系的合成和平衡问题。

第一节平面汇交力系合成与平衡的几何法

一、平面汇交力系合成的几何法 1.两个汇交力的合成。

平行四边形法则

三角形法则 2.任意个汇交力的合成

结论：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，合力作用线通过原力系各力的汇交点。

例22 例24

2.合力投影定理 合力投影定理：合力在任一坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。3.用解析法求平面汇交力系的合力

式中α为合力FR与x轴所夹的锐角。合力的作用线通过力系的汇交点O，合力FR的指向，由FRX和FRY(即ΣFX、ΣFY)的正负号来确定。

例2-5

二、平面汇交力系平衡的解析条件

由上节可知，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。根据式（2-5）的第一式可知：

上式中（ΣFX）2与（ΣFY）2恒为正数。若使FR =0，必须同时满足

ΣFX=0 ΣFY=0平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。

上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。这一点与几何法相一致。

例2-6

例2-7

例2-8

通过以上各例的分析讨论，现将解析法求解平面汇交力系平衡问题时的步骤归纳如下： 1.选取研究对象。

2.画出研究对象的受力图。当约束反力的指向未定时，可先假设其指向。3.选取适当的坐标系。最好使坐标轴与某一个未知力垂直，以便简化计算。

4.建立平衡方程求解未知力，尽量作到一个方程解一个未知量，避免解联立方程。列方程时注意各力的投影的正负号。求出的未知力带负号时，表示该力的实际指向与假设指向相反。

作

业：题2----

4、5 【课程】3力矩和平面力偶系

【教学要求】

掌握力矩的概念及合力矩定理；

掌握力偶的性质；掌握物体系统的平衡条件。【重

点】

掌握力偶系的平衡条件； 掌握物体系统的平衡条件。【难

点】

力偶性质的利用，求物体系统的平衡时如何选取研究对象。【授课方式】

课堂讲解加练习【教学时数】

共计4学时

第三章

力对点的矩与平面力偶系 第一节

力对点的矩的概念及计算

一、力对点的矩

力F与距离d两者的乘积

来量度力F对物体的转动效应。

转动中心O称为力矩中心，简称矩心。矩心到力作用线的垂直距离d，称为力臂。

改变力F绕O点转动的方向，作用效果也不同。力F对物体绕O点转动的效应，由下列因素决定：（1）力的大小与力臂的乘积。

（2）力使物体绕O点的转动方向。

MO(F)= ±通常规定：逆为正，反之为负。在平面问题中，力矩为代数量。

力矩的单位：（）或（）。

MO(F)=±2△AOB 力矩在下列两种情况下等于零：（1）力等于零；

（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。

二、合力矩定理

平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。这就是平面力系的合力矩定理。用公式表示为

简单证明： 例3-1 例3-2 课堂练习（补充）作

业：题3----

1、2 【课程】4平面一般力系

【教学要求】

掌握平面一般力系的平衡条件； 掌握物体系统的平衡条件。【重

点】

掌握平面一般力系的平衡条件； 掌握物体系统的平衡条件。【难

点】

求物体系统的平衡时如何选取研究对象。【授课方式】

课堂讲解加练习【教学时数】

共计6学时

第四章

平面一般力系

平面一般力系是指各力的作用线在同一平面内但不全交于一点，也不全互相平行的力系。举例。

本章将讨论平面一般力系的简化与平衡问题，并以平衡问题为主。

第一节

平面一般力系向作用面内任一点简化

一、力的平移定理

由此可见，作用于物体上某点的力可以平移到此物体上的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩，这就是力的平移定理。此定理只适用于刚体。

应用力的平移定理时，须注意下列两点：

（一）平移力F＇的大小与作用点位置无关。

（二）力的平移定理说明作用于物体上某点的一个力可以和作用于另外一点的一个力和一个力偶等效，反过来也可将同平面内的一个力和一个力偶化为一个合力

二、简化方法和结果 主矢

主矩

Mo′=M1+M2+„+Mn

Mo′=Mo(F1)+Mo（F2）+„+Mo（Fn）=∑Mo（F）

综上所述可知：平面一般力系向作用面内任一点简化的结果，是一个力和一个力偶。这个力作用在简化中心，它的矢量称为原力系的主矢，并等于这个力系中各力的矢量和；这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，并等于原力系中各力对简化中心的力矩的代数和。

主矢描述原力系对物体的平移作用；

主矩描述原力系对物体绕简化中心的转动作用，二者的作用总和才能代表原力系对物体的作用。

三、平面一般力系简化结果的讨论 1.若FR′=0，MO′≠0

一个力偶 2.若FR′≠0，Mo′=0

一个力

3.若FR′≠0，Mo′≠0

可继续简化：一个力 4.若FR′=0，Mo′=0

平衡（下节讨论）

四、平面力系的合力矩定理

Mo（FR）=∑Mo（F）

例4-1 例4-2 沿直线平行同向分布的线荷载，荷载合力的大小等于该荷载图的面积，方向与分布荷载同向，其作用线通过该荷载图的形心。

作

业：题4----1、2、3、4

第二节平面一般力系的平衡方程及其应用

一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系平衡方程的基本形式

∑FX=0 ∑FY=0

∑Mo（F）=0

二、平衡方程的其它形式 1.二力矩形式

∑FX=0 ∑MA(F)=0 ∑MB(F)=0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。2.三力矩形式

∑MA（F）= 0 ∑MB(F)= 0 ∑MC（F）= 0 式中A、B、C三点不共线。

三、平衡方程的应用

应用平面一般力系的平衡方程，主要是求解结构的约束反力，还可求解主动力之间的关系和物体的平衡位置等问题。其解题步骤如下：

1.确定研究对象。

2.分析受力并画出受力图。3.列平衡方程求解未知量。例4--3 4 5 6 7 作

业：题4----5、6、8、10、12、第三节

平面平行力系的平衡方程

平面力系中，各力的作用线互相平行时，称为平面平行力系。平面平行力系的平衡方程为

∑FY = 0

∑MO（F）= 0平面平行力系平衡方程的二力矩式

∑MA（F）=0 ∑MB（F）=0 其中A、B两点的连线不与各力的作用线平行。例4-8 例4-9 例4-10 作

业：题4----

16、17

第四节

物体系统的平衡问题

在解决物体系统的平衡问题时，既可选整个系统为研究对象，也可选其中某个物体为研究对象，然后列出相应的平衡方程，以解出所需的未知量。

研究物体系统的平衡问题，不仅要求解支座反力，而且还需要计算系统内各物体之间的相互作用力。

应当注意：我们研究物体系统平衡问题时，要寻求解题的最佳方法。即以最少的计算过程，迅速而准确地求出未知力。其有效方法就是尽量避免解联立方程。一般情况下，通过合理地选取研究对象，以及恰当地列平衡方程及其形式，就能取得事半功倍的效果。而合理地选取研究对象，一般有两种方法：

1.。“先整体、后局部”

2.“先局部、后整体”或“先局部、后另一局部”

在整个计算过程中，当画整体、部分或单个物体的受力图时还应注意：①同一约束反力的方向和字母标记必须前后一致；②内部约束拆开后相互作用的力应符合作用与反作用规律；③不要把某物体上的力移到另一个物体上；④正确判断二力杆，以简化计算。

例4-11 例4-12 例4-13 作

业：题4----

18、19

第五节

考虑摩擦时的平衡问题（简介）

一、滑动摩擦 1.静滑动摩擦力 2.最大静滑动摩擦力

0≤F≤Fmax

Fmax=f FN

3.动滑动摩擦力

F＇=f＇FN

二、摩擦角与自锁现象

tanθm=f 即摩擦角的正切等于静摩擦系数。

1.当θ＞θm。此时，无论FR′值多么小，全反力FR都不可能与FR′共线，因而物体不可能平衡而产生滑动。

2.当θ＜θm。此时，无论FR′多么大，只要支承面不被压坏，全反力FR总可以与FR′共线，物体总能保持静止状态。

这种只须主动力的合力作用线在摩擦角的范围内，物体依靠摩擦总能静止而与主动力大小无关的现象称为自锁。

3.当θ=θm，则物体处于临界平衡状态。

三、考虑摩擦时物体的平衡问题 例4-14 例4-15 【课程】5材料力学的基本概念

【教学要求】

掌握变形固体的基本概念和变形固体的基本假设；

了解杆件变形的4种基本形式。【重

点】

掌握变形固体的基本概念和变形固体的基本假设。

【难

点】

变形固体的基本假设 【授课方式】

课堂讲解 【教学时数】

共计2学时

第五章

材料力学基本概念 第一节

变形固体及其基本假设

一、变形固体

在外力作用下能产生一定变形的固体称为变形固体。外力解除后，变形也随之消失的弹性变形。外力解除后，变形并不能全部消失的塑性变形。在弹性范围内，构件的变形量与外力的情况有关。当变形量与构件本身尺寸相比特别微小时称为小变形。

二、基本假设 三点基本假设： ⒈ 连续性假设。⒉ 均匀性假设 ⒊ 各向同性假设

总之，本篇所研究的构件是均匀连续、各向同性，在小变形范围内的理想弹性体。

第二节 杆件变形的基本形式

一、杆件的几何特征及分类 横截面总是与轴线相垂直。

按照杆件的轴线情况，将杆分为两类：直杆、曲杆。等直杆是建筑力学的主要研究对象。

二、杆件变形的基本形式 基本形式有下列四种： ⒈ 轴向拉伸或轴向压缩 ⒉ 剪切 ⒊ 扭转 ⒋平面弯曲

作

业：思考题6----1、3、4、5 【课程】6轴向拉伸和压缩

【教学要求】

了解轴向拉压变形的概念；

掌握轴向拉压杆与内力的计算方法；

会绘制轴力图。

【重

点】绘制轴力图图。【难

点】 正负号的判定。【授课方式】

通过模型课堂讲解 【教学时数】

共计8学时

第六章

轴向拉伸和压缩 第一节

轴向拉伸和压缩的概念

轴向拉伸或压缩变形是杆件基本变形形式之一，它们的共同特点：杆轴线纵向伸长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。

第二节 轴向拉（压）杆的内力

一、内力的概念

杆件相连两部分之间相互作用力产生的改变量称为内力。

内力与杆件的强度、刚度等有着密切的关系。讨论杆件强度、刚度和稳定性问题，必须先求出杆件的内力。

二、求内力的基本方法——截面法 截面法是求杆件内力的基本方法。计算内力的步骤如下：

⒈ 截开：用假想的截面，在要求内力的位置处将杆件截开，把杆件分为两部分。⒉ 代替：取截开后的任一部分为研究对象，画受力图。画受力图时，在截开的截面处用该截面上的内力代替另一部分对研究部分的作用。

⒊平衡：被截开后的任一部分也应处于平衡状态。

三、轴向拉（压）杆的内力——轴力

与杆件轴线相重合的内力称为轴力。并用符号FN表示。规定：拉力为正；压力为负，轴力的常用单位是牛顿或千牛顿，记为N或kN。例7-1

说明：

（1）先假设轴力为拉力。

（2）可取截面的任一侧研究。为了简化，取外力较少的一侧。例7-2

四、轴力图

表明轴力随横截面位置变化规律的图形称为轴力图。从轴力图上可以很直观地看出最大轴力所在位置及数值。习惯：正上负下。

例7-3

作

业：题7----1、2、3

第四节 轴向拉（压）杆的变形及虎克定律

轴拉压沿轴线方向（纵向）的伸长或缩短变形，这种变形称之为纵向变形。与杆轴线相垂直方向的变形称为横向变形。

一、纵向、横向变形 杆的纵向变形量为

l=l1－l 杆在轴向拉伸时纵向变形为正值，压缩时为负。其单位为m或mm 杆的横向变形量为

a=a1－a 杆在轴向拉伸时的横向变形为负值，压缩时为正。

二、泊松比

当轴向拉（压）杆的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变ε′与纵向线应变ε的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数。用μ表示。

三、胡克定律

这一关系式称式（7-4）为胡克定律。

EA反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。

上式是虎克定律的另一表达形式。它表明：在弹性范围内，正应力与线应变成正比。例7-6

例7-7

例7-8

作

业：题4----

7、8

第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性质

材料的力学性质是指：材料在外力作用下所表现出的强度和变形方面的性能。材料的力学性质都要通过实验来确定。

一、低碳钢的力学性质

⒈ 低碳钢拉伸时的力学性质 ⑴ 拉伸图和应力——应变图 ⑵ 变形发展的四个阶段 1）弹性阶段 2）屈服阶段

屈服阶段内最低对应的应力值称为屈服极限，用符号ζs。3）强化阶段

最高点对应的应力称为强度极限，用符号ζb。冷加工

4）颈缩阶段

⑶ 延伸率和截面收缩率

1）延伸率

工程中常按延伸率的大小将材料分为两类： δ≥5%的材料为塑性材料。δ＜5%的材料为脆性材料。

2）截面收缩率

⒉ 低碳钢压缩时的力学性质

二、铸铁的力学性质 ⒈ 拉伸性质 ⒉ 压缩性质

三、其它材料的力学性质

塑性材料，在强度方面表现为：拉伸和压缩时的弹性极限、屈服极限基本相同，应力超过弹性极限后有屈服现象；在变形方面表现为：破坏前有明显预兆，延伸率和截面收缩率都较大等。

脆性材料，在强度方面表现为：压缩强度大于拉伸强度；在变形方面表现为：破坏是突然的，延伸率较小等。

总的来说，塑性材料的抗拉、抗压能力都较好，既能用于受拉构件又能用于受压构件；脆性材料的抗压能力比抗拉能力好，一般只用于受压构件。但在实际工程中选用材料时，不仅要从材料本身的力学性质方面考虑，同时还要考虑到经济的原则。

需特别指出：影响材料力学性质的因素是多方面的，上述关于材料的一些性质是在常温、静荷载条件下得到的。若环境因素发生变化（如温度不是常温，或受力状态改变），则材料的性质也可能随之而发生改变。

作

业：题4----

9、10

第六节 许用应力、安全系数和强度计算

一、许用应力与安全系数 [ζ]称为许用正应力。

许用应力与极限应力的关系可写为：

塑性材料：

脆性材料：

式中：nS与nb都为大于1的系数，称为安全系数。塑性材料

nS取1.4～1.7 脆性材料

nb取2.5～3

二、轴向拉（压）杆的强度计算 ⒈ 强度条件

为了保证轴向拉（压）杆在承受外力作用时能安全正常地使用，不发生破坏，必须使杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力，即

ζmax≤[ζ]

≤[ζ] 式中ζmax是杆件的最大工作应力。⒉ 强度条件在工程中的应用

根据强度条件，可以解决实际工程中的三类问题。⑴ 强度校核 ⑵ 设计截面

⑶ 计算许用荷载

FN≤A[ζ] 例7-9

例7-10

例7-11

例7-12

第七节

应力集中的概念

一、应力集中的概念

因杆件截面尺寸的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。

二、应力集中对杆件强度的影响

塑性材料在静荷载作用下，应力集中对强度的影响较小。对于脆性材料，应力集中严重降低了脆性材料杆件的强度。作

业：题4----12、13、14、15、18

第六节 许用应力、安全系数和强度计算

一、简要复习上节： ⒈ 强度条件

ζmax≤[ζ]

≤[ζ] 三类问题 ⑴ 强度校核 ⑵ 设计截面

⑶ 计算许用荷载

FN≤A[ζ]

二、作业选讲

【课程】7剪切和扭转

【教学要求】

了解剪切和扭转的概念；

掌握剪切和扭转的计算方法； 【重

点】剪切和扭转的计算 【难

点】剪切和扭转的计算 【授课方式】 通过模型课堂讲解 【教学时数】 共计8学时

第七章

剪切与挤压、扭转

第一节

剪切与挤压的概念

一、剪切的概念

二、挤压的概念（图示说明）

第二节

剪切与挤压的实用计算

一、剪切的实用计算

假定剪切面上的剪应力均匀分布

说明该公式各字母代表的意义

剪切强度条件

≤[ ]

二、挤压的实用计算

假定挤压面上的挤压应力均匀分布

强调为挤压面的计算面积

挤压强度条件

≤[] 例题

例7—1 练习

确定一些连接件的剪切面和挤压面 作业

习题1改为确定剪切面

习题2改为分析铆钉受力、表示剪切面和挤压面

第三节 扭

转

圆轴扭转时的内力 一、扭转的概念

受力特点和变形特点（图示说明）工程实例：方向盘传动轴、雨蓬梁等。工程中把受扭的圆截面杆件称为圆轴。二、圆轴扭转时的内力——扭矩

用截面法显示并确定内力——扭矩 扭矩的正、负号规定

三、画扭矩图

举例说明

四、练习画扭矩图

第四节

剪应力互等定理和剪切虎克定律 1.剪应力互等定理

η=

在互相垂直的两个平面上的切应力必然成对存在，且大小相等，方向或共同指向两平面的交线，或共同背离两平面的交线，这种关系称为剪应力互等定理。该定理是材料力学中的一个重要定理。

2.剪切虎克定律

在上述单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力而无正应力，单元体的这种受力状态称为纯剪切应力状态。在切应力η和

作用下，单元体的两个侧面将发生相对错动，使原来的长方六面微体变成平行六面微体，单元体的直角发生微小的改变，这个直角的改变量γ称为切应变，如图所示。从图可以看出，γ角就是纵向线变形后的倾角，其单位是rad。

自己练习画切应力互等定理

第五节

圆轴扭转时横截面上的应力

一、应力公式

1、说明公式中各字母代表的意义

2、记忆圆截面及空心圆截面的极惯性矩

3、圆截面扭转轴的剪应力沿直径的分布规律

二、最大剪应力

令

则有

——抗扭截面系数。单位为m3或mm3 对于实心圆截面

对于空心圆截面

例1

图所示圆轴。AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN•m，MeB=36kN•m，MeC=14kN•m。试求该轴的最大切应力。

解： 1）作扭矩图

用截面法求得AB段、BC段的扭矩分别为

T1=MeA=22kN•m T2=－MeC=－14kN•m 作出该轴的扭矩图如图所示。(2)计算最大切应力

由扭矩图可知，AB段的扭矩较BC段的扭矩大，但因BC段直径较小，所以需分别计算各段轴横截面上的最大切应力。由公式得

AB段

BC段

比较上述结果，该轴最大切应力位于BC段内任一截面的边缘各点处，即该轴最大切应力为

ηmax=71.3MPa。

【课程】8平面图形的几何性质

【教学要求】掌握平面图形的静矩和形心计算

掌握简单平面图形的惯性矩计算 【重

点】掌握简单平面图形的惯性矩计算 【难

点】掌握简单平面图形的惯性矩计算 【授课方式】课堂讲授 【教学时数】 共计6学时

第八章

平面图形的几何性质

与平面图形几何形状和尺寸有关的几何量统称为平面图形的几何性质。平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素。本章着重讨论这些平面图形几何性质的概念和计算方法。

平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究对象的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计算中不可缺少的几何参数。

第一节

静

矩

一、静矩的概念

微面积dA与坐标y（或坐标z）的乘积称为微面积dA对z轴（或y轴）的静矩，记作dSz（或dSy），即

dSz=ydA，dSy=zdA平面图形上所有微面积对z轴（或y轴）的静矩之和，称为该平面图形对z轴（或y轴）的静矩，用Sz（或Sy）表示。即

平面图形对z轴（或y轴）的静矩，等于该图形面积A与其形心坐标yC（或zC）的乘积。

当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。

如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴。故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。

二、组合图形的静矩

由几个简单的几何图形组合而成的，称为组合图形。根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即

组合图形形心的坐标计算公式

例10----1、2 注 意：

1.单

位

2.数字较大，细心 3.课后仔细阅读教材

第二节

惯性矩

惯性积

惯性半径

一、惯性矩

整个平面图形上各微面积对z轴（或y轴）惯性矩的总和称为该平面图形对z轴（或y轴）的惯性矩，用Iz（或Iy）表示。即

ρ2＝y2＋z2

平面图形对任一点的极惯性矩，等于图形对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。其值恒为正值。

故惯性矩也恒为正值。常用单位为m4或mm4。

二、惯性积

整个图形上所有微面积对z、y两轴惯性积的总和称为该图形对z、y两轴的惯性积，用Izy表示。即

惯性积可能为正或负，也可能为零。它的单位为m4或mm4。

两个坐标轴中只要有一根轴为平面图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。

三、惯性半径

惯性半径，也叫回转半径。它的单位为m或mm。例10-3 例10-4 有过程

详细推导 作

业：10—

1、2

第三节

组合图形的惯性矩

一、平行移轴公式

图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。由于a2（或b2）恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。

例10-5 例10-6 再次强调，在应用平行移轴公式时，z轴、y轴必须是形心轴，z1轴、y1轴必须分别与z轴、y轴平行。

二、组合图形惯性矩的计算

在工程实际中，常会遇到构件的截面是由矩形、圆形和三角形等几个简单图形组成，或由几个型钢组成，称为组合图形。由惯性矩定义可知，组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即

在计算组合图形的惯性矩时，首先应确定组合图形的形心位置，然后通过积分或查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩，再利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。

例10-7

例10-8

作

业：10----3、4、6

第四节

形心主惯性轴

形心主惯性矩

一、转轴公式

上节我们讨论了坐标轴与形心轴平行时，平面图形对坐标轴的惯性矩和惯性积的计算公式，本节继续研究一对互相垂直的坐标轴绕原点在平面图形内旋转时，平面图形对坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。

惯性矩和惯性积的转轴公式。

惯性积为零的一对坐标轴称为平面图形的主惯性轴，简称主轴。平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。

通过平面图形形心C的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴。平面图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。

确定形心主轴的位置是十分重要的。对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定：

1）如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，而另一根形心主轴通过图形的形心且与该轴垂直。

2）如果图形有两根对称轴，则该两轴都是形心主轴。

3）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等。

小

结

本章主要内容是研究杆件的平面图形形状和尺寸有关的一些几何量（如静矩、惯性矩、惯性积、主轴及主惯性矩

等）的定义和计算方法。这些几何量统称为平面图形的几何 性质。它们对杆件的强度、刚度有着极为重要的影响，需清 楚地理解它们的意义并熟练掌握其计算方法。

一、本章的主要计算公式

1.静矩

2.惯性矩

3.惯性积

4.惯性半径

5.平行移轴公式

平行移轴公式要求z1与z、y1与y两轴平行，并且z、y轴通过平面图形形心。

6.主惯性轴

7.主惯性矩

平面图形的几何性质都是对确定的坐标轴而言的。静矩、惯性矩和惯性半径是对一个坐标轴而言的；惯性积是对一对正交坐标轴而言的。对于不同的坐标系，它们的数值是不同的。惯性矩、惯性半径恒为正；静矩和惯性积可为正或负，也可为零。

二、组合图形

组合图形对某轴的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和；组合图形对某轴的惯性矩等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩之和。

三、平面图形的形心主轴

形心主轴是一对通过形心且惯性积为零的轴。任何图形必定存在且至少有一对形心主轴，形心主轴有下列特性：

1.整个图形对形心主轴的静矩恒为零。2.整个图形对形心主轴的惯性积恒为零。

3.在通过形心的所有轴中，图形对一对正交形心主轴的惯性矩，分别为最大值和最小值。

4.图形若有一根对称轴，此轴必是形心主轴。图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。作

业：10----5 【课程】9梁的弯曲

【教学要求】

了解梁平面弯曲的概念；

会用截面法、直接法求指定截面的弯矩和剪力；

理解内力方程法画单跨梁的内力图；

重点掌握简捷法、叠加法画梁的内力图；

会画多跨梁的内力图。【重

点】

掌握简捷法、叠加法画梁的内力图。【难

点】

q与剪力和弯矩的关系的应用 【授课方式】

课堂讲解和习题练习【教学时数】

共计10学时

第九章 弯曲内力 第一节平面弯曲的概念

一、弯曲和平面弯曲 1.弯曲

以弯曲为主要变形的杆件通常称之为梁。

举例 2.平面弯曲

当作用于梁上的力（包括主动力和约束反力）全部都在梁的同一纵向对称平面内时，梁变形后的轴线也在该平面内，我们把这种力的作用平面与梁的变形平面相重合的弯曲称为平面弯曲。

二、梁的类型

工程中通常根据梁的支座反力能否用静力平衡方程全部求出，将梁分为静定梁和超静定梁两类。凡是通过静力平衡方程就能够求出全部反力和内力的梁，统称为静定梁。而静定梁又根据其跨数分为单跨静定梁和多跨静定梁两类。单跨静定梁是本章的研究对象，通常又根据支座情况将单跨静定梁分为三种基本形式。

1.悬臂梁

一端为固定端支座，另一端为自由端的梁

2.简支梁

一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁

3.外伸梁

梁身的一端或两端伸出支座的简支梁

第二节 梁的内力

一、梁的内力——剪力和弯矩

用求内力的基本方法——截面法来讨论梁的内力。

剪力FQ

弯矩M

二、剪力和弯矩的正负号规定

1.剪力的正负号规定：顺转剪力正 2.弯矩的正负号规定：下凸弯矩正

三、用截面法求指定截面上的剪力和弯矩

1.用截面法求梁指定截面上的剪力和弯矩时的步骤：(1)求支座反力。

(2)用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。

(3)取截面的任一侧为隔离体，做出其受力图，列平衡方程求出剪力和弯矩。例11-1

例11-2 3.总结与提示

(1)为了简化计算，取外力比较少（简单）一侧

(2)未知的剪力和弯矩通常均按正方向假定。

(3)平衡方程中剪力、弯矩的正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身的正、负号相混淆。

(4)在集中力作用处，剪力发生突变，没有固定数值，应分别计算该处稍偏左及稍偏右截面上的剪力，而弯矩在该处有固定数值，稍偏左及稍偏右截面上的数值相同，只需要计算该截面处的一个弯矩即可；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，没有固定数值，应分别计算该处稍偏左及稍偏右截面上的弯矩，而剪力在该处有固定数值，稍偏左及稍偏右截面上的数值相同，只需要计算该截面处的一个剪力即可。

作

业：11—2

四、直接用外力计算截面上的剪力和弯矩 1.用外力直接求截面上内力的规律

(1)求剪力的规律

左上右下正，反之负(2)求弯矩的规律

左顺右逆正，反之负

例11-3 例11-4 显然，用截面法总结出的规律直接计算剪力和弯矩比较简捷，所以，实际计算时经常使用。

课堂练习

第三节 梁的内力图

内力沿梁轴线的变化规律，内力的最大值以及最大内力值所在的位置

一、剪力方程和弯矩方程

FQ=FQ（x）和M=M（x）

二、剪力图和弯矩图

剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图最基本的方法是：根据剪力方程和弯矩方程分别绘出剪力图和弯矩图。

剪力正上负下，并标明正、负号；

弯矩正下负上（即弯矩图总是作在梁受拉的一侧）对于非水平梁而言，剪力图可以作在梁轴线的任一

侧，并标明正、负号；弯矩图作在梁受拉的一侧。

例11-5 作图11-18a所示悬臂梁

(1)列剪力方程和弯矩方程 剪力方程为：

FQ =－FP

弯矩方程为：

M =－FP x

(0≤x＜l)(2)作剪力图和弯矩图

例11-6 作图11-19a所示简支梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。（1）求支座反力

(0＜x＜l)

FAy =(↑)

FB y =(↑)

（2）列剪力方程和弯矩方程

(3)作剪力图和弯矩图

若集中力正好作用在梁的跨中，即a=b=时，弯矩的最大值为：Mmax=

例 11-8 作图示简支梁在满跨向下均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。作

业：11—3 c d 第四节

弯矩、剪力和荷载集度之间的微分关系及其应用

一、M(x)、FQ(x)、q(x)之间的微分关系

上式说明：梁上任一横截面的剪力对x的一阶导数等于作用在梁上该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是：剪力图上某点切线的斜率等于该点对应截面处的荷载集度。

FQ(x)

上式说明：梁上任一横截面的弯矩对x的一阶导数等于该截面上的剪力。这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点切线的斜率等于该点对应横截面上的剪力。可见，根据剪力的符号可以确定弯矩图的倾斜趋向。

再将FQ(x)两边求导，得

上式说明：梁上任一截面的弯矩对x的二阶导数等于该截面处的荷载集度。这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点的曲率等于该点对应截面处的分布荷载集度。可见，根据分布荷载的正负可以确定弯矩图的开口方向。

二、用M(x)、FQ(x)、q(x)三者之间的微分关系说明内力图的特点和规律 序号 梁段上荷载情况 剪力图形状或特征

弯矩图形状或特征 弯矩图为斜直线或平行线 弯矩图为二次抛物线 M有极值

说明

举例 剪力图为平行无均布荷载

线。可为（q=0）

正、负、零 剪力图有均布荷载 为斜直线（q≠0）在FQ=0处

平行线是指与x轴平行的直线 斜直线是指与x轴斜交的直线 抛物线的开口方向与均布荷载的指向相反（或抛物线的突向与均布荷载的指向一致）剪力突变的数值等于集中力的大小

弯矩图尖角的方向与集中力的指向相同 弯矩突变的数值等于集中力偶的力偶矩大小

例11-5 例11-6 2

例11-8 例11-9的AB段上FQ=0处弯矩取得极值 集中力作用处 剪力图出现突变现象 弯矩图出现尖角

例11-6的C处

例11-9的B处 集中力偶作用处 剪力图无变化

弯矩图出现突变

例11-7的C处

三、应用简捷法绘制梁的剪力图和弯矩图 1.用简捷法作剪力图和弯矩图的步骤

(1)求支座反力。对于悬臂梁由于其一端为自由端，所以可以不求支座反力。

(2)将梁进行分段

梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷载的起止截面。

(3)由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的剪力图和弯矩图的形状。

(4)确定控制截面，求控制截面的剪力值、弯矩值，并作图。控制截面是指对内力图形能起控制作用的截面。①水平直线

确定一个截面 —— 任一； ②斜 直 线

确定两个截面 —— 起、止； ③抛 物 线

确定三个截面 —— 起、止、极。例11-10

例11-11

先定性

再定量

多种方法校核

作

业：11—4 a b c d

第四节

弯矩、剪力和荷载集度之间的

微分关系及其应用

剪力图上某点切线的斜率等于该点对应截面处的荷载集度。

FQ(x)弯矩图上某点切线的斜率等于该点对应横截面上的剪力。

弯矩图上某点的曲率等于该点对应截面处的分布荷载集度。①水平直线

确定一个截面 —— 任一点； ②斜 直 线

确定两个截面 —— 起、止点； ③抛 物 线

确定三个截面 —— 起、止、极点。牢记两个基本图形 例11-12

先定性

再定量

多种方法校核

（课本补充内容）叠加法做弯矩图

引

入

叠加原理：由几个外力共同作用引起的某一参数（内力、应力、变形）等于每个外力单独作用时引起的该参数值的总和。

举

例

课堂练习：补充

作

业：11 — 4 e f g h i j 【课程】10组合变形

【教学要求】

了解组合变形和截面核心的概念； 掌握组合变形的计算步骤；

掌握斜弯曲变形杆、弯曲与拉压组合杆、偏心拉压杆的强度条件； 会绘制简单截面的截面核心。【重

点】

掌握组合变形的计算步骤；

掌握斜弯曲变形杆、弯曲与拉压组合杆、偏心拉压杆的强度条件； 【难

点】

判别组合变形是哪些简单变形的叠加及同一点应力值的正负号。【授课方式】

课堂讲解 【教学时数】 共计6学时

第十章

组合变形 第一节 组合变形的概念

两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。

对组合变形问题进行强度计算的步骤如下：

(1)将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形的荷载分量；(2)分别计算各个荷载分量所引起的应力；

(3)根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来荷载共同作用下构件所产生的应力；

（4）判断危险点的位置，建立强度条件；

（5）必要时，对危险点处单元体的应力状态进行分析，选择适当的强度理论，进行强度计算。

本章主要研究斜弯曲、拉伸（压缩）与弯曲以及偏心压缩（拉伸）等组合变形构件的强度计算问题。

第二节 斜

弯

曲

外力F的作用线只通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为斜弯曲。斜弯曲是两个平面弯曲的组合，这里将讨论斜弯曲时的正应力及其强度计算。

一、正应力计算

1.外力的分解

Fy =F cos Fz = F sin

2.内力的计算

Mz = Fy a = Fa cos

My = Fz a = Fa sin

3.应力的计算

ζ′=±Fy和Fz共同作用下K点的正应力为，ζ″=±

ζ = ζ′+ζ″= ± ±

（15-1）

上式即梁斜弯曲时横截面任一点的正应力计算公式。

通过以上分析过程，我们可以将斜弯曲梁的正应力计算的思路归纳为“先分后合”，具体如下：

紧紧抓住这一要点，本章的其它组合变形问题都将迎刃而解。

二、正应力强度条件

同平面弯曲一样，斜弯曲梁的正应力强度条件仍为

ζmax≤[ζ] 即，危险截面上危险点的最大正应力不能超过材料的许用应力[ζ]。

工程中常用的工字形、矩形等对称截面梁，斜弯曲时梁内最大正应力都发生在危险截面的角点处。

ζmax=ζ′max+ζ″max= +

即

ζmax= +

（15-2）则斜弯曲梁的强度条件为

ζmax= + ≤[ζ]

（15-3）

此强度条件可解决三类问题，即强度校核、截面设计和确定许可荷载。在截面设计时应注意：需先设定一个的比值（对矩形截面Wz/ Wy==1.2～2；对工字形截面取6～10），然后再用式（15-2）计算所需的Wz 值，确定截面的具体尺寸，最后再对所选截面进行校核，确保其满足强度条件。

例15-1 矩形截面悬臂梁如图所示，已知F1=0.5kN，F2=0.8kN，b=100mm，h=150mm。试计算梁的最大拉应力及所在位置。

解

(1)内力的计算

(2)应力的计算

ζmax=+ = +

= = 8.8MPa

(3)根据实际变形情况，F1单独作用，最大拉应力位于固定端截面上边缘ad，F2单独作用，最大拉应力位于固定端截面后边缘cd，叠加后，角点d拉应力最大。

上述计算的ζmax= 8.8MPa，也正是d点的应力。

例15-2图示跨度为4m的简支梁，拟用工字钢制成，跨中作用集中力F=7kN，其与横截面铅垂对称轴的夹角=20°（图b），已知[ζ]= 160MPa，试选择工字钢的型号（提示：先假定Wz∕Wy的比值，试选后再进行校核。）

解

（1）外力的分解

Fy= Fcos20°=7×0.940 kN =6.578kN Fz= Fsin20°=7×0.342 kN =2.394kN

(2)内力的计算

kN·m =6.578 kN·m

kN·m=2.394kN²m

(3)强度计算

设Wz∕Wy=6，代入

得

试选16号工字钢，查得Wz=141cm3，Wy=21.2cm3。

再校核其强度

ζmax=+=MPa =159.6 MPa＜[ζ]=160 MPa

满足强度要求。于是，该梁选16号工字钢即可。

作

业：15----1 2

第三节

拉伸（压缩）与弯曲的组合变形

当杆件同时作用轴向力和横向力时，轴向力使杆件伸长（缩短），横向力使杆件弯曲。杆件的变形为轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合，简称拉（压）弯。

计算杆件在轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形的正应力时，与斜弯曲类似，仍采用叠加法。

轴向力FN单独作用时，横截面上的正应力均匀分布（图c），横截面上任一点正应力为

ζ′=

横向力q单独作用时，梁发生平面弯曲，正应力沿截面高度呈线性分布（图d），横截面上任一点的正应力为

ζ″=±

FN、q共同作用下，横截面上任一点的正应力为

ζ = ζ′+ζ″= ±

（15-4）

式（15-4）就是杆件在轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形时横截面上任一点的正应力计算公式。

有了正应力计算公式，很容易建立正应力强度条件。最大正应力发生在弯矩最大截面的上下边缘处，其值为

ζ正应力强度条件为

max =±

ζmax =±≤ [ζ]

（15-5）

当材料的许用拉、压应力不同时，拉弯组合杆中的最大拉、压应力应分别满足许用值。

例15-3

例15-4

作

业：15----3 1.组合变形问题——“先分后合”的解算思路 2.斜弯曲梁的正应力强度条件

ζmax= + ≤[ζ]

（15-3）

3.轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形的正应力强度条件

ζmax =±≤ [ζ]

（15-5）

第四节

偏心压缩（拉伸）截面核心

轴向拉伸（压缩）时外力F的作用线与杆件轴线重合。当外力F的作用线只平行于轴线而不与轴线重合时，则称为偏心拉伸（压缩）。偏心拉伸（压缩）可分解为轴向拉伸（压缩）和弯曲两种基本变形。

偏心拉伸（压缩）分为单向偏心拉伸（压缩）和双向偏心拉伸（压缩）。

一、单向偏心拉伸（压缩）时的正应力计算

e称为偏心距。

横截面上任一点的正应力为

单向偏心拉伸时，上式的第一项取正值。正应力强度条件为

±

（15-6）

二、双向偏心拉伸（压缩）

≤[ζ]

(15-7)

任一点的正应力由三部分组成。

轴向外力FN作用下，横截面ABCD上任一点K的正应力为

ζ′=

（分布情况如图d）

Mz 和My单独作用下，横截面ABCD上任意点K的正应力分别为

ζ″=

（分布情况如图e）

ζ′″

=

（分布情况如图f）

三者共同作用下，横截面上ABCD上任意点K的总正应力为以上三部分叠加，即

ζ =ζ′+ζ″+ζ′″ =±±

(15-8)对于矩形、工字形等具有两个对称轴的横截面，最大拉应力或最大压应力都发生在横截面的角点处。其值为：

ζ或 max = ± ±（双向偏心拉伸）

ζmax =-± ±（双向偏心压缩）

正应力强度条件较（15-7），只是多了一项平面弯曲部分，即

≤

（15-9）

例15-5

例15-6

三、截面核心

当荷载作用在截面形心周围的一个区域内时，杆件整个横截面上只产生压应力而不出现拉应力，这个荷载作用的区域就称为截面核心。

常见的矩形、圆形和工字形截面核心如下图中阴影部分所示。

作

业：14----4 5 【课程】11压杆稳定

【教学要求】

了解压杆稳定与失稳的概念；

理解压杆的临界力和临界应力的概念；

能采用合适的公式计算各类压杆的临界力和临界应力；

熟悉压杆的稳定条件及其应用；

了解提高压杆稳定性的措施。【重

点】

1、计算临界力。

2、掌握折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法

【难

点】

折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法。【授课方式】

课堂讲解 【教学时数】 共计4学时

第十一章

压 杆 稳 定 第一节 压杆稳定的概念

一、稳定问题的提出

对受压杆件的破坏分析表明，许多压杆却是在满足了强度条件的情况下发生的。例如。细长压杆由于其不能维持原有直杆的平衡状态所致，这种现象称为丧失稳定，简称失稳。短粗压杆的破坏是取决于强度；细长压杆的破坏是取决于稳定。

细长压杆的承载能力远低于短粗压杆。因此，对压杆还需研究其稳定性。

二、压杆稳定概念

平衡状态有稳定与不稳定之分。

压杆将从稳定平衡过渡到不稳定平衡，此时称为临界状态。压力Fcr称为压杆的临界力。当外力达到此值时，压杆即开始丧失稳定。

在设计压杆时，必须进行稳定计算。

第二节

细长压杆的临界力

一、两端铰支细长压杆的临界力

（16-1）

式（16-1）即为两端铰支细长压杆的临界力计算式，又称为欧拉公式。式中EI为压杆的抗弯刚度。当压杆失稳时，杆将在EI值较小平面内失稳。所以，惯性矩I应为压杆横截面的最小形心主惯性矩Imin。

二、其他支承情况下细长压杆的临界力的欧拉公式 例16-1 例16-2 作

业：16----1 3 4 细长压杆的临界力计算的欧拉公式

(16-2)

第三节

临界应力与欧拉公式的适用范围

临界应力

当压杆在临界力Fcr作用下处于平衡时，其横截面上的压应力为界应力，用表示，即，此压应力称为临

令，（i即为惯性半径）则式（a）可改写为

令，则式（b）又可写为

(16-3)式（16-3）称为欧拉临界应力公式。实际是欧拉公式的另一种表达形式。称为柔度或长细比。柔度λ与μ、l、i有关。i决定于压杆的截面形状与尺寸，μ决定于压杆的支承情况。因而从物理意义上看，λ综合地反映了压杆的长度，截面形状与尺寸以及支承情况对临界应力的影响。

二、欧拉公式的适用范围

欧拉公式的适用范围是：压杆的应力不超过材料的比例极限。即

ζcr≤ζp

对应于比例极限的长细比为

（16-4）

因此欧拉公式的适用范围可以用压杆的柔度值λp来表示，即只有当压杆的实际柔度λ≥λp时，欧拉公式才适用。这一类压杆称为大柔度杆或细长杆。

三、超出比例极限时压杆的临界应力

临界应力总图

压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程上称为中柔度杆。临界应力各国多采用以试验为基础的经验公式。

ζcr=a-bλ(16-5)临界应力为压杆柔度的函数，临界应力ζcr与柔度λ的函数曲线称为临界应力总图。

第四节 压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

为了计算上的方便，将稳定许用应力值写成下列形式

压杆稳定条件可写为

或

二、压杆稳定条件的应用

稳定条件可解决下列常见的三类问题。1.稳定校核。

（16-8）

2.设计截面。计算时一般先假设=0.5，试选截面尺寸、型号，算得λ后再查’。若’比假设的值相差较大，则再选二者的中间值重新试算，直至二者相差不大，最后再进行稳定校核。

3．确定稳定许用荷载。例15-3 稳定校核问题 例15-4 稳定校核问题

例15-5 确定稳定许用荷载问题 例15-6 设计截面问题

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的长度

在条件允许的情况下，应尽量使压杆的长度减小，或者在压杆中间增加支撑。

二、改善支承情况，减小长度系数μ

在结构条件允许的情况下，应尽可能地使杆端约束牢固些，以使压杆的稳定性得到相应提高。

三、选择合理的截面形状

增大惯性矩I，从而达到增大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

四、合理选择材料

对于大柔度杆，弹性模量E值相差不大。所以，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。

对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。

作

业：16----6 7 8 【课程】12平面体系的几何组成分析

【教学要求】理解几何组成分析中的名词含义；

了解平面体系自由度计算的方法；

掌握平面几何不变体系的组成规则；

会对常见平面体系进行几何组成分析。【重

点】掌握平面几何不变体系的组成规则。【难

点】对平面体系进行几何组成分析。【授课方式】 课堂讲解加练习【教学时数】 共计6学时

第十二章

平面体系的几何组成分析 第一节

几何组成分析的目的

几何不变体系和几何可变体系的概念。举例。

结构必须是几何不变体系。分析体系的几何组成，以确定它们属于哪一类体系，称为体系的几何组成分析。

对体系进行几何组成分析的目的就在于：⑴判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构；⑵研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计的结构能承受荷载并维持平衡；⑶区分静定结构和超静定结构，以指导结构的内力计算。

在几何组成分析中，由于不考虑杆件的变形，因此可把体系中的每一杆件或几何不变的某一部分看作一个刚体。平面内的刚体称为刚片。

第二节

平面体系的自由度和约束

一、自由度

所谓平面体系的自由度是指该体系运动时可以独立变化的几何参数的数目，即确定体系的位置所需的独立坐标的数目。

在平面内，一个点的自由度是2。一个刚片在平面内的自由度是3。

二、约束

凡是能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个自由度，就说它相当于一个约束。

1.链杆——是两端以铰与别的物体相联的刚性杆。

一根链杆相当于一个约束。2.单铰——联结两个刚片的铰。一个单铰相当于两个约束。

3.复铰——联结三个或三个以上刚片的铰。

复铰的作用可以通过单铰来分析。联结三个刚片的复铰相当于两个单铰。同理，联结n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，也相当于2（n-1）个约束。

4.刚性联结

一个刚性联结相当于三个约束。

三、虚铰

两根链杆的约束作用相当于一个单铰，不过，这个铰的位置是在链杆轴线的延长线上，且其位置随链杆的转动而变化，与一般的铰不同，称为虚铰。

当联结两个刚片的两根链杆平行时，则认为虚铰位置在沿链杆方向的无穷远处。

四、多余约束

如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，则此约束称为多余约束。

第三节

几何不变体系的组成规则

一、几何不变体系的组成规则 1.三刚片规则

三个刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联，则所组成的体系是没有多余约束的几何不变体系。

2.两刚片规则

两个刚片用一个铰和一根不通过该铰的链杆相联，则所组成的体系是没有多余约束的几何不变体系。

3.二元体规则

在体系中增加一个或拆除一个二元体，不改变体系的几何不变性或可变性。所谓二元体是指由两根不在同一直线上的链杆联结一个新结点的装置。在一个已知体系上增加一个二元体不会影响原体系的几何不变性或可变性。同理，若在已知体系中拆除一个二元体，不会影响体系的几何不变性或可变性。

二、瞬变体系

联结三刚片的三个铰不能在同一直线上；联结两刚片的三根链杆不能全交于一点也不能全平行等。

这种本来是几何可变的，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系。

第四节

几何组成分析举例

几何不变体系的组成规则，是进行几何组成分析的依据。对体系灵活使用这些规则，就可以判定体系是否是几何不变体及有无多余约束等问题。分析时，步骤如下：

1.选择刚片

在体系中任一杆件或某个几何不变的部分（例如基础、铰结三角形），都可选作刚片。在选择刚片时，要考虑哪些是联结这些刚片的约束。

2.先从能直接观察的几何不变的部分开始，应用组成规则，逐步扩大几何不变部分直至整体。

3.对于复杂体系可以采用以下方法简化体系 ⑴ 当体系上有二元体时，应依次拆除二元体。

⑵ 如果体系只用三根不全交于一点也不全平行的支座链杆与基础相联，则可以拆除支座链杆与基础。

⑶ 利用约束的等效替换。如只有两个铰与其它部分相联的刚片用直链杆代替；联结两个刚片的两根链杆可用其交点处的虚铰代替。

例18--1

例18--2

例18--3

例18--4 例18—5

第四节

静定结构和超静定结构

在荷载作用下，所有反力和内力均可由静力平衡条件求得且为确定值，这类结构称为静定结构。

对于具有多余约束的结构，仅由静力平衡条件，不能求出全部的反力和内力。这类结构称为超静定结构。

静定结构和超静定结构的内力计算将在后面各章介绍。作

业：

习题(图18-23-------18-40)【课程】13静定结构的内力分析

【教学要求】

1、理解静定结构的概念；

2、掌握平面刚架、平面桁架、静定拱的组合结构内力计算方法；

3、熟悉各结构的受力特点 【重

点】

掌握平面刚架、平面桁架、静定拱的内力计算 【难

点】

掌握平面刚架静定拱的内力计算

【授课方式】

课堂讲解通过讲解例题熟练掌握。【教学时数】

共计10学时

第十三章

静定结构的内力分析

第一节

静定梁

一、单跨静定梁

单跨静定梁在工程中应用很广，是常用的简单结构，也是组成各种结构的基本构件之一，其受力分析是各种结构受力分析的基础。这里加以简略叙述和补充，以便更好地去研究杆系结构的内力计算。

1．用截面法求指定截面的内力

平面结构在任意荷载作用下，其杆件横截面上一般有三种内力，即弯矩M、剪力FQ和轴力FN，如图19-2所示。计算内力的基本方法是截面法。

2.内力图

在土建工程中，弯矩图规定一律画在杆件受拉的一侧，在图上不标正、负号。而对于剪力图和轴力图，可作在杆轴的任一侧（在梁上通常把正号内力作于上方），但需注明正、负号。

作内力图的基本方法是根据内力方程作图。但通常更多采用的是利用三者微分关系来作内力图的简捷法。

用简捷法作内力图的步骤： 求反力

分段

定点

连线 3.用叠加法作弯矩图

梁弯矩图相应的竖标叠加。应当注意，这里所述弯矩图的叠加是指纵坐标的叠加，即纵坐标代数相加。

还可利用相应简支梁弯矩图的叠加来作直杆某一区段弯矩图的方法，称为区段叠加法。

步骤如下：

（1）分段，求出控制截面的弯矩值。

（2）作弯矩图。当控制截面间无荷载时，用直线连接两控制截面的弯矩值，即得该段的弯矩图；当控制截面间有荷载作用时，先用虚直线连接两控制截面的弯矩值，然后以此虚直线为基线，再叠加这段相应简支梁的弯矩图，从而作出最后的弯矩图。

例19-1、与

二、斜梁

建筑中的梁式楼梯，支承踏板的边梁为一斜梁。斜梁上的荷载表示方法有两种，一种是沿梁的轴线方向分布；另一种沿水平方向分布。现行荷载规范的标准活荷载，都以沿水平分布给出。为了计算方便，常需将沿轴线方向分布的荷载换算成沿水平方向分布的荷载。

斜梁的内力除有弯矩和剪力外，还有轴力。

现讨论简支斜梁计算中的两个问题，并同时与水平简支梁比较。1.简支斜梁的内力表达式 反力。

FAx＝0

FAy＝（↑）

FBy＝

（↑）

简支斜梁的支座反力与相应水平简支梁的反力相同。求斜梁任一横截面K的内力。由隔离体的平衡条件可得：

MK＝

FQK＝

FNK＝－2.简支斜梁内力图的绘制

三、多跨静定梁

1.多跨静定梁的几何组成特点

多跨静定梁是由若干根梁用铰相连，并用若干支座与基础相连而组成的静定结构。在工程结构中，常用它来跨越几个相连的跨度。

多跨静定梁可分为基本部分和附属部分。所谓基本部分，是指不依赖于其它部分的存在，独立地与基础组成一个几何不变的部分，或者说本身就能独立地承受荷载并能维持平衡的部分。所谓附属部分是指需要依赖基本部分才能保持其几何不变性的部分。显然，若附属部分被破坏或撤除，基本部分仍为几何不变；反之，若基本部分被破坏，则附属部分必随之连同倒塌。为了更清晰地表示各部分之间的支承关系，可以把基本部分画在下层，而把附属部分画在上层，这称为层次图。

2.分析多跨静定梁的原则和步骤

多跨静定梁可拆成若干单跨静定梁。荷载作用在基本部分时，附属部分不受力。荷载作用于附属部分时，其作用力将通过铰结处传给基本部分，使基本部分也受力。

因此多跨静定梁的计算顺序应该是先附属部分，后基本部分，也就是说与几何组成的分析顺序相反。遵循这样的顺序进行计算，则每次的计算都与单跨静定梁相同，最后把各单跨静定梁的内力图连在一起，就得到了多跨静定梁的内力图。

这种先附属部分后基本部分的计算原则，也适用于由基本部分和附属部分组成的其它类型的结构。

由上述可知，分析多跨静定梁的步骤可归纳为：（1）先确定基本部分和附属部分，作出层次图。（2）依次计算各梁的反力。

（3）按照作单跨梁内力图的方法，作出各根梁的内力图，然后再将其连在一起，即得多跨静定梁的内力图。

例19-2

例19-3

通过上述两例，容易理解：

（1）加于基本部分的荷载只能使基本部分受力，而附属部分不受力，加于附属部分的荷载，可使基本部分和附属部分同时受力。

（2）集中力作用于基本部分与附属部分相连的铰上时，此外力只对该基本部分起作用，对附属部分不起作用，即可以把作用于铰结点上的集中力直接作用在基本部分上分析。

作

业：

习题19----1 2b 3

第二节

静定平面刚架

一、刚架的特点

由直杆组成具有刚结点的结构称为刚架。当刚架的各杆轴线都在同一平面内而且外力也可简化到这个平面内时，这样的刚架称为平面刚架。

二、静定平面刚架的类型

凡由静力平衡条件即可确定全部反力和内力的平面刚架，称为静定平面刚架，静定平面刚架主要有三种类型：悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架。

工程中大量采用的平面刚架大多数是超静定的。而超静定平面刚架的分析又是以静定平面刚架为基础的，所以掌握静定平面刚架的内力分析方法十分重要。

三、静定平面刚架的内力分析

刚架的内力计算方法与梁完全相同，只是多了一项轴力。在对刚架进行内力分析时，首先是把刚架分为若干杆件，把每根杆件看作一根梁，然后逐杆用截面法求两端内力，再结合每根杆件所作用荷载，便可作出内力图。

在作内力图时，规定弯矩图画在杆件的受拉一侧，不注正、负号；剪力以使隔离体顺时针方向转动的为正，反之为负；轴力仍以拉力为正、压力为负。剪力图和轴力图可画在杆轴的任一边，需注明正负号。弯矩图不标正负。

为了明确表示各杆端内力，规定在内力采用两个脚标：第一个脚标表示该内力所属杆端，第二个脚标表示该杆的另一端。例如MAB表示AB杆A端截面的弯矩，MBA表示AB杆B端截面的弯矩；FQCD表示CD杆C端的剪力。

例19-4

例19-5

例19-6

第五篇：《了解我们自己》优秀教案

【教学内容】

教材p84~85 实践活动

【教学目标】

【基础性目标】

让学生对自身的一些感兴趣的问题，进行实际调查，收集、整理和用不同方法表达数据，提高学生应用统计方法解决简单实际问题的能力。

【教学重点】

让学生经历选择数据收集方法的讨论，亲历统计的全过程。

【教学难点】

选择和收集的方法，科学有效地收集数据。

【教学准备】

每人填写个人信息卡。

【教学过程】

一、创设情境、引入课题

1、谈话：你们想了解自己班里同学的哪些情况？

生：想了解身高、体重、年龄……[教师随机板书]

（2）揭题：今天这节课我们一起“了解我们自己”。[板书课题]

师：课前同学们填写了自己的信息卡，谁来说一说自己的信息。

四 班个人信息卡

姓名：（）

身高：（）厘米

体重：（）千克

年龄：（）岁

生日：（）月份

二、确定主题、收集数据

1、渗透方法：

师：要了解这些内容，应该怎样收集这几方面的数据？

学生交流，教师出示以下方法：

a、自己对班上同学逐个询问，了解需要的数据并作记录。

b、几个同学合作，每人调查一大组或一个小组的同学，然后汇总，获得全班同学的数据。

c、每位同学把自己的相关统计数据贴在桌角，供其余同学自由查阅记录整理。

d、由老师逐项统计，同学们直接获取现成的数据。

师：选择什么方法收集数据比较合适。今天我们运用b和c两种方法收集数据。请同学们把自己的信息卡贴在桌子的右上角或左上角。

2、选择主题：

出示4个主题牌（兴趣小组除外）：

请同学们在小组里说一说，你们小组最想了解什么？请组长上来选择。

3、小组分工：

（1）确定了统计主题，下面请同学们思考一下你们打算如何让去收集数据？

学生独立思考后，小组交流确定方案。

（2）全班交流汇报。

●以年龄组为例，讨论明确：，年龄段要事先调查确定，再制定统计表，然后安排四名学生分组统计，最后汇总。

●以身高组为例指导分段制定统计表。

（4）说一说小组怎样分工收集数据又快又准确。在收集数据时要注意什么？

[不重复不遗漏，注意安全，前面人多就从后面开始，不要拥挤。]

4、收集数据

师：每组开始收集数据，比比哪一组又快又准确。

提问：收集好数据后我们接下来怎么做呢？

三、整理数据、完成图表。

1、整理：

各小组集中汇总，组长将汇总结果告知组员。

3、制作统计表：

请各组员独立完成统计图表，先在组内交流。

四、汇报交流、分析数据

师：刚才我们分组进行了统计，下面让我们一起分享统计的果实。

1、提问：看到我们班身高统计表，你能了解到什么？

（1）儿童9岁至11岁标准身高对照表

9岁

10岁

11岁

男[厘米]

137

41147

女[厘米]

136

2149

（2）请出比较符合该平均身高的同学，体会他的身高水平处于平均状态。

（3）儿童乘车购票须知：1.1米以下的儿童不用买票，1.1米到1.4米需买半票，而身高在1.4米以上的儿童应买全票。

2、（1）看到我们班的体重统计表，你知道些什么？

（2）体重大概测量方法：

男：身高—105厘米=体重[千克] 女：身高—100厘米=体重[千克]

师：每个同学算一算自己的体重。

（3）提问：你的体重与平均体重比较怎样？你要注意什么问题？

3、师：如果我们班要举行一个班级生日会，你认为放在哪个季度最合适？

4、师：我们班同学年龄一般是9周岁和10周岁两种。

师：我们的年龄与坐飞机买票还有点关系呢？

2周岁以下

2周岁-12周岁

12周岁以上

飞机票价

票价的半 票

全 票

比较：这两种都是条形统计图，一个是横条，一个是竖条。

5、师：哪种兴趣组最受欢迎？

五、总结反思

1、提问：通过刚才的统计活动，大家已经了解我们自己，说说你了解了些什么？

2、师：如果我们班要要对数学家庭作业进行改革，想听听大家的意见：

作业形式

不布置作业

维持现状

分层次选做作业

人 数

师：采用d种收集数据的方法。每人只能举一次。

3、统计在我们生活中有着广泛的应用和巨大的作用

老师向你推荐两个网站：国家统计局的网站：www.xiexiebang.com

江苏统计局的网站：www.xiexiebang.com

五、布置作业：

课堂作业：《补充习题》。