郭永红——高中数学解题教学中的变式训练研究

第一篇：郭永红——高中数学解题教学中的变式训练研究

高中数学解题教学中的变式训练研究

甘肃省正宁县第一中学郭永红745300***

摘要：对于高中阶段而言，数学学科的学习具有一定难度，高中数学教师在对学生解题能力方面进行训练时，需要对传统训练方式进行调整，避免通过题海战术等对学生进行训练；变式训练的方法可以对传统解题教学中存在的不足进行改变，并且可以使学生解题训练效果明显提高，为学生减轻压力的同时可以使学生的成绩得到提高，因此已经被我国广大一线教师广泛的应用在教学过程中。关键词：高中；数学；解题教学；变式训练；研究

若想使学生数学学科的成绩得到提高，需要对学生解题能力等方面进行训练，因此高中教师在以往的解题教学中通过为学生布置大量的习题锻炼学生的解题能力，然而这种做法不但无法取得很好的效果，同时也会浪费学生的时间及精力，基于此，教师将变式训练的方法应用到教学工作中，使学生的思维能力得到了很好的锻炼，最终使解题教学达到应有效果。

一、变式训练方法

通过对原有题目内容进行形式的改变，为题目添加一些干扰因素等即为变式题目的设置过程，学生在进行解题时需要对无用的干扰信息进行过滤，从而对问题的本质进行了解并加以分析，最终完成对排除干扰信息后的标准题解答，下面将对训练方法方面内容进行分析：

（一）变式训练中对题设不做过多变动，对问题进行调整

教师利用变式训练对学生解题能力进行训练时，可以不对题设内容做过多变动，仅对问题进行调整，例如，教师为学生布置例题中，给出椭圆方程，然后可以对提出的问题进行调整：第一，根据椭圆方程这一已知条件，让学生求一个点M与F1及F2两个焦点形成的连线成90度；第二，在椭圆方程这一条件未做改动的基础上，对问题进行改进，将问题改变为：当F1MF2大于90度，M点的横坐标所在的区间为？第二点中问题的改变在一定程度上受到了第一点的启发，将直角作为参照，教师在对学生进行解题教学时，可以向学生讲授很多解题方法，其中几何法是比较容易掌握且比较简单的一种；教师通过对学生的变式训练可以使学生对问题中的相关知识进行总结，为解题方面提供更多思路。

除此之外，教师可以对问题进行进一步的延伸，例如在椭圆方程中，将某一

x2y2数值进行调整，但是保证题设的背景未做过多变动，比如将1中的a

ab进行改变，变为n2+1，在原题目中教师要求学生进行坐标的求解，而在变式后教师可以要求学生对n的取值进行求解；教师对学生进行该题目的解题教学变式训练时，可以对学生进行指导，使学生对两者解题方法的统一性进行了解和掌握，保持M与两焦点形成的直线成90度即可求出问题的答案；教师可以使学生加入到问题的编制过程中，对问题的本质不做改动，仅仅改变设问，并且在题目中增加干扰因素使问题难度系数得到提高，最终完成编写工作，而学生通过参与这一过程也会对变式训练、解题技巧等方面有更好的把握，提高学生解题能力。

（二）应用变式训练时将题设与问题都进行一定程度的调整

在上一点中笔者对椭圆相关问题的解题教学进行分析，在保证题设未变的基础上仅对问题进行调整，除上述改动方法外，人们可以对题设进行调整，例如将椭圆变为双曲线，求双曲线上存在一点M，并且M与两焦点形成的直线互成90度角，将问题设置成M点与x轴相距多少？在该类变式训练中，教师在学生原本掌握知识的基础上对问题及解法方面进行分析，使学生的思维能力得到更多锻炼，使学生的潜力被充分发挥；通过解题教学中的变式训练，学生的学习习惯以及探究能力等方面得到锻炼，最终使学生的解题能力及学习成绩得到明显提高。

（三）变式训练中在不改变本质的情况下对表达方式进行调整

高中数学教师在对学生进行解题教学时，可以通过变式训练的方式对学生解题能力进行训练，教师可以对题目中的知识背景不做过多变动，对表达方面的文字描述内容进行调整，下面将就这一方面内容进行举例说明：

存在两个已知点A（-5,0）以及B（3,0），如果存在一个移动的点M（x,y）与两个定点形成的AMB维持在90度，那么M点的轨迹方程是什么？

第一种变式：经过A（-5,0）的动态直线与经过B（3,0）动态直线之间形成90度的直角关系，那么垂足M轨迹为？

第二种变式：存在两个已知点A（-5,0）以及B（3,0），如果存在一个移动的点M（x,y）符合MAMB的关系，那么M轨迹为？

学生需要在变式训练中进行思考，看穿变式及原题之间的本质是相同的，仅仅在表达方面存在一定差异；学生需要将干扰因素进行过滤，了解到以AB作直径的圆即为M点的运行轨迹；在第二个变式中教师可以指导学生使用不同的方式进行求解，从而使学生更好的将知识进行结合，对思维能力方面进行培养，使学生可以利用活跃的思维进行问题的思考；变式训练可以使学生的潜力被最大程度的激发出来，最终使学生创新能力有所提高，使解题教学的效果大幅度提升。结束语：

综上所述，高中教师在对学生进行数学解题方面的教学时，可以通过变式训练等手段对学生进行解题能力的培养，以变式训练取代原有题海战术可以使学生的压力减小，并且可以达到事半功倍的训练效果，使学生的成绩得到提高；本文对变式训练的相关内容进行分析研究，希望相关教学工作者可以对文中内容进行借鉴，使学生的解题能力、思维能力等多方面得到提高，达到解题教学目标。参考文献：

[1]杨江.变式训练在高中数学解题教学中的应用[J].高中数理化,2013(18):25.[2]卡米奴·奴苏甫阿肯.重视高中数学解题教学中的变式训练[J].都市家教（下半月）,2014(9):39-39.[3]陈桂凤.高中数学解题教学中的变式训练分析[J].中外交流,2016(2):282-282.

第二篇：基于数学解题的变式教学之研究

基于数学解题的变式教学之研究

数学，是一门自然学科。大多数学生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。“怎样才能学好数学？”成了大家关心的问题。面对这个问题，很多教育工作者认为要多做题，认为题目做多了自然“熟能生巧”，但是，笔者认为题目是做不完的，要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。在数学教学过程中，通过利用一切有利条件，适时进行对比、联想、拓展延伸，采取一题多解、一题多变和多题一解等形式进行教学，有助于学生拓宽解题思路，建构知识网络；有助于学生发展思维能力，构建数学方法；有助于学生提高了分析问题、解决问题的能力，形成数学思想。下面结合自己的教学实例，就变式教学中遵循的几个原则，谈谈笔者的几点体会：

第三篇：浅析高中数学教学中解题反思教学

浅析高中数学教学中解题反思教学

【摘要】 解题教学是中学数学课堂教学的重要组成部分，可以说，数学课上几乎每节课都涉及到解题教学，对数学概念、定理、公理、法则等的考查也是落实到解题上，而解题反思是提高学生数学解题能力的重要方式，也是整个数学学习过程的重要环节。根据数学解题教学现状和教学实践表明，引导反思是必要和可行的。那么，在我们摒弃了“题海”战术，大力倡导“以学生为中心”的主体性教学时，就更应该注意解题教学的艺术，从而收到“事半功倍”的效果。【关键词】 高中数学;解题教学;反思能力;思维发展 1 数学反思的基本内涵

“顾名思义”,“思”是指“心”上有块“田”，那么，“反思”就是指“田上有颗“心”。不断地“反思”就是指在“心田”上长出更多的“心”。这样，“心心之火就会燃为燎原之势，创新的实质就是要不断地创“心”（反思）。

“扪心自问”、“反求诸己”,这些耳熟能详的成语都反映了古人的“反思”意识。费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”。波利亚说，“如果没有了反思，他们就遗漏了解题中一个重要而且有效的阶段，通过回顾完整的解答，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力”。曹才翰先生认为“培养学生对学习过程进行反思的习惯，提高学生的思维自我评价水平，这是提高学习效率、培养数学能力的行之有效的方法”。

《普通高中数学课程标准》则把“反思”这一教学理念提到了应有的高度：“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历„„反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断”。“评价应关注学生能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法”。标准的这一提出,要求学生在平时学习中有学后反思的意识及能力。而这恰是我们所要提倡和引导的。

解题反思能力是对解题活动的反思，主要包括对题意理解的反思、试题涉及知识点的反思、解题思路形成的反思、解题规律的反思、解题结果表述的反思及解题失误的反思。从一个新的角度多层次、多方面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考，从而深化对问题的理解、优化思维过程、揭示问题本质、探索一般规律、沟通新旧知识间的迁移、深化对知识的理解。2 培养解题反思能力的重要性

数学教学的一个很重要的任务，就是教学生如何解数学题，教会学生“数学地思维”。学数学，就要解数学题，数学解题学习对学生巩固知识、培养素质、发展能力都有极其重要的意义。学生数学解题能力并非通过传授获得的，而是通过培养而逐步发展的。它是一项复杂的系统工程。我认为在要求学生解题时，应鼓励学生自我探索，发现规律，不断鼓励学生对讲评内容，尤其是自己出错的知识点进行“二次思维”。加深学生对该知识的印象，避免重蹈覆辙。因此，学生在解题中要具备反思的能力和养成反思的习惯，经常进行自我诊断和反思，引导学生反思是有效提高解题效率的重要措施。3 培养解题反思能力的途径

目前数学教学最薄弱的正是数学的反思性学习这一环节，而它又是数学学习活动中的最要的环节，由于数学对象的抽象性，数学活动的探索性，数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了高中生必须要经过多次反复思考，深入研究，自我调整，即坚持反思性数学学习，才可能洞察数学活动的本质特征。笔者在新教材的教学实践中觉得有以下途径可以实施反思。

3.1尝试错误，反思纠正

现代心理学表明：好奇心、求知欲和创造力是紧密相连的。笔者在平时的解题教学过程中，采用正误对比,设置陷阱的方法，引导学生参与，让他们自己发现暴露出的问题，诱发学生的好奇心，引导学生去反思问题的根源，看清问题的实质，寻求解决问题的方法。

122232n2lim3nn案例1：试计算：

同学甲：先除下来，再拆成和的形式就行了。

即：原式=nlim123limn+n2lim3n+n2n2n3=0+0+0=0 这一回答并没有引起任何争议，大家表现的很平静，问题似乎圆满的完成了，平静的湖面没有泛起一点涟漪，此时，我突然提出“既然甲同学先除再求和，要是先求和再除，结果一样吗？”看到同学一个个很狐疑,很快同学乙回答道: 原式=nlim1n(n1)(2n1)11116(1)(2)lim3nnn=3 =n6一石激起千层浪,大家发现上述两个同学的解法中,甲同学用的是“和的极限等于极限的和”的运算法则，而乙同学是对已知数列进行求和再求极限，似乎都没什么问题，但结果不同,说明两种解法中至少有一种解法是错误的，这一对比势必引起学生的好奇，反思，认识上产生了巨大落差,经过一番激烈讨论后,很自然地探寻得出法则的实质。3.2 挖掘内涵，反思发现

爱因斯坦说过“发现一个问题比解决一个问题更重要”通过挖掘题目内涵找出新问题。案例2：[数列例题]一个等差数列的第6项是5，第3项和第8项的和也是5，求这个等差数列前9项的和? 此题要学生解出答案并不难，若仅仅解出答案，则学生的能力没有得到提高，我在讲评时，点击思维，引导学生进入反思。

师：“这里的数字5重要吗？”，“S9=0的根本原因是什么？”

经过思考，学生甲：“5”并不重要，重要的是“阿a6=a3+a8”，S9=0根本原因是a5=0.于是学生联想到等差数列的性质，有如下巧解: 因

a6a3a8a5a6, 得a50

所以S9(a1a9)99a502.师：“能推广吗？”

很快地，不少学生便独立地给出了下面的简单推广：

an为等差数列，若anamap则S2(mnp)10m,n,pN.，为了让学生对知识有一个横向的反思, 再问:“等比数列有类似的结论吗?”基础好一点的m,n,pN ,则aaaaTp学生便能得出: n为等比数列，n为其前n的积,若nmT2(mnp)11.通过以上教学,由特殊到一般,由等差数列到等比数列,由单一到综合,一步一步引导学生进行反思、交叉、汇合,提供了学生思维发展的良好素材,同时也培养了学生的解题反思能力.3.3 展示常规,反思本质

在平时解题教学中,对例题,习题,作业的学习应引导学生深入探究,展示通性,通法,从建构学的角度可以使学生做一个题,明白一类题,抓住一串题,培养学生的解题反思能力,达到举一反三目的.案例3：（1）设点A，B的坐标分别为（－5,0），（5,0）。直线AM，BM相交于点M，且4它们的斜率之积是9，求点M的轨迹方程。（2）设点A，B的坐标分别为（－5,0），（5,0）。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之4积是9，求点M的轨迹方程。

学生很容易求出轨迹方程,若教师点评到此为止,则失去了课本两题的典型性和示范性,其实老师可将本例加以改造,展示试题通性、通法,从而培养学生的反思能力。

改为1：:动点M到两点A(a,0)和B(-a,0)连线的斜率的乘积为定值k(k0), 求动点M的轨迹? 解：设动点M的坐标为(x,y)，则

KAMyyy2KBMk2xa,xa所以xa2 即x2y21a2ka2(xa)有：

①当k<-1时, 点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且以AB为其短轴（A,B两点除外，下同不予重复）

②当k=-1时, 点M的轨迹为以AB为直径的圆

③当-10时 , 点M 的轨迹为焦点在X轴上的双曲线，且以AB为其实轴

改为2：:动点M到两点A(0，a)和B(0，-a),（a>0）的连线斜率的乘积为定值k(k0), 求点M的轨迹? 改为3：:动点M到两点A(m,t)和B(n,t)的连线斜率的乘积为定值k(k0), 求点M的轨迹? 通过对习题的归类、改造，揭示两题的本质，展示通性、通法，培养学生的反思能力，使学生的解题能力得到螺旋式上升。这样的反思有助于思维合理化、精确化、概括化。3.4 设计变式,反思归纳

变式思维的认识依据是事物间有相似性，进行变式的训练，使学生参与到教学中，能使学生抓住知识的联系与区别，促使学生进行思考，总结，激发学习动力。

解题教学中若能改变原题的结构或其他方面，往往可使一题变一串，有利于开阔眼界，拓展思路，提高应变能力，防止定势思维的负面影响，并要思考与该题同类的问题，进行对比，分析其解法，找出解答这一类题的技巧和方法。解题后要把解题中所联系到的基础知识与各知识有机地“串联”成知识线，“并联”成知识网，有利于提高分析和归纳的思维能力。

案例4：某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，恰好8次击中目标的概率？

分析：为了使学生深入理解，使学生处理这类独立重复试验问题不进入程式化硬套公式，我进行以下变式教学，引起学生反思，使学生对知识的深度有更细更好的理解。

变一：某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求此人射击6次中3次命中且恰有2次连续命中目标的概率？

变二：某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求此人射击6次中3次命中且不连续命中目标的概率？

分析：这是附带条件的独立重复试验问题，三题比较，反思本质，总结独立重复试验概率公式P（n=k）中，n次独立重复试验中这个事件恰好发生哪k次呢？它有几种可能的情况，由以上变式，使学生能通过反思，理解，在解决这类概率问题时，要注意k次有无限制条件，切忌硬套公式。通过以上一系列的变式题组,可以通过反思,进行分析归纳汇总,有哪些同类型的问题?常见的有哪些形式?应分别采用哪些不同的处理方法?注意的关键点又是什么? 3.5引导多解,反思角度

我们在提问、举例、讲评数学问题时，要倡导一题多解，一题多变，多题一解的训练，并根据所教对象和内容的特点，精心创设一个符合学生认知规律，激发学生求知欲的由浅入深、多层次、多变化的问题情境，启发探索，诱导反思，养成多角度分析数学问题的习惯。

案例5： 当ｘ＝１时，二次函数f(x)有最小值１；若把f(x)的图象向下移动3个单位，此时函数的图象与ｘ轴相交，并截得ｘ轴上一段线段长为４个单位；求函数f(x)的解析式。

首先让学生认识到图象移动前后所对应的两个函数f(x)、g(x)之间的关系为f(x)＝g(x)+3。其次引导学生具体分析函数g(x)所满足的三个条件，并从中探索解题的方法。

方法一，如果三个条件理解为图象过三点(1,-2)，(-1,0)，(3,0)，由y＝g(x)＝ax2+bx+c，求出a，b，c；

方法二，如果理解为图象是抛物线，其顶点是(1,-2)，且过点(-1,0)，由y＝g(x)＝a(x-1)2-2，求出a。

方法三，如果理解为方程g(x)＝0的两个根为-1，3，且函数y=g(x)的图像过点(1,-2)，由y=g(x)＝a(x+1)(x-3)，求出a。最后可解得f(x)=0.5x2-x+1.5。

从二次函数g(x)解析式的三种形式入手，引导学生理解与掌握待定系数法这一数学方法，而不停留在单纯的解题上。

在解题训练时要求学生不能仅满足于一种解法，鼓励他们进一步思考其他解法。通过讨论与交流，从中鉴别各种方法的作用与最佳方法，并通过各种方法引导学生认识解题的核心问题与共同本质。我有时宁可让学生少做些题，但要求用两种甚至两种以上的方法做好某些题。

通过此法，教学生反思，培养学生思维的广阔性，让学生善于从不同角度，不同方面去思考问题，寻求变异。3.6 鼓励质疑, 反思批判

思维的批判性指思维活动中独立分析的程度，是否善于严格地估计思维材料和仔细地检查思维过程。我在数学教学中，鼓励学生提出不同的甚至怀疑的意见，注意引导和启发，提倡独立思考能力的培养。

35cosB5，13，求cosC 案例6 ：<三角作业>:⊿ABC中，34512sinAcosAcosBsinB5可得5；由13可得13，发现大部分学生如此解：由

sinAcosC进而可求1656cosC65或65。在作业讲评中,先把上述解法拿出来展示,显然大家都认为错了,但不知错在何处? 那好,检验不如计算,用计算器分别验算两组A,B,C的大小,几分钟后,不少同学开始恍然,但还没大悟,既然有增根,非得用计算器,能用估算法来判断吗? 继续讨论,有个别同学开始面露微笑,一学生提出观点：

332BA或A4。44，同理可知52可知：由

3415AcosAcosC4不可能！即5取不到。故只有一解65 由AB知：sinA 通过作业的分析、讨论、讲评,鼓励学生对结论的可靠程度进行怀疑，以严谨的学术观点审视,在独立分析的基础上，灵活运用三角函数的单调性来确定三角形内角的取值范围，严密论证了三角函数值取值的可能性。3.7指导小结，反思脉络

一个数学问题的解决，并不等于这个问题思维活动的结束，而是对这个问题进行深入研究的开始，如果此时停止了这个问题的思维活动，将错过反思的大好良机，只解决了“怎样做？”等问题，而没有解决“是否解中有错？”“为什么这样解？”“还能怎样解？”等问题，这些问题只有在不失时机的解后反思才能得到解决，更重要的是学生通过对自己的思维过程的再验证、再认识，使自己对数学概念、定理、方法等各个方面从感性认识上升到理性认识，极大的提高思维水平。

对数学解题反思可以思虑从以下几个方面小结：

①对解题过程的反思：即解题过程中，自己是否很好地理解了题意？是否弄清了题干与设问之间的内在联系？是否能较快地找到了解题的突破口？在解题过程中曾走过哪些弯路？犯过哪些错误？这些问题后来又是怎样改正的？

②对解题方法与技能的反思：即解题所使用的方法、技能是否有广泛应用的价值？如果适当地改变题目的条件和结论，问题将会出现怎样的变化？有什么规律？解决这个问题还可以用哪些方法等等。

③题目立意的反思：即所解决的问题有什么意义？还有哪些问题需要进一步解决？ 4 两点说明

1、数学反思能力的培养要与数学能力（思维能力、空间想象能力、解决实际问题的能力等）的培养有机结合起来，两者相互配合、协调发展，才能提高数学学习的效率，取得好的效果。

2、反思只是手段，而且它的实质在于“发现问题”和“解决问题”。在这种意义上，反思不是越多越好，而是恰到好处才好。同时反思的程度也是以解决问题为标准，也就是说，问题解决了，一次反思相应结束，而且反思的问题应该是经过选择的具有一定意义的问题，而不是缺乏应有价值的问题。

第四篇：高中数学变式教学有效性问卷调查

高中数学变式教学有效性问卷调查（学生卷）

1、你喜欢数学老师上课时提你的问吗？（）A.喜欢 B.无所谓

C.不喜欢

2、你认为数学老师上课经常提你的问对你的学习有帮助吗？（）A.很有帮助 B.帮助不大

C.没什么帮助

3、你喜欢数学老师上课时走到你的座位旁来吗？（）A.喜欢 B.无所谓

C.不喜欢

4、你上数学课会记笔记吗？（）A.会记 B.有时记

C.基本不记

5、你认为数学老师上课写板书对你学习和掌握知识有帮助吗？（）A.很有帮助

B.有点帮助

C.没感觉

6、你希望数学老师上课在黑板上多板书吗？（）A.很希望

B.随便

C.没感觉

7、你希望数学老师上课多讲一点，还是自己多练一点？（）A.尽量多讲

B.无所谓

C.少讲一点多练一点

8、你希望数学老师对学案知识点讲透一点，还是留点思考的余地？（）A.尽量讲透

B.点到为止

C.尽量让学生自己思考

9.关于课堂的学案练习，你喜欢采用什么方式？（）A.小组讨论

B.教师引导

C.学生独立 10.你希望老师的上课教学学案如何布置？（）

A.大量练习，当天知识当天练

B.精选精练，根据知识内容分层练习

C.个别布置，只针对难点

11.一天的学习结束后，你会认真回去完成学案后的巩固练习吗？（）A.只完成老师布置的书面作业；

B.不仅完成学案练习，还会预习第二天的知识；

C.不仅完成学案练习，还会做一些提高题，并主动阅读课外书籍，增长知识。12.关于作业讲评你希望老师采用什么样的讲评方式？（）A．课下个别点评 B． 面向大家全讲C．只讲典型问题

13、您觉得数学老师用变式学案上课时你的学习效率会更高吗？（）A.效率会更高

B.差不多

C.效率会更低

第五篇：初中数学中“变式训练

变式训练案例分析

变式训练是中学数学教学中的一种重要教学策略，在提高学生的学习兴趣、培养学生的数学思维和数学解题能力方面有着不可忽视的作用。通过变式训练可以使教学内容变得更加丰富多彩，使学生的思路更加宽广。所谓“变式训练”，就是有针对性地设计一组题，采用一题多解，多题一解，多图一题，一题多变，对此辨析，逆向运用等方法，对初始题目加以发展变化，从逻辑推理上演绎出几个或一类问题的解法，通过对一类问题的研究，迅速将相关知识系统化、结构化、网络化，提高解题能力。

教学案例：

（一）一题多图

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

①当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，有DE=AD+BE，请说明为什么？ ②当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，有DE=AD－BE,请说明为什么？

①当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由。

感悟：

通过一题多图可以让学生掌握类比的数学思想。

（二）一题多变

一题多变主要在平面几何中用应广泛需要老师们认真总结练习。

1、（32-1）×（32+1）=。

2、（32-1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=3、3×（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

4、（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

5、（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）＋9=

感悟：

通过一题多变培养学生寻找共性，克服困难的信心，将知识网路化、系统化。

（三）一题多解

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：AD垂直平分EF。

方法

1、两次全等证明

方法

2、角平分线定理和一次全等综合证明。

方法

3、线段垂直平分线逆定理证明。

方法

4、“三线合一”证明。

感悟：

通过一题多解培养学生的发散思维和创新能力，使学生的能力大大提高。更能展现出教师的魅力。

变式训练并不是一朝一夕就可以成熟的，需要我们认真钻研大纲和教材把知识系统化、网路化用心对待！