建筑力学：几何组成分析

第一篇：建筑力学：几何组成分析

第一篇 结构的力学计算模型

几何组成分析

【内容提要】

本章简要介绍刚片、自由度与约束等基本概念，重点介绍几何不变体系的基本组成规则。体系的几何组成分析是判定体系能否作为建筑结构使用的依据，又是结构计算的前提条件。通过几何组成分析可以确定静定结构计算途径，也可以确定超静定结构的多余约束数目等。【学习目标】

1.理解几何不变体系和几何可变体系的概念，了解几何组成分析的目的。2.了解刚片、自由度与约束的概念。

3.掌握几何不变体系的基本组成规则，并能熟练运用二刚片规则、三刚片规则以及二元体规则对结构几何组成进行分析。

4.理解体系的几何组成与静定性的关系，能正确区分静定结构与超静定结构。5.掌握梁、刚架、桁架、组合结构和拱等平面杆件结构的受力特点。

§1 概述

1－1 分析几何组成的目的

（a）

（b）

图1-60 建筑结构是由杆件通过一定的连接方式组成的体系，在荷载作用下，只要不发生破坏，它的形状和位置是不能改变的。那么杆系怎样的连接方式才能成为结构？杆系通过不同的连接方式可以组成的体系可分为两类。一类是几何不变体系，即体系受到任意荷载作用后，能维持其几何形状和位置不变的，则这样的体系称为几何不变体系。如图1-60（a）所示的体系就是一个几何不变体系，因为在所示荷载作用下，只要不发生破坏，它的形状和位置是不会改变的；另一类是由于缺少必要的杆件或杆件布置的不合理，在任意荷载作用下，它的形状和位置是可以改变的，这样的体系则称为几何可变体系，如图1-60（b）所示。因为在所示荷载作用下，不管P值多么小，它都不能维持平衡，而发生了形状改变。结构是用来承受荷载的体系，如果它承受荷载很小时结构就倒塌了或发生了很大变形，就会造成工程事故。故结构必须是几何不变体系，而不能是几何可变体系。

我们在对结构进行计算时，必须首先对结构体系的几何组成进行分析研究，考察体系的几何不变性，这种分析称为几何组成分析或几何构造分析。

对体系进行几何组成分析的目的：

（1）检查给定体系是否是几何不变体系，以决定其是否可以作为结构，或设法保证结构是几何不变的体系。

（2）在结构计算时，还可根据体系的几何组成规律，确定结构是静定的还是超静定的结构，以便选择相应的计算方法。

1－2平面体系的自由度及约束

判断一个体系是否几何不变，需要先了解体系运动的自由度，了解刚片和约束的概念。

一、刚片

所谓刚片，是指可以看作刚体的物体，即物体的几何形状和尺寸是不变的。因此，在平面体系中，当不考虑材料变形时，就可以把一根梁，一根链杆或者在体系中已经肯定为几何不变的某个部分都看作是一个刚片。同样，支承结构的地基也可看作一个刚片，如图1-61所示。

图1-61

二、自由度

在进行几何组成分析时，涉及到平面体系运动的自由度。所谓平面体系的自由度，是指该体系运动时可以独立变化的几何参数的数目，即确定体系的位置所需的独立坐标的数目。

图1-62

（1）一个动点在平面内的位置，可用在选定的坐标系中的两个独立坐标x和y来确定。所以其自由度是2。如图1-62（a）中A点在参考坐标系中的位置需要x和y两个坐标确定。

（2）一个不受约束的刚片，要确定其在平面上的位置，只要确定刚片上任意一点A的位置以及刚片上过A点的任一直线AB的位置，确定A点的位置需要两个坐标x、y，确定线段AB的方位还需要一个坐标口。因此，总共需要三个独立坐标，即刚片的自由度是3，如图1-62（b）。

一般说来，一个体系如果有几个独立的运动方式，就说这个体系有几个自由度。工程结构必须都是几何不变体系，故其自由度应该等于零或小于零。凡是自由度大于零的体系都是几何可变体系。

三、约束

使非自由体在某一方向不能自由运动的限制装置称为约束。实际结构体系中各构件之间及体系与基础之间是通过一些装置互相连接在一起。这些对刚片运动起限制作用的连接装置也统称为约束。约束的作用是使体系的自由度减小。不同的连接装置对体系自由度的影响不同。常用的约束有链杆、铰和刚结点这三类约束。

对一个具有自由度的刚片，当加入某些约束装置时，它的自由度将减少。凡能减少一个自由度的装置称为一个约束。

1、链杆约束

如图1-63所示，用一链杆将一刚片与基础相连，刚片将不能沿链杆方向移动，因而减少了一个自由度，所以一根链杆相当于一个约束。

2、铰

（1）单铰：联结两个刚片的圆柱铰称为单铰。如图1-64所示，用一单铰将刚片I、Ⅱ在A点联结起来，对于刚片I，其位置可由三个坐标来确定，对于刚片Ⅱ，因为它与刚片I联结，所以除了能保存独立的转角外，只能随着刚片I移动，也就是说，已经丧失了自由移动的可能，因而减少了两个自由度。所以一个单铰相当于两个约束。也可这样分析，两个独立的刚片在平面内共有6个自由度，连接以后，自由度减为4个。因此我们可先用三个坐标确定刚片I的位置，然后再用一个转角就可确定刚片Ⅱ的位置。由此可见，一个单铰可以使自由度减少两个，即一个单铰相当于两个约束。

（2）复铰：联结三个或三个以上刚片的圆柱铰称为复铰。图1-65所示的复铰联结三个刚片，它的联结过程可想象为：先有刚片I，然后用单铰将刚片Ⅱ与刚片I联结，再以单铰将刚片Ⅲ与刚片I联结。这样，联结三个刚片的复铰相当于两个单铰。．同理，联结n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，也相当于2（n-1）个约束。图1-63

图1-64

图1-65

（3）虚铰：一如果两个刚片用两根链杆联结，如图1-65a所示，则这两根链杆的作用就和一个位于两杆交点的铰的作用完全相同。我们常称联结两个刚片的两根链杆的交点为虚铰。如果联结两个刚片的两根链杆并没有相交，则虚铰在这两根链杆延长线的交点上，如图1-66b所示。若这两根链杆是平行的，则认为虚铰的位置在沿链杆方向的无穷远处，如图1-66 c所示。

3、刚性联结

如图1-67a所示，刚片I、Ⅱ在A处刚性联结成一个整体，原来两个刚片在平面内具有6个自由度，现刚性联结成整体后减少了3个自由度，所以，一个刚性联结相当于三个约束。同理，一个固定端的支座相当刚性联结，或者说固定端支座相当三个约束，如图1-67b。

三种类型约束之间的关系：一个单铰的约束相当于两根链杆；一个单刚结的约束作用相当于三根链杆。

图1-66

a）

b）

图1-67

为保持体系几何不变必须有的约束叫必要约束；为保持体系几何不变并不需要的约束叫多余约束。一个平面体系，通常都是由若干个构件加入一定约束组成的。加入约束的目的是为了减少体系的自由度。如果在体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，则该约束被称为多余约束。多余约束只说明为保持体系几何不变是多余的，在几何体系中增设多余约束，可改善结构的受力状况，并非真是多余。

例如，平面内一个自由点A原来有两个自由度，如果用两根不共线的链杆1和2把A点与基础相连，如图1-68a所示，则A点即被固定，因此减少了两个自由度。

如果用三根不共线的链杆把A点与基础相连，如图1-68b所示，实际上仍只是减少了两个自由度，有一根是多余约束（可把三根链杆中的任何一根视为多余约束）。

（a）

（b）

图1-68

又如图12—7a表示动点A加一根水平的支座链杆1，还有一个竖向运动的自由度。由于约束数目不够，是几何可变体系。

图12—7b是用两根不在一直线上的支座链杆1和2，把A点联结在基础上，点A上下、左右的移动自由度全被限制住了，不能发生移动。故图12—7b是约束数目恰好够的几何不变体系，叫无多余约束的几何不变体系。

图12—7c是在图12—7b上又增加一根水平的支座链杆3，这第三根链杆，就保持几何不变而言，是多余的。故图12—7c是有一个多余约束的几何不变体系。

图12—7

§2 几何不变体系的基本组成规则

2－1 二元体规则

所谓二元体是指由两根不在同一直线上的链杆联结一个新结点的装置，如图12—9b中的BAC部分。由于在平面内新增加一个点就会增加两个自由度，而新增加的两根不共线的链杆,恰能减去新结点A的两个自由度，故对原体系来说，自由度的数目没有变化。因此，在一个已知体系上增加一个二元体不会影响原体系的几何不变性或可变性。同理，若在已知体系中拆除一个二元体，也不会影响体系的几何不变性或可变性。

利用二元体规则，可以得到更为一般的几何不变体系。图12—9a所示为一个三角形铰结体系，假如链杆I固定不动，那么通过前面的讲解，我们已知它是一个几何不变体系。

将图12—9a中的链杆I看作一个刚片，成为图12—9b所示的体系。从而得出：

规则1（二元体规则）：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，则组成无多余约束的几何不变体系。

推论1：在一个平面杆件体系上增加或减少若干个二元体，都不会改变原体系的几何组成性质。

图1-68

如图12—9c所示的桁架，就是在铰接三角形ABC的基础上，依次增加二元体而形成的一个无多余约束的几何不变体系。同样，我们也可以对该桁架从H点起依次拆除二元体而成为铰接三角形ABC。

2－2 两刚片规则

将图12—9a中的链杆I和链杆Ⅱ都看作是刚片，成为图12—10a所示的体系。从而得出：

规则2（两刚片规则）：两刚片用不在一条直线上的一铰（B铰）、一链杆（AC链杆）连接，则组成无多余约束的几何不变体系。

如果将图12—10a中连接两刚片的铰B用虚铰代替，即用两根不共线、不平行的链杆a、b来代替，成为图12—10b所示体系，则有：

推论2：两刚片用不完全平行也不交于一点的三根链杆连接，则组成无多余约束的几何不变体系。

图1-69

2－3 三刚片规则

将图12—9a中的链杆I、链杆Ⅱ和链杆Ⅲ都看作是刚片，成为图12-11a所示的体系。从而得出：

规则3（三刚片规则）：三刚片用不在一条直线上的三个铰两两连接，则组成无多余约束的几何不变体系。

如果将图中连接三刚片之间的铰A、B、C全部用虚铰代替，即都用两根不共线、不平行的链杆来代替，成为图12—11b所示体系，则有：

推论3：三刚片分别用不完全平行也不共线的二根链杆两两连接，且所形成的三个虚铰不在同一条直线上，则组成无多余约束的几何不变体系。

图1-68

从以上叙述可知，这三个规则及其推论，实际上都是三角形规律的不同表达方式，即三个不共线的铰，可以组成无多余约束的三角形铰结体系。规则1(及推论1)给出了固定一个节点的装配格式，如图12—9b所示的体系中，A点通过不共线的链杆Ⅱ和链杆Ⅲ固定在基本刚片I上；规则2(及推论2)给出了固定一个刚片的装配格式，如图12—10a、b所示的体系中，用不在一条直线上的B铰、链杆Ⅲ，或者用不交于一点的三根链杆将刚片Ⅱ固定在刚片I上；规则3(及推论3)给出了固定两个刚片的装配格式，如图12—11a、b所示的体系中，通过不共线的三个铰A、B、C将刚片Ⅱ、刚片Ⅲ固定在刚片Ⅰ上。

在上述组成规则中，对刚片间的联结方式都提出了一些限制条件，如联结三刚片的三个铰不能在同一直线上；联结两刚片的三根链杆不能全交于一点也不能全平行等。如果不满足这些条件，将会出现下面所述的情况。

如图1-72所示的三个刚片，它们之间用位于同一直线上的三个铰两两相连。此时，点A位于以BA和CA为半径的两个圆弧的公切线上，故点A可沿此公切线作微小运动，体系是几何可变的。但在发生一微小移动后，三个铰就不再位于同一直线上，因而体系又成为几何不变的。这种本来是几何可变的，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系。

图1-72

又如图1-73a所示的两个刚片用全交于一点O的三根链杆相连，此时，两个刚片可以绕点O作相对转动。但在发生一微小转动后，三根链杆就不再全交于一点，体系成为几何不变的，所以，这种体系也是瞬变体系。再如图1-73b所示的两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆相联，此时，两个刚片可以沿与链杆垂直的方向发生相对移动。但在发生一微小移动后，由于三杆不等长，所以三根链杆不再互相平行，故这种体系也是瞬变体系。瞬变体系是由于约束布置不合理而能发生瞬时运动的体系。因为它是可变体系的一种特殊情况，瞬变体系可以在很小荷载作用下，产生无穷大的内力，会使结构破坏。所以瞬变体系不能作为结构使用。

图1-73

§3 几何组成分析举例

几何不变体系的组成规则是进行几何组成分析的依据。对体系灵活使用这些规则，就可以判定体系是否是几何不变体及有无多余约束等问题。分析时，步骤大致如下：

（1）选择刚片：在体系中任选一杆件或某个几何不变的部分（例如基础、铰结三角形）作 为刚片。在选择刚片时，要考虑哪些是连接这些刚片的约束。

（2）先从能直接观察的几何不变的部分开始，应用几何组成规则，逐步扩大几何不变部分直至整体。

（3）对于复杂体系可以采用以下方法简化体系：

1）当体系上有二元体时，应依次拆除二元体。

2）如果体系只用三根不全交于一点也不全平行的支座链杆与基础相连，则可以拆除支座链杆与基础。

3）利用约束的等效替换。如只有两个铰与其他部分相连的刚片用直链杆代替；联结两个刚片的两根链杆可用其交点处的虚铰代替。

例1 试对图1-74所示的体系进行几何组成分析。

图1-74

解

在此体系中，将基础视为刚片，AB杆视为刚片，两个刚片用三根不全交于一点也不全平行链杆l、2、3相联，根据两刚片规则，此部分组成几何不变体系，且没有多余约束。然后将其视为一个大刚片，它与BC杆再用铰B和不通过该铰的链杆4相连，又组成几何不变体系，且没有多余约束。所以，整个体系为几何不变体系，且没有多余约束。

【例1-12改成1的形式】试对图1-75所示的体系进行几何组成分析。

图1-75 【解】体系中ADC部分是由基本铰接三角形AFG逐次加上二元体所组成，是一个几何不变部分，可视为刚片I。同样，BEC部分也是几何不变，可作为刚片Ⅱ。再将地基作为刚片Ⅲ，固定铰支座A、B相当于两个铰，则三个刚片由三个不共线的铰A、B、C两两相联，该体系几何不变，且无多余约束。

【例1-13】试对图1-76所示的体系进行几何组成分析。

图1-76

【解】在此体系中，ABCD部分是由一个铰结三角形增加一个二元体组成的几何不变部分，同理，CEFG部分也是几何不变部分，故可当作刚片，分别用I、Ⅱ表示。再将基础看作刚片，并以Ⅲ表示。此时，刚片I和Ⅱ用铰C联结；刚片I和Ⅲ用链杆1、2构成的虚铰O1联结；刚片Ⅱ和Ⅲ则用链杆3、4构成的虚铰O2联结，由于铰C和虚铰O1、O2不在同一直线上，所以，此体系为几何不变体系，且没有多余约束。

【例1-14】试对图1-76所示的体系进行几何组成分析。

【解】在此体系中，刚片AC只有两个铰与其他部分相连，其作用相当于一根用虚线表示的链杆1。同理，刚片BD也相当于一根链杆2。于是，刚片CDE与基础之间用三根链杆1、2、3联结这三根链杆的延长线交于一点O。所以，此体系为瞬变体系。

图1-76 【例1-15】试对图1-77所示的体系进行几何组成分析。

【解】因为该体系只用三根不全交于一点也不全平行的支座链杆与基础相连，故可直接取内部体系，如图1-77b所示，进行几何组成分析。将AB视为刚片，再在其上增加二元体ACE和BDF，组成几何不变体系，链杆CD是添加在几何不变体系上的约束，故此体系为具有一个多余约束的几何不变体系。

图 1-77 【例1-16】试对图1-78所示的体系进行几何组成分析。

图1-78 【解】杆AB在支座A和大地之间是刚性连接，是几何不变体系，在B支座又有一链杆与大地连接，有一个多余约束。

结论：体系是几何不变的，且有一个多余约束，此结构为一次超静定结构。【例1-17】试对图1-79所示体系进行几何组成分析。

图1-79

【解】将杆AB和基础分别当作刚片I和刚片Ⅱ。刚片I和刚片Ⅱ用固定铰支座A和链杆①相连，已经组成一个几何不变体系。现又在此体系添加了三个链杆，故此体系为几何不变体系具有三个多余联系，此结构为三次超静定结构。

结论：体系是几何不变体系，且有三个多余约束，此结构为三次超静定结构。

§4 体系的几何组成与静定性的关系

前面已经提到，用来作为结构的杆件体系，必须是几何不变的，而几何不变体系又可分为无多余约束的和有多余约束的，后者的约束数目除满足几何不变性要求外尚有多余。因此，结构可分为无多余约束的和有多余约束的两类。例如图12—25a所示连续梁，如果将C、D两支座链杆去掉(图12—25b)仍能保持其几何不变性，且此时无多余约束，所以该连续梁有两个多余约束。又如图12—26a所示加劲梁（组合梁），若将链杆ab去掉(图12—26b)，则结构成为没有多余约束的几何不变体系，故该加劲梁具有一个多余约束。

图12—25

图12—26

对于无多余约束的结构(例如图12—27所示简支梁)，由静力学可知，它的全部反力和内力都可由静力平衡条件(∑X＝0、∑Y＝0、∑M＝0)求得，这类结构称为静定结构。

但是，对于具有多余约束的结构，却不能由静力平衡条件求得其全部反力和内力。例如图12—28所示的连续梁，其支座反力共有五个，而静力平衡条件只有三个，因而仅利用三个静力平衡条件无法求得其全部反力，因此也不能求出其全部内力，这类结构称为超静定结构。总之，静定结构是没有多余约束的几何不变体系，超静定结构是有多余约束的几何不变体系。结构的超静定次数就等于几何不变体系的多余约束个数。

图12—27

图12—28 超静定结构与静定结构相比，超静定结构具有以下特性：

（1）在几何组成方面，超静定结构与静定结构一样，必须是几何不变的，但是超静定结构是具有多余联系的几何不变体系，与多余联系相应的支承反力和内力称为多余反力或多余内力。

静定结构无多余联系，即在任一联系遭到破坏后，结构就变成几何可变体系，不能承受荷载。超静定结构有多余联系，在其多余联系破坏后，仍能保持其几何的不变性，并具有一定的承载力。可见，超静定结构是具有一定的抵御突然破坏的防护能力。

（2）超静定结构即使不受外荷作用，如发生温度变化、支座移动、材料收缩或构件制造误差等情况，也会引起支承反力和构件内力。

（3）在超静定结构中各部分的内力和支承反力与结构各部分的材料，截面尺寸和形状都有关系，而静定结构的反力或内力与材料及截面形状无关。

（4）从结构内力的分布情况来看，超静定结构比静定结构受力均匀，内力峰值也相应偏小。

工程中应根据具体条件，如施工条件、经济条件、工程性质、工程大小等采用相应的结构形式。

§5 平面杆件结构的分类

常用的结构计算简图有以下几种类别。

（1）梁：梁是一种受弯构件，其轴线通常是直线，如图1-48。

（2）拱：拱的轴线是曲线，其力学特征是在竖向荷载作用下不仅支座处有竖向反力产生，而且有水平反力产生。拱以受轴向压力为主，如图1-49。

图1-48

图1-49

（3）刚架：刚架是由梁和柱组成的，其结点为刚性结点。刚性结点的特征在于当结构发生变形时，相交于该结点的各杆端之间夹角始终保持不变，如图1-50。

图1-50

（4）桁架：桁架是由若干杆件在两端用理想铰联结而成的结构，各杆的轴线一般都是 直线，只有受到结点荷载时，各杆将只产生轴力，如图1-51。

图1-51（5）组合结构：组合结构是部分由桁架中链杆，部分由梁或刚架组合而成的，其中含 有混合结点。因此，有些杆件只承受轴力，而另一些杆件同时承受弯矩和剪力，如图1-52。

图1-52

第二篇：建筑力学教案

建筑力学重点内容教案

（四）静定结构和超静定结构

建筑物中支承荷载、传递荷载并起骨架作用的部分叫做结构，例如在房屋建筑中由梁、板、柱、基础等构件组成的体系。前面，我们介绍了单个杆件的强度、刚度和稳定性问题。本章将要介绍结构的几何组成规则、结构受力分析的基本知识、不同结构形式受力特点等问题。

第一节结构计算简图

实际结构很复杂，完全根据实际结构进行计算很困难，有时甚至不可能。工程中常将实际结构进行简化，略去不重要的细节，抓住基本特点，用一个简化的图形来代替实际结构。这种图形叫做结构计算简图。也就是说，结构计算简图是在结构计算中用来代替实际结构的力学模型。结构计算简图应当满足以下的基本要求：

1．基本上反映结构的实际工作性能； 2．计算简便。

从实际结构到结构计算简图的简化，主要包括支座的简化、节点的简化、构件的简化和荷载的简化。

一、支座的简化

一根两端支承在墙上的钢筋混凝土梁，受到均布荷载g的作用(图10—1。)，对这样一个最简单的结构，如果要严格按实际情况去计算，是很困难的。因为梁两端所受到的反力沿墙宽的分布情况十分复杂，反力无法确定，内力更无法计算。为了选择一个比较符合实际的计算简图，先要分析梁的变形情况：因为梁支承在砖墙上，其两端均不可能产生垂直向下的移动，但在梁弯曲变形时，两端能够产生转动；整个梁不可能在水平方向移动，但在温度变化时，梁端能够产生热胀冷缩。考虑到以上的变形特点，可将梁的支座作如下处理：通常在一端墙宽的中点设置固定铰支座，在另一端墙宽的中点设置可动铰支座，用梁的轴线代替梁，就得到了图10—16的计算简图。这个计算简图反映了：梁的两端不可能产生垂直向下移动但可转动的特点；左端的固定铰支座限制了梁在水平方向的整体移动；右端的可动铰支座允许梁在水平方向的温度变形。这样的简化既反映了梁的实际工作性能及变形特点，又便于计算。这就是所谓的简支梁。

假设某住宅楼的外廊，采用由一端嵌固在墙身内的钢筋混凝土梁支承空心板的结构方案(图10—20)。由于梁端伸入墙身，并有足够的锚固长度，所以梁的左端不可能发生任何方向的移动和转动。于是把这种支座简化为固定支座，其计算简图如图10—26所示，计算跨度可取梁的悬挑长加纵墙宽度的一半。

预制钢筋混凝土柱插入杯形基础的做法通常有以下两种：当杯口四周用细石混凝土填实、地基较好且基础较大时，可简化为固定支座(图10—3a)；在杯口四周填入沥青麻丝，柱端可发生微小转动，则可简化为铰支座(图10一36)。当地基较软、基础较小时，图口的做法也可简化为铰支座。

支座通常可简化为可动铰支座、固定铰支座、固定支座三种形式。

二、节点的简化 结构中两个或两个以上的构件的连接处叫做节点。实际结构中构件的连接方式很多，在计算简图中一般可简化为铰节点和刚节点两种方式。

1．铰节点铰节点连接的各杆可绕铰节点做相对转动。这种理想的铰在建筑结构中很难遇到。但象图10—40中木屋架的端节点，在外力作用下，两杆间可发生微小的相对转动，工程 中将它简化为铰节点(图10—46)。

2·刚节点刚节点连接的各杆不能绕节点自由转动，在钢筋混凝土结构中刚节点容易实现。图10—5a是某钢筋混凝土框架顶层的构造，图中的梁和柱的混凝土为整体浇注，梁和柱的钢筋为互相搭接。梁和柱在节点处不可能发生相对移动和转动，因此，可把它简化为刚节点(图10—56)。

三、构件的简化

构件的截面尺寸通常比长度小得多。在计算简图中构件用其轴线表示，构件之间的连接用节点表示，构件长度用节点间的距离表示。

四、荷载的简化

在工程实际中，荷载的作用方式是多种多样的。在计算简图上通常可将荷载作用在杆轴上，并简化为集中荷载和分布荷载两种作用方式。关于荷载的分类及简化已在第一章中述及。这里不再重复。

在结构设计中，选定了结构计算简图后，在按简图计算的同时，还必须采取相应韵措施，以保证实际结构的受力和变形特点与计算简图相符。因此，在按图施工时，必须严格实现图纸中规定的各项要求。施工中如疏忽或随意修改图纸；就会使实际结构与计算简图不符，这将导致结构的实际受力情况与计算不符，就可能会出现大的事故。检查与回顾 1.结构计算简图应满足哪些基本要求？

2.结构计算简图的简化主要包括哪些内容？

新授课 第二节平面结构的几何组成分析

一、几何组成分析的概念

建筑结构通常是由若干杆件组成的，但并不是用一些杆件就可随意地组成建筑结构。例如图10—6a中的铰接四边形，可不费多少力就把它变成平行四边形(图。一6b)，但这种铰接四边形不能承受任何荷载的作用，当然不能作为建筑结构使用。如果在铰接四边形中加上一根斜杆(图10—7)，那么在外力作用下其几何形状就不会改变了。

图10—6 图110—7

从几何组成的观点看，由杆件组成的体系可分为两类：

1·几何不变体系 在荷载作用下，不考虑材料的应变时，体系的形状和位置是不能改变的

2·几何可变体系在荷载作用下，不考虑材料的应变时，体系的形状和位置是可以改变的(图10—6a)。

对结构的几何组成进行分析，以判定体系是几何不变体系还是几何可变体系，叫做几何组成分析。

显然，建筑结构必须是几何不变体系。

在体系的几何分析中，把几何不变的部分叫做刚片。一根柱可视为一个刚片；任一肯定的几何不变体系可视为一个刚片；整个地球也可视为一个刚片。

二、几何不变体系的组成规则(一)铰接三角形规则

实践证明，铰接三角形是几何不变体系。如果将图10—8口铰接三角形A船中的铰A拆开：AB杆则可绕曰点转动，AB杆上4点的轨迹是弧线①；4C杆则可绕C点转动，AC杆上的A点的轨迹是弧线②。这两个弧线只有一个交点，所以A点的位置是唯一的，三角形ABC的位置是不可改变的。这个几何不变体系的基本规则叫做铰接三角形规则。

如果在铰接三角形中再增加一根链杆仰(图10—86)，体系ABCD仍然是几何不变的，从维持体系几何不变的角度看，AD杆是多余的，因而把它叫做多余约束。所以ABCD体系是有多余约束的几何不变体系，而铰接三角形ABC是没有多余约束的几何不变体系。

②

铰接三角形规则的几种表达方式

1·二元体规则在铰接三角形中，将一根杆视为刚片，则铰接三角形就变成一个刚片上用两根不共线的链杆在一端铰接成一个节点，这种结构叫做二元体结构(图10—9)。于是铰接三角形规则可表达为二元体规则：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，可组成几何不变体系。且无多余约束。

2·两刚片规则若将铰接三角形中的杆AB和杆日C均视为刚片，杆AC视为两刚片间的约束(图10—10)，于是铰接三角形规则可表达为两刚片规则：两刚片间用一个铰和一根不通过此铰的链杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。图10一ll a表示两刚片用两根不平行的链杆相连，两链杆的延长线相交于A点，两刚片可绕

图 10一10 图 10—11 A点做微小的相对转动。这种连接方式相当于在A点有一个铰把两刚片相连。当然，实际上在A点没有铰，所以把A点叫做“虚铰”。为了阻止两刚片间的相对转动，只需增加一根链杆(图10—11 b)。因此，两刚片规则还可以这样表达：两刚片间用三根不全平行也不全相交于一点的三根链杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。

3．三刚片规则若将铰接三角形中的三根杆均视为刚片(图10—12)，则有三刚片规则：三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连，可组成几何不变体系。且无多余约束。

总结

作业：P238 10-

1、10-2 检查与回顾 铰结三角形的表达形式 新授课

三、超静定结构的概念

简支梁通过铰A和链杆B与地球相连(图10—13a)，是几何不变体系，且无多余约束。这种没有多余约束的几何不变体系叫做静定结构。静定结构的反力和内力可通过静力平衡方程求得。如果在简支梁中增加一个链杆(图10—13b)，它仍然是几何不变体系，但有一个多余约束。有多余约束的几何不变体系叫做超静定结构。超静定结构的支座反力和内力不能由静力平衡方程式全部求得。例如图10—13b中的梁，在荷载和支座反力的作用下，构成一个平面一般力系，可列出三个独立的平衡方程，而未知的支座反力有四个，三个方程只能解算三个未知量，所以不能求出全部的反力，因而内力也无法确定。超静定结构的内力计算，除了运用静力平衡条件外，还要利用变形条件，这里不予介绍。．

四、几何组成分析的实例

几何不变体系的组成规则，是进行几何组成分析的依据。对体系重复使用这些规则，就可判定体系是否是几何不变体系及有无多余约束等问题。运用规则对体系分析时，可先在体系中找到一个简单的几何不变部分，如刚片或铰接三角形，然后按规则逐步组装扩大，最后遍及全体系；也可在复杂的体系中，逐步排除那些不影响几何不变的部分，例如逐步排除二元体，使分析对象得到简化，以便于判别其几何组成。

例10—1试对图10—14中的体系做几何组成分析。

解铰接三角形是几何不变体系(图中的阴影部分)，在此基础上不断增加二元体，最后可遍及整个桁架。将整个桁架视为一个刚片，地球视为另一个刚片，依据两刚片规则，它们之间用铰A与不通过铰A的支座链杆B相连，组成了没有多余约束的几何不变体系。

结论体系是几何不变的，且无多余约束。‘

C

例10一2试分析图10一15中体系的几何组成。

解整个体系可分为左右两个部分：左边的AC可视为刚片，在刚片上增加二元体ADF；右边的CB可视为刚片，在刚片上增加二元体GEB。左、右两部分均可视为刚片，它们之间用铰C和链杆DE相连(两刚片规则)，形成一个大刚片。这个大刚片与地球用铰A和链杆B相连，构成一个没有多余约束的几何不变体系。

现在从另一角度进行分析：左边的AD、AC、DF可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的三个铰A、D、F相连，组成了一个几何不变体系；右边的CB、BE、GE可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的三个铰G、E、B、相连，也组成了一个几何不变体系。左、右两部分用铰C和链杆册相连，组成了一个没有多余约束的几何不变体系，然后再与地球相连。

结论体系是几何不变的，且无多余约束。

例10—3试分析图10—16中体系的几何组成。

解图10—16中的杆AB可视为刚片工，杆BC可视为刚片II，地球为刚片III。三刚片通过铰A、B、C两两相连，但这三个铰在同一直线上，不符合三刚片规则。现在分析在这种情况下会出现的问题。

B点是杆AB及BC的公共点。对AB杆而言，B点可沿以AB为半径的圆弧线①运动；对嬲杆而言，B点可沿以BC为半径的圆弧线②运动。由于A、曰、C三点共线，两个圆弧在B点有公切线。所以，在图示的瞬时，B点可沿公切线做微小的运动，即体系在这一瞬时是几何可变的。但是，B点经过微小的位移后，A、B、C三点就不再共线，B点的位移不能再继续增大。这种本来是几何可变的体系，经过微小的位移后又成为几何不变的体系，叫做瞬变体系。瞬变体系不能作为结构使用，任何接近于瞬变体系的构造，在实际建筑结构中也不允许出现。图10—17中，A、B、C三铰虽不共线，但在e角很小时，链杆的轴力将很大；当日角趋近于零时，体系趋近瞬变状态，链杆的轴力将趋于无穷大。

结论体系是瞬变体系，不能作为结构使用。

例10-4试对图中的体系作几何组成分析。

解 曲杆AC、CB和直杆通过不在同一直线上的三个铰A、B、C两两相连，组成了几何不变体系且没有多余约束。体系的两端通过铰A、B与基础相连，显然多了一个约束。

分析：曲杆AC、CB和地基可视为三刚片，它们通过不在同一直线上的铰A、C相连，组成了几何不变体系，因此，链杆衄可视为多余约束。结论体系是几何不变的，且有一个多余约束。

建筑结构可分为平面结构和空间结构。如果组成结构的所有杆件的轴线菇在同一个平而Ⅱ为平面结构，否则，便是空间结构。严格说来，实际建筑结构 ‘多场合下，根据结构的组成特点及荷载的传递途径，在实际许可的进五磊主 内，把它们分解为若干个独立的平面结构，可简化计算。

从结构的几何组成角度看，结构又可分为静定结构和超静定结构。

第三篇：建筑力学教案

第十章 静定结构和超静定结构

第二节平面结构的几何组成分析

教学要求：1.理解几何组成分析中的名词含义；

2.掌握平面几何不变体系的组成规则；

3.会对常见平面体系进行几何组成分析。重 点：掌握平面几何不变体系的组成规则。难 点：对平面体系进行几何组成分析。授课方式：课堂讲解和练习教学内容：平面结构的几何组成分析

一、概念

体系：若干个杆件相互联结而组成的构造。

1、几何不变体系：在任何荷载作用下，若不计杆件的变形，其几何形状与位置均保持不变的体系。

2.几何可变体系：即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作用下，会引起很大的形状或位置的改变的体系。

3、刚片：几何形状不能变化的平面物体。

二、几何不变体系的组成规则

1.铰接三角形规则:三个刚片用不共线的三个单较两两相联,组成的体系为几何不变。

此体系由三个刚片用不共线的三个单铰A、B、C两两铰联组

成的，为几何不变。（1）二元体规则: 二元体:两根不共线的链杆联结一个新结点的构造。在一个刚片上增加或减少一个二元体,仍为几何不变体系。

为没有多余约束的几何不变体系 结论：在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原体系的几何构造性质。（2）两刚片规则: 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联,为几何不变体系。

虚铰：

O为相对转动中心。起的作用相当一个单铰，称为虚铰。

或者

两个刚片用三根不完全平行也不交于同一点的链杆相联，为几何不变体系。

例如：

基础为刚片Ⅰ，杆BCE为刚片Ⅱ，用链杆AB、EF、CD 相联，为几何不变体系。

三、课后练习：

建筑力学公开课教案

系

部：综合二祖

内

容：平面结构的几何组成分析

班

级：高一建筑一班

教

师：陈

燕

第四篇：建筑力学教案

第一章

绪论

§1—1 建筑力学的任务和内容

一．结构

由建筑材料按合理方式组成并能承受一定载荷作用的物体或物体系。或言建筑物中承受荷载而起骨架作用的部分。Ex 梁、柱、基础，以及由这些构件单元组成的结构体系都称为结构。图示：单层厂房结构。构件：组成结构的各独立单元。二．结构的分类（按几何特征）

⑴ 杆系结构：组成杆系结构的构件是杆件。杆件的几何特征：长度运大于横截面宽度和高度。Ex 直杆、曲杆、折杆。此外 杆件又可分为等截面杆和变截面杆。⑵ 板壳结构（薄壁结构）：组成薄壁结构的构件是薄板或薄壳。薄板或薄壳的几何特征：其厚度远远小于宽度和高度。

⑶ 实体结构 ：其三个方向的尺寸相当。

三、建筑力学的基本任务

建筑力学的基本任务是研究结构的几何组成规律，以及在荷载作用下结构和构件的强度、刚度和稳定性的计算方法和计算原理。其目的是保证所设计的结构和构件能正常工作，并充分发挥材料的力学性能，使设计的结构既安全可靠又经济合理。

说明：⑴ 几何组成： 是指结构必须按一定规律由构件连接组成，以确保结构在荷载作用下能够维持其几何形状和相对位置不变。保证结构能够承受荷载并维持平衡。

⑵ 强度：指结构和构件抵抗破坏的能力。即保证结构和构件正常工作不发生断裂。

⑶ 刚度：指结构和构件抵抗变形的能力。即保证结构和构件在使用过程中不致产生实用上不允许的过大变形。

⑷ 稳定性：指承压结构和构件抵抗失稳的能力。即保证结构和构件在使用过程中始终保持其原来的直线平衡形式，不发生因弯曲变形而丧失承载能力导致破坏的现象。

四、建筑力学的内容

1． 静力学基础及静定结构的内力计算 包括：⑴ 物体的受力分析。

⑵ 力系的简化及平衡方程。⑶ 结构的几何组成规律。⑷ 静定结构的内力计算。

由于这些问题均与变形无关，故此部分内容中的结构和构件均可视为刚体。即以刚体为研究对象。2． 强度问题

研究结构和构件在各种基本变形形式下内力的计算原理和方法，以保证结构和构件满足强度要求。3． 刚度问题

研究静定结构和构件在荷载作用下变形和位移的计算原理和计算方法。以保证结构和构件满足刚度要求。同时也为超静定结构的计算奠定基础。4． 超静定结构的内力计算

介绍力法、位移法求解超静定问题以及力矩分配法求解连续梁及无侧移刚架的内力。以确保超静定结构的强度和刚度满足要求。5． 稳定性问题

仅讨论不同支撑条件下中心受压直杆的稳定性问题。

在2—5的各部分内容中，变形因素在所研究的问题中起主要作用，所以，研究这些问题时，结构和构件均视为理想变形固体，即以理想变形固体为研究对象。

§1—2 刚体、变形固体及其基本假设

建筑力学中通常将物体抽象为两种力学模型：刚体模型和理想变形固体模型。

⑴刚体：在力的作用下不变形的物体。是研究物体在特定问题状态下一种理想化的力学模型。⑵ 理想变形固体：

（a）变形：在荷载作用下物体的形状和尺寸的改变称作变形。变形包括：弹性变形和塑性变形。弹性变形：撤去荷载可消失的变形。

塑性变形：撤去荷载后残留下来而无法消失的变形。

（b）变形固体：荷载作用下产生变形的物体称变形固体。

（c）理想变形固体：为研究问题的方便，将满足下面三个假设条件的变形固体称理想变形固体。是一种理想化的力学模型。

① 连续性假设：组成物体的材料是密实的，其内部物质连续分布无任何空隙。

② 均匀性假设：组成物体的材料的力学性质是均匀的，其任何一部分材料的力学性质均相同。③ 各向同性假设：组成物体的材料各个方向的力学性质均相同。若各个方向力学性质不相同则为各向异性材料。Ex 木材、竹子等。

§1—3 杆件变形的基本形式

杆件据其所受荷载方式的不同，其变形有所不同，尽管变形形式复杂多样但总括起来可归结为四种基本变形形式之一，或是基本变形形式的组合。⑴ 轴向拉伸与压缩

杆件在轴线方向的荷载作用下产生的伸长或缩短的变形即为拉压变形。这种变形形式称轴向拉伸与压缩。⑵ 剪切

杆件承受一对相距很近，作用线垂直于杆件轴线且方向相反的平行荷载的作用，杆件的变形为横截面沿荷载作用方向发生相对错动，此种变形形式称剪切变形。⑶ 扭转

杆件在一对作用于杆件横截面且方向相反的力偶作用下，产生的相邻横截面绕轴线转动的变形称扭转变形。⑷ 弯曲

杆件在一对方向相反的作用于杆件纵向平面内的力偶作用下产生的轴线由直线变为曲线的变形成为弯曲变形。

§1—4 荷载的分类

一．荷载的概念

作用在结构上的外力称荷载。Ex 结构自重、水压力、土压力、风压力、雪压力以及设备重量等。此外还有一些其它因素如：温度变化、基础沉陷、制造误差等，广义上说这些因素都可以称作荷载。

确定结构所受荷载，需根据实际结构受力状况，既不能将荷载估计过大造成浪费，也不能将荷载估计过小造成设计的结构不够安全。二．荷载的分类

⑴ 根据荷载的分布情况分

分布荷载：作用于体积、面积和线段上的体荷载、面荷载和线荷载统称为分布荷载。

重力属于体荷载，风、雪属于面荷载。由于本教材仅研究平面杆系结构，故通常将体荷载、面荷载简化成沿杆件轴线分布的线荷载。

集中荷载：作用于结构上一点的荷载。Ex 吊车轮压。⑵ 按荷载作用时间久暂分

恒荷载：长期作用于结构上不变的荷载。Ex 结构的自重、固定设备等。活荷载：暂时作用于结构的短期荷载。Ex 风、雪等荷载。⑶ 按荷载作用性质分

静力荷载：荷载的大小、方向、作用位置不随时间变化，或虽有变化，变化极缓不致引起结构产生加速度而具有惯性力的作用。

动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置随时间变化，由此引起结构的质量产生加速度而具有惯性力的作用。Ex 结构上转动的偏心电机、地震荷载等。由此引起的结构的内力和位移都随时间变化，称之为动内力和动位移，统称为动力反应。

第五篇：第2章平面体系的几何组成分析小结

第二章平面体系的几何组成分析

一、名词解释 1．几何不变体系

在不考虑材料应变的条件下，在任意荷载作用下，几何形状和位置保持不变的体系称为几何不变体系。

体系的几何不变性应当满足：具有足够的、布置合理的约束(联系)。2．几何可变体系

在不考虑材料应变的条件下，在任意荷载作用下，不能保持原有几何形状和位置的体系称为几何可变体系。

几何可变体系包括几何常变体系和几何瞬变体系。几何常变体系是指缺少约束或约束布置不合理，体系没有确定的几何形状和空间位置，可发生持续的刚体位移。几何瞬变体系是指具有足够数量的约束，但是约束布置不合理，在发生微小位移后，即成为几何不变体系。瞬变体系在很小荷载作用下，也会产生很大的内力。3．刚片

在平面体系中，不考虑材料应变的几何不变部分称为刚片。如一根梁、一根链杆、一个铰结三角形等。4．自由度

自由度是指物体或体系运动时可以独立变化的几何参数的数目。即确定物体或体系位置所需的独立坐标数。平面上的一个点有两个自由度，平面上的一个刚片有三个自由度。5．约束(联系)用于限制体系运动的装置称为约束(或联系)。(1)等效链杆的概念

链杆为两端为铰的刚性直杆或曲杆。只用两个铰与外界相连的刚片称为等效链杆。等效链杆的作用与链杆相同。

(2)单约束和复约束 连接两个刚片的铰称为单铰，一个单铰相当于两个约束。连接两个以上刚片的铰称为复铰，连接n个刚片的复铰相当于n—1个单铰；连接两个刚片的刚结点称为单刚结点，一个单刚节点相当于三个约束。连接两个以上刚片的刚结点称为复刚结点，连接n个刚片的复刚结点相当于n—1个单刚结点。

(3)虚铰(瞬铰)虚铰也称为瞬铰，它是连接两个刚片的两链杆延长线的交点，与单铰具有相同的约束作用。

(4)必要约束和多余约束

能够起到影响体系实际自由度数目的约束为必要约束。必要约束具有布置合理的特点，用以组成几何不变体系的最少约束都是必要约束。

不改变体系实际自由度的约束称为多余约束。6．体系的计算自由度

用计算自由度公式方法求得的体系自由度，称为计算自由度W。计算自由度W不一定能够反映体系的实际自由度。只有当体系上无多余 约束时，计算自由度与实际自由度才一致。计算自由度W可按以下两种方法进行计算：(1)刚片法

刚片法是以刚片作为体系的组成单元，形成平面刚片体系。其计算公式为：

W3g(3m2hb)

式中 m—刚片数； g—单刚点数； h—单铰数； b—支杆数。(2)铰结点法

铰结点法是以铰结点作为体系的组成单元，用于平面铰结链杆体系。其计算公式为：

W2jb

式中 j—结点数；b—链杆和支杆总数。

计算自由度w、体系的机动性和实际自由度S三者之间的对应关系：

①当W=0：若具有足够的必要约束，无多余约束，则为几何不变(静定结构)，S=0；若缺少足够的必要约束，有多余约束，则为几何可变，S>O。

②当W<0：若具有足够的必要约束，有多余约束，为几何不变(超静定结构)，S=0 ；若缺少足够的必要约束，有多余约束，为几何可变，S>O。

③当W>0：体系缺少足够的必要约束，为几何可变，S>O。

二、几何不变体系的组成规则 1．二元体规则

一个刚片与一个点用两根不在同一直线上的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。

二元体规则还可简述为：在一个刚片上增加一个二元体，仍为几何不变体系。二元体是指用两根不在一条直线上的链杆连接一个新结点的构造。2．两刚片规则

两个刚片之间用不交于一点也不相互平行的三根链杆相连或用一个铰和不通过该铰的链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系。3．三刚片规则

三个刚片之间用不在同一直线上的三个铰(实铰或虚铰)两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。

在几何不变体系的三条组成规则中，提出了三个限制条件：(1)连接三个刚片的三个铰不在一条直线上；(2)连接两个刚片的三根链杆不交于一点也不相互平行；(3)组成两元体的两链杆不在一条直线上。否则，为几何可变体系(瞬变体系)。

三、平面体系的几何组成与静力特征之间的关系

1．平面体系的分类

2．相互关系(1)静定结构

无多余约束的几何不变体系为静定结构，用静力平衡条件可求得全部反力和内力的确定值。(2)超静定结构

有多余约束的几何不变体系为超静定结构，即是除了必要约束之外，还有多余约束，用静力平衡条件不能求得全部反力和内力的确定值。(3)几何可变体系

包括几何常变体系和瞬变体系。几何常变体系缺少约束或约束布置不合理，一般无静力 学解答，在特殊情况下，在力作用下，能保持平衡；瞬变体系的反力和内力为无限大或为不定值。

几何可变体系不能用做结构。

四、解题方法 1．一般方法(1)直接按几何组成分析的三条规则分析体系，得出结论。

(2)先求出计算自由度W，若W>0，则体系为几何可变；若W≤0，应进一步对体系进行

几何组成分析，此时W≤0是几何不变体系的必要条件。2．灵活地选择基本刚片

刚片可大可小，可以是一根杆、大地或一个三角形，也可以是体系中具有几何不变的部分。小刚片通过几何不变体系的组成规则，形成新的大刚片。基本刚片的选取应考虑到刚片之间的连接方式和几何不变体系的形成规则，当一种分析途径不能得到结果时，需重新选择刚片。几何组成分析的关键问题在于是否恰当地选择了基本刚片。3．从几何不变单元开始

对体系进行几何组成分析时，首先找出一个或几个几何不变的单元，再逐步组装扩大成整体：

(1)从地基开始。先从地基开始组成一个(或几个)几何不变单元，再按组成规则组成整 体。当体系与地基之间的约束多于三个，多从地基出发进行组装。

(2)从内部开始。先从体系内部的一个(或几个)几何不变单元开始，将它们看作基本刚 片，再利用组成规则组成整体。4．进行简化

(1)利用二元体进行简化。由于增加或拆除二元体对体系的机动性没有影响，因此，对易于观察出的几何不变部分可通过增加二元体扩大为组合刚片，或拆除二元体，简化体系的组成。(2)先不考虑上部体系与大地之间的连接。当体系与基础之间以三根支杆相连，且三根支 杆不交于一点也不相互平行，可先拆去这些支杆，只需分析上部体系的机动性即可。5．等效变换

对于不能直接利用规则进行分析的体系，可先作等效变换，即把体系中某个内部无多余约束的几何不变部分用另一个无多余约束的几何不变部分替换，并按原状况保持与其余部分的联系，然后再作分析。复杂形状(曲线或折线形)的两端为铰的刚片可等效成直链杆；连接两刚片的两根链杆可用其交点处的瞬铰来代替。6．两点说明

(1)不是所有体系都可以用几何不变体系的组成规则来分析和判断，几何不变体系的组成 规则一般用于分析常见的体系。当体系不能用基本组成规则分析时，可采用其他分析方法如 零载法等。

(2)作几何组成分析时，体系中的每一部分或每一约束都不可遗漏或重复使用。