建筑力学教案

第一篇：建筑力学教案

第十章 静定结构和超静定结构

第二节平面结构的几何组成分析

教学要求：1.理解几何组成分析中的名词含义；

2.掌握平面几何不变体系的组成规则；

3.会对常见平面体系进行几何组成分析。重 点：掌握平面几何不变体系的组成规则。难 点：对平面体系进行几何组成分析。授课方式：课堂讲解和练习教学内容：平面结构的几何组成分析

一、概念

体系：若干个杆件相互联结而组成的构造。

1、几何不变体系：在任何荷载作用下，若不计杆件的变形，其几何形状与位置均保持不变的体系。

2.几何可变体系：即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作用下，会引起很大的形状或位置的改变的体系。

3、刚片：几何形状不能变化的平面物体。

二、几何不变体系的组成规则

1.铰接三角形规则:三个刚片用不共线的三个单较两两相联,组成的体系为几何不变。

此体系由三个刚片用不共线的三个单铰A、B、C两两铰联组

成的，为几何不变。（1）二元体规则: 二元体:两根不共线的链杆联结一个新结点的构造。在一个刚片上增加或减少一个二元体,仍为几何不变体系。

为没有多余约束的几何不变体系 结论：在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原体系的几何构造性质。（2）两刚片规则: 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联,为几何不变体系。

虚铰：

O为相对转动中心。起的作用相当一个单铰，称为虚铰。

或者

两个刚片用三根不完全平行也不交于同一点的链杆相联，为几何不变体系。

例如：

基础为刚片Ⅰ，杆BCE为刚片Ⅱ，用链杆AB、EF、CD 相联，为几何不变体系。

三、课后练习：

建筑力学公开课教案

系

部：综合二祖

内

容：平面结构的几何组成分析

班

级：高一建筑一班

教

师：陈

燕

第二篇：建筑力学教案

建筑力学重点内容教案

（四）静定结构和超静定结构

建筑物中支承荷载、传递荷载并起骨架作用的部分叫做结构，例如在房屋建筑中由梁、板、柱、基础等构件组成的体系。前面，我们介绍了单个杆件的强度、刚度和稳定性问题。本章将要介绍结构的几何组成规则、结构受力分析的基本知识、不同结构形式受力特点等问题。

第一节结构计算简图

实际结构很复杂，完全根据实际结构进行计算很困难，有时甚至不可能。工程中常将实际结构进行简化，略去不重要的细节，抓住基本特点，用一个简化的图形来代替实际结构。这种图形叫做结构计算简图。也就是说，结构计算简图是在结构计算中用来代替实际结构的力学模型。结构计算简图应当满足以下的基本要求：

1．基本上反映结构的实际工作性能； 2．计算简便。

从实际结构到结构计算简图的简化，主要包括支座的简化、节点的简化、构件的简化和荷载的简化。

一、支座的简化

一根两端支承在墙上的钢筋混凝土梁，受到均布荷载g的作用(图10—1。)，对这样一个最简单的结构，如果要严格按实际情况去计算，是很困难的。因为梁两端所受到的反力沿墙宽的分布情况十分复杂，反力无法确定，内力更无法计算。为了选择一个比较符合实际的计算简图，先要分析梁的变形情况：因为梁支承在砖墙上，其两端均不可能产生垂直向下的移动，但在梁弯曲变形时，两端能够产生转动；整个梁不可能在水平方向移动，但在温度变化时，梁端能够产生热胀冷缩。考虑到以上的变形特点，可将梁的支座作如下处理：通常在一端墙宽的中点设置固定铰支座，在另一端墙宽的中点设置可动铰支座，用梁的轴线代替梁，就得到了图10—16的计算简图。这个计算简图反映了：梁的两端不可能产生垂直向下移动但可转动的特点；左端的固定铰支座限制了梁在水平方向的整体移动；右端的可动铰支座允许梁在水平方向的温度变形。这样的简化既反映了梁的实际工作性能及变形特点，又便于计算。这就是所谓的简支梁。

假设某住宅楼的外廊，采用由一端嵌固在墙身内的钢筋混凝土梁支承空心板的结构方案(图10—20)。由于梁端伸入墙身，并有足够的锚固长度，所以梁的左端不可能发生任何方向的移动和转动。于是把这种支座简化为固定支座，其计算简图如图10—26所示，计算跨度可取梁的悬挑长加纵墙宽度的一半。

预制钢筋混凝土柱插入杯形基础的做法通常有以下两种：当杯口四周用细石混凝土填实、地基较好且基础较大时，可简化为固定支座(图10—3a)；在杯口四周填入沥青麻丝，柱端可发生微小转动，则可简化为铰支座(图10一36)。当地基较软、基础较小时，图口的做法也可简化为铰支座。

支座通常可简化为可动铰支座、固定铰支座、固定支座三种形式。

二、节点的简化 结构中两个或两个以上的构件的连接处叫做节点。实际结构中构件的连接方式很多，在计算简图中一般可简化为铰节点和刚节点两种方式。

1．铰节点铰节点连接的各杆可绕铰节点做相对转动。这种理想的铰在建筑结构中很难遇到。但象图10—40中木屋架的端节点，在外力作用下，两杆间可发生微小的相对转动，工程 中将它简化为铰节点(图10—46)。

2·刚节点刚节点连接的各杆不能绕节点自由转动，在钢筋混凝土结构中刚节点容易实现。图10—5a是某钢筋混凝土框架顶层的构造，图中的梁和柱的混凝土为整体浇注，梁和柱的钢筋为互相搭接。梁和柱在节点处不可能发生相对移动和转动，因此，可把它简化为刚节点(图10—56)。

三、构件的简化

构件的截面尺寸通常比长度小得多。在计算简图中构件用其轴线表示，构件之间的连接用节点表示，构件长度用节点间的距离表示。

四、荷载的简化

在工程实际中，荷载的作用方式是多种多样的。在计算简图上通常可将荷载作用在杆轴上，并简化为集中荷载和分布荷载两种作用方式。关于荷载的分类及简化已在第一章中述及。这里不再重复。

在结构设计中，选定了结构计算简图后，在按简图计算的同时，还必须采取相应韵措施，以保证实际结构的受力和变形特点与计算简图相符。因此，在按图施工时，必须严格实现图纸中规定的各项要求。施工中如疏忽或随意修改图纸；就会使实际结构与计算简图不符，这将导致结构的实际受力情况与计算不符，就可能会出现大的事故。检查与回顾 1.结构计算简图应满足哪些基本要求？

2.结构计算简图的简化主要包括哪些内容？

新授课 第二节平面结构的几何组成分析

一、几何组成分析的概念

建筑结构通常是由若干杆件组成的，但并不是用一些杆件就可随意地组成建筑结构。例如图10—6a中的铰接四边形，可不费多少力就把它变成平行四边形(图。一6b)，但这种铰接四边形不能承受任何荷载的作用，当然不能作为建筑结构使用。如果在铰接四边形中加上一根斜杆(图10—7)，那么在外力作用下其几何形状就不会改变了。

图10—6 图110—7

从几何组成的观点看，由杆件组成的体系可分为两类：

1·几何不变体系 在荷载作用下，不考虑材料的应变时，体系的形状和位置是不能改变的

2·几何可变体系在荷载作用下，不考虑材料的应变时，体系的形状和位置是可以改变的(图10—6a)。

对结构的几何组成进行分析，以判定体系是几何不变体系还是几何可变体系，叫做几何组成分析。

显然，建筑结构必须是几何不变体系。

在体系的几何分析中，把几何不变的部分叫做刚片。一根柱可视为一个刚片；任一肯定的几何不变体系可视为一个刚片；整个地球也可视为一个刚片。

二、几何不变体系的组成规则(一)铰接三角形规则

实践证明，铰接三角形是几何不变体系。如果将图10—8口铰接三角形A船中的铰A拆开：AB杆则可绕曰点转动，AB杆上4点的轨迹是弧线①；4C杆则可绕C点转动，AC杆上的A点的轨迹是弧线②。这两个弧线只有一个交点，所以A点的位置是唯一的，三角形ABC的位置是不可改变的。这个几何不变体系的基本规则叫做铰接三角形规则。

如果在铰接三角形中再增加一根链杆仰(图10—86)，体系ABCD仍然是几何不变的，从维持体系几何不变的角度看，AD杆是多余的，因而把它叫做多余约束。所以ABCD体系是有多余约束的几何不变体系，而铰接三角形ABC是没有多余约束的几何不变体系。

②

铰接三角形规则的几种表达方式

1·二元体规则在铰接三角形中，将一根杆视为刚片，则铰接三角形就变成一个刚片上用两根不共线的链杆在一端铰接成一个节点，这种结构叫做二元体结构(图10—9)。于是铰接三角形规则可表达为二元体规则：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，可组成几何不变体系。且无多余约束。

2·两刚片规则若将铰接三角形中的杆AB和杆日C均视为刚片，杆AC视为两刚片间的约束(图10—10)，于是铰接三角形规则可表达为两刚片规则：两刚片间用一个铰和一根不通过此铰的链杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。图10一ll a表示两刚片用两根不平行的链杆相连，两链杆的延长线相交于A点，两刚片可绕

图 10一10 图 10—11 A点做微小的相对转动。这种连接方式相当于在A点有一个铰把两刚片相连。当然，实际上在A点没有铰，所以把A点叫做“虚铰”。为了阻止两刚片间的相对转动，只需增加一根链杆(图10—11 b)。因此，两刚片规则还可以这样表达：两刚片间用三根不全平行也不全相交于一点的三根链杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。

3．三刚片规则若将铰接三角形中的三根杆均视为刚片(图10—12)，则有三刚片规则：三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连，可组成几何不变体系。且无多余约束。

总结

作业：P238 10-

1、10-2 检查与回顾 铰结三角形的表达形式 新授课

三、超静定结构的概念

简支梁通过铰A和链杆B与地球相连(图10—13a)，是几何不变体系，且无多余约束。这种没有多余约束的几何不变体系叫做静定结构。静定结构的反力和内力可通过静力平衡方程求得。如果在简支梁中增加一个链杆(图10—13b)，它仍然是几何不变体系，但有一个多余约束。有多余约束的几何不变体系叫做超静定结构。超静定结构的支座反力和内力不能由静力平衡方程式全部求得。例如图10—13b中的梁，在荷载和支座反力的作用下，构成一个平面一般力系，可列出三个独立的平衡方程，而未知的支座反力有四个，三个方程只能解算三个未知量，所以不能求出全部的反力，因而内力也无法确定。超静定结构的内力计算，除了运用静力平衡条件外，还要利用变形条件，这里不予介绍。．

四、几何组成分析的实例

几何不变体系的组成规则，是进行几何组成分析的依据。对体系重复使用这些规则，就可判定体系是否是几何不变体系及有无多余约束等问题。运用规则对体系分析时，可先在体系中找到一个简单的几何不变部分，如刚片或铰接三角形，然后按规则逐步组装扩大，最后遍及全体系；也可在复杂的体系中，逐步排除那些不影响几何不变的部分，例如逐步排除二元体，使分析对象得到简化，以便于判别其几何组成。

例10—1试对图10—14中的体系做几何组成分析。

解铰接三角形是几何不变体系(图中的阴影部分)，在此基础上不断增加二元体，最后可遍及整个桁架。将整个桁架视为一个刚片，地球视为另一个刚片，依据两刚片规则，它们之间用铰A与不通过铰A的支座链杆B相连，组成了没有多余约束的几何不变体系。

结论体系是几何不变的，且无多余约束。‘

C

例10一2试分析图10一15中体系的几何组成。

解整个体系可分为左右两个部分：左边的AC可视为刚片，在刚片上增加二元体ADF；右边的CB可视为刚片，在刚片上增加二元体GEB。左、右两部分均可视为刚片，它们之间用铰C和链杆DE相连(两刚片规则)，形成一个大刚片。这个大刚片与地球用铰A和链杆B相连，构成一个没有多余约束的几何不变体系。

现在从另一角度进行分析：左边的AD、AC、DF可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的三个铰A、D、F相连，组成了一个几何不变体系；右边的CB、BE、GE可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的三个铰G、E、B、相连，也组成了一个几何不变体系。左、右两部分用铰C和链杆册相连，组成了一个没有多余约束的几何不变体系，然后再与地球相连。

结论体系是几何不变的，且无多余约束。

例10—3试分析图10—16中体系的几何组成。

解图10—16中的杆AB可视为刚片工，杆BC可视为刚片II，地球为刚片III。三刚片通过铰A、B、C两两相连，但这三个铰在同一直线上，不符合三刚片规则。现在分析在这种情况下会出现的问题。

B点是杆AB及BC的公共点。对AB杆而言，B点可沿以AB为半径的圆弧线①运动；对嬲杆而言，B点可沿以BC为半径的圆弧线②运动。由于A、曰、C三点共线，两个圆弧在B点有公切线。所以，在图示的瞬时，B点可沿公切线做微小的运动，即体系在这一瞬时是几何可变的。但是，B点经过微小的位移后，A、B、C三点就不再共线，B点的位移不能再继续增大。这种本来是几何可变的体系，经过微小的位移后又成为几何不变的体系，叫做瞬变体系。瞬变体系不能作为结构使用，任何接近于瞬变体系的构造，在实际建筑结构中也不允许出现。图10—17中，A、B、C三铰虽不共线，但在e角很小时，链杆的轴力将很大；当日角趋近于零时，体系趋近瞬变状态，链杆的轴力将趋于无穷大。

结论体系是瞬变体系，不能作为结构使用。

例10-4试对图中的体系作几何组成分析。

解 曲杆AC、CB和直杆通过不在同一直线上的三个铰A、B、C两两相连，组成了几何不变体系且没有多余约束。体系的两端通过铰A、B与基础相连，显然多了一个约束。

分析：曲杆AC、CB和地基可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的铰A、C相连，组成了几何不变体系，因此，链杆衄可视为多余约束。结论体系是几何不变的，且有一个多余约束。

建筑结构可分为平面结构和空间结构。如果组成结构的所有杆件的轴线菇在同一个平而Ⅱ为平面结构，否则，便是空间结构。严格说来，实际建筑结构 ‘多场合下，根据结构的组成特点及荷载的传递途径，在实际许可的进五磊主 内，把它们分解为若干个独立的平面结构，可简化计算。

从结构的几何组成角度看，结构又可分为静定结构和超静定结构。

第三篇：建筑力学教案

第一章

绪论

§1—1 建筑力学的任务和内容

一．结构

由建筑材料按合理方式组成并能承受一定载荷作用的物体或物体系。或言建筑物中承受荷载而起骨架作用的部分。Ex 梁、柱、基础，以及由这些构件单元组成的结构体系都称为结构。图示：单层厂房结构。构件：组成结构的各独立单元。二．结构的分类（按几何特征）

⑴ 杆系结构：组成杆系结构的构件是杆件。杆件的几何特征：长度运大于横截面宽度和高度。Ex 直杆、曲杆、折杆。此外 杆件又可分为等截面杆和变截面杆。⑵ 板壳结构（薄壁结构）：组成薄壁结构的构件是薄板或薄壳。薄板或薄壳的几何特征：其厚度远远小于宽度和高度。

⑶ 实体结构 ：其三个方向的尺寸相当。

三、建筑力学的基本任务

建筑力学的基本任务是研究结构的几何组成规律，以及在荷载作用下结构和构件的强度、刚度和稳定性的计算方法和计算原理。其目的是保证所设计的结构和构件能正常工作，并充分发挥材料的力学性能，使设计的结构既安全可靠又经济合理。

说明：⑴ 几何组成： 是指结构必须按一定规律由构件连接组成，以确保结构在荷载作用下能够维持其几何形状和相对位置不变。保证结构能够承受荷载并维持平衡。

⑵ 强度：指结构和构件抵抗破坏的能力。即保证结构和构件正常工作不发生断裂。

⑶ 刚度：指结构和构件抵抗变形的能力。即保证结构和构件在使用过程中不致产生实用上不允许的过大变形。

⑷ 稳定性：指承压结构和构件抵抗失稳的能力。即保证结构和构件在使用过程中始终保持其原来的直线平衡形式，不发生因弯曲变形而丧失承载能力导致破坏的现象。

四、建筑力学的内容

1． 静力学基础及静定结构的内力计算 包括：⑴ 物体的受力分析。

⑵ 力系的简化及平衡方程。⑶ 结构的几何组成规律。⑷ 静定结构的内力计算。

由于这些问题均与变形无关，故此部分内容中的结构和构件均可视为刚体。即以刚体为研究对象。2． 强度问题

研究结构和构件在各种基本变形形式下内力的计算原理和方法，以保证结构和构件满足强度要求。3． 刚度问题

研究静定结构和构件在荷载作用下变形和位移的计算原理和计算方法。以保证结构和构件满足刚度要求。同时也为超静定结构的计算奠定基础。4． 超静定结构的内力计算

介绍力法、位移法求解超静定问题以及力矩分配法求解连续梁及无侧移刚架的内力。以确保超静定结构的强度和刚度满足要求。5． 稳定性问题

仅讨论不同支撑条件下中心受压直杆的稳定性问题。

在2—5的各部分内容中，变形因素在所研究的问题中起主要作用，所以，研究这些问题时，结构和构件均视为理想变形固体，即以理想变形固体为研究对象。

§1—2 刚体、变形固体及其基本假设

建筑力学中通常将物体抽象为两种力学模型：刚体模型和理想变形固体模型。

⑴刚体：在力的作用下不变形的物体。是研究物体在特定问题状态下一种理想化的力学模型。⑵ 理想变形固体：

（a）变形：在荷载作用下物体的形状和尺寸的改变称作变形。变形包括：弹性变形和塑性变形。弹性变形：撤去荷载可消失的变形。

塑性变形：撤去荷载后残留下来而无法消失的变形。

（b）变形固体：荷载作用下产生变形的物体称变形固体。

（c）理想变形固体：为研究问题的方便，将满足下面三个假设条件的变形固体称理想变形固体。是一种理想化的力学模型。

① 连续性假设：组成物体的材料是密实的，其内部物质连续分布无任何空隙。

② 均匀性假设：组成物体的材料的力学性质是均匀的，其任何一部分材料的力学性质均相同。③ 各向同性假设：组成物体的材料各个方向的力学性质均相同。若各个方向力学性质不相同则为各向异性材料。Ex 木材、竹子等。

§1—3 杆件变形的基本形式

杆件据其所受荷载方式的不同，其变形有所不同，尽管变形形式复杂多样但总括起来可归结为四种基本变形形式之一，或是基本变形形式的组合。⑴ 轴向拉伸与压缩

杆件在轴线方向的荷载作用下产生的伸长或缩短的变形即为拉压变形。这种变形形式称轴向拉伸与压缩。⑵ 剪切

杆件承受一对相距很近，作用线垂直于杆件轴线且方向相反的平行荷载的作用，杆件的变形为横截面沿荷载作用方向发生相对错动，此种变形形式称剪切变形。⑶ 扭转

杆件在一对作用于杆件横截面且方向相反的力偶作用下，产生的相邻横截面绕轴线转动的变形称扭转变形。⑷ 弯曲

杆件在一对方向相反的作用于杆件纵向平面内的力偶作用下产生的轴线由直线变为曲线的变形成为弯曲变形。

§1—4 荷载的分类

一．荷载的概念

作用在结构上的外力称荷载。Ex 结构自重、水压力、土压力、风压力、雪压力以及设备重量等。此外还有一些其它因素如：温度变化、基础沉陷、制造误差等，广义上说这些因素都可以称作荷载。

确定结构所受荷载，需根据实际结构受力状况，既不能将荷载估计过大造成浪费，也不能将荷载估计过小造成设计的结构不够安全。二．荷载的分类

⑴ 根据荷载的分布情况分

分布荷载：作用于体积、面积和线段上的体荷载、面荷载和线荷载统称为分布荷载。

重力属于体荷载，风、雪属于面荷载。由于本教材仅研究平面杆系结构，故通常将体荷载、面荷载简化成沿杆件轴线分布的线荷载。

集中荷载：作用于结构上一点的荷载。Ex 吊车轮压。⑵ 按荷载作用时间久暂分

恒荷载：长期作用于结构上不变的荷载。Ex 结构的自重、固定设备等。活荷载：暂时作用于结构的短期荷载。Ex 风、雪等荷载。⑶ 按荷载作用性质分

静力荷载：荷载的大小、方向、作用位置不随时间变化，或虽有变化，变化极缓不致引起结构产生加速度而具有惯性力的作用。

动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置随时间变化，由此引起结构的质量产生加速度而具有惯性力的作用。Ex 结构上转动的偏心电机、地震荷载等。由此引起的结构的内力和位移都随时间变化，称之为动内力和动位移，统称为动力反应。

第四篇：建筑力学教案

【课程】1静力学基本概念

【教学要求】

掌握力的概念、合成与分解；

掌握静力学定理。

【重

点】

掌握静力学定理。【难

点】

力的合成与分解。【授课方式】

课堂讲解 【教学时数】

共计4学时

绪

论

一、《建筑力学》的研究对象

在建筑物中承受并传递荷载而起骨架作用的部分叫做建筑结构，简称结构。组成结构的单个物体叫构件。构件一般分三类，即杆件、薄壁构件和实体构件。在结构中应用较多的是杆件。

对土建类专业来讲，《建筑力学》的主要研究对象就是杆件和杆件结构。

二、《建筑力学》的主要任务 《建筑力学》的任务就是为解决安全和经济这一矛盾提供必要的理论基础和计算方法。

三、《建筑力学》的内容简介

第一部分讨论力系的简化、平衡及对构件（或结构）进行受力分析的基本理论和方法；第二部分讨论构件受力后发生变形时的承载力问题。为设计即安全又经济的结构构件选择适当的材料、截面形状和尺寸，使我们掌握构件承载力的计算。第三部分讨论杆件体系的组成规律及其内力和位移的问题。

四、《建筑力学》的学习方法

《建筑力学》是土建类专业的一门重要的专业基础课，学习时要注意理解它的基本原理，掌握它的分析问题的方法和解题思路，切忌死记硬背；还要多做练习，不做一定数量的习题是很难掌握《建筑力学》的概念、原理和分析方法的；另外对做题中出现的错误应认真分析，找出原因，及时纠正。

引

言

同时作用在物体上的一群力，称为力系。对物体作用效果相同的力系称为等效力系。

物体在力系作用下，相对于地球静止或作匀速直线运动，称为平衡。它是物体运动的一种特殊形式。

建筑力学中把运动状态没有变化的特殊情况称为平衡状态。满足平衡状态的力系称为平衡力系。

使物体在力系作用下处于平衡力系时应满足的条件，称为力系的平衡条件。

第一章

力的基本性质与物体的受力分析

第一节

基本概念

一、刚体的概念

在外力作用下，几何形状、尺寸的变化可忽略不计的物体，称为刚体。

二、力的概念

力是物体间相互的机械作用，这种相互作用会使物体的运动状态发生变化（外效应）或使物体发生变形（内效应）。

实践证明：力对物体的作用效果取决于力的三要素。

1.力的大小

力的大小表明物体间相互作用的强弱程度。2.力的方向

力不但有大小，而且还有方向。

3.力的作用点

当作用范围与物体相比很小时，可以近似地看作是一个点。在描述一个力时，必须全面表明这个力的三要素。力是矢量。

用字母表示力矢量时，用黑体字F，普通体F只表示力矢量的大小。

第二节

静力学公理

一、力的平行四边形公理

作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。

二、二力平衡公理

作用在同一刚体上的两个力，使刚体处于平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等，方向相反，且在同一直线上。

三、加减平衡力系公理

在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。也就是说，如果两个力系只相差一个或几个平衡力系，则它们对刚体的作用是相同的，可以等效代换。

推论1

力的可传性原理

作用在刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移动到刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用效果。

推论2

三力平衡汇交定理

作用于同一刚体上共面而不平行的三个力使刚体平衡时，则这

三个力的作用线必汇交于一点。

四、作用与反作用公理

两物体间的作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反，沿同一直线并分别作用于两个物体上。

必须注意：不能把作用力与反作用力公理与二力平衡公理相混淆。

第三节

工程中常见的约束与约束反力

一、约束与约束反力的概念

对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束体，简称约束。阻碍物体运动的力称为约束反力，简称反力。

所以，约束反力的方向必与该约束所能阻碍物体运动的方向相反。由此可以确定约束反力的方向或作用线的位置。

物体受到的力一般可以分为主动力、约束反力。一般主动力是已知的，而约束反力是未知的。

二、几种常见的约束及其反力 1.柔体约束

FT

2.光滑接触面约束

FN 3.圆柱铰链约束

4.链杆约束

画出简图 分别举例

三、支座及支座反力

工程中将结构或构件支承在基础或另一静止构件上的装置称为支座。建筑工程中常见的三种支座：固定铰支座（铰链支座）、可动铰支座和固定端支座。

1.固定铰支座（铰链支座）2.可动铰支座

3.固定端支座

画出简图 分别举例

作

业：思考题5、6

复习

第四节 物体的受力分析和受力图

物体的受力分析。

物体的受力图。受力图是进行力学计算的依据，也是解决力学问题的关键，必须认真对待，熟练掌握。

一、单个物体的受力图 例14、5

受力图注意以下几点： 1.必须明确研究对象。

2.正确确定研究对象受力的数目。3.注意约束反力与约束类型相对应。4.注意作用力与反作用力之间的关系。作

业：习题1、2、3

复习

【课程】2平面汇交力系

【教学要求】

掌握力在坐标轴上的投影及合力投影定理； 掌握平面汇交力系、平面一般力系的平衡条件； 【重

点】

掌握平面汇交力系、平面一般力系的平衡条件； 掌握物体系统的平衡条件。【难

点】

平面汇交力系的解法

【授课方式】

课堂讲解加练习【教学时数】

共计4学时

第二章

平面汇交力系

静力学是研究力系的合成和平衡问题。

平面汇交力系

平面力系

平面平行力系

力系

平面一般力系

空间力系

本章将用几何法、解析法来研究平面汇交力系的合成和平衡问题。

第一节平面汇交力系合成与平衡的几何法

一、平面汇交力系合成的几何法 1.两个汇交力的合成。

平行四边形法则

三角形法则 2.任意个汇交力的合成

结论：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，合力作用线通过原力系各力的汇交点。

例22 例24

2.合力投影定理 合力投影定理：合力在任一坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。3.用解析法求平面汇交力系的合力

式中α为合力FR与x轴所夹的锐角。合力的作用线通过力系的汇交点O，合力FR的指向，由FRX和FRY(即ΣFX、ΣFY)的正负号来确定。

例2-5

二、平面汇交力系平衡的解析条件

由上节可知，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。根据式（2-5）的第一式可知：

上式中（ΣFX）2与（ΣFY）2恒为正数。若使FR =0，必须同时满足

ΣFX=0 ΣFY=0平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。

上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。这一点与几何法相一致。

例2-6

例2-7

例2-8

通过以上各例的分析讨论，现将解析法求解平面汇交力系平衡问题时的步骤归纳如下： 1.选取研究对象。

2.画出研究对象的受力图。当约束反力的指向未定时，可先假设其指向。3.选取适当的坐标系。最好使坐标轴与某一个未知力垂直，以便简化计算。

4.建立平衡方程求解未知力，尽量作到一个方程解一个未知量，避免解联立方程。列方程时注意各力的投影的正负号。求出的未知力带负号时，表示该力的实际指向与假设指向相反。

作

业：题2----

4、5 【课程】3力矩和平面力偶系

【教学要求】

掌握力矩的概念及合力矩定理；

掌握力偶的性质；掌握物体系统的平衡条件。【重

点】

掌握力偶系的平衡条件； 掌握物体系统的平衡条件。【难

点】

力偶性质的利用，求物体系统的平衡时如何选取研究对象。【授课方式】

课堂讲解加练习【教学时数】

共计4学时

第三章

力对点的矩与平面力偶系 第一节

力对点的矩的概念及计算

一、力对点的矩

力F与距离d两者的乘积

来量度力F对物体的转动效应。

转动中心O称为力矩中心，简称矩心。矩心到力作用线的垂直距离d，称为力臂。

改变力F绕O点转动的方向，作用效果也不同。力F对物体绕O点转动的效应，由下列因素决定：（1）力的大小与力臂的乘积。

（2）力使物体绕O点的转动方向。

MO(F)= ±通常规定：逆为正，反之为负。在平面问题中，力矩为代数量。

力矩的单位：（）或（）。

MO(F)=±2△AOB 力矩在下列两种情况下等于零：（1）力等于零；

（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。

二、合力矩定理

平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。这就是平面力系的合力矩定理。用公式表示为

简单证明： 例3-1 例3-2 课堂练习（补充）作

业：题3----

1、2 【课程】4平面一般力系

【教学要求】

掌握平面一般力系的平衡条件； 掌握物体系统的平衡条件。【重

点】

掌握平面一般力系的平衡条件； 掌握物体系统的平衡条件。【难

点】

求物体系统的平衡时如何选取研究对象。【授课方式】

课堂讲解加练习【教学时数】

共计6学时

第四章

平面一般力系

平面一般力系是指各力的作用线在同一平面内但不全交于一点，也不全互相平行的力系。举例。

本章将讨论平面一般力系的简化与平衡问题，并以平衡问题为主。

第一节

平面一般力系向作用面内任一点简化

一、力的平移定理

由此可见，作用于物体上某点的力可以平移到此物体上的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩，这就是力的平移定理。此定理只适用于刚体。

应用力的平移定理时，须注意下列两点：

（一）平移力F＇的大小与作用点位置无关。

（二）力的平移定理说明作用于物体上某点的一个力可以和作用于另外一点的一个力和一个力偶等效，反过来也可将同平面内的一个力和一个力偶化为一个合力

二、简化方法和结果 主矢

主矩

Mo′=M1+M2+„+Mn

Mo′=Mo(F1)+Mo（F2）+„+Mo（Fn）=∑Mo（F）

综上所述可知：平面一般力系向作用面内任一点简化的结果，是一个力和一个力偶。这个力作用在简化中心，它的矢量称为原力系的主矢，并等于这个力系中各力的矢量和；这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，并等于原力系中各力对简化中心的力矩的代数和。

主矢描述原力系对物体的平移作用；

主矩描述原力系对物体绕简化中心的转动作用，二者的作用总和才能代表原力系对物体的作用。

三、平面一般力系简化结果的讨论 1.若FR′=0，MO′≠0

一个力偶 2.若FR′≠0，Mo′=0

一个力

3.若FR′≠0，Mo′≠0

可继续简化：一个力 4.若FR′=0，Mo′=0

平衡（下节讨论）

四、平面力系的合力矩定理

Mo（FR）=∑Mo（F）

例4-1 例4-2 沿直线平行同向分布的线荷载，荷载合力的大小等于该荷载图的面积，方向与分布荷载同向，其作用线通过该荷载图的形心。

作

业：题4----1、2、3、4

第二节平面一般力系的平衡方程及其应用

一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系平衡方程的基本形式

∑FX=0 ∑FY=0

∑Mo（F）=0

二、平衡方程的其它形式 1.二力矩形式

∑FX=0 ∑MA(F)=0 ∑MB(F)=0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。2.三力矩形式

∑MA（F）= 0 ∑MB(F)= 0 ∑MC（F）= 0 式中A、B、C三点不共线。

三、平衡方程的应用

应用平面一般力系的平衡方程，主要是求解结构的约束反力，还可求解主动力之间的关系和物体的平衡位置等问题。其解题步骤如下：

1.确定研究对象。

2.分析受力并画出受力图。3.列平衡方程求解未知量。例4--3 4 5 6 7 作

业：题4----5、6、8、10、12、第三节

平面平行力系的平衡方程

平面力系中，各力的作用线互相平行时，称为平面平行力系。平面平行力系的平衡方程为

∑FY = 0

∑MO（F）= 0平面平行力系平衡方程的二力矩式

∑MA（F）=0 ∑MB（F）=0 其中A、B两点的连线不与各力的作用线平行。例4-8 例4-9 例4-10 作

业：题4----

16、17

第四节

物体系统的平衡问题

在解决物体系统的平衡问题时，既可选整个系统为研究对象，也可选其中某个物体为研究对象，然后列出相应的平衡方程，以解出所需的未知量。

研究物体系统的平衡问题，不仅要求解支座反力，而且还需要计算系统内各物体之间的相互作用力。

应当注意：我们研究物体系统平衡问题时，要寻求解题的最佳方法。即以最少的计算过程，迅速而准确地求出未知力。其有效方法就是尽量避免解联立方程。一般情况下，通过合理地选取研究对象，以及恰当地列平衡方程及其形式，就能取得事半功倍的效果。而合理地选取研究对象，一般有两种方法：

1.。“先整体、后局部”

2.“先局部、后整体”或“先局部、后另一局部”

在整个计算过程中，当画整体、部分或单个物体的受力图时还应注意：①同一约束反力的方向和字母标记必须前后一致；②内部约束拆开后相互作用的力应符合作用与反作用规律；③不要把某物体上的力移到另一个物体上；④正确判断二力杆，以简化计算。

例4-11 例4-12 例4-13 作

业：题4----

18、19

第五节

考虑摩擦时的平衡问题（简介）

一、滑动摩擦 1.静滑动摩擦力 2.最大静滑动摩擦力

0≤F≤Fmax

Fmax=f FN

3.动滑动摩擦力

F＇=f＇FN

二、摩擦角与自锁现象

tanθm=f 即摩擦角的正切等于静摩擦系数。

1.当θ＞θm。此时，无论FR′值多么小，全反力FR都不可能与FR′共线，因而物体不可能平衡而产生滑动。

2.当θ＜θm。此时，无论FR′多么大，只要支承面不被压坏，全反力FR总可以与FR′共线，物体总能保持静止状态。

这种只须主动力的合力作用线在摩擦角的范围内，物体依靠摩擦总能静止而与主动力大小无关的现象称为自锁。

3.当θ=θm，则物体处于临界平衡状态。

三、考虑摩擦时物体的平衡问题 例4-14 例4-15 【课程】5材料力学的基本概念

【教学要求】

掌握变形固体的基本概念和变形固体的基本假设；

了解杆件变形的4种基本形式。【重

点】

掌握变形固体的基本概念和变形固体的基本假设。

【难

点】

变形固体的基本假设 【授课方式】

课堂讲解 【教学时数】

共计2学时

第五章

材料力学基本概念 第一节

变形固体及其基本假设

一、变形固体

在外力作用下能产生一定变形的固体称为变形固体。外力解除后，变形也随之消失的弹性变形。外力解除后，变形并不能全部消失的塑性变形。在弹性范围内，构件的变形量与外力的情况有关。当变形量与构件本身尺寸相比特别微小时称为小变形。

二、基本假设 三点基本假设： ⒈ 连续性假设。⒉ 均匀性假设 ⒊ 各向同性假设

总之，本篇所研究的构件是均匀连续、各向同性，在小变形范围内的理想弹性体。

第二节 杆件变形的基本形式

一、杆件的几何特征及分类 横截面总是与轴线相垂直。

按照杆件的轴线情况，将杆分为两类：直杆、曲杆。等直杆是建筑力学的主要研究对象。

二、杆件变形的基本形式 基本形式有下列四种： ⒈ 轴向拉伸或轴向压缩 ⒉ 剪切 ⒊ 扭转 ⒋平面弯曲

作

业：思考题6----1、3、4、5 【课程】6轴向拉伸和压缩

【教学要求】

了解轴向拉压变形的概念；

掌握轴向拉压杆与内力的计算方法；

会绘制轴力图。

【重

点】绘制轴力图图。【难

点】 正负号的判定。【授课方式】

通过模型课堂讲解 【教学时数】

共计8学时

第六章

轴向拉伸和压缩 第一节

轴向拉伸和压缩的概念

轴向拉伸或压缩变形是杆件基本变形形式之一，它们的共同特点：杆轴线纵向伸长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。

第二节 轴向拉（压）杆的内力

一、内力的概念

杆件相连两部分之间相互作用力产生的改变量称为内力。

内力与杆件的强度、刚度等有着密切的关系。讨论杆件强度、刚度和稳定性问题，必须先求出杆件的内力。

二、求内力的基本方法——截面法 截面法是求杆件内力的基本方法。计算内力的步骤如下：

⒈ 截开：用假想的截面，在要求内力的位置处将杆件截开，把杆件分为两部分。⒉ 代替：取截开后的任一部分为研究对象，画受力图。画受力图时，在截开的截面处用该截面上的内力代替另一部分对研究部分的作用。

⒊平衡：被截开后的任一部分也应处于平衡状态。

三、轴向拉（压）杆的内力——轴力

与杆件轴线相重合的内力称为轴力。并用符号FN表示。规定：拉力为正；压力为负，轴力的常用单位是牛顿或千牛顿，记为N或kN。例7-1

说明：

（1）先假设轴力为拉力。

（2）可取截面的任一侧研究。为了简化，取外力较少的一侧。例7-2

四、轴力图

表明轴力随横截面位置变化规律的图形称为轴力图。从轴力图上可以很直观地看出最大轴力所在位置及数值。习惯：正上负下。

例7-3

作

业：题7----1、2、3

第四节 轴向拉（压）杆的变形及虎克定律

轴拉压沿轴线方向（纵向）的伸长或缩短变形，这种变形称之为纵向变形。与杆轴线相垂直方向的变形称为横向变形。

一、纵向、横向变形 杆的纵向变形量为

l=l1－l 杆在轴向拉伸时纵向变形为正值，压缩时为负。其单位为m或mm 杆的横向变形量为

a=a1－a 杆在轴向拉伸时的横向变形为负值，压缩时为正。

二、泊松比

当轴向拉（压）杆的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变ε′与纵向线应变ε的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数。用μ表示。

三、胡克定律

这一关系式称式（7-4）为胡克定律。

EA反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。

上式是虎克定律的另一表达形式。它表明：在弹性范围内，正应力与线应变成正比。例7-6

例7-7

例7-8

作

业：题4----

7、8

第五节 材料在拉伸和压缩时的力学性质

材料的力学性质是指：材料在外力作用下所表现出的强度和变形方面的性能。材料的力学性质都要通过实验来确定。

一、低碳钢的力学性质

⒈ 低碳钢拉伸时的力学性质 ⑴ 拉伸图和应力——应变图 ⑵ 变形发展的四个阶段 1）弹性阶段 2）屈服阶段

屈服阶段内最低对应的应力值称为屈服极限，用符号ζs。3）强化阶段

最高点对应的应力称为强度极限，用符号ζb。冷加工

4）颈缩阶段

⑶ 延伸率和截面收缩率

1）延伸率

工程中常按延伸率的大小将材料分为两类： δ≥5%的材料为塑性材料。δ＜5%的材料为脆性材料。

2）截面收缩率

⒉ 低碳钢压缩时的力学性质

二、铸铁的力学性质 ⒈ 拉伸性质 ⒉ 压缩性质

三、其它材料的力学性质

塑性材料，在强度方面表现为：拉伸和压缩时的弹性极限、屈服极限基本相同，应力超过弹性极限后有屈服现象；在变形方面表现为：破坏前有明显预兆，延伸率和截面收缩率都较大等。

脆性材料，在强度方面表现为：压缩强度大于拉伸强度；在变形方面表现为：破坏是突然的，延伸率较小等。

总的来说，塑性材料的抗拉、抗压能力都较好，既能用于受拉构件又能用于受压构件；脆性材料的抗压能力比抗拉能力好，一般只用于受压构件。但在实际工程中选用材料时，不仅要从材料本身的力学性质方面考虑，同时还要考虑到经济的原则。

需特别指出：影响材料力学性质的因素是多方面的，上述关于材料的一些性质是在常温、静荷载条件下得到的。若环境因素发生变化（如温度不是常温，或受力状态改变），则材料的性质也可能随之而发生改变。

作

业：题4----

9、10

第六节 许用应力、安全系数和强度计算

一、许用应力与安全系数 [ζ]称为许用正应力。

许用应力与极限应力的关系可写为：

塑性材料：

脆性材料：

式中：nS与nb都为大于1的系数，称为安全系数。塑性材料

nS取1.4～1.7 脆性材料

nb取2.5～3

二、轴向拉（压）杆的强度计算 ⒈ 强度条件

为了保证轴向拉（压）杆在承受外力作用时能安全正常地使用，不发生破坏，必须使杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力，即

ζmax≤[ζ]

≤[ζ] 式中ζmax是杆件的最大工作应力。⒉ 强度条件在工程中的应用

根据强度条件，可以解决实际工程中的三类问题。⑴ 强度校核 ⑵ 设计截面

⑶ 计算许用荷载

FN≤A[ζ] 例7-9

例7-10

例7-11

例7-12

第七节

应力集中的概念

一、应力集中的概念

因杆件截面尺寸的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。

二、应力集中对杆件强度的影响

塑性材料在静荷载作用下，应力集中对强度的影响较小。对于脆性材料，应力集中严重降低了脆性材料杆件的强度。作

业：题4----12、13、14、15、18

第六节 许用应力、安全系数和强度计算

一、简要复习上节： ⒈ 强度条件

ζmax≤[ζ]

≤[ζ] 三类问题 ⑴ 强度校核 ⑵ 设计截面

⑶ 计算许用荷载

FN≤A[ζ]

二、作业选讲

【课程】7剪切和扭转

【教学要求】

了解剪切和扭转的概念；

掌握剪切和扭转的计算方法； 【重

点】剪切和扭转的计算 【难

点】剪切和扭转的计算 【授课方式】 通过模型课堂讲解 【教学时数】 共计8学时

第七章

剪切与挤压、扭转

第一节

剪切与挤压的概念

一、剪切的概念

二、挤压的概念（图示说明）

第二节

剪切与挤压的实用计算

一、剪切的实用计算

假定剪切面上的剪应力均匀分布

说明该公式各字母代表的意义

剪切强度条件

≤[ ]

二、挤压的实用计算

假定挤压面上的挤压应力均匀分布

强调为挤压面的计算面积

挤压强度条件

≤[] 例题

例7—1 练习

确定一些连接件的剪切面和挤压面 作业

习题1改为确定剪切面

习题2改为分析铆钉受力、表示剪切面和挤压面

第三节 扭

转

圆轴扭转时的内力 一、扭转的概念

受力特点和变形特点（图示说明）工程实例：方向盘传动轴、雨蓬梁等。工程中把受扭的圆截面杆件称为圆轴。二、圆轴扭转时的内力——扭矩

用截面法显示并确定内力——扭矩 扭矩的正、负号规定

三、画扭矩图

举例说明

四、练习画扭矩图

第四节

剪应力互等定理和剪切虎克定律 1.剪应力互等定理

η=

在互相垂直的两个平面上的切应力必然成对存在，且大小相等，方向或共同指向两平面的交线，或共同背离两平面的交线，这种关系称为剪应力互等定理。该定理是材料力学中的一个重要定理。

2.剪切虎克定律

在上述单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力而无正应力，单元体的这种受力状态称为纯剪切应力状态。在切应力η和

作用下，单元体的两个侧面将发生相对错动，使原来的长方六面微体变成平行六面微体，单元体的直角发生微小的改变，这个直角的改变量γ称为切应变，如图所示。从图可以看出，γ角就是纵向线变形后的倾角，其单位是rad。

自己练习画切应力互等定理

第五节

圆轴扭转时横截面上的应力

一、应力公式

1、说明公式中各字母代表的意义

2、记忆圆截面及空心圆截面的极惯性矩

3、圆截面扭转轴的剪应力沿直径的分布规律

二、最大剪应力

令

则有

——抗扭截面系数。单位为m3或mm3 对于实心圆截面

对于空心圆截面

例1

图所示圆轴。AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN•m，MeB=36kN•m，MeC=14kN•m。试求该轴的最大切应力。

解： 1）作扭矩图

用截面法求得AB段、BC段的扭矩分别为

T1=MeA=22kN•m T2=－MeC=－14kN•m 作出该轴的扭矩图如图所示。(2)计算最大切应力

由扭矩图可知，AB段的扭矩较BC段的扭矩大，但因BC段直径较小，所以需分别计算各段轴横截面上的最大切应力。由公式得

AB段

BC段

比较上述结果，该轴最大切应力位于BC段内任一截面的边缘各点处，即该轴最大切应力为

ηmax=71.3MPa。

【课程】8平面图形的几何性质

【教学要求】掌握平面图形的静矩和形心计算

掌握简单平面图形的惯性矩计算 【重

点】掌握简单平面图形的惯性矩计算 【难

点】掌握简单平面图形的惯性矩计算 【授课方式】课堂讲授 【教学时数】 共计6学时

第八章

平面图形的几何性质

与平面图形几何形状和尺寸有关的几何量统称为平面图形的几何性质。平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素。本章着重讨论这些平面图形几何性质的概念和计算方法。

平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究对象的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计算中不可缺少的几何参数。

第一节

静

矩

一、静矩的概念

微面积dA与坐标y（或坐标z）的乘积称为微面积dA对z轴（或y轴）的静矩，记作dSz（或dSy），即

dSz=ydA，dSy=zdA平面图形上所有微面积对z轴（或y轴）的静矩之和，称为该平面图形对z轴（或y轴）的静矩，用Sz（或Sy）表示。即

平面图形对z轴（或y轴）的静矩，等于该图形面积A与其形心坐标yC（或zC）的乘积。

当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。

如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴。故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。

二、组合图形的静矩

由几个简单的几何图形组合而成的，称为组合图形。根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即

组合图形形心的坐标计算公式

例10----1、2 注 意：

1.单

位

2.数字较大，细心 3.课后仔细阅读教材

第二节

惯性矩

惯性积

惯性半径

一、惯性矩

整个平面图形上各微面积对z轴（或y轴）惯性矩的总和称为该平面图形对z轴（或y轴）的惯性矩，用Iz（或Iy）表示。即

ρ2＝y2＋z2

平面图形对任一点的极惯性矩，等于图形对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。其值恒为正值。

故惯性矩也恒为正值。常用单位为m4或mm4。

二、惯性积

整个图形上所有微面积对z、y两轴惯性积的总和称为该图形对z、y两轴的惯性积，用Izy表示。即

惯性积可能为正或负，也可能为零。它的单位为m4或mm4。

两个坐标轴中只要有一根轴为平面图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。

三、惯性半径

惯性半径，也叫回转半径。它的单位为m或mm。例10-3 例10-4 有过程

详细推导 作

业：10—

1、2

第三节

组合图形的惯性矩

一、平行移轴公式

图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。由于a2（或b2）恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。

例10-5 例10-6 再次强调，在应用平行移轴公式时，z轴、y轴必须是形心轴，z1轴、y1轴必须分别与z轴、y轴平行。

二、组合图形惯性矩的计算

在工程实际中，常会遇到构件的截面是由矩形、圆形和三角形等几个简单图形组成，或由几个型钢组成，称为组合图形。由惯性矩定义可知，组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即

在计算组合图形的惯性矩时，首先应确定组合图形的形心位置，然后通过积分或查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩，再利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩。

例10-7

例10-8

作

业：10----3、4、6

第四节

形心主惯性轴

形心主惯性矩

一、转轴公式

上节我们讨论了坐标轴与形心轴平行时，平面图形对坐标轴的惯性矩和惯性积的计算公式，本节继续研究一对互相垂直的坐标轴绕原点在平面图形内旋转时，平面图形对坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。

惯性矩和惯性积的转轴公式。

惯性积为零的一对坐标轴称为平面图形的主惯性轴，简称主轴。平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩。

通过平面图形形心C的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴。平面图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。

确定形心主轴的位置是十分重要的。对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定：

1）如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，而另一根形心主轴通过图形的形心且与该轴垂直。

2）如果图形有两根对称轴，则该两轴都是形心主轴。

3）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等。

小

结

本章主要内容是研究杆件的平面图形形状和尺寸有关的一些几何量（如静矩、惯性矩、惯性积、主轴及主惯性矩

等）的定义和计算方法。这些几何量统称为平面图形的几何 性质。它们对杆件的强度、刚度有着极为重要的影响，需清 楚地理解它们的意义并熟练掌握其计算方法。

一、本章的主要计算公式

1.静矩

2.惯性矩

3.惯性积

4.惯性半径

5.平行移轴公式

平行移轴公式要求z1与z、y1与y两轴平行，并且z、y轴通过平面图形形心。

6.主惯性轴

7.主惯性矩

平面图形的几何性质都是对确定的坐标轴而言的。静矩、惯性矩和惯性半径是对一个坐标轴而言的；惯性积是对一对正交坐标轴而言的。对于不同的坐标系，它们的数值是不同的。惯性矩、惯性半径恒为正；静矩和惯性积可为正或负，也可为零。

二、组合图形

组合图形对某轴的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和；组合图形对某轴的惯性矩等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩之和。

三、平面图形的形心主轴

形心主轴是一对通过形心且惯性积为零的轴。任何图形必定存在且至少有一对形心主轴，形心主轴有下列特性：

1.整个图形对形心主轴的静矩恒为零。2.整个图形对形心主轴的惯性积恒为零。

3.在通过形心的所有轴中，图形对一对正交形心主轴的惯性矩，分别为最大值和最小值。

4.图形若有一根对称轴，此轴必是形心主轴。图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。作

业：10----5 【课程】9梁的弯曲

【教学要求】

了解梁平面弯曲的概念；

会用截面法、直接法求指定截面的弯矩和剪力；

理解内力方程法画单跨梁的内力图；

重点掌握简捷法、叠加法画梁的内力图；

会画多跨梁的内力图。【重

点】

掌握简捷法、叠加法画梁的内力图。【难

点】

q与剪力和弯矩的关系的应用 【授课方式】

课堂讲解和习题练习【教学时数】

共计10学时

第九章 弯曲内力 第一节平面弯曲的概念

一、弯曲和平面弯曲 1.弯曲

以弯曲为主要变形的杆件通常称之为梁。

举例 2.平面弯曲

当作用于梁上的力（包括主动力和约束反力）全部都在梁的同一纵向对称平面内时，梁变形后的轴线也在该平面内，我们把这种力的作用平面与梁的变形平面相重合的弯曲称为平面弯曲。

二、梁的类型

工程中通常根据梁的支座反力能否用静力平衡方程全部求出，将梁分为静定梁和超静定梁两类。凡是通过静力平衡方程就能够求出全部反力和内力的梁，统称为静定梁。而静定梁又根据其跨数分为单跨静定梁和多跨静定梁两类。单跨静定梁是本章的研究对象，通常又根据支座情况将单跨静定梁分为三种基本形式。

1.悬臂梁

一端为固定端支座，另一端为自由端的梁

2.简支梁

一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座的梁

3.外伸梁

梁身的一端或两端伸出支座的简支梁

第二节 梁的内力

一、梁的内力——剪力和弯矩

用求内力的基本方法——截面法来讨论梁的内力。

剪力FQ

弯矩M

二、剪力和弯矩的正负号规定

1.剪力的正负号规定：顺转剪力正 2.弯矩的正负号规定：下凸弯矩正

三、用截面法求指定截面上的剪力和弯矩

1.用截面法求梁指定截面上的剪力和弯矩时的步骤：(1)求支座反力。

(2)用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。

(3)取截面的任一侧为隔离体，做出其受力图，列平衡方程求出剪力和弯矩。例11-1

例11-2 3.总结与提示

(1)为了简化计算，取外力比较少（简单）一侧

(2)未知的剪力和弯矩通常均按正方向假定。

(3)平衡方程中剪力、弯矩的正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身的正、负号相混淆。

(4)在集中力作用处，剪力发生突变，没有固定数值，应分别计算该处稍偏左及稍偏右截面上的剪力，而弯矩在该处有固定数值，稍偏左及稍偏右截面上的数值相同，只需要计算该截面处的一个弯矩即可；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，没有固定数值，应分别计算该处稍偏左及稍偏右截面上的弯矩，而剪力在该处有固定数值，稍偏左及稍偏右截面上的数值相同，只需要计算该截面处的一个剪力即可。

作

业：11—2

四、直接用外力计算截面上的剪力和弯矩 1.用外力直接求截面上内力的规律

(1)求剪力的规律

左上右下正，反之负(2)求弯矩的规律

左顺右逆正，反之负

例11-3 例11-4 显然，用截面法总结出的规律直接计算剪力和弯矩比较简捷，所以，实际计算时经常使用。

课堂练习

第三节 梁的内力图

内力沿梁轴线的变化规律，内力的最大值以及最大内力值所在的位置

一、剪力方程和弯矩方程

FQ=FQ（x）和M=M（x）

二、剪力图和弯矩图

剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图最基本的方法是：根据剪力方程和弯矩方程分别绘出剪力图和弯矩图。

剪力正上负下，并标明正、负号；

弯矩正下负上（即弯矩图总是作在梁受拉的一侧）对于非水平梁而言，剪力图可以作在梁轴线的任一

侧，并标明正、负号；弯矩图作在梁受拉的一侧。

例11-5 作图11-18a所示悬臂梁

(1)列剪力方程和弯矩方程 剪力方程为：

FQ =－FP

弯矩方程为：

M =－FP x

(0≤x＜l)(2)作剪力图和弯矩图

例11-6 作图11-19a所示简支梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。（1）求支座反力

(0＜x＜l)

FAy =(↑)

FB y =(↑)

（2）列剪力方程和弯矩方程

(3)作剪力图和弯矩图

若集中力正好作用在梁的跨中，即a=b=时，弯矩的最大值为：Mmax=

例 11-8 作图示简支梁在满跨向下均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。作

业：11—3 c d 第四节

弯矩、剪力和荷载集度之间的微分关系及其应用

一、M(x)、FQ(x)、q(x)之间的微分关系

上式说明：梁上任一横截面的剪力对x的一阶导数等于作用在梁上该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是：剪力图上某点切线的斜率等于该点对应截面处的荷载集度。

FQ(x)

上式说明：梁上任一横截面的弯矩对x的一阶导数等于该截面上的剪力。这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点切线的斜率等于该点对应横截面上的剪力。可见，根据剪力的符号可以确定弯矩图的倾斜趋向。

再将FQ(x)两边求导，得

上式说明：梁上任一截面的弯矩对x的二阶导数等于该截面处的荷载集度。这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点的曲率等于该点对应截面处的分布荷载集度。可见，根据分布荷载的正负可以确定弯矩图的开口方向。

二、用M(x)、FQ(x)、q(x)三者之间的微分关系说明内力图的特点和规律 序号 梁段上荷载情况 剪力图形状或特征

弯矩图形状或特征 弯矩图为斜直线或平行线 弯矩图为二次抛物线 M有极值

说明

举例 剪力图为平行无均布荷载

线。可为（q=0）

正、负、零 剪力图有均布荷载 为斜直线（q≠0）在FQ=0处

平行线是指与x轴平行的直线 斜直线是指与x轴斜交的直线 抛物线的开口方向与均布荷载的指向相反（或抛物线的突向与均布荷载的指向一致）剪力突变的数值等于集中力的大小

弯矩图尖角的方向与集中力的指向相同 弯矩突变的数值等于集中力偶的力偶矩大小

例11-5 例11-6 2

例11-8 例11-9的AB段上FQ=0处弯矩取得极值 集中力作用处 剪力图出现突变现象 弯矩图出现尖角

例11-6的C处

例11-9的B处 集中力偶作用处 剪力图无变化

弯矩图出现突变

例11-7的C处

三、应用简捷法绘制梁的剪力图和弯矩图 1.用简捷法作剪力图和弯矩图的步骤

(1)求支座反力。对于悬臂梁由于其一端为自由端，所以可以不求支座反力。

(2)将梁进行分段

梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷载的起止截面。

(3)由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的剪力图和弯矩图的形状。

(4)确定控制截面，求控制截面的剪力值、弯矩值，并作图。控制截面是指对内力图形能起控制作用的截面。①水平直线

确定一个截面 —— 任一； ②斜 直 线

确定两个截面 —— 起、止； ③抛 物 线

确定三个截面 —— 起、止、极。例11-10

例11-11

先定性

再定量

多种方法校核

作

业：11—4 a b c d

第四节

弯矩、剪力和荷载集度之间的

微分关系及其应用

剪力图上某点切线的斜率等于该点对应截面处的荷载集度。

FQ(x)弯矩图上某点切线的斜率等于该点对应横截面上的剪力。

弯矩图上某点的曲率等于该点对应截面处的分布荷载集度。①水平直线

确定一个截面 —— 任一点； ②斜 直 线

确定两个截面 —— 起、止点； ③抛 物 线

确定三个截面 —— 起、止、极点。牢记两个基本图形 例11-12

先定性

再定量

多种方法校核

（课本补充内容）叠加法做弯矩图

引

入

叠加原理：由几个外力共同作用引起的某一参数（内力、应力、变形）等于每个外力单独作用时引起的该参数值的总和。

举

例

课堂练习：补充

作

业：11 — 4 e f g h i j 【课程】10组合变形

【教学要求】

了解组合变形和截面核心的概念； 掌握组合变形的计算步骤；

掌握斜弯曲变形杆、弯曲与拉压组合杆、偏心拉压杆的强度条件； 会绘制简单截面的截面核心。【重

点】

掌握组合变形的计算步骤；

掌握斜弯曲变形杆、弯曲与拉压组合杆、偏心拉压杆的强度条件； 【难

点】

判别组合变形是哪些简单变形的叠加及同一点应力值的正负号。【授课方式】

课堂讲解 【教学时数】 共计6学时

第十章

组合变形 第一节 组合变形的概念

两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。

对组合变形问题进行强度计算的步骤如下：

(1)将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形的荷载分量；(2)分别计算各个荷载分量所引起的应力；

(3)根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来荷载共同作用下构件所产生的应力；

（4）判断危险点的位置，建立强度条件；

（5）必要时，对危险点处单元体的应力状态进行分析，选择适当的强度理论，进行强度计算。

本章主要研究斜弯曲、拉伸（压缩）与弯曲以及偏心压缩（拉伸）等组合变形构件的强度计算问题。

第二节 斜

弯

曲

外力F的作用线只通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为斜弯曲。斜弯曲是两个平面弯曲的组合，这里将讨论斜弯曲时的正应力及其强度计算。

一、正应力计算

1.外力的分解

Fy =F cos Fz = F sin

2.内力的计算

Mz = Fy a = Fa cos

My = Fz a = Fa sin

3.应力的计算

ζ′=±Fy和Fz共同作用下K点的正应力为，ζ″=±

ζ = ζ′+ζ″= ± ±

（15-1）

上式即梁斜弯曲时横截面任一点的正应力计算公式。

通过以上分析过程，我们可以将斜弯曲梁的正应力计算的思路归纳为“先分后合”，具体如下：

紧紧抓住这一要点，本章的其它组合变形问题都将迎刃而解。

二、正应力强度条件

同平面弯曲一样，斜弯曲梁的正应力强度条件仍为

ζmax≤[ζ] 即，危险截面上危险点的最大正应力不能超过材料的许用应力[ζ]。

工程中常用的工字形、矩形等对称截面梁，斜弯曲时梁内最大正应力都发生在危险截面的角点处。

ζmax=ζ′max+ζ″max= +

即

ζmax= +

（15-2）则斜弯曲梁的强度条件为

ζmax= + ≤[ζ]

（15-3）

此强度条件可解决三类问题，即强度校核、截面设计和确定许可荷载。在截面设计时应注意：需先设定一个的比值（对矩形截面Wz/ Wy==1.2～2；对工字形截面取6～10），然后再用式（15-2）计算所需的Wz 值，确定截面的具体尺寸，最后再对所选截面进行校核，确保其满足强度条件。

例15-1 矩形截面悬臂梁如图所示，已知F1=0.5kN，F2=0.8kN，b=100mm，h=150mm。试计算梁的最大拉应力及所在位置。

解

(1)内力的计算

(2)应力的计算

ζmax=+ = +

= = 8.8MPa

(3)根据实际变形情况，F1单独作用，最大拉应力位于固定端截面上边缘ad，F2单独作用，最大拉应力位于固定端截面后边缘cd，叠加后，角点d拉应力最大。

上述计算的ζmax= 8.8MPa，也正是d点的应力。

例15-2图示跨度为4m的简支梁，拟用工字钢制成，跨中作用集中力F=7kN，其与横截面铅垂对称轴的夹角=20°（图b），已知[ζ]= 160MPa，试选择工字钢的型号（提示：先假定Wz∕Wy的比值，试选后再进行校核。）

解

（1）外力的分解

Fy= Fcos20°=7×0.940 kN =6.578kN Fz= Fsin20°=7×0.342 kN =2.394kN

(2)内力的计算

kN·m =6.578 kN·m

kN·m=2.394kN²m

(3)强度计算

设Wz∕Wy=6，代入

得

试选16号工字钢，查得Wz=141cm3，Wy=21.2cm3。

再校核其强度

ζmax=+=MPa =159.6 MPa＜[ζ]=160 MPa

满足强度要求。于是，该梁选16号工字钢即可。

作

业：15----1 2

第三节

拉伸（压缩）与弯曲的组合变形

当杆件同时作用轴向力和横向力时，轴向力使杆件伸长（缩短），横向力使杆件弯曲。杆件的变形为轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合，简称拉（压）弯。

计算杆件在轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形的正应力时，与斜弯曲类似，仍采用叠加法。

轴向力FN单独作用时，横截面上的正应力均匀分布（图c），横截面上任一点正应力为

ζ′=

横向力q单独作用时，梁发生平面弯曲，正应力沿截面高度呈线性分布（图d），横截面上任一点的正应力为

ζ″=±

FN、q共同作用下，横截面上任一点的正应力为

ζ = ζ′+ζ″= ±

（15-4）

式（15-4）就是杆件在轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形时横截面上任一点的正应力计算公式。

有了正应力计算公式，很容易建立正应力强度条件。最大正应力发生在弯矩最大截面的上下边缘处，其值为

ζ正应力强度条件为

max =±

ζmax =±≤ [ζ]

（15-5）

当材料的许用拉、压应力不同时，拉弯组合杆中的最大拉、压应力应分别满足许用值。

例15-3

例15-4

作

业：15----3 1.组合变形问题——“先分后合”的解算思路 2.斜弯曲梁的正应力强度条件

ζmax= + ≤[ζ]

（15-3）

3.轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形的正应力强度条件

ζmax =±≤ [ζ]

（15-5）

第四节

偏心压缩（拉伸）截面核心

轴向拉伸（压缩）时外力F的作用线与杆件轴线重合。当外力F的作用线只平行于轴线而不与轴线重合时，则称为偏心拉伸（压缩）。偏心拉伸（压缩）可分解为轴向拉伸（压缩）和弯曲两种基本变形。

偏心拉伸（压缩）分为单向偏心拉伸（压缩）和双向偏心拉伸（压缩）。

一、单向偏心拉伸（压缩）时的正应力计算

e称为偏心距。

横截面上任一点的正应力为

单向偏心拉伸时，上式的第一项取正值。正应力强度条件为

±

（15-6）

二、双向偏心拉伸（压缩）

≤[ζ]

(15-7)

任一点的正应力由三部分组成。

轴向外力FN作用下，横截面ABCD上任一点K的正应力为

ζ′=

（分布情况如图d）

Mz 和My单独作用下，横截面ABCD上任意点K的正应力分别为

ζ″=

（分布情况如图e）

ζ′″

=

（分布情况如图f）

三者共同作用下，横截面上ABCD上任意点K的总正应力为以上三部分叠加，即

ζ =ζ′+ζ″+ζ′″ =±±

(15-8)对于矩形、工字形等具有两个对称轴的横截面，最大拉应力或最大压应力都发生在横截面的角点处。其值为：

ζ或 max = ± ±（双向偏心拉伸）

ζmax =-± ±（双向偏心压缩）

正应力强度条件较（15-7），只是多了一项平面弯曲部分，即

≤

（15-9）

例15-5

例15-6

三、截面核心

当荷载作用在截面形心周围的一个区域内时，杆件整个横截面上只产生压应力而不出现拉应力，这个荷载作用的区域就称为截面核心。

常见的矩形、圆形和工字形截面核心如下图中阴影部分所示。

作

业：14----4 5 【课程】11压杆稳定

【教学要求】

了解压杆稳定与失稳的概念；

理解压杆的临界力和临界应力的概念；

能采用合适的公式计算各类压杆的临界力和临界应力；

熟悉压杆的稳定条件及其应用；

了解提高压杆稳定性的措施。【重

点】

1、计算临界力。

2、掌握折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法

【难

点】

折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法。【授课方式】

课堂讲解 【教学时数】 共计4学时

第十一章

压 杆 稳 定 第一节 压杆稳定的概念

一、稳定问题的提出

对受压杆件的破坏分析表明，许多压杆却是在满足了强度条件的情况下发生的。例如。细长压杆由于其不能维持原有直杆的平衡状态所致，这种现象称为丧失稳定，简称失稳。短粗压杆的破坏是取决于强度；细长压杆的破坏是取决于稳定。

细长压杆的承载能力远低于短粗压杆。因此，对压杆还需研究其稳定性。

二、压杆稳定概念

平衡状态有稳定与不稳定之分。

压杆将从稳定平衡过渡到不稳定平衡，此时称为临界状态。压力Fcr称为压杆的临界力。当外力达到此值时，压杆即开始丧失稳定。

在设计压杆时，必须进行稳定计算。

第二节

细长压杆的临界力

一、两端铰支细长压杆的临界力

（16-1）

式（16-1）即为两端铰支细长压杆的临界力计算式，又称为欧拉公式。式中EI为压杆的抗弯刚度。当压杆失稳时，杆将在EI值较小平面内失稳。所以，惯性矩I应为压杆横截面的最小形心主惯性矩Imin。

二、其他支承情况下细长压杆的临界力的欧拉公式 例16-1 例16-2 作

业：16----1 3 4 细长压杆的临界力计算的欧拉公式

(16-2)

第三节

临界应力与欧拉公式的适用范围

临界应力

当压杆在临界力Fcr作用下处于平衡时，其横截面上的压应力为界应力，用表示，即，此压应力称为临

令，（i即为惯性半径）则式（a）可改写为

令，则式（b）又可写为

(16-3)式（16-3）称为欧拉临界应力公式。实际是欧拉公式的另一种表达形式。称为柔度或长细比。柔度λ与μ、l、i有关。i决定于压杆的截面形状与尺寸，μ决定于压杆的支承情况。因而从物理意义上看，λ综合地反映了压杆的长度，截面形状与尺寸以及支承情况对临界应力的影响。

二、欧拉公式的适用范围

欧拉公式的适用范围是：压杆的应力不超过材料的比例极限。即

ζcr≤ζp

对应于比例极限的长细比为

（16-4）

因此欧拉公式的适用范围可以用压杆的柔度值λp来表示，即只有当压杆的实际柔度λ≥λp时，欧拉公式才适用。这一类压杆称为大柔度杆或细长杆。

三、超出比例极限时压杆的临界应力

临界应力总图

压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程上称为中柔度杆。临界应力各国多采用以试验为基础的经验公式。

ζcr=a-bλ(16-5)临界应力为压杆柔度的函数，临界应力ζcr与柔度λ的函数曲线称为临界应力总图。

第四节 压杆的稳定计算

一、压杆稳定条件

为了计算上的方便，将稳定许用应力值写成下列形式

压杆稳定条件可写为

或

二、压杆稳定条件的应用

稳定条件可解决下列常见的三类问题。1.稳定校核。

（16-8）

2.设计截面。计算时一般先假设=0.5，试选截面尺寸、型号，算得λ后再查’。若’比假设的值相差较大，则再选二者的中间值重新试算，直至二者相差不大，最后再进行稳定校核。

3．确定稳定许用荷载。例15-3 稳定校核问题 例15-4 稳定校核问题

例15-5 确定稳定许用荷载问题 例15-6 设计截面问题

第五节

提高压杆稳定性的措施

一、减小压杆的长度

在条件允许的情况下，应尽量使压杆的长度减小，或者在压杆中间增加支撑。

二、改善支承情况，减小长度系数μ

在结构条件允许的情况下，应尽可能地使杆端约束牢固些，以使压杆的稳定性得到相应提高。

三、选择合理的截面形状

增大惯性矩I，从而达到增大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。

四、合理选择材料

对于大柔度杆，弹性模量E值相差不大。所以，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。

对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。

作

业：16----6 7 8 【课程】12平面体系的几何组成分析

【教学要求】理解几何组成分析中的名词含义；

了解平面体系自由度计算的方法；

掌握平面几何不变体系的组成规则；

会对常见平面体系进行几何组成分析。【重

点】掌握平面几何不变体系的组成规则。【难

点】对平面体系进行几何组成分析。【授课方式】 课堂讲解加练习【教学时数】 共计6学时

第十二章

平面体系的几何组成分析 第一节

几何组成分析的目的

几何不变体系和几何可变体系的概念。举例。

结构必须是几何不变体系。分析体系的几何组成，以确定它们属于哪一类体系，称为体系的几何组成分析。

对体系进行几何组成分析的目的就在于：⑴判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构；⑵研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计的结构能承受荷载并维持平衡；⑶区分静定结构和超静定结构，以指导结构的内力计算。

在几何组成分析中，由于不考虑杆件的变形，因此可把体系中的每一杆件或几何不变的某一部分看作一个刚体。平面内的刚体称为刚片。

第二节

平面体系的自由度和约束

一、自由度

所谓平面体系的自由度是指该体系运动时可以独立变化的几何参数的数目，即确定体系的位置所需的独立坐标的数目。

在平面内，一个点的自由度是2。一个刚片在平面内的自由度是3。

二、约束

凡是能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个自由度，就说它相当于一个约束。

1.链杆——是两端以铰与别的物体相联的刚性杆。

一根链杆相当于一个约束。2.单铰——联结两个刚片的铰。一个单铰相当于两个约束。

3.复铰——联结三个或三个以上刚片的铰。

复铰的作用可以通过单铰来分析。联结三个刚片的复铰相当于两个单铰。同理，联结n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，也相当于2（n-1）个约束。

4.刚性联结

一个刚性联结相当于三个约束。

三、虚铰

两根链杆的约束作用相当于一个单铰，不过，这个铰的位置是在链杆轴线的延长线上，且其位置随链杆的转动而变化，与一般的铰不同，称为虚铰。

当联结两个刚片的两根链杆平行时，则认为虚铰位置在沿链杆方向的无穷远处。

四、多余约束

如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，则此约束称为多余约束。

第三节

几何不变体系的组成规则

一、几何不变体系的组成规则 1.三刚片规则

三个刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联，则所组成的体系是没有多余约束的几何不变体系。

2.两刚片规则

两个刚片用一个铰和一根不通过该铰的链杆相联，则所组成的体系是没有多余约束的几何不变体系。

3.二元体规则

在体系中增加一个或拆除一个二元体，不改变体系的几何不变性或可变性。所谓二元体是指由两根不在同一直线上的链杆联结一个新结点的装置。在一个已知体系上增加一个二元体不会影响原体系的几何不变性或可变性。同理，若在已知体系中拆除一个二元体，不会影响体系的几何不变性或可变性。

二、瞬变体系

联结三刚片的三个铰不能在同一直线上；联结两刚片的三根链杆不能全交于一点也不能全平行等。

这种本来是几何可变的，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系。

第四节

几何组成分析举例

几何不变体系的组成规则，是进行几何组成分析的依据。对体系灵活使用这些规则，就可以判定体系是否是几何不变体及有无多余约束等问题。分析时，步骤如下：

1.选择刚片

在体系中任一杆件或某个几何不变的部分（例如基础、铰结三角形），都可选作刚片。在选择刚片时，要考虑哪些是联结这些刚片的约束。

2.先从能直接观察的几何不变的部分开始，应用组成规则，逐步扩大几何不变部分直至整体。

3.对于复杂体系可以采用以下方法简化体系 ⑴ 当体系上有二元体时，应依次拆除二元体。

⑵ 如果体系只用三根不全交于一点也不全平行的支座链杆与基础相联，则可以拆除支座链杆与基础。

⑶ 利用约束的等效替换。如只有两个铰与其它部分相联的刚片用直链杆代替；联结两个刚片的两根链杆可用其交点处的虚铰代替。

例18--1

例18--2

例18--3

例18--4 例18—5

第四节

静定结构和超静定结构

在荷载作用下，所有反力和内力均可由静力平衡条件求得且为确定值，这类结构称为静定结构。

对于具有多余约束的结构，仅由静力平衡条件，不能求出全部的反力和内力。这类结构称为超静定结构。

静定结构和超静定结构的内力计算将在后面各章介绍。作

业：

习题(图18-23-------18-40)【课程】13静定结构的内力分析

【教学要求】

1、理解静定结构的概念；

2、掌握平面刚架、平面桁架、静定拱的组合结构内力计算方法；

3、熟悉各结构的受力特点 【重

点】

掌握平面刚架、平面桁架、静定拱的内力计算 【难

点】

掌握平面刚架静定拱的内力计算

【授课方式】

课堂讲解通过讲解例题熟练掌握。【教学时数】

共计10学时

第十三章

静定结构的内力分析

第一节

静定梁

一、单跨静定梁

单跨静定梁在工程中应用很广，是常用的简单结构，也是组成各种结构的基本构件之一，其受力分析是各种结构受力分析的基础。这里加以简略叙述和补充，以便更好地去研究杆系结构的内力计算。

1．用截面法求指定截面的内力

平面结构在任意荷载作用下，其杆件横截面上一般有三种内力，即弯矩M、剪力FQ和轴力FN，如图19-2所示。计算内力的基本方法是截面法。

2.内力图

在土建工程中，弯矩图规定一律画在杆件受拉的一侧，在图上不标正、负号。而对于剪力图和轴力图，可作在杆轴的任一侧（在梁上通常把正号内力作于上方），但需注明正、负号。

作内力图的基本方法是根据内力方程作图。但通常更多采用的是利用三者微分关系来作内力图的简捷法。

用简捷法作内力图的步骤： 求反力

分段

定点

连线 3.用叠加法作弯矩图

梁弯矩图相应的竖标叠加。应当注意，这里所述弯矩图的叠加是指纵坐标的叠加，即纵坐标代数相加。

还可利用相应简支梁弯矩图的叠加来作直杆某一区段弯矩图的方法，称为区段叠加法。

步骤如下：

（1）分段，求出控制截面的弯矩值。

（2）作弯矩图。当控制截面间无荷载时，用直线连接两控制截面的弯矩值，即得该段的弯矩图；当控制截面间有荷载作用时，先用虚直线连接两控制截面的弯矩值，然后以此虚直线为基线，再叠加这段相应简支梁的弯矩图，从而作出最后的弯矩图。

例19-1、与

二、斜梁

建筑中的梁式楼梯，支承踏板的边梁为一斜梁。斜梁上的荷载表示方法有两种，一种是沿梁的轴线方向分布；另一种沿水平方向分布。现行荷载规范的标准活荷载，都以沿水平分布给出。为了计算方便，常需将沿轴线方向分布的荷载换算成沿水平方向分布的荷载。

斜梁的内力除有弯矩和剪力外，还有轴力。

现讨论简支斜梁计算中的两个问题，并同时与水平简支梁比较。1.简支斜梁的内力表达式 反力。

FAx＝0

FAy＝（↑）

FBy＝

（↑）

简支斜梁的支座反力与相应水平简支梁的反力相同。求斜梁任一横截面K的内力。由隔离体的平衡条件可得：

MK＝

FQK＝

FNK＝－2.简支斜梁内力图的绘制

三、多跨静定梁

1.多跨静定梁的几何组成特点

多跨静定梁是由若干根梁用铰相连，并用若干支座与基础相连而组成的静定结构。在工程结构中，常用它来跨越几个相连的跨度。

多跨静定梁可分为基本部分和附属部分。所谓基本部分，是指不依赖于其它部分的存在，独立地与基础组成一个几何不变的部分，或者说本身就能独立地承受荷载并能维持平衡的部分。所谓附属部分是指需要依赖基本部分才能保持其几何不变性的部分。显然，若附属部分被破坏或撤除，基本部分仍为几何不变；反之，若基本部分被破坏，则附属部分必随之连同倒塌。为了更清晰地表示各部分之间的支承关系，可以把基本部分画在下层，而把附属部分画在上层，这称为层次图。

2.分析多跨静定梁的原则和步骤

多跨静定梁可拆成若干单跨静定梁。荷载作用在基本部分时，附属部分不受力。荷载作用于附属部分时，其作用力将通过铰结处传给基本部分，使基本部分也受力。

因此多跨静定梁的计算顺序应该是先附属部分，后基本部分，也就是说与几何组成的分析顺序相反。遵循这样的顺序进行计算，则每次的计算都与单跨静定梁相同，最后把各单跨静定梁的内力图连在一起，就得到了多跨静定梁的内力图。

这种先附属部分后基本部分的计算原则，也适用于由基本部分和附属部分组成的其它类型的结构。

由上述可知，分析多跨静定梁的步骤可归纳为：（1）先确定基本部分和附属部分，作出层次图。（2）依次计算各梁的反力。

（3）按照作单跨梁内力图的方法，作出各根梁的内力图，然后再将其连在一起，即得多跨静定梁的内力图。

例19-2

例19-3

通过上述两例，容易理解：

（1）加于基本部分的荷载只能使基本部分受力，而附属部分不受力，加于附属部分的荷载，可使基本部分和附属部分同时受力。

（2）集中力作用于基本部分与附属部分相连的铰上时，此外力只对该基本部分起作用，对附属部分不起作用，即可以把作用于铰结点上的集中力直接作用在基本部分上分析。

作

业：

习题19----1 2b 3

第二节

静定平面刚架

一、刚架的特点

由直杆组成具有刚结点的结构称为刚架。当刚架的各杆轴线都在同一平面内而且外力也可简化到这个平面内时，这样的刚架称为平面刚架。

二、静定平面刚架的类型

凡由静力平衡条件即可确定全部反力和内力的平面刚架，称为静定平面刚架，静定平面刚架主要有三种类型：悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架。

工程中大量采用的平面刚架大多数是超静定的。而超静定平面刚架的分析又是以静定平面刚架为基础的，所以掌握静定平面刚架的内力分析方法十分重要。

三、静定平面刚架的内力分析

刚架的内力计算方法与梁完全相同，只是多了一项轴力。在对刚架进行内力分析时，首先是把刚架分为若干杆件，把每根杆件看作一根梁，然后逐杆用截面法求两端内力，再结合每根杆件所作用荷载，便可作出内力图。

在作内力图时，规定弯矩图画在杆件的受拉一侧，不注正、负号；剪力以使隔离体顺时针方向转动的为正，反之为负；轴力仍以拉力为正、压力为负。剪力图和轴力图可画在杆轴的任一边，需注明正负号。弯矩图不标正负。

为了明确表示各杆端内力，规定在内力采用两个脚标：第一个脚标表示该内力所属杆端，第二个脚标表示该杆的另一端。例如MAB表示AB杆A端截面的弯矩，MBA表示AB杆B端截面的弯矩；FQCD表示CD杆C端的剪力。

例19-4

例19-5

例19-6

第五篇：建筑力学重点内容教案(六).

建筑力学重点内容教案

（六）超静定结构

图形相乘法计算位移

结构在荷载作用下产生内力和变形，由于结构的变形，结构上任一截面的位置将有移动，称为位移。截面的位移用线位移和角位移来度量。例如图12-1所式的梁，在荷载P作用下变形如图中虚线所示。此时，截面C变形后位移到C’,距离CC’称为截面C的线位移。同时，截面C还转动了一个角度，称为截面C的角位移或转角。

一、图形相乘法（简称图乘法）计算位移的步骤

（1）绘出结构在荷载作用下的弯矩图，这个弯矩图叫做荷载弯矩图，记作Mp。

（2）在求位移的位置处（B点）沿所求位移的方向（竖向）施加一个单位荷载P=1,并绘出单位荷载作用下的弯矩图。这个弯矩图叫单位弯矩图，记作M.(3)计算荷载弯矩图Mp的面积，并确定荷载弯矩图的形心位置。（4）荷载弯矩图Mp的性心所对应的带为弯矩图M上的竖标与Mp图的面积相乘，再除以梁的抗弯刚度EI，就得到所求的位移。

二、图乘法的应用条件和规则（1）杆件的轴线为直线；

（2）杆件的抗弯刚度EI为常数，当杆件刚度变化时，要分段计算；

（3）单位弯矩图应当是直线，当M图是折线时，应将折线分成几段直线，分别图乘后，取其代数和。

（4）当Mp与y0在弯矩图基线的同一侧时，乘积取正号；反之取负号。

用力法计算超静定梁

一、超静定次数：未知力个数与静力平衡方程数的差值。超静定次数就等于多余与约束的数目。多余约束对结构的作用叫多余未知力。

二、力法的概念

图12—12a示一单跨超静定梁，梁的抗弯刚度为EI。前面已经讲到，这种梁是一次超静定结构。选择B端的链杆为多余约束，其支座反力x，为多余未知力。如果把多余约束去掉，以多余未知力x1代替去掉的多余约束。于是，原来的一次超静定结构就转变为静定结构，如图12-12b所示。这个静定结构称为原结构的基本体系。在这个基本体系上作用有已知的荷载q和未知的X1，是一个

悬臂梁。显然，只要设法求出多余未知力x1，那么超静定结构的计算问题就转化为静定的基本体系的计算问题。

为了求出多余未知力x1，要考虑多余约束对原结构所起作用。原结构(图12-12a)在B点不可能产生竖向位基本体系(图12—12b)中，多余约束虽然被去掉了，但未知力X1作用。在基本体系中，可以把荷载q和多余力X1单独地作用，当仅有荷载g作用时，梁在B端将下的竖向位移△1p，(图12-12c)，当仅有x1作用时，B端将产生向上的位移△11。基本体系B端的总位移；是△1p和△11的叠加。如果未知力x。过大，梁的B上翘；如果未知力x1过小，梁的B端将会下垂。只有的竖向位移正好等于零时，基本体素釉原结构完全相时，基本体系的内力也和原结构完全相同。可见，基本原结构完全相符合条件是：基本体系沿多余未知力方向的位移为零。这个变形条件就是计算多余未知力的补充条个变形条件用计算公式表达为

Al=△lP十△ll=0

这里△1是基本体系沿X1。方向的总位移。即图12—12b的竖向位移，Alp是荷载作用下基本体系沿X1方向的位移。（图12—12c），△I1是基本体系在xI作用下沿X1方向的位移。位移的方向与X1作用的方向相同时位移取正号，反之取负号。

再以11表示单位多余力X1=1时，基本体系沿X1方向产生的位移，则由外力与位移成正比的关系可得

△11=δ11X1 因此，变形条件可写为

δllXl+△1P=0 这个方程叫做力法方程，是根据基本体系的位移条件建立的，用这个方程可以求出多余未知力X1。式中，11称为方程的系数，△1p，称为自由项，它们可用图乘法求得。为了计算11和△1p，要绘制基本体系在单位多余力X1=l作用下的弯矩图M1(图12-13a)和荷载作用下的弯矩图Mp(图12-13b)。

因为δ11表示X=1时8点沿X1方向的位移，显然δ11就等于单位弯矩图M的面积乘以它自己形心的竖标在处以刚度EI。

δ11=1/EI(1/2L·L·L)=L3/3EI 计算△1p时，则用荷载弯矩图M，(图12—13b)面积与其形心所对应的单位弯矩图M(图12—13a)竖标相乘再除以EI。所以

△Ip=-1EI(1/3L·q/2·L2·3/4·L)将δ11和△1p，代入力法方程(12．1)中，得 L3/3EI·X1-qL4/8EI=0 X1=3/8·qL 所得结果为正，表明多余未知力的实际方向与假设方向相同。

多余未知力x-求得后，完全可用静力平衡方程计算图12—12a所示的单跨粱的反力和内力。这个超静定梁，实际上可视为在已知荷载q和X1作用下的悬臂梁。考虑梁AB的平衡(图12—14a)，可算出梁4端的弯矩MAB和剪力VAB。

∑mA=0 MAB+X1·L-q/2·L2=0 MAB=q/2·L2-3/8L·L=1/8·q·L2 ∑Y=0 VAB +X1-qL=0 VAB ==3/8·qL=5/8 ·qL 梁B端的弯矩MBA=o，剪力VBA=一3/8·qL。

根据梁端弯矩和剪力，将梁的弯矩图和剪力图绘于图 12-14b、c。

以上讨论的分析超静定结构的方法叫力法。在力法中，通过位移条件建立求解多余未知力的方程!叫力法方程。因此，建立力法方程，求解多余未知力是用力法计算超静定结构的关键。

例12—5 试绘制图12—15a所示单跨梁的弯矩图和剪力图。梁的抗 弯刚度为EI。

解 将支座B视为多余约束，去掉支座B，代以多余未知力Xl，原结构的基本体系示于图12—15b。

在多余未知力xt的方向施加单位多余力卫。，并绘制单位弯矩图刀t于图c；绘制荷载弯矩图Mp于图d。

建立力法方程： δllXl+△1P=0 用图乘法计算系数δll，和自由项△1p，δll=1/EI(L2/2·2L/3)=L3/3EI △1P=-1/EI(L/2·M·3l/4)=-3L2M/8EI L3/3EI·X1-3L2M/8EI=0 X1=9/8·M/L 以梁船为研究对象(图12—16a)，用静力平衡方程求出 梁端的弯矩和剪力。

∑mA=0 X1L-M-MAB=0 MAB=9M/8L·L-M=1/8·M ∑Y=0 VAB=-X1=9M/8L 负号表示剪力VAB是负剪力。

梁的弯矩图及剪力图绘于图12-16b、c。

总结

作业：12—4试绘制图示超静定梁的弯矩图和剪力图。梁的刚度为EI。

题12-4图