工科物理大作业09-电磁感应与电磁场解读（5篇）

第一篇：工科物理大作业09-电磁感应与电磁场解读

09 电磁感应与电磁场

09 班号 学号 姓名 成绩

一、选择题

（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）

1．如图9-1所示，在无限长载流直导线旁，放置一圆形导体线框，且线框平面与直导线共面。则在下列情况下线框会产生感应电动势的是：

A．线框与直导线相对静止； B．线框的速度v沿纸面向上运动；

C．直导线的电流I=I0sinωt，线框与直导线相对静止； D．线框绕过圆心O且垂直纸面的轴以角速度ω 转动；

E．线框以速度v向右远离直导线运动。（C、E）[知识点] 法拉第电磁感应定律，由磁通量Φm变化判断。

[分析与解答] 判断线框在磁场中是否有感应电动势，只要看通过它的磁通量Φm= I 图9-1

⎰B⋅dS=⎰BcosθdS是否发生变化即可，在A、B、D所示线圈中没有感应电动势因为磁通

S S 量不变化；在C所示线框中有感应电动势，因为直导线电流在变化，磁场B在变化，则Φm会发生变化；而在E所示线框中也有感应电动势，因为离直导线越远，磁场越弱，Φm减小。

2．如图9-2所示，通过导体线圈的磁感线减少了，则线圈内感应电动势的方向为：

A．顺时针； B．逆时针；

C．εi=0； D．无法判断。（B）[知识点] εi=-dΦmdt 的负号意义。图9-2 [分析与解答] 由楞次定理知，原来磁场方向向上并减弱，磁通量减少了，感应电流产生的磁场要阻碍向上的磁通量的减少，则会“减则同”，即其方向会与变化的磁场相同，则由右手螺旋法则知线圈内感应电动势的方向为逆时针。

3．如图9-3(a)所示，将一根导线弯折成半径为R的3/4圆周abcde，置于均匀磁场B中，当导线沿aoe的分角线方向以v向右运动时，导线中产生的感应电动势εi为： A． BRv； B．0； 图9-3(a)

C．BRv； D．2BRv。（D）[知识点] 补偿法，动生电动势分析与计算.[分析与解答] 将圆弧导线abcde的a、e端用一直导线连接，形成如图9-3(b)所示的闭合回路。

当回路整体以速度v向右运动时，通过回路的磁通量不变，由法拉第电磁感应定律知，回路中电动势之和为零。即 εabcdea =εabcde+εea=0 图9-3(b)又由动生电动势公式εi= εea=

a ⎰(v⨯B)⋅dl分析可知直导线ea电动势为

=vBea= 2RvB ⎰(v⨯B)⋅dl e 则从上分析可知，导线abcde中的电动势与直导线ea电动势大小必相等，即圆弧形导线abcde上的电动势为

εabcde=-εea=-2RvB，负号表示其方向相反

4.如图9-4所示，M、N为水平面内的两根平行金属导轨，ab与cd为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直导线，外磁场B垂直于水平面且向上，当外力使ab向右平移时，则cd的运动情况为： A．不动； B．转动；

C．向左移动； D．向右移动。（D）[知识点] 动生电动势与安培力。

[分析与解答] 由于直导线ab处于均匀磁场B中，且速度、磁场与杆的方向三者垂直，有电动势εi=Bvab，电动势的方向就是v⨯B的方向，则当ab向右平移时，会在abcda闭合回路中形成方 图9-4

向为b→a→d→c顺时针的感应电流；又由安培定律dF=Idl⨯B知，直导线cd会受到向右的安培力的作用，直导线将会向右移动。

5．如图9-5所示，一导体棒ab，长为L，处于均匀磁场B中，绕通过c点垂直于棒的OO'轴在水平面内转动，已知ac= 23 L。则导体棒中感应电动势和a、b两端点的电势大小关系为：

A．εab=B．εab= 16 16 2 ωBL，Ua>Ub； ωBL，Ua

C．εab=0，Ua=Ub；

D．εab=0，有时Ua>Ub，有时Ua

[分析与解答] 以c点为原点，建立如图所示坐标，在导体棒上任选一线元dx，其上的动生电动势为 dε=(v⨯B)⋅dl=xωBdx 整个导体棒上的电动势为 ε= ⎰ L 32-L3 1 ωBxdx=-16 ωBL 2 <0 图9-5

即感应电动势的方向为b→a，则a点电动势高于b点，即Ua>Ub。6．如图9-6(a)所示，在圆柱形区域内分布着均匀磁场B，且

dBdt 为正的恒量，现将ao、ob、ab、ab和cd 5段导线置于图示位置，则下列说法正确的是：

A．由于a、b两点电势确定，所以ab和aob上感生电动势相同，即εab=εaob； B．cd导线处于B=0的空间，故εcd=0；

C．在该区域内，变化磁场激发的涡旋电场强度Ek∝r，故 εa b >εab，εab>εao>0；

D．oa、ob均垂直于Ek，故εoa=εob=0。（D）[知识点] 感生电动势的概念、分析。

[分析与解答] 在如图9-6(b)所示的变化磁场中，在空间产生感生电场，感生电场线的分布是以o为圆心的一系列同心圆，各点的感生电场Ek方向沿着圆周的切线方向。

由于oa和ob与感生电场的方向正交，由电动势定义ε= 图9-6(a)

⎰E k ⋅dl 知，εa0=0，εob=0，则εaob=0；而ab导线处在感生电场中，且感生电场沿ab的分量不为零，则εab≠0，且方向由a指向b，即εab>0。

图9-6(b)cd导线虽处在磁场以外，但该空间仍有感生电场分布，且感生电场沿cd的分量不为零，则εcd≠0。经计算知，圆柱形区域内涡旋电场强度为Ek= 且有εab=S1

εao=0。dBdtrdB2dr，即Ek∝r。、εaˆ=S2ˆbdBdt，式中S1为三角形的面积，S2为扇形的面积，则εaˆ>εab，但ˆb

7．在下列关于自感和位移电流的表述中，正确的是： A

I越大，L越大；

B．自感是对线圈而言的，对直导线回路不存在自感问题； C．位移电流的本质是变化的电场；

D．位移电流只在平板电容器中存在，但它能激发磁场；

E．位移电流是电荷的定向运动产生的，也能激发磁场。（C）[知识点] 自感系数L和位移电流的概念。

[分析与解答] 线圈的自感系数L是反映线圈电磁惯性大小的物理量，它只和线圈本身的形状、大小、匝数、磁介质分布有关，而与线圈是否载流无关。当然线圈中有电流时，Φm与I成正比，故L与I 无关。从自感的定义式L=Φm

I可知，Φm是穿过一个回路的磁通量，这个“回路”即可以指线圈回

路，也可以指一般的载流回路。因而，并不是线圈才有自感，非线圈回路也有自感，只是与前者相比自感小得多。

位移电流实质上是指“变化的电场”，因而，它可存在于真空、介质、导体中。而且变化的电场（位移电流）是能激发磁场的。8．激发涡旋电场的场源是： A．静止电荷； B．运动电荷；

C．变化的磁场； D．电流。（C）[知识点] 感生电场的概念。

9．已知平板电容器的电容为C，两板间的电势差U随时间变化，则其间的位移电流为： A．dD dt； B．0；

C．CU； D．C[知识点] 位移电流Id的计算。dUdt。（D）

[分析与解答] 设平行板电容器的极板面积为S，其间的电位移为 D=σ=

qS 当极板间的电势差随时间变化时，极板上的带电量也同样随时间变化，则其间的位移电流为 Id=由C= qU dΦDdt = ⎰dt d S D⋅dS= =C dUdtdUdt dDdt ⋅S= dqdt 关系可知 dqdt 则 Id=C 10．平板电容器在充电过程中，忽略边缘效应，作如图9-7所示的环路L1和L2，则沿两个环路的磁场强度H的环流必有： A．H⋅dl> L1 H⋅dl； L2 B．H⋅dl=

L1 H⋅dl； L2 C．H⋅dl< L1 H⋅dl；

L2 L2 D．H⋅dl=0，H⋅dl≠0。（C）

L1 图9-7 [知识点] 全电流安培环路定律。

[分析与解答] 根据全电流连续，平行板电容间的全部位移电流等于穿过L2的传导电流，因此，L1回路中的位移电流小于L2中的传导电流，则由H的环路定理知 H⋅dl L1 L2 < H⋅dl L2 且

H⋅dl =I传

二、填空题

1．法拉第电磁感应定律的表达式为 εi=-dΦmdt，此式表明：感应电动势εi的大小等于

磁通量随时间的变化率 ；负号表示εi的方向（指向）是 阻碍磁通量的变化 的方向。

已知垂直通过一平面线圈的磁通量随时间变化的规律为Φ m =6t+7t+1（SI），则t时刻 2

线圈中的感应电动势的大小为εi= 12t+7V，它表明εi是随时间t变化的。[知识点] 法拉第电磁感应定律的意义。[分析与解答] Φm=6t2+7t+1 感应电动势的大小 εi= 2.如图9-8(a)所示，一条形磁铁插入线圈，根据楞次定律可知，线圈中感应电流i的流向是由c点指向 a 点。[知识点] 楞次定理的应用。

[分析与解答] 由图9-8(b)知，原来磁场方向向上并在增加，由楞次定理知，磁通量增加了，则感应电流的磁场要阻碍向上的磁通量的增加，会“增则反”，即其方向会与变化后的磁场相反，则由右手螺旋法则知，线圈内感应电流的流向为顺时针方向即（即c→a）。

3．产生动生电动势的非静电力是 洛伦兹力，其相应的非静电性电场强度Ek= v⨯B ；动生电动势的方向（指向）就是 v⨯B 的方向。

产生感生电动势的非静电力是 感生电场力。[知识点] 动生电动势和感生电动势的概念。

4．如图9-9(a)所示，长为L的导体杆ab与通有电流I的长直载流导线共面，ab杆可绕通过a点，垂直于纸面的轴以角速度ω 转动，当ab杆转到与直导线垂直的位置时，杆中的动生电动势为εab=

dΦmdt =(12t+7)V NS v

a 图9-8(a)

b NS v a 图9-8(b)

b

μ0I 2π

a L ω(L-Dln D+LD)，a端的电势较b端的电势要 低。

[知识点] 导体杆在非均匀场中转动时的ε动计算。

[分析与解答] 建立如图9-9(b)所示坐标，导体杆微元dr中的动生电动势为 dεi=(v⨯B)⋅dr=(r-D)ωBdr 直导线在dr处产生的磁场为 B= μ0I2πr 图

9-9(a)方向向里 图9-9(b)导体杆上的总电动势为 εi= ⎰dεi=⎰ D+L μ0I2πr D ⋅(r-D)ωdr= μ0I2π ω L-Dln ⎝ ⎛

D+L⎫ ⎪ D⎭

其方向由a指向b，则Ua

5．如图9-10(a)所示，直角三角形金属框架abc置于均匀磁场B中，磁场方向与ab边平行，已知ac=l，∠bac=30，当框架以角速度ω 绕ab边作匀角速度转动时，则ac边中的动生电动势 εac= Bωl，整个回路abca中的动生电动势为εabca= 0。[知识点] 导体框在均匀场中转动时的ε动计算。

[分析与解答] 在ac上任选一线元dl，其v⨯B方向如图，则dl上的动生电动势为 dεac=(v⨯B)⋅dl=vBsin30︒dl=而微元dl处的速度为 v=ωlsin30︒ 则ac边上总的动生电动势为 εac= 12 B

cvBdl 图9-10(a)⎰ dεac= ⎰ l 12 ωlBsin30︒dl= 18 ωBl 2，方向由a指向c B

由于ba边不切割磁场线运动，则 εba=0 而cb边上总的动生电动势为 l l l εcb= = ⎰dε 12 cb = ⎰(v⨯B)⋅dl 20 = ⎰ 2 vBdl= ⎰ 2 ωBldl 图9-10(b)ωB 1⎛1⎫2 l⎪=ωBl 方向由b→c

8⎝2⎭ 2 则 εabca=εab+εbc+εca=0

6．如图9-11所示，矩形导体线框abcd处于磁感强度B=B0sinωt的均匀、变化磁场中，ab=l1，ωt。bc=l2，则线框内感应电动势的大小为ε= l1l2ωB0cos

[知识点] 感生电动势ε感的计算。[分析与解答] 线框内感生电动势的大小为 ε= dΦmdt

= a⎰ ∂B∂t ⋅dS l1Bl 图9-11 c =B0ωcosωtS=B0l1l2ωcosωt

7.在半径为R的圆柱形区域内存在一匀强磁场B，且以恒定变化率dB/dt减小，则区域内任一点（r < R）的感应电场强度Ek的大小为Ek=的圆周在该点的切线方向。[知识点] 感生电场Ek的大小和方向。[分析与解答] 由于B以及 dBdt rdB2dt，其方向为 以中心为圆心、以r为半径 的分布具有轴对称性，则感生电场的电场线

为一系列的同心圆，如图9-12所示。作半径为r(r

dBdt S ⋅dS=πr 2 dBdt 图9-12 则 Ek=

rdB2dt 由于B在减小，则Ek的方向与图示方向相反。

8．半径为R的无限长圆柱形导体上均匀流有电流I，该导体材料的相对磁导率为μr，则在与导体轴线相距r（r

[分析与解答] 以r为半径，取圆形环路，则由有介质的安培环路定律有 μ0μrIr8πR 2 4 22 ； 而在导体轴线上一点的磁场能 H⋅dl=2πrH= Ir2πR 2 IπR 2 ⋅πr 2 H= μ0μrIr2πR 2 则磁感强度 B=μ0μrH= 12 2 2 则磁场能量密度 wm= BH= μ0μrIr8πR 4 导体轴线上一点，r=0 则 wm,o=0 9．麦克斯韦关于电磁场理论提出的两个基本观点，即两个基本假设是：电流）能激发磁场 和 变化的磁场能激发感生电场。在麦克斯韦方程组中，表示变化电

场与磁场关系的方程是。LH⋅dl=⎰δ⋅dS∂DS+⎰S∂t⋅dS [知识点] 麦克斯韦电磁场的基本理论。

10．如图9-13(a)所示，质量极小的薄金属片与长直导线共面，由于薄金属

片质量极小，可借用超声悬浮技术，使金属片在微重力状态下悬浮着（详见工科I薄金属片物理教程下册第192页）。当长直导线中突然通过大电流I时，由于电磁感应，薄金属片中将产生涡电流，则它将 向右运动。（填向上、向下、向左、向右 或转动）

[知识点] 涡电流的形成及方向判断。图9-13(a)

[分析与解答] 当长直导线中电流增大时，其在薄金属片空间的磁通量增加，则会在薄金属片中产生逆时针流动的感应涡旋电流，如图9-13(b)所示；这时，薄金属 片内部因为带有涡流而成为载流导体，在长直导线的磁场中会受到磁力的作用； 又由于长直导线的磁场与场点距离成反比，则对共面的圆电流而言，其靠近直导 线的电流元受力大，且指向右边，远离直导线的电流元受力小，且指向左边，而 圆电流受上、下磁力大小相等、方向相反，则圆电流将受到指向右边的合力的作 用，因此，薄金属片将在此力作用下将向右运动。图9-13(b)

三、简答题

试比较位移电流与传导电流的异同点。

[答] 共同之处：位移电流与传导电流一样都会产生磁场。

不同之处：（1）传导电流源于自由电荷的定向运动，而位移电流不涉及电荷运动，本质上就是变化的电场；

（2）传导电流通过导体时要产生焦耳热，而位移电流则无热效应；

（3）传导电流只能在导体中存在，而位移电流可以在导体、电介质甚至真空中存在。

四、计算与证明题

1．如图9-14（a）所示，一边长为的正方形导体线框，内阻为R，以恒定速度v通过宽度为3a的均匀磁场区，B的方向垂直纸面向里。以正方形线框的前端刚好进入磁场区为计时起点，试在图9-14（b）所给的坐标中，画出正方形导体线框在运动过程中，其产生的感应电流Ii与时间t的关系曲线（要求标明有关坐标值，并取顺时针方向时电流Ii为正）。

[分析与解答] 如图9-14(c)所示，在正方形导体线框正在进入均匀磁场的过程中，t时刻线框进入磁场的面积为S=ax，取顺时针方向为绕行正向，则线框的磁通量为

Φm=B⋅S=BS=Bax

a

图9-14(a)

图

9-14(b)图

9-14(c)Bav0 图

9-14(d)图9-14(e)

图9-14(f)则当0

=-Bav 即时间为0

如图9-14(d)所示，在正方形导体线框已经全部进入均匀磁场的过程中，线框的磁通量不变，即时间为a/v≤t≤3a/v时，则线框内无感应电流。

如图9-14(e)所示，在正方形导体线框正在离开均匀磁场的过程中，t时刻线框留在磁场的面积为S=a(a-x)，取顺时针方向为绕行正向，则线框的磁通量为 Φm=B⋅S=BS=Ba(a-x)则当0

则在整个过程中，感应电流Ii与时间t的关系曲线如图9-14(f)所示。

2．如图9-15所示，均匀磁场B中有一矩形导体框架，B与框架平面的正法线方向n之间的夹角θ=π，框架内的ab段长为l，可沿框架以恒定速度v向右匀速运动。已知B=kt，k为正的常量，当t=0时，x=0。试求：当直导线ab运动到与cd边相距x时，框架回路中的感应电势εi。[分析与解答] 由题意知S的绕行方向为逆时针，则 图9-15

Φm=BScosθ，而S=xl εi=-dΦmdt dSdB⎤⎡

=-⎢Bcosθ+Scosθ⎥dtdt⎦⎣ dx⎡⎤

=-⎢ktcosθl+lxcosθk⎥=-[klvtcosθ+klxcosθ] dt⎣⎦

=-2klxcosθ=-klx<0（顺时针）

3．由两个无限长同轴薄圆筒导体组成的电缆，半径分别为R1和R2（R2>R1），其间充满磁导率为μ 的磁介质，且流过内、外圆筒的电流I大小相等，流向相反。

（1）试求长为l的一段电缆内的磁能；（2）试证明长为l的一段电缆的自感系数为L= μl2π ln R2R1。

[分析与解答]（1）由安培环路定律，当R1

取长为l，半径为r，厚度为dr的体积元，其体积dV=2πrldr，则微元的磁能为 dWm=wmdV= 12 BHdV= μI 2 22 8πr

⨯2πrldr= μIldr

4π r 2 2 长为l的一段电缆内的磁能为 Wm= ⎰dWm= μIl 4π 2 ⎰R R2 1 drr = μIl 4π ln R2R1（2）取长为l，厚为dr的面积元，其面积dS=ldr，则微元的磁通量为 dΦm=BdS=

长为l的截面的磁通量为 Φm= μIl 2πr dr R2 1 ⎰dΦm= ⎰2πrR I μIldrr= = μIl 2πrln ln R2R1

则长为l的一段电缆的自感系数为 L= Φm

μl 2π R2R1 4．一无限长直导线通有电流I=I0e（式中I0、λ 为恒量），与一矩形线框共面，并相互绝缘，线框的尺寸及位置如图9-15所示。试求：

（1）直导线与线框间的互感系数；（2）线框中的互感电动势。-λt

图9-16 [分析与解答]（1）取dx，其到直导线距离为x，面积元dS=adx，绕行方向为顺时针，则 dΦm=BdS= μ0Ia 2πx dx= μ0aI0e 2πx-λt dx 左侧线框磁通量为负值，右侧线框磁通量为正值，则有 3 Φm= ⎰ 右 dΦm-⎰

左 dΦm= 21a2 a μ0aI0e 2πx-λt dx 3 = μ0I0e 2π-λt ln12 a=a μ0I0e 2π-λt ln3 互感系数为 M=-λt

（2）由I=I0e，Φ ΦmI = μ0a 2π ln3 m 变化，互感电动势为 εM=-M = dIdt = μ0a 2π

ln3⋅λI0e-λt

μ0aλI0e 2π-λt

ln3（顺时针）

5．试计算下列各量：（1）当前实验室达到的水平，可获得B=2.0T的强磁场和E=10Vm的强电场。那么相

应的能量密度有多大？并比较之。[解答] wm= 1B 2 2μ012 = ⨯ 2 2-7 4π⨯10 3 =1.6⨯10Jm 63 we=ε0E 2 =4.4Jm 表明wm>>we，磁场比电场更利于储存能量。

（2）在加速器中，利用超导线圈可具有持续大电流的特性来制成超导储存环。若环中的

B=1.0T，要储存1.0kW⋅h的能量，储存环的体积为多少？如果利用普通线圈中I=500A电流

来储存同样的能量，该线圈的L应多大？ [解答] 由Wm=wm⋅V，1.0kW⋅h=3.6⨯10W⋅s 6 故 V=Wm

wm=Wm1B2=3.6⨯10⨯2⨯4π⨯1016-73=9.0m 2μ0

线圈的自感系数为 L=2Wm I2=2⨯3.6⨯1050026=29H 通常一个直径为1cm，长为10cm，N=1000匝的螺线管，其L约为10-3H。

（3）如导线中存在着交变电场E=E0sinωt，因而有交变的传导电流和位移电流。导线电导率γ 的数量级为107，真空电容率ε0的数量级为10-11，ω的数量级为108。则传导电流密度δ与位

移电流密度δD比值的数量级为多少？ [解答] δ=γE=γE0sinωt δD=dDdt=ε0dEdt=ε0ωE0cosωt-11 取极大值，所以有 δD δ=ε0ω γ=10⨯10 7810=10-10

第二篇：工科数学分析作业

多

1、多元函数的极限与连续

海因定理：lim

1110810316贾金达

f(P)A的充分必要条件是：P以任何点列、任

PP0何方式趋于P0时，f(P)的极限都是A。

换句话说，当动点P以不同的方式或路径趋于P0时，极限不相等，则可以判定二重极限不存在。例1 求下列极限

1 lim(22(xy)22xxy)e

(2)lim(xy)lnx(y)x0

yy0

解:1 对于充分大的x和y x2y2xyxexyeeexyeey0

或者 x2y2(xy)2

令xyu

则x2y2(xy)2exyexyu2eu

当u时，上式趋于0。

(2)利用极坐标变换

xrsinyrcos

(xy)ln(x2y2)rcossinlnr24rlnr0

例2 

设f(x,y)(x2y2)cos1,x22x2y2y0 0,x2y20

试问在点(0,0)处，是否连续，偏导数是否存在？

f(P)的由于

f(x,y)f(0,0)f(x,y)0 (xy)cos221xy22xy022

所以，f(x,y)在点(0,0)处连续

由偏导数的定义得

fx(0,0)limf(x,0)f(0,0)xx0limxcosx01x0，同理f(0,0)0

y

于是，f(x,y)在点(0,0)处的偏导数存在。

2、偏导数与全微分 f(x,y)若在点(x0,y0)处可微，则zf(x,y)在点(x0,y0)fx(x0,y0)处两个偏导数dz和。

fy(x0,y0)都存在，且有=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy 2 则必在(x,y)连续，且该函数在f(x,y)若在点(x0,y0)处可微，(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)都存在。

全微分的形式不变性可理解为：对什么变量求偏导数就乘以什么变量的微分，无论这个变量是自变量，还是中间变量。多元函数的复合求偏导不论复合关系多复杂，其基本原则是：有几个中间变量求出来就有几项，每项先对中间变量求偏导再乘以中间变量对自变量的偏导数。例（武汉大学1995）

设二元函数

解：

(1)fx(0,0)fy(0,0)0，易得(2)(x,y)(0,0)12222(xy)cos,xy022 f(x,y)xy220,xy0(1)求fx(0,0)fy(0,0)

(2)证明：fx(x,y)，fy(x,y)在(0,0)(3)证明：f(x,y)在(0,0)不连续

处可微

时

1xy2 fx(x,y)2xcosxxy22sin1xy22

利用极坐标变换

lim111limcossinfx(x,y)lim2rcoscoscossinr0rrr0r(x,y)(0,0)显

然不存在。

故fx在(0,0)不连续，类似可得f在(0,0)不连续。

y(3)证 limzfx(0,0)xfy(0,0)y00

即化为

(xy)cos221xy22

(x,y)(0,0)limxy22limcos010

此式显然成立。

3、隐函数微分法 隐函数可分为由单个方程确定的隐函数以及由隐函数组确定的隐函数，隐函数可以是一元的，也可以是多元的，首先要掌握隐函数的存在唯一性定理，然后再熟悉隐函数求导的公式和程序。

一、单个方程确定的隐函数偏导数的求法

1.公式法

若F对各个变量皆存在连续的一阶偏导数，且Fz0,则由F(x,y,z)0确定的隐函数zz(x,y)也是连续可偏导的，并且有公式

zxFxFzzyFyFz;

2.链式法则的应用

在方程F(x,y,z)0中

zz(x,y)，即

F(x,y,z(x,y))0

上式的两边分别对x，y求偏导，得：

FxFyFzzxFzzy0

03.全微分法

一阶全微分具有形式不变性的优点，可广泛应用于求隐函数的微分以及各个偏导数，且不易出错。

FxdxFydyFzdz0

例1 设zz(x,y)由方程z5xzyz1确定43，求

zxy2|(0,0)。解

在原方程两边对x，y求偏导，分别得到：

5z4zxz4xz43zx33yz2zx0

5z4zy4xz3zyz3yz3zy0以x=y=0代人原方程的z=1，再以x=y=0，z=1代入以上两个偏导数方程得

zx|(0,0)1z,|(0,0)0.2 5y然后再对式子两边关于y求导，并将数据代入得：

zxy2|(0,0)325

例2

设uf(x,y,xyz)，函数z(x,y)由方程g(xyzt)dtexyzxyz确定，其中f可微，g连续，求x

解：令vxyztxyzzuxyuy.z则xyg(xyzt)dt.g(z)zxxyg(v)dv，得方程

zxyg(v)dve两边对x求偏导有 得zxyg(xy)yzeg(z)xyexyzyg(x,y)exyzy(zxzx)，xyz.f1f3y(zxzx)又y和x类似，ux代入并整理得：xuxyuyxf1yf2.二、隐函数组微分法 对于多变量多个方程确定的隐函数偏导数的求法，亦如单个方程的情形，有公式法、利用复合函数偏导数的链式法以及全微分的方法。1.公式法

定理

设隐函数组方程（1）F(x0F(x,y,u,v)0G(x,y,u,v)0满足，初始条件；

F,G以及它们的,y0,u0,v0)0,G(x0,y0,u0,v0)0（2）在P(x0,y0,u0,v0)0的某邻域内，函数各个偏导数皆连续；（3）J(F,G)(u,v)在点P0不等于零。

则在点P0的某邻域内，由方程组唯一的确定了两个二元隐函数

uu(x,y),vv(x,y)

并且u(x,y),v(x,y)连续可偏导，求导公式为

1(F,G)J(x,v)1(F,G)J(y,v)uxuy，vxvy1(F,G)J(u,x)1(F,G)J(u,y)。2.复合函数链式法则的应用

对方程组的两边关于x，y分别求偏导数的方法，视u和v为x，y的函数。

FxFuuxFvvx0 GGuGv0uxvxx我们在解题时只要掌握了其中的数学思想，就不必死记硬背某些公式，这样才减轻负担的同时反而提高了学习效率。

3.全微分法

对方程组的两边求微分，利用微分的形式不变性，得到

FuduFvdvFxdxFydy0 GuduGvdvGxdxGydy0这是一种单纯的不易出错的方法，同时采用这种方法也很普遍。

下面对这三种方法举例子： 例

huf(x,y)设函数u(x)是由方程组g(x,y,z)0h(x,z)00,gy0,求dudx.所确定，且

z

分析

方程组含有三个方程，四个变量x、y、z、u，故应该有一个是自由变量。可选取x作为自变量，y、z、u皆是x的一元函数，这样，求导数或是偏导数时才不易出错。解一 对g(x,y,z)0h(x,z)0两边关于x求导数，视yy(x),zz(x),得

gxgyygzz0 hhz0xz解出

uxfxgxfygygzfyhxgyhz。

解二

原方程组求全微分

dufxdxfydygxdxgydygzdz0 hxdxhzdz0一样能够得出结论。

将两种方法做一个比较，不难看出，利用全微分方法简便易行。

例 若u(x,y)的二阶导数存在，证明u(x,y)条件是uuxy2f(x)g(y)的充要

uuxy

（清华大学）

注：方法独特 令vux，原方程化为uvyuy0

vyvuy。

uvu2等价化为即

vv0,知1(x)uyulnux

凑微分得 解得

从而

1(x)

lnu1(x)dx2(y)

uf(x)g(y)。

4.多元函数的极值 极值的定义

若在(x0,y0)的某空心邻域内恒f(x,y)f(x0,y0)(或(f(x0,y0))

则称f(x,y)在(x0,y0)取到极大值或是极小值，对于自变量的取值有附加条件的极值称为条件极值。2 极值存在的必要条件

设zf(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在(x0,y0)处有极值，,y0)0，令 则必有fx(x0,y0)0，f(xy0(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，(x0,y0)，BfyxAfxx则：（1）（2）B2A20时，(x0,y0)不是极值点； B2A20时，(x0,y0)为极值点，当

A<0时，为极大值点；当A>0时，为极小值点。

注：求极值的基本步骤：先解方程组f(x,y)0,f(x,y)0,所有

xy驻点；对每一个驻点(x0,y0)，求A,B,C的值；由B2AC的符号确定是否为极值点，由A的符号确定是极大值点还是极小值点。条件极值 函数zf(x,y)在条件(x,y)0下的极值成为条件极值。求

条件极值的常用方法是拉格朗日数乘法：先构造辅助函数

F(x,y)f(x,y)(x,y)，(x,y),Fxfx(x,y)x再解方程组Fyfy(x,y)y(x,y)，F(x,y)0,得x，y以及，则其中x，y，就是可能极值点的坐标。类似可求函数uf(x,y,z)在条件(x,y,z)0下的可能极值点。多元函数的最大值、最小值及其简单应用

闭区域上连续多元函数的最大值就是区域内部的极大值和边界上的条件下的极大值中的最大的数，它可能在区域内部或边界上达到。对于实际问题一般根据实际背景来确定是否取最大值，最小值也一样。例

设曲面

x2a2yb22zc221在点P(x,y,z)处使在该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小；并说明函数uaxbycz222在点（1,1,1）处沿向量OP上的方向导数是否是该函数在改点处的方向导数的最大值。【解】曲面

x2a2yb22zc221在P(x,y,z)处的法向量为(xa2,yb2,zc2)，在P处的切平面方程为

xa2(Xx)yb2(Yy)zc2(Zz)0，所以，切平面在x,y,z轴上的截距分别是与三个坐标面所围成的四面体的体积为V1abc6xyz222a2x,b2y2,c2z，于是，切平面

1abc6xyz22，即求条件极值的问题，作F(x,y,z,)(xa22yb22zc221)，求解方程组

FxFyFzF0,0,0,0.解方程并结合实际问题知,当P为(a3b3uyc3a3,b3,c31)时，体积最小。

向量OP=(ux，)的单位向量为

uy(1,1,1)abc222(a,b,c)，又

2a;(1,1,1)2b;(1,1,1)2c;

所以，所求方向的方向导数是2(a2b2c2)，求出u的梯度可知u在(1,1,1)处OP的方向导数是u在点（1,1,1）处的方向导数的最大值。

空间曲线的切线与法平面（略）；

*本章的难点偏微分方程的综合题，其中往往要用到字符的代换

【例1】 设函数f(u)有二阶连续导数且zzx22f(ecosx)y满足

zy22e2yz,zx21,zxx20，求f(u)。

【解】 由复合函数的求导链导法则，可得

zxzyf(u)e(sinx),yzx222yf(u)esin22yxf(u)ecosx，f(u)ecosx,yzx222y22yf(u)ecosxf(u)ecosx，所以

zx22z2z2y2y22yf(u)e.又

zx22f(u)e2y.所以 f(u)f(u).这是一个二阶常系数线性微分方程，解此方程得

f(u)C1eC2euu.将初值条件代入得

C1C212，uu故

f(u)0.5(ee).【例2】设uu(ux22xy)具有连续二阶偏导数，且满足

22uy221u22uxy, xx试求函数u的表达式.【解】 令ruxxy22，则 u变为了只和r有关的因变量。

xdu, rdrux2221duxdu223rrrdrrdr1duydu223rrrdrrdry2x2u22，uy2u22代入原方程，即得

dudrur.2再解二阶常系数线性微分方程方程，得

uC1cosxyC2sin22xyxy2.2222其中C1,C2是任意常数。

第三篇：工程电磁场的作业总结

个人总结

工程电磁场计算是电气专业的公共必修课程，对于我们电气专业的研究生而言，其重要意义不言而喻。今年的下学期在由邹玲老师教授的这门课程中，通过老师细心的讲解和独具一格的授课方式，我个人的收获匪浅并获得了巨大的理论知识飞跃和能力提升。

首先，我重新梳理了个人对于这门课程的认识。以往对于工程电磁场这门课程的理解仅仅局限于在电工理论的小圈子里面，对于电磁场的概念简单的认为是对于电路的一个微观视角。其中所了解的知识点也不过是静电场中的库伦定律、高斯定律已经安培环路定律，以及在高中物理学中所涉及到的电磁感应定律和洛伦兹力。总之以前的认识都是一些辅助于电路知识中的如何微观的算电流、电压，或者辅助于力学问题中的如何算受力的应用。而在本学期的课程中，我清醒的认识到电磁场不仅仅是用于辅助研究宏观的电路和力学问题，而是更加严谨的解释这些问题。我的理论知识从简单的静电场过度到了整个电场强度及分布问题的分析上来。通过数学的工具：积分和旋度。我了解到了麦克斯韦方程式，以及欧拉变换。进而通过麦克斯韦方程结合计算机知识来解决遇到的电场分布的问题。

其次，通过课堂授课和课下作业报告的方式，我进一步了解到了完成一件即使是非常普通的工程中也必不可少的艰辛。在我这一组的自动剖分的作业中，我担任了手算对比的工作，对于个人而言，计算的数据虽然不大，但是要计算好每个数值和顺序却是比较繁琐的。同样，我的同组成员中，其中2名同学进行基础理论的讲解，余下4名同学自己或者通过借鉴或者自创程序来运行完成要求任务，他们的工作量也都非常巨大，充满挑战。在上台演讲期间我们多次商定如何安排每一步工作流程，期间合作中每个人的交流能力和协作水平都有极大的提升。我们作为一个团队，工作中能细致安排每个人的任务细节，流程上能做到衔接得当毫无违和感，表达上能做到通俗易懂，这些都是我们在不断锻炼和磨砺中成长的表现。最后，不得不感谢邹玲老师的悉心教导和其他组同学的热心支持，我们在完成任务期间向各位的问题求教和咨询中，各位能够在百忙中抽出空闲对我们进行帮忙斧正和指导，这就是对我们的最大鼓励。

第四篇：高考物理电磁感应易错题

电磁感应

[内容和方法]

本单元内容包括电磁感应现象、自感现象、感应电动势、磁通量的变化率等基本概念，以及法拉第电磁感应定律、楞次定律、右手定则等规律。

本单元涉及到的基本方法，要求能够从空间想象的角度理解法拉第电磁感应定律。用画图的方法将题目中所叙述的电磁感应现象表示出来。能够将电磁感应现象的实际问题抽象成直流电路的问题；能够用能量转化和守恒的观点分析解决电磁感应问题；会用图象表示电磁感应的物理过程，也能够识别电磁感应问题的图像。

[例题分析]

在本单元知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：概念理解不准确；空间想象出现错误；运用楞次定量和法拉第电磁感应定律时，操作步骤不规范；不会运用图像法来研究处理，综合运用电路知识时将等效电路图画错。

例1在图11－1中，CDEF为闭合线圈，AB为电阻丝。当滑动变阻器的滑动头向下滑动时，线圈CDEF中的感应电流在G处产生的磁感强度的方向是“·”时，电源的哪一端是正极？

【错解分析】错解：当变阻器的滑动头在最上端时，电阻丝AB因被短路而无电流通过。由此可知，滑动头下移时，流过AB中的电流是增加的。当线圈CDEF中的电流在G处产生的磁感强度的方向是“·”时，由楞次定律可知AB中逐渐增加的电流在G处产生的磁感强度的方向是“×”，再由右手定则可知，AB中的电流方向是从A流向B，从而判定电源的上端为正极。

楞次定律中“感生电流的磁场总是要阻碍引起感生电流的磁通量的变化”，所述的“磁通量”是指穿过线圈内部磁感线的条数，因此判断感应电流方向的位置一般应该选在线圈的内部。

【正确解答】

当线圈CDEF中的感应电流在G处产生的磁感强度的方向是“·”时，它在线圈内部产生磁感强度方向应是“×”，AB中增强的电流在线圈内部产生的磁感强度方向是“·”，所以，AB中电流的方向是由B流向A，故电源的下端为正极。

【小结】

同学们往往认为力学中有确定研究对象的问题，忽略了电学中也有选择研究对象的问题。学习中应该注意这些研究方法上的共同点。

例2长为a宽为b的矩形线圈，在磁感强度为B的匀强磁场中垂直于磁场的OO′轴以恒定的角速度ω旋转，设t= 0时，线圈平面与磁场方向平行，则此时的磁通量和磁通量的变化率分别是 [ ]

【错解分析】t=0时，线圈平面与磁场平行、磁通量为零，对应的磁通量的变化率也为零，选A。

磁通量Φ=BS⊥BS（S⊥是线圈垂直磁场的面积），磁通量的变化ΔΦ=Φ2－Φ1，两者的物理意义截然不同，不能理解为磁通量为零，磁通量的变化率也为零。

【正确解答】

实际上，线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴转动时，产生交变电动势e=εBabωcosωt。

当

t=0

时，cos

ω

t=

1，虽

然

mcosω

t = 量

磁通

可知当电动势为最大值时，对应的磁通量的变化率也最大，即

【小结】

弄清概念之间的联系和区别，是正确解题的前提条件。在电磁感应中要弄清磁通量Φ、磁通量的变化ΔΦ以及磁通量的变化率ΔΦ/Δt之间的联系和区别。

例3一个共有10匝的闭合矩形线圈，总电阻为10Ω、面积为0.04m2，置于水平面上。若线框内的磁感强度在0.02s内，由垂直纸面向里，从1.6T均匀减少到零，再反向均匀增加到2.4T。则在此时间内，线圈内导线中的感应电流大小为______A，从上向下俯视，线圈中电流的方向为______时针方向。

【错解分析】错解：由于磁感强度均匀变化，使得闭合线圈中产生感应电流，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势

根据楞次定律，开始时原磁场方向垂直纸面向里，而且是均匀减少的。那么感应电流产生的磁场的方向应该与原磁场方向相同，仍然向里。再根据安培定则判断感应电流的方向为顺时针方向。同理，既然原磁场均匀减少产生的感应电流的方向为顺时针方向。那么，原磁场均匀增加时，产生的感应电流的方向必然是逆时针方向。

由于磁场的变化，而产生感应电动势，根据法拉第电磁感应定律

矢量差。在0.02s内磁场的方向发生了一次反向。设垂直纸面向里为正方向，ΔB=B2-（-B1）=B2+Bl

【正确解答】

根据法拉第电磁感应定律

根据楞次定律，磁感强度B从B1开始均匀减少到零的过程中，感应电流的磁场阻碍原磁通的减少，与原磁通的方向同向，感应电流的方向是顺时针的。接着磁感强度B从零开始反方向均均匀增加到B2，这个过程中，穿过闭合线圈的磁通量反方向增加，感应电流的磁场要阻碍原磁场的增加，其方向是垂直纸面向里，再根据安培定则判断感应电流的方向仍然是顺时针的。

【小结】

应用楞次定律时，特别要注意感应电流的磁场阻碍的是引起感应电流的磁通量的变化。不能把“阻碍变化”简单地理解为原磁场均匀减少，电流就是顺时针，原磁场均匀增加，感应电流就是逆时针。应用楞次定律解题要先判断原磁通的方向及其变化趋势，再用“阻碍变化”的原则来判断感应电流的磁场的方向，最后用右手定则来判断感应电流的方向。

例4如图11－2所示，以边长为50cm的正方形导线框，放置在B=0.40T的匀强磁场中。已知磁场方向与水平方向成37°角，线框电阻为0.10Ω，求线框绕其一边从水平方向转至竖直方向的过程中通过导线横截面积的电量。

【错解分析】错解：线框在水平位置时穿过线框的磁通量

Φ1=BScos53°=6.0×10-2Wb

线框转至竖直位置时，穿过线框的磁通量Φ2=BScos37°=8.0×10-8（Wb）

这个过程中的平均电动势

通过导线横截面的电量

磁通量Φ1=BScosθ，公式中θ是线圈所在平面的法线与磁感线方向的夹角。若θ＜90°时，Φ为正，θ＞90°时，Φ为负，所以磁通量Φ有正负之分，即在线框转动至框平面与B方向平行时，电流方向有一个转变过程。错解就是忽略了磁通量的正负而导致错误。

【正确解答】

设线框在水平位置时法线（图11－2中）n方向向上，穿过线框的磁通量 Φ1=BScos53°=6.0×10-2Wb

当线框转至竖直位置时，线框平面的法线方向水平向右，与磁感线夹角θ=143°，穿过线框的磁通量Φ1=BScos143°=-8.0×10-2Wb

通过导线横截面的电量

【小结】

通过画图判断磁通量的正负，然后在计算磁通量的变化时考虑磁通量的正负才能避免出现错误。

例5如图11－3所示，在跟匀强磁场垂直的平面内放置一个折成锐角的裸导线MON，∠MON=α。在它上面搁置另一根与ON垂直的导线PQ，PQ紧贴MO，ON并以平行于ON的速度V，从顶角O开始向右匀速滑动，设裸导线单位长度的电阻为R0，磁感强度为B，求回路中的感应电流。

【错解分析】错解：设PQ从顶角O开始向右运动的时间为Δt，Ob=v·Δt，ab=v·Δ·tgα，要求的电动势的瞬时值。因为电阻（1＋cosα

不是我们＋sinα）

由于两者不对应，结果就不可能正确。

【正确解答】

设PQ从顶角O开始向右运动的时间为Δt，Ob=v·Δt，ab＝v·Δ

回路中ε=Blv=B·ab·v=Bv2·Δt·tgα。回路中感应电流

时间增大，产生的感应电动势不是恒量。避免出错的办法是先判断感应电动势的特征，根据具体情况决定用瞬时值的表达式求解。

例6 如图11－4所示，竖直平面内有足够长的金属导轨，轨距0.2m，金属导体ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4Ω，导轨电阻不计，导轨ab的质量为0.2g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁应强度为0.2T，且磁场区域足够大，当ab导体自由下落0.4s时，突然接通电键K，则：（1）试说出K接通后，ab导体的运动情况。（2）ab导体匀速下落的速度是多少？（g取10m/s2）

【错解分析】错解：

（1）K闭合后，ab受到竖直向下的重力和竖直向上的安培力作用。合力竖直向下，ab仍处于竖直向下的加速运动状态。随着向下速度的增大，安培力增大，ab受竖直向下的合力减小，直至减为0时，ab处于匀速竖直下落状态。

（2）略。

上述对（l）的解法是受平常做题时总有安培力小于重力的影响，没有对初速度和加速度之间的关系做认真的分析。不善于采用定量计算的方法分析问题。

【正确解答】

（1）闭合K之前导体自由下落的末速度为v0=gt=4（m/s）

K闭合瞬间，导体产生感应电动势，回路中产生感应电流。ab立即受到一个竖直向上的安培力。

此刻导体棒所受到合力的方向竖直向上，与初速度方向相反，加速

所以，ab做竖直向下的加速度逐渐减小的变减速运动。当速度减小至F安=mg时，ab做竖直向下的匀速运动。

【小结】

本题的最大的特点是电磁学知识与力学知识相结合。这类的综合题本质上是一道力学题，只不过在受力上多了一个感应电流受到的安培力。分析问题的基本思路还是力学解题的那些规矩。在运用牛顿第二定律与运动学结合解题时，分析加速度与初速度的关系是解题的最关键的第一步。因为加速度与初速度的关系决定了物体的运动。

例7 如图11－5所示，水平导轨的电阻忽略不计，金属棒ab和cd的电阻多别为Rab和Rcd，且Rab＞Rcd，处于匀强磁场中。金属棒cd在力F的作用下向右匀速运动。ab在外力作用下处于静止状态，下面说法正确的是 [ ]

A．Uab＞Ucd

B．Uab=Ucd

C．Uab＜Ucd

D． 无法判断

【错解分析】错解：因导轨的电阻不计，金属棒ah和cd可以等效为两个电阻串联，而串联电路中，电压的分配跟电阻成正比。因为Rab＞Red，所以Uab＞Ucd，故选A。

cd金属棒在F的作用下，做切割磁感线运动，应视为电源。Ucd为电源的端电压，而不是内电压。所以Ucd≠IRcd，Ucd=ε-IRcd，不能将abcd等效为两个外电阻的串联。

【正确解答】

金属棒在力F的作用下向右作切割磁感线的运动应视为电源，而c、d分别等效为这个电源的正、负极，Ucd是电源两极的路端电压，不是内电压。又因为导轨的电阻忽略不计，因此金属棒ab两端的电压Uab也等于路端电压，即Ucd=Uab，所以正确的答案应选B。

【小结】

电源是将非静电能转换成电能的装置。本题中是通过电磁感应将机械能转化成为电能。cd的作用是电源。ab则是外电路中的电阻。画出等效电路图，如图11-6所示。然后再运用恒定电流的知识进行计算。电磁感应的问题中经常用到这样的化简为直流电路的等效方法。

例8 如图11－7所示装置，导体棒AB，CD在相等的外力作用下，沿着光滑的轨道各朝相反方向以0.lm/s的速度匀速运动。匀强磁场垂直纸面向里，磁感强度B=4T，导体棒有效长度都是L=0.5m，电阻R=0.5Ω，导轨上接有一只R′=1Ω的电阻和平行板电容器，它的两板间距相距1cm，试求：（l）电容器及板间的电场强度的大小和方向；（2）外力F的大小。

【错解分析】

错解一：

导体棒CD在外力作用下，会做切割磁感线运动，产生感应电动势。对导体棒AB在力F的作用下将向右做切割磁感线运动，根据右手定则可以判断出感应电动势方向向上，同理可分析出导体棒CD产生的感生

Uab=0，所以电容器两极板ab上无电压，极板间电场强度为零。

错解二：

求出电容器的电压是求电容器板间的电场强度大小的关键。由图11－7看出电容器的b板，接在CD的C端导体CD在切割磁感线产生感应电动势，C端相当于电源的正极，电容器的a接在AB的A端。导体棒AB在切割磁感线产生感应电动势，A端相当于电源的负极。导体棒AB，CD产生的电动势大小又相同，故有电容器的电压等于一根导体棒产生的感应电动势大小。

UC＝BLv＝4×0.5×0.l=0.2（V）

根据匀强电场场强与电势差的关系

由于b端为正极，a端为负极，所以电场强度的方向为b→a。

错解一：根据右手定则，导体棒AB产生的感应电动势方向向下，导体棒CD产生的感应电动势方向向上。这个分析是对的，但是它们对整个导体回路来说作用是相同的，都使回路产生顺时针的电流，其作用是两个电动势和内阻都相同的电池串联，所以电路中总电动势不能相减，而是应该相加，等效电路图如图11－8所示。

错解二：虽然电容器a板与导体AB的A端是等势点，电容器b板与导体CD的C端是等电势点。但是a板与b板的电势差不等于一根导体棒切割磁感线产生的电动势。a板与b板的电势差应为R′两端的电压。

【正确解答】

导体AB、CD在外力的作用下做切割磁感线运动，使回路中产生感应电流。

电容器两端电压等于R′两端电压UC=

=I

=0.2×1=0.2（V）

回路电流流向D→C→R′→A→B→D。所以，电容器b极电势高于a极电势，故电场强度方向b→a。

【小结】

从得数上看，两种计算的结果相同，但是错解二的思路是错误的，错在电路分析上。避免错误的方法是在解题之前，画出该物理过程的等效电路图，然后用电磁感应求感应电动势，用恒定电流知识求电流、电压和电场知识求场强，最终解决问题。

例9 如图11－9所示，一个U形导体框架，其宽度L=1m，框架所在平面与水平面的夹用α=30°。其电阻可忽略不计。设匀强磁场与U形框架的平面垂直。匀强磁场的磁感强度B＝0.2T。今有一条形导体ab，其质量为m＝0.5kg，有效电阻R=0.1Ω，跨接在U形框架上，并且能无摩擦地滑动，求:

（1）由静止释放导体，导体ab下滑的最大速度vm；

（2）在最大速度vm时，在ab上释放的电功率。（g=10m/s2）。

【错解分析】

错解一：

（1）ab导体下滑过程中受到重力G和框架的支持力N，如图11－10。

根据牛顿第二定律ΣF=ma mgsinα= ma a = gsinα

导体的初速度为V0=0，导体做匀加速直线运动，由运动学公式 v＝v0＋at=5t

随着t的增大，导体的速度v增大vm→∞

由ε=BLv可知

当vm→∞，电功率P→∞

错解二：

当导体所受合力为零时，导体速度达到最大值。

（1）导体ab受G和框架的支持力N，而做加速运动

由牛顿第二定律 mgsin30°= ma a = gsin30°

但是导体从静止开始运动后，就会产生感应电动势，回路中就会有感应电流，感应电流使得导体受到磁场的安培力的作用。设安培力为FA。

随着速度v的增加，加速度a逐渐减小。当a＝0时，速度v有最大值

分析导体ab下滑过程中物理量变化的因果关系是求ab导体下滑最大速度的关键。

错解一：正是由于对电磁现象规律和力与运动的关系理解不够，错误地分析出ab导体在下滑过程中做匀加速运动。实际上，导体ab只要有速度，就会产生感应电动势，感应电流在磁场中受到安培力的作用。安培力随速度的增加而增大，且安培力的方向与速度方向相反，导体做加速度逐渐减小的变加速直线运动。

错解二：的分析过程是正确的，但是把导体下滑时产生的电动势写错了公式，ε=BLvsin30°中30°是错误的。ε=BLvsinθ中的θ角应为磁感强度B与速度v的夹角。本题中θ=90°。

【正确解答】

（1）导体ab受G和框架的支持力N，而做加速运动由牛顿第二定律 mgsin30°= ma a = gsin30°= 5（m/s2）

但是导体从静止开始运动后，就会产生感应电动势，回路中就会有感应电流，感应电流使得导体受到磁场的安培力的作用。设安培力为FA

随着速度v的增加，加速度a逐渐减小。当a=0时，速度v有最大值

（2）在导体ab的速度达到最大值时，电阻上释放的电功率

【小结】 ：物理解题训练同学们的思维能力。本题要求同学从多角度来看问题。从加速度产生的角度看问题。由于导体运动切割磁感线发生电磁感应产生感应电流，感应电流的受力使得导体所受的合力发生改变，进而使导体的加速度发生变化，直到加速度为零。从能量转化和守恒的角度看：当重力做功使导体的动能增加的同时，导体又要切割磁感线发生电磁感应将动能转化为内能。直至重力做功全部转化为回路的内能。

例10用均匀导线弯成正方形闭合金属线框abcd，线框每边长80cm，每边的电阻为0.01Ω。把线框放在磁感强度B=0.05T的匀强磁场中，并使它绕轴OO′以ω=100rad/s的角速度匀角速度旋转，旋转方向如图

（1）每条边产生的感应动势大小；

（2）线框内感应电流的大小；

（3）e，f分别是ab和cd的中点，ef两点间的电势差。

【错解分析】错解：线圈在转动时，只有ab边和cd边作切割磁感线运动，产生感应电动势。

电势的方向向下。

（3）观察fcbe电路

（2）由右手定则可知，线框在图示位置时，ab中感应电动势方向向上，而cd中感应

本题解共有4处错误。第一，由于审题不清没有将每一条边的感应电动势求出，即缺少εad和εbc。即使它们为零，也应表达出来。第二，边长中两部分的的倍数关系与每一部分占总长的几分之几表述不正确。第三，ab边和cd边的感应电动势的方向分别向上、向下。但是它们的关系是电源的串联，都使电路中产生顺时针方向的电流，闭合回路的总电动势应为：εcd+εab，而不是相减。第四，求Uef时，研究电路fcbe，应用闭合电路欧姆定律，内电路中产生电动势的边长只剩下一半，感应电动势也只能是ε

【正确解答】

（1）线框转动时，ab边和cd边没有切割磁感线，所以ε

ad=0,εbc=0。cd/2。

（3）观察fcbe电路

【小结】

没有规矩不能成方圆。解决电磁感应的问题其基本解题步骤是：（1）通过多角度的视图，把磁场的空间分布弄清楚。（2）在求感应电动势时，弄清是求平均电动势还是瞬时电动势，选择合适的公式解题。（3）进行电路计算时要画出等效电路图作电路分析，然后求解。

例11共有100匝的矩形线圈，在磁感强度为0.1T的匀强磁场中以角速度ω=10rad/s绕线圈的中心轴旋转。已知线圈的长边a=20cm，短边b=10cm，线圈总电阻为2Ω。求（1）线圈平面转到什么位置时，线圈受到的电磁力矩最大？最大力矩有多大？（2）线圈平面转到与磁场方向夹角60°时，线圈受到的电磁力矩。

【错解分析】错解：

（l）当线圈平面与磁场方向平行时电磁力矩最大。如图ll－12所示。

磁场对线圈一条边的作用力 F=BIb=0.01N

线圈受到的电磁力矩

（2）若θ=60°时，如图11-13

ε′=NBabωsin60°=1.73V

磁场对线圈一条边的作用力 F′=BI′b=0.00866N

此时线圈受到的电磁力矩

第一问解法是正确的。但第二问出了两点错：公式ε=Blvsinθ中的θ应该是B与v的夹角。错解中把线圈平面与磁场的夹角当作θ

。另一

【正确解答】

磁场对线圈一边的作用力 F′=BI′b=0.005N

此时的力矩

【小结】

依据题意准确地作出线圈在磁场中的速度方向和受力方向是解题的前提。这就是说，逻辑思维是要借助形象来帮忙。

例12 如图11－14所示，一闭合金属圆环用绝缘细线挂于O点，将圆环拉离平衡位置并释放，圆环摆动过程中经过有界的水平匀强磁场区域，A，B为该磁场的竖直边界，若不计空气阻力，则 [ ]

A．圆环向右穿过磁场后，还能摆至原来的高度。

B．在进入和离开磁场时，圆环中均有感应电流

C．圆环进入磁场后离平衡位置越近速度越大，感应电流也越大

D．圆环最终将静止在平衡位置。

【错解分析】错解：如图11－14所示，当圆环从1位置开始下落，进入磁场和摆出磁场时（即2位置和3位置），由于有磁通量变化，圆环上产生感应电流，选项B正确。由于金属圆环自身存在内阻，所以必然有热量产生（既有能量损失）。因此，圆环不会再摆到4位置。选项A错。当圆环进入磁场后，穿过环内的磁通量不再发生变化，无感应电流产生。选项C错误。由于每次通过磁场都有能量损失，所以圆环最终将静止在平衡位置，D选项正确。

物体有惯性，人的思维也有惯性。这个同学对ABC选项的判断是正确的。只有D选项选错了。在圆环穿过磁场时，要发生电磁感应现象造成机械能转化为电能，电能再进一步转化为内能。但是，这位同学忘记分析当圆环仅在匀强磁场内摆动时，穿过圆环内的磁通量还变化吗？导致了选择错误。

【正确解答】

如图11－14所示，当圆环从1位置开始下落，进入磁场时（即2和3位置），由于圆环内磁通量发生变化，所以有感应电流产生。同时，金属圆环本身有内阻，必然有能量的转化，即有能量的损失。因此圆环不会摆到4位置。随着圆环进出磁场，其能量逐渐减少圆环摆动的振幅越来越小。当圆环只在匀强磁场中摆动时，如图11－15所示。圆环内无磁通量的变化，无感应电流产生，无机械能向电能的转化。题意中不存在空气阻力，摆线的拉力垂直于圆环的速度方向，拉力对圆环不做功，所以系统的能量守恒，所以圆环将在AB间来回摆动。

【小结】

电磁感应现象产生的条件是穿过线圈所包围的平面内的磁通量发生

只有回路中有ΔΦ≠0，即当面积S一定时，ΔB≠0，才会有感应电动势，才有感应电流的存在。可见，在分析物理问题时，要严格按照物理规律成立的条件办事。

例13如图11-16所示，直角三角形导线框ABC，处于磁感强度为B的匀强磁场中，线框在纸面上绕B点以匀角速度ω作顺时针方向转动，∠B =60°，∠C=90°，AB=l，求A，C两端的电势差UAC。

【错解分析】错解：把AC投影到AB上，有效长度AC′，根据几何关系（如图11－17），此解错误的原因是：忽略BC，在垂直于AB方向上的投影BC′也切割磁感线产生了电动势，如图11-17所示。

【正确解答】

该题等效电路ABC，如图11－5所示，根据法拉第电磁感应定律，穿过回路ABC的磁通量没有发生变化，所以整个回路的 ε总=0 ①

设AB，BC，AC导体产生的电动势分别为ε

1、ε

2、ε3，电路等效于图11-5，故有 ε总=ε1+ε2+ε3 ②

【小结】

注意虽然回路中的电流为零，但是AB两端有电势差。它相当于两根金属棒并联起来，做切割磁感线运动产生感应电动势而无感应电流。

例14 如图11－19所示，长为6m的导体AB在磁感强度B=0.1T的匀强磁场中，以AB上的一点O为轴，沿着顺时针方向旋转。角速度ω=5rad/s，O点距A端为2m，求AB的电势差。

【错解分析】错解：根据法拉第电磁感应定律 ε=BLv v=ωL ε=BL2ω

断路时导体端电压等于电动势

法拉第电磁感应定律的导出公式ε=BLv是有条件的。它适用于导体平动且速度方向垂直于磁感线方向的特殊情况。不符合本题的转动情况，本题用错了公式。另外判断感应电动势方向上也出现了问题。

【正确解答】

由于法拉第电磁感应定律ε=BLv适用于导体平动且速度方向垂直于磁感线方向的特殊情况。将转动问题转化为平动作等效处理。因为v =ωL，可以用导体中点的速度的平动产生的电动势等效于OB转动切割磁感线产生的感应电动势。

UBO=UB-UO=εBO=4(V)

UAO=UA-UO=εAO=1(V)UAB=UA-UB=(UA-UO)-(UB-UO)=UAO-UBO=1-4=-3(V)

【小结】

本题中的等效是指产生的感应电动势相同。其基础是线速度与角速度和半径成正比。

例15 如图11－20所示，在磁感强度B= 2T的匀强磁场中，有一个半径r=0.5m的金属圆环。圆环所在的平面与磁感线垂直。OA是一个金属棒，它沿着顺时针方向以20rad/s的角速度绕圆心O匀速转动。A端始终与圆环相接触OA棒的电阻R=0.1Ω，图中定值电阻R1=100Ω，R2=4.9Ω，电容器的电容C=100pF。圆环和连接导线的电阻忽略不计，求：

（1）电容器的带电量。哪个极板带正电。

（2）电路中消耗的电功率是多少？

【错解分析】错解：

（1）由于电容器两板间分别接在做切割磁感线导体棒的两端，电容器两端的电压就等于导体OA上产生的感应电动势。

根据右手定则，感应电流的方向由O→A，故电容器下板由于与O相接为正，上极板与A相接为负。

（2）根据闭合电路欧姆定律

电路中消耗的电功率P消=IR=4.9(W)

错解的原因是：

（1）电容器两板虽然与切割磁感线的导体相连，但两板间并不等于导体棒OA产生的感应电动势。因为导体棒有电阻。所以电容器的电压应等于整个回路的端电压。

（2）电路中消耗的功率由于导体棒有电阻，即相当于电源有内阻，所以电路中消耗的功率不仅在外电阻R2上，而且还消耗在内阻R上。P消=I2(R+R2)或根据能量守恒P源=Iε。

2【正确解答】

（l）画出等效电路图，图11－21所示。导体棒OA产生感应电动势

根据右手定则，感应电流的方向由O→A，但导体棒切割磁感线相当于电源，在电源内部电流从电势低处流向电势高处。故A点电势高于O点电势。又由于电容器上板与A点相接即为正极，同理电容器下板由于与O相接为负极。

（2）电路中消耗的电功率P消=I2(R+R2)=5(W)，或P消=Iε=5(W)

例16 如图11－22所示，A，B是两个完全相同的灯泡，L是自感系数较大的线圈，其直流电阻忽略不计。当电键K闭合时，下列说法正确的是 [ ]

A．A比B先亮，然后A熄灭

B．B比A先亮，然后B逐渐变暗，A逐渐变亮

C．AB一齐亮，然后A熄灭

D．A、B一齐亮．然后A逐渐变亮．B的亮度不变

【错解分析】错解：当电键闭合时．A灯与线圈L串联，B灯与R串联后分别并联于电源两端。虽然K闭合瞬间线圈会产生自感，即阻碍通过线圈支路电流的的增加。但A灯与L串联后并联接在电源上。电源两端有电压，就会有电流，所以AB都应该同时亮起来。只是闭合K的瞬间A灯不能达到应有的电流而亮度发暗。K闭合一段时间后两灯达到同样的亮度。所以A灯逐渐变亮，B灯亮度不发生变化，选D。

选择D选项时对自感现象理解不够。在K闭合的瞬间，通过每盏灯的电流到底怎样变化不清楚。

【正确解答】

电键闭合的瞬间，线圈由于自感产生自感电动势，其作用相当于一个电源。这样对整个回路而言相当于两个电源共同作用在同一个回路中。两个电源各自独立产生电流，实际上等于两个电流的叠加。根据上述原理可在电路中标出两个电源各自独立产生的电流的方向。

图11-23a、b是两电源独立产生电流的流向图，C图是合并在一起的电流流向图。由图可知、在A灯处原电流与感应电流反向，故A灯不能立刻亮起来。在B灯处原电流与感应电流同向，实际电流为两者之和，大于原电流。故B灯比正常发光亮（因正常发光时电流就是原电流）。随着自感的减弱，感应电流减弱，A灯的实际电流增大，B灯实际电流减少，A变亮，B灯变暗，直到自感现象消失，两灯以原电流正常发光。应选B。

例17 在如图11－24所示的水平导轨上（摩擦、电阻忽略不计），有竖直向下的匀强磁场，磁感强度B，导轨左端的间距为L1=4L0，右端间距为L2=L0。今在导轨上放置AC，DE两根导体棒，质量分别为m1=2m0，m2=m0，电阻R1=4R0，R2=R0。若AC棒以初速度V0向右运动，求AC棒运动的过程中产生的总焦耳热QAC，以及通过它们的总电量q。

【错解分析】错解：AC棒在磁场力的作用下，做变速运动。运动过程复杂，应从功能关系的角度来分析。由于没有摩擦，最后稳定的状态应为两棒做匀速运动。根据动量守恒定律m1v0=（m1＋m2）v′

整个回路产生的焦耳热

因为R1=4R0，R2=R0。所以AC棒在运动过程中产生的焦耳热

对AC棒应用动量定理：BIL1·△t=m1v′－m1v0

AC棒在磁场力的作用下做变速运动，最后达到运动稳定，两棒都做匀速运动的分析是正确的。但是以此类推认为两棒的运动速度相同是错误的。如果两棒的速度相同则回路中还有磁通量的变化，还会存在感应电动势，感应电流还会受到安培力的作用，AC，DE不可能做匀速运动。

【正确解答】

由于棒L1向右运动，回路中产生电流，Ll受安培力的作用后减速，L2受安培力加速使回路中的电流逐渐减小。只需v1，v2满足一定关系，两棒做匀速运动。

两棒匀速运动时，I=0，即回路的总电动势为零。所以有 BLlv1=BL2v2

再对DE棒应用动量定理BL2I·△t = m2v2

【小结】

以前我们做过类似的题。那道题中的平行轨道间距都是一样的。有一些同学不假思索，把那道题的结论照搬到本题中来，犯了生搬硬套的错误。差异就是矛盾。两道题的差别就在平行导轨的宽度不一样上。如何分析它们之间的差别呢？还是要从基本原理出发。平行轨道间距一样的情况两根导体棒的速度相等，才能使回路中的磁通量的变化为零。本题中如果两根导轨的速度一样，由于平行导轨的宽度不同导致磁通量的变化不为零，仍然会有感应电流产生，两根导体棒还会受到安培力的作用，其中的一根继续减速，另一根继续加速，直到回路中的磁通量的变化为零，才使得两根导体棒做匀速运动。抓住了两道题的差异之所在，问题就会迎刃而解。

例18 如图 11－25所示光滑平行金属轨道abcd，轨道的水平部分bcd处于竖直向上的匀强磁场中，bc部分平行导轨宽度是cd部分的2倍，轨道足够长。将质量相同的金属棒P和Q分别置于轨道的ab段和cd段。P棒位于距水平轨道高为h的地方，放开P棒，使其自由下滑，求P棒和Q棒的最终速度。

【错解分析】错解：

设P，Q棒的质量为m，长度分别为2L和L，磁感强度为B，P棒进入水平轨道的速度为v0，对于P棒，运用机械能守恒定律得

当P棒进入水平轨道后，切割磁感线产生感应电流。P棒受到安培力作用而减速，Q棒受到安培力而加速，Q棒运动后也将产生感应电动势，与P棒感应电动势反向，因此回路中的电流将减小。最终达到匀速运动时，回路的电流为零，所以 εp=εQ

即2BLvp=BLvQ

2vp=vQ

对于P，Q棒，运用动量守恒定律得到 mv0=mvp+mvQ

错解中对P，Q的运动过程分析是正确的，但在最后求速度时运用动量守恒定律出现错误。因为当P，Q在水平轨道上运动时，它们所受到的合力并不为零。Fp=2BIL，FQ=BIL（设I为回路中的电流），因此P，Q组成的系统动量不守恒。

【正确解答】

设P棒从进入水平轨道开始到速度稳定所用的时间为△t，P，Q

对PQ分别应用动量定理得

【小结】

运用动量守恒定律和机械能守恒定律之前，要判断题目所给的过程是否满足守恒的条件。动量守恒的条件是：系统所受的合外力为零，或者是在某一方向上所受的合外力为零，则系统在该方向上动量的分量守恒。

第五篇：高二物理家教教案_电磁感应

xxx专用 高二年级物理第1次课

高二年级物理----电磁感应

一． 考点热点回顾．

发现电生磁的科学家是（）

发现磁生电的科学家是（）电磁感应现象：

(1)电磁感应现象：闭合电路中的一部分导体做切割磁感线运动，电路中产生感应电流。

(2)感应电流：在电磁感应现象中产生的电流。

产生感应电流的条件

感应电流产生的条件是：穿过闭合电路的磁通量发生变化。

以上表述是充分必要条件。不论什么情况，只要满足电路闭合和磁通量发生变化这两个条件，就必然产生感应电流；反之，只要产生了感应电流，那么电路一定是闭合的，穿过该电路的磁通量也一定发生了变化。

磁通量的定义

设在匀强磁场中有一个与磁场方向垂直的平面，磁场的磁感应强度为B，平面的面积为S。

(1)定义：在匀强磁场中，磁感应强B与垂直磁场方向的面积S的乘积，叫做穿过这个面的磁通量。

(2)公式：Φ=BS

当平面与磁场方向不垂直时： Φ=BS⊥=BScosθ（θ为两个平面的二面角）(3)物理意义

穿过某个面的磁感线条数表示穿过这个面的磁通量。

(4)单位：在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯，简称韦，符号是Wb。1Wb=1T·1m2=1V·s。关于磁通量变化

在匀强磁场中，磁通量Φ=BSsinα（α是B与S的夹角），磁通量的变化ΔΦ=Φ2-Φ1有多种形式，主要有：

①S、α不变，B改变，这时ΔΦ=ΔBSsinα ②B、α不变，S改变，这时ΔΦ=ΔSBsinα

③B、S不变，α改变，这时ΔΦ=BS(sinα2-sinα1)

感应电动势

定义：在电磁感应现象中产生的电动势，叫做感应电动势。方向是由低电势指向高电势。

感应电动势产生的条件是：穿过电路的磁通量发生变化。

这里不要求闭合。无论电路闭合与否，只要磁通量变化了，就一定有感应电动势产生。这好比一个电源：不论外电路是否闭合，电动势总是存在的。但只有当外电路闭合时，电路中才会有电流。

物理意义：感应电动势是反映电磁感应现象本质的物理量。xxx专用 高二年级物理第1次课

楞次定律

1、内容：感应电流具有这样的方向，就是感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化．

在应用楞次定律时一定要注意：“阻碍”不等于“反向”；“阻碍”不是“阻止”。

A、从“阻碍磁通量变化”的角度来看，无论什么原因，只要使穿过电路的磁通量发生了变化，就一定有感应电动势产生。

B、从“阻碍相对运动”的角度来看，楞次定律的这个结论可以用能量守恒来解释：既然有感应电流产生，就有其它能转化为电能。又由于感应电流是由相对运动引起的，所以只能是机械能转化为电能，因此机械能减少。磁场力对物体做负功，是阻力，表现出的现象就是“阻碍”相对运动。

C、从“阻碍自身电流变化”的角度来看，就是自感现象。自感现象中产生的自感电动势总是阻碍自身电流的变化。

2、实质：能量的转化与守恒．

3、应用：对阻碍的理解：（1）顺口溜“你增我反，你减我同”（2）顺口溜“你退我进，你进我退”即阻碍相对运动的意思。“你增我反”的意思是如果磁通量增加，则感应电流的磁场方向与原来的磁场方向相反。“你减我同”的意思是如果磁通量减小，则感应电流的磁场方向与原来的磁场方向相同。用以判断感应电流的方向，其步骤如下：

1）确定穿过闭合电路的原磁场方向；

2）确定穿过闭合电路的磁通量是如何变化的（增大还是减小）； 3）根据楞次定律，确定闭合回路中感应电流的磁场方向； 4）应用安培定则，确定感应电流的方向．

二．典型例题+拓展训练

一）、典型例题

例1： 发电的基本原理是电磁感应。发现电磁感应现象的科学家是（）

A．安培 B．赫兹 C．法拉第 D．麦克斯韦

例2： 发现电流磁效应现象的科学家是________，发现通电导线在磁场中受力规律的科学家是________，发现电磁感应现象的科学家是_______，发现电荷间相互作用力规律的的科学家是________。

例3： 下列现象中属于电磁感应现象的是（）

A．磁场对电流产生力的作用 B．变化的磁场使闭合电路中产生电流 C．插在通电螺线管中的软铁棒被磁化 D．电流周围产生磁场

知识测试：

1．关于电磁感应，以下说法正确的是（）

A．只要磁通量发生变化就会产生感应电流

B．导体做切割磁感线运动时，导体两端会产生电压 C．感应电流的产生是因为静电力做了功 D．发生电磁感应，外界不需要提供能量 xxx专用 高二年级物理第1次课

2．插有铁芯的线圈直立在水平桌面上，铁芯上套一铝环，线圈与电源、开关相连，如图所示．闭合开关的瞬间，铝环跳起一定高度．若保持开关闭合，下面哪一个现象是正确的？（）

A．停在这一高度，直到断开开关再回落 B．不断升高，直到断开开关再停止上升 C．回落，断开开关时铝环不再跳起 D．回落，断开开关时铝环再次跳起

3．用如图所示的实验装置研究电磁感应现象．当有电流从电流表的正极流入时，指针向右偏转．下列说法哪些是正确的：（）

A．当把磁铁N极向下插入线圈时，电流表指针向左偏转 B．当把磁铁N极从线圈中拔出时，电流表指针向左偏转 C．保持磁铁在线圈中静止，电流表指针不发生偏转

D．磁铁插入线圈后，将磁铁和线圈一起以同一速度向上运动，电流表指针向左偏． 4．下列实验现象，属于电磁感应现象的是（）

A．导线通电后，其下方的小磁针偏转

B．通电导线AB在磁场中运动

C．金属杆切割磁感线时，电流表指针偏转 xxx专用 高二年级物理第1次课

D．通电线圈在磁场中转动

5．下列说法正确的是（）

A．磁感应强度是矢量，它的方向与通电导线在磁场中的受力方向相同 B．磁通量是矢量，其单位是韦伯（Wb）

C．奥斯特发现了电流磁效应，法拉第发现了电磁感应现象 D．通电导线所受磁场力为0，该处磁感应强度一定为0

三．总结：

课后练习：