高中数学变式教学与一题多解试题卷10

第一篇：高中数学变式教学与一题多解试题卷10

一题多解、一题多变

x1+x2f(x1)+f(x2)（1）若f(x)=ax+b,则f()=;22（课本P102）证明：

x+x2f(x)+f(x2)(2)若f(x)=x2+ax+b,则f(1)≤122变题：

1、如图所示，f(xi)(i=1,2,3,4)是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中的任意的x1,x2，任意[0,1],f[x1(1)x2]f(x1)(1)f(x2)恒成立”的只有（A）

A、f(x1),f(x3)

B、f(x2)

C、f(x2),f(x3)

D、f(x4)

变题

2、定义在R上的函数f(x)满足：如果对于任意x1,x2∈R都有f(2x1+x2f(x)+f(x2))≤122则称函数f(x)是R上的凹函数。已知二次函数f(x)=ax+x(a∈R,a≠0)

（1）求证：当a>0时，函数f(x)是凹函数；

（2）如果x∈[0,1]时，|f(x)|≤1，试求实数a的取值范围。

（1）证明：略

（2）实数a的取值范围是[2,0)二、一题多解

不查表计算：lg2+lg5+3lg2lg5

解法一：原式=(lg2+lg5)(lg2-lg2lg5+lg5)+3lg2lg5 2233

=lg2-lg2lg5+lg5+3lg2lg5

=lg2+2lg2lg5+lg5

=(lg2+lg5)=1 22222解法二：原式=(lg2lg5)3lg2lg5-3lg2lg53lg2lg5

=1-3lg2lg5(lg2lg51)=1 解法三：原式=(lg2+lg5)-3lg2lg5(lg2+lg5)+3lg2lg5

=1-3lg2lg5+3lg2lg5 =1 解法四：原式=lg2+lg5+3lg2lg5+3lg2lg5-3lg2lg5-3lg2lg5+3lg2lg5

=(lg2+lg5)-3lg2lg5(lg2+lg5-1)33322223322=1

解法五：原式=lg2+lg5+3lg2lg5×1 33=lg2+lg5+3lg2lg5×(lg2+lg5)33=(lg2+lg5)=1 3

第二篇：变式教学：一题多问、一题多解、一题多变教学模式

变式教学：一题多问、一题多解、一题多变教学模式

——“利用导数研究函数单调性的解题课”教学设计

【课例解析】 教材的地位与作用

本节课是人教版《数学（选修2-2）》第一章 导数及其应用，§1.3.1函数的单调性与导数的第二课时解题课．

导数是微积分的核心内容之一，它有极其丰富的实际背景和广泛应用，导数更是研究函数性质的强有力的工具，在解决函数单调性、最大值和最小值等问题时，不但避开了初等函数变形的难点，证明的繁杂，而且使解法程序化，变“巧法”为“通法”，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性作用．在应用导数研究函数单调性教学的过程中，体会导数的思想及其内涵． 2 学情分析

在本节之前学生已经学习了导数的实际背景和基本概念．学生能理解导数的数学意义、物理意义及几何意义．掌握了常函数、幂函数、正余弦函数、指数函数、对数函数的导数．掌握了导数的运算法则．已经初步了解了导数与函数单调性的关系，并能利用导数解决简单的函数单调性问题．本节课此基础上进一步运用导数解决和函数单调性有关的问题，对大多数学生来说，有足够的能力掌握本节知识．学生已经初步具有对数学问题自主探究的意识和能力，当然也存在较大的个体差异．需要在教学过程中加以个别指导．

【方法阐释】

采用心智数学教育方式中变式教学模式进行教学：主要分“创设情景、引入新课，自主探究、成果展示，变式训练、巩固落实，归纳总结、提升拓展”四个教学环节．

对探究性问题，教师要启发引导学生按照“弄清题意—拟订计划—执行计划—反思回顾”四个解题环节独立完成．

指导学生通过小组交流、成果展示等形式检查自己的思维方式和对解题步骤格式．通过问题变式，使学生经历数学问题及解决方法的推广和运用．学生已经了解和掌握了导数与函数单调性的关系，并能利用导数的知识解决简单的函数单调性问题的方法，但是对含有参数的函数的单调性问题（确定单调区间问题或已知函数的单调性确定参数范围问题等），由于教材中没有涉及，因此是一个盲点，本节课教学设计旨在搭设台阶，降低坡度，通过对问题的不断变化，进行不断探索和比较，引导学生从基础入手，通过分析、对比辨析、归纳、推理、变式教学反例分析来探究解题方法，进行问题解决，使学生形成正确的解题方法，在学习中让学生学会探究、分析，并学会合作学习．

【目标定位】

1知识与技能目标

理解函数的单调性与其导数的关系，能利用求导的方法探求函数的单调性和单调区间． 2过程与方法目标

经历使用导数解决求函数单调区间和已知单调区间求参数范围问题的求解过程．通过分析、归纳、推理、对比辨析、变式教学来探究解题方法，并能通过各类问题的解法对比，感受和掌握导数在函数单调性问题解决过程中的应用． 3 情感、态度与价值观目标

感受导数为解决单调性问题提供的新思路、方法和途径，激发学生探究知识的兴趣和欲望． 2 教学的重点与难点

本节课的重点是理解函数单调性与其导数的关系，利用导数解决求函数单调区间和已知单调区间求参数范围问题．难点是解决含参数的函数单调性问题中参数范围的确定及分类讨论等数学思想方法的运用．

【课堂设计】

一、创设情景、引入新课

教师：我们已经学习了函数导数的计算方法和运算法则，并且知道利用导数可以求出函数的单调区间，请同学们自己动手以下探究性问题.探究性问题：求下列函数的单调区间． 1．函数f(x)=x-3x+1的单调递减区间． 2．函数f(x)=x e的单调区间．

3．（05年北京）已知函数f(x)=-x+3x+9x+a，求f(x)的单调减区间.322x

3二、自主探究、成果展示

学生独立解决后，小组内学生交流，相互纠正解题中出现的问题． 教师：利用导数求函数的单调区间有哪几个步骤？

学生1：第一步，求函数导数；第二步，建立导函数不等式，使f(x)>0的区间为原函数的增区间，使f(x)<0的区间为函数的减区间；第三步，回答单调区间．

教师利用实物投影展示在巡视的过程中发现的格式步骤不全、格式步骤规范、格式步骤较多但混乱无序等学生解题过程，规范学生解题思维和书写格式．

教师：第3题中的参数a对函数的增减性会不会产生影响？为什么？

学生2:对函数增减性不会产生影响．从函数图像变换看，常数项a的影响就是图像形状不改变，只进行上下平移；从函数的导函数看，参数a是常数，其导数为0.不会对其导函数产生任何影响．

我的思考：设计探究性问题，主要目的是使学生进一步熟练导数研究单调性的方法，规范解题格式步骤；其次，三个导函数题都与二次函数有关，且用到指数函数的性质，进一步强化二次不等式的解法和指数函数性质，让学生体会导数问题的综合性．再次，第3题中设置了参数a，在此不需单独讨论，但在老师的追问下，有些学生已经意识到有时要对a进行讨论，为下面针对参数的分类讨论埋下伏笔．

三、变式训练、巩固落实

适当改变探究性问题的形式，提出新的问题，进行变式训练

我的思考：学生在解决这类问题时往往容易忽视函数的定义域以及使导数为零的点的处理，因此针对以上可能出现的问题，设计几个变式习题，让学生首先独立思考，出现问题，然后通过生生和师生的交流，共同分析正确的解题方法，完善对问题的全面和完整解决．

2变式1：求函数f(x)=0.5x-ln x的单调区间.这是针对容易忽视定义域而设计的问题，很多学生没有考虑到定义域出现错误答案：单调增区间为(-1,0),(1,+∞)，单调减区间为(-∞,-1),(0,1)；还有同学得出单调增区间为(-1,0)∪(1,+∞)．

师生剖析错因：（1）解决函数的解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等问题时，必须首先求出函数的定义域，函数的解析式和定义域是函数的两大要素.(2)函数的单调区间必须是单个的区间不能使区间的并集，也不能写成集合的形式{x|x<-1}． 正确解法：原函数的定义域为(0,+∞)，单调增区间为(1,+∞)，单调减区间为(0,1).2ax变式2：将前面第2题改编为：求函数f(x)=x e的单调区间.学生在独立解决问题时，容易忽视讨论或讨论不全，或不会进行讨论，让学生分组合作交流，各组选出代表在黑板上展示，教师可结合学生板演情况进行又针对性地讲解． 正确的解答过程应为：

函数的定义域为R.ax2axax2对函数求导f’(x)=2xe+axe=e(ax+2x)，当a=0时，函数的单调增区间为(0,+∞)，函数的单调减区间为(-∞,0)；

当a>0时，函数的单调增区间为(-∞,-2/a)和(0,+∞)，函数的单调减区间为(-2/a,0)； 当a<0时，函数的单调增区间为(0,-2/a)，函数的单调减区间为(-∞,0)和(-2/a,+∞).我的思考:含有参数的数学问题既是重点又是难点，也是学生的薄弱环节，通过解决这类问题，锻炼学生的运算能力和分类讨论思想的运用能力，教学中从简单到复杂，循序渐进，学生能通过类比和对比，更容易理解和掌握．另外，a>0和a<0两种情况下，0与-2/a的大小变化学生容易忽视，教师点评时也要特别强调．

变式3：求函数f(x)=√x-ln(x+1)的单调增区间.针对学生易错点：忽视使导数为零的点的讨论而造成解题不完整而设计的．还是首先让学生自己解决，交流解题方法．

很多学生会出现错误答案：单调增区间为(0,1)和(1,+∞)为了说明问题，把问题特殊化．提出新的问题：我们通过函数图像或利用函数单调性的定义已3经证实了函数y=x在R上为单调增函数，请同学们利用导数再探求该函数的单调区间，看有什么发现．

部分同学得到单调增区间是(-∞,0),(0,+∞)，这与以前学习的结论出现矛盾，怎样解决呢？

再思考问题：我们已证明了反比例函数y=1/x的单调性，请同学们利用导数再探求该函数的单调区间，看有什么发现．

所得的单调减区间是(-∞,0),(0,+∞)，与以前学习的结论相同.我的思考：遇到难以解决的问题时，往往要把问题特殊化，与我们已掌握的熟悉问题进行对比分析．

比较以上两个问题，请各小组讨论，对比、总结一下规律.师生共同分析得到：当使导数等于零的解存在时，需对导数等于零的点进行如下处理：若在该点两侧的导数值符号相同，且函数在该点处连续，则将两个增减性相同的区间合并；若在该点两侧的导数值符号相同，而函数在该点处函数不连续，则不能将将两个区间合并．

此题中函数在x=1处是连续的，且在x=1两侧导数的符号相同，因此，该函数的递增区间为(0,+∞).我的思考：这一组变式训练主要是通过对基础题组的解题方法、步骤的变式设置的．通过以上这组变式问题，学生注意到易错的忽视定义域、在导数为0点左右符号相同时的处理方式等方面，并能对含参数的函数进行合理的分类讨论，增加解题的正确率，锻炼学生的分析能力和解题能力．

教师：我们再对问题进一步深化，采用逆向思维方式，交换题目的条件和结论，来看根据已知函数的单调性来确定参数范围．

322变式4:已知函数f(x)=（1/3）x-(4a-1)x+(15a-2a-7)x+2在R上是增函数，求实数a的取值范围.我的思考：解决这类问题易错点是忽视参数端点的取舍，为此设计变式4，使学生在在出错体验后进行问题解决，加深对知识的掌握．在问题给出后，鼓励学生独立思考后将各自的解题思路进行交流，再在全班进行交流．

教师巡视后发现学生的解题思路有以下几种：

思路一：求f(x)x2(4a1)x(15a2a7)，解不等式f(x)0 x2(4a1)x(15a2a7)0

由于该不等式不会解，从而受阻.思路二：

函数f(x)22'22'13x(4a1)x2(15a22a7)x2在R上是增函数f'(x)0在R上恒3成立0恒成立，解得实数a的取值范围为（2，4）.通过投影对比展示学生两种解答后，大部分学生能看到解法一不正确，解法二思路是正确的． 教师：反思一下我们的解法二，发现当a < 2或 a > 4时，0，问题不成立．但a = 2或a = 4时= 0，情况又会怎样？

学生进一步计算后发现：a = 2或a = 4时= 0，导函数除在一点为0外，其余各区间均大于0．同以上变式3可知，这时函数单调区间可以连续起来．

解：若函数f(x)13x(4a1)x2(15a22a7)x2在R上是增函数，3则f'(x)大于或等于零在R上恒成立

0恒成立，解得实数a的取值范围为[2，4].针对变式4中学生出现的两种思路，教师再提出问题：请同学们思考下面这个问题： 变式

5、（1）若函数f(x)x33ax2的单调递减区间为（0,2）求实数a的取值范围．

（2）若函数f(x)x3ax2的在区间（0,2）上单调递减，求实数a的取值范围． 我的思考：“单调递减区间为（0,2）”与“在区间（0,2）上单调递减”是两个截然不同的问题情境．设计这个变式题组，一是让学生辨析这两种不同叙述的含义，二是对变式4两种思路的进一步明晰．

学生独立思考，然后进行生生交流，最后统一答案．

'（1）解：令导数f(x)0，即3x3a0xa，再讨论a的符号，223当a>0时，解得axa，所以函数f(x)的单调减区间为(a,a)，函数f(x)x3ax2的减区间为（0,2），则（0,2）(a,a)，所以a2，即a4；

当a=0时，函数的导数f(x)0恒成立．

所以a = 0时函数f(x)x3ax2不存在单调减区间；

'当a0时，函数的导数f(x)0总成立．

3所以a0时函数f(x)x3ax2不存在单调减区间，3综上所述，若函数f(x)x3ax2的单调递减区间为（0,2）则a4.33'3（2）函数f(x)x3ax2的在区间（0,2）上单调递减函数

f'(x)0在区间（0,2）内恒成立

3x23a0在区间（0,2）内恒成立3x23a在区间（0,2）内恒成立，3x2在区间（0,2）内的最大值小于等于3a，即123a

所以 a4.该题是前面变式问题的综合展现．所以学生能很快完成问题的求解．对个别仍存在模糊认识的同学，在教师引导下，学生会很快发现问题进行纠正．

我的思考：此题旨在锻炼学生的审题能力和对数学语言精确性和严密性的考查.“函数在某区间内单调”和“函数的单调区间是某区间”，前者说明所给区间是该函数单调区间的子集，后者说明所给区间恰好是函数的单调区间．因此在解题中一定要养成认真审题的好习惯．

四、归纳总结、提升拓展

最后，反思解题方法，归纳总结解题规律：

1.如何确定函数的单调区间？在运算过程中，注意哪几个注意事项？ 2.函数单调的充要条件是什么？

3.已知单调区间或在某个区间上单调时如何计算参数的值或范围？

让学生自己通过对所解问题进行总结归纳，反思自己的问题.课外思考作业: 教师设计相应的习题，进一步巩固本节课所学知识和方法．

1、（05.湖南）若函数f(x)lnx

2、若函数f(x)12ax2x,(a0)存在单调减区间，求实数a的取值范围.21312xax(a1)x1在区间（1，4）内为减函数，在区间(4,)上为增函321312xax(a1)x1在区间（1，4）内为减函数，在区间(6,)32数，求实数a的值.3、（04年全国）若函数f(x)上为增函数，求实数a的取值范围.4、（1）求函数f(x)xax2的单调区间.（2）（06年山东）求函数f(x)ax(a1)ln(x1)，其中a1，求f(x)的单调区间.3【教学链接】

微分学的中心问题是求曲线的切线和运动物体的瞬时速度．两者殊途同归，都导致了微分学的产生．费马是较早研究曲线切线的数学家，早在1629年他已有初步设想．1637年在手稿《最大值和最小值的方法》中具体给出了求切线的方法．费马应用它的方法，解决了许多难题．虽然其方法缺乏严密性，但它具有微分学的现代标准方法形式．

费马的研究给后来牛顿发明系统的微积分理论奠定了基础．牛顿曾说：“我从费马的切线作法中得到这个方法的启示，我推广了它，把它直接地并且反过来应用于抽象的方程．”牛顿于1665年11月发明正流数术（微分法），1666年5月建立反流数术（积分法）．1666年10月写成一篇总结性论文，在朋友与同事中传阅，现以《1666年10月流数简论》著称．这是历史上第一篇系统的微积分文献．将正反微分运算用于16类问题，展示了牛顿算法的普遍性与系统性．1687年，牛顿的名著《自然哲学及数学原理》出版，首次公开表述了他的微积分方法．此时距他创造微积分已过去22年．

莱布尼兹与牛顿有许多相似之处，都是留名青史的哲学家，都是对多种学科有重大科学贡献的学者．其中最相似的贡献就是几乎同时各自独立发明了微积分．1666年莱布尼兹写成《论组合术》，讨论平方序列的性质．1675年发明了不定积分符号，同时注意到微分与积分必定是相反的过程，断定作为求和过程的积分是微分的逆．这一结果的得出虽稍晚于牛顿的同类结果，但是独立得到的．二者使用的方法也不同，故后人将此称为牛顿—莱布尼兹公式． 随着17世纪末悬链问题（1690年），最速降线问题（1696年）以及等周问题的提出与解决．令数学界耳目一新．很快显示出微积分作为一种数学方法的强大功效．

[资料来源] 梁宗巨、王青建、孙宏安.世界数学通史（下册·二）.沈阳：辽宁教育出版社.2005,1.【教有所思】

（1）结合学生的实际情况，设计问题从基础入手，逐步加深难度，针对在利用导数求函数的单调性问题中常见的几类问题和解题中常见的错误设计一系列问题，环环连接，使学生始终处于积极思考和探索讨论中，形成良好的课堂氛围，为良好的课堂效果打下基础．

（2）本节课中，教师始终针对学生的问题进行变换和引导，总是让学生考虑，学生讨论，锻炼学生独立解决问题的能力和合作学习的能力，形成自己的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发学生的智慧源泉，实现了举一反三的效果，同时也符合新教材课堂理念，以培养学生能力为主，学生是课堂的主体；突出数学课的特点——教会学生如何解题．

（3）对问题情景的设计和对学生出现的问题进行分析研究时所采用的方式方法，仍然是教师应该进一步改善和探索研究的主题.6

第三篇：高中数学变式教学有效性问卷调查

高中数学变式教学有效性问卷调查（学生卷）

1、你喜欢数学老师上课时提你的问吗？（）A.喜欢 B.无所谓

C.不喜欢

2、你认为数学老师上课经常提你的问对你的学习有帮助吗？（）A.很有帮助 B.帮助不大

C.没什么帮助

3、你喜欢数学老师上课时走到你的座位旁来吗？（）A.喜欢 B.无所谓

C.不喜欢

4、你上数学课会记笔记吗？（）A.会记 B.有时记

C.基本不记

5、你认为数学老师上课写板书对你学习和掌握知识有帮助吗？（）A.很有帮助

B.有点帮助

C.没感觉

6、你希望数学老师上课在黑板上多板书吗？（）A.很希望

B.随便

C.没感觉

7、你希望数学老师上课多讲一点，还是自己多练一点？（）A.尽量多讲

B.无所谓

C.少讲一点多练一点

8、你希望数学老师对学案知识点讲透一点，还是留点思考的余地？（）A.尽量讲透

B.点到为止

C.尽量让学生自己思考

9.关于课堂的学案练习，你喜欢采用什么方式？（）A.小组讨论

B.教师引导

C.学生独立 10.你希望老师的上课教学学案如何布置？（）

A.大量练习，当天知识当天练

B.精选精练，根据知识内容分层练习

C.个别布置，只针对难点

11.一天的学习结束后，你会认真回去完成学案后的巩固练习吗？（）A.只完成老师布置的书面作业；

B.不仅完成学案练习，还会预习第二天的知识；

C.不仅完成学案练习，还会做一些提高题，并主动阅读课外书籍，增长知识。12.关于作业讲评你希望老师采用什么样的讲评方式？（）A．课下个别点评 B． 面向大家全讲C．只讲典型问题

13、您觉得数学老师用变式学案上课时你的学习效率会更高吗？（）A.效率会更高

B.差不多

C.效率会更低

第四篇：高中数学变式教学应用的分析

高中数学变式教学应用的分析

一、问题提出的缘由

我们正处在高考命题改革时期，“新高考”对中学生综合素质的发展提出了明确的要求，重点增强基础性、综合性，突出能力立意，主要考查学生运用所学知识独立思考与分析问题、解决问题的能力。“新高考”改革的启动势必促进新课程改革的实施。伴随着新课程改革向纵深的发展，高中数学课程的功能、内容、结构、评价都发生了根本性的改变。数学教学方法也在不断改进、创新，既要训练学生基础知识、基本技能，又要培养学生自主创新的能力。而自主创新的能力培养的一条有效的途径就是在平时教学过程中着重对学生发现问题、分析问题、解决问题的能力培养。就数学而言，解决问题不仅是要知道问题的结果，更重要的是掌握解决问题的思想、方法、途径。而“变式教学”的思想与方法是我们解决问题的重要途径之一。

所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。

而我们的目的就是通过合理恰当地运用“变式教学”，把互相关联的知识融合在一起，使学生深刻理解所学知识，识别问题的本质。这不仅有助于培养学生分析、归纳、解决问题的能力，也有利于激发学生的学习兴趣、拓宽学生的学习视野，并力求在遏制“题海战术”、轻负高效方面达到良好效果。

二、研究目标

1.以“变式教学”为研究平台，全面贯彻新课程标准的教育理念。以培养学生的创新精神和探究问题、解决问题的能力为目的，让学生充分展示个性和潜力，激发学生潜能多元化发展。

2.发挥学生主体作用，充分尊重学生的主观能动性，通过变式思想在数学教学中的研究，引导学生主动参与教学活动，在获取知识的同时，激发他们强烈的求知欲和创造欲，从而得到提高数学课堂教育效益的目的，增加数学实践的本领的同时获得可持续发展能力---创新能力和自我发展能力。

3.在严格控制学生活动总量，减轻学习负担的前提下，使学生数学素质获得更为全面的发展，数学基本知识、基本能力有所提高。

三、研究原则

1.针对性原则。习题变式教学，不同于习题课的教学，它贯穿于新授课、习题课和复习课，与新授课、习题课和复习课并存，一般情况下不单独成课。因此，对于不同的授课，对习题的变式也应不同。例如，新授课的习题变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系，同时变式习题要紧扣考纲。在习题变式教学时，要根据教学目标和学生的学习现状，切忌随意性和盲目性。

2.可行性原则。选择课本习题进行变式，不要“变”得过于简单，过于简单的变式题会让学生认为是简单的“重复劳动”，没有实际效果，而且会影响学生思维的质量；难度“变”大的变式习题易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往将使学生丧失自信心，因此，在选择课本习题进行变式时要变得有“度”，恰到好处。

3.参与性原则。在习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要鼓励学生大胆地“变”，有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融汇贯通，同时培养了学生的创新意识和创新精神以及举一反三的能力。

四、研究内容

1.研究学生：着重研究学生平时的学习行为和效果，发现不足和缺憾，然后着力通过数学变式来培养学生创新能力来加以克服，观察克服的程度，再加以改进，总结经验，试图发现一种科学的教学体系来增强学生在课堂中的主动学习意识、提高数学课堂教学效益。2.研究教法：给出不同条件时如何引导学生联系旧知解决新问题，培养学生将几何问题、图形问题、抽象问题等代数化，把握数学知识的核心部分，提高思考问题、解决问题能力。

3.研究教学：不同的课型该用哪种模式体现“变式教学”的精神。

五、研究意义

1.利用变式教学创设教学情境，激发学生学习积极性。高中数学的大部分概念比较抽象，教师在教学中如果直接抛出概念，学生很难接受。而如果根据概念类型，设计一系列变式，将概念还原到客观实际（如实例、模型或已有经验、题组等）提出问题，为学生创设生动形象的教学情境，就可以大大激发学生学习数学的热情和积极性。

2.利用变式教学预设“陷阱”，培养学生思维的严谨性。在概念、定理及公式的教学过程中，通过对有关数学概念、定理、公式等进行不同角度、不同层次、不同背景的变化，有意识地引导学生发现变化中的不变，明确并凸显出概念、定理及公式的条件、结论和适用范围、注意事项等关键之处，让学生深入理解概念、定理及公式的本质，从而培养学生严密的逻辑推理能力。

3.利用变式教学深化基础知识，拓展学生的数学思维。着名的数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个。”数学教学中，通过对一个基本问题的变式，引导学生运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，使其在更深入、更透彻地理解问题的本质的同时拓展了数学思维。

六、研究方法

在形式上，将采取尝试法、实验法、比较分析法、文献资料法等多种研究方法以“变”应“变”，通过合理恰当地运用变式教学，把互相关联的知识通过变式教学融合在一起，使学生深刻理解所学知识，识别问题的本质；在研究过程中，通过记录比较课后作业的正答率，每一章节配套试题的测验结果，即学生对知识掌握的程度来辨别和判定提高数学课堂效益的程度，研究学生自主学习能力的提高与数学课堂效益的提高是否相关或一致，从而确保研究的客观性和科学性。

第五篇：变式论文变式教学论文：高中数学教学的变式和实践

变式论文变式教学论文：高中数学教学的变式和实践 【摘 要】介绍变式教学的理论基础，用实际教学中的案例介绍了教学中的变式练习实践。

【关键词】变式 高中数学知识 变式教学

众所周知，在我国的传统数学教学过程中，十分注重“变式教学”。正是因为运用了“变式教学”。我国学生在具有良好的基础知识和熟练的基本技能方面大大超过了西方国家学生，但是我国学生在动手能力和解决比较复杂、开放的数学问题上却逊于西方学生也是不争的事实。变式是指变换问题的条件或表征，而不改变问题的实质，只改变其形态。高中数学学习的内容跨度大、抽象性强，只有促进高中学生对数学知识的深刻理解，才能达到掌握和灵活应用数学知识的目的。人们对知识的深刻理解都具有一定的时空性、阶段性和渐进性，因此，只有在变化环境下反复理解，学生的认识才能不断深入。

在变式教学中，变式练习是陈述性知识转化为程序性知识点的关键环节。变式练习就是指在其他教学条件不变的情况下，概念和规则等程序性知识的例证的变化。变式练习可以让学生在练习过程中，通过多角度的分析、比较、联系，去深刻理解问题的结构和解决策略。下面通过两个例子来谈一下变式练习在实际教学中的应用。

题目1：（高中数学新教材第二册（上）p130 例2）直

线y=x-2与抛物线y=2x相交于a、b两点，求证：oa⊥ob。

本题是课本上一道习题，下面对其进行变式探究。推广变式：由原式知y=x-2与x轴交点坐标为（2，0），对抛物线y=2x中p=1，将此抛物线方程推向一般情况，则得到下列变式：

变式1：直线l过定点（2p，0），与抛物线y=2px（p＞0）交于a、b两点，o为原点，求证：oa⊥ob。

证明：设l的一般方程式为x=ky+2p，代入题目中的抛物线方程中，化简得到：y-2pky-4p=0，所以y+y=2pk，yy=-4p，所以xx=（）=4p，所以=xx+yy=0，所以⊥，即oa⊥ob。

如果我们将上题中的图形中新加载另一个图形圆，则可有下面的试题：

变式2：（2004年重庆高考理科卷）设p＞0是一常数，过点q（2p，0）的直线与抛物线y=2px交于相异两点a、b，以线段ab为直径作圆h（h为圆心）。试证抛物线顶点在圆h的圆周上；并求圆h的面积最小时直线ab的方程。

由变式1可知oa⊥ob，即点o在圆h上，因h为圆心，故h为ab的中点。由中点坐标公式可以求出x=(x+x)=(4p+n(y+y))=(2+p)p，y=(y+y)=pn。

显然oh为圆的半径，且oh==，所以当n=0时，圆的半径最小。此时ab的方程为x=2p。

当然我们还可以对此题进行逆向研究，即将此题变式

1的条件和结论进行互换得到下列命题：

变式3：若a、b为抛物线y=2px(p＞0)上两个动点，o为原点，且oa⊥ob，求证：直线ab过定点。

过定点问题是一个高考中的热点，而通过这样的变式不仅让学生的思维活跃起来，而且能引发学生去主动地思考问题和解决问题。本题只要设出a、b两点坐标，根据这两点满足抛物线方程和垂直的条件即可证明此问题。对本问题稍微改变一下设问则可得到下面试题：

变式4：(2001春季高考题)设点a、b为抛物线y=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知oa⊥ob，om⊥ab，求点m的轨迹方程，并说明轨迹表示什么曲线。

解有上面的变式可知ab过定点n（4p，0），om⊥ab? om⊥mn，所以点m的轨迹是以on为直径的圆（除原点），其方程也可求出。

思考：直线与圆锥的位置的关系问题是多年来高考重点考查的内容，该题以抛物线和直线为载体全面考查解析几何的思想与方法，通过变式练习层层推进知识的发生发展过程，符合学生的认知规律，使得学生在知识和能力上有一定的收获和提高。

题目2：（高中数学新教材第二册（下a、b）p131 例2）在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内

每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率。

本题比较容易，但是我们可借助本题进行如下变式探究：

将已知中的条件变形如下：

变式1：假设三个开关全部串联，在其余条件不变的情况下，怎样求线路正常工作的概率？

解：设这三个开关能闭合为事件a，b，c，则可求得概率为p(a)p（b）p（c）=0.7=0.343。

变式2：若其中2个开关串联后再与两外一个并联，在其余条件不变的情况下，如何求线路正常工作的概率？

假设三个开关为m，m，m由已知m，m串联，再与m并联，则线路正常工作的概率为1-［1-p(a)p（b）］［1-p(c)］=1-（1-0.7）（1-0.7）=0.847。

变式3：若其中两个开关并联后与另一个开关串联，在其余条件不变的情况下如何求线路正常工作的概率？

假设由已知并联，再与串联，则得

（1-［1-p(a)］［1-p（b）］)p(c)=［1-（1-0.7）］0.7=0.637 以上3个变式只是对3个开关的连接，假设有4个或者多个呢？会有怎样的情况发生？将上述题目题变成开放式的问题：

著名的教育家波利亚曾说：“好问题跟某种蘑菇有些像，它们都成堆生长，找到一个以后，应该在周围再找找，很可能附近就有好几个。”由此在数学教学中，若通过变式教学，引导学生从一个问题出发，运用类比、特殊化，一般化的方法去探索问题的变化，则能使学生发现问题的本质，去揭示其中的数学思想。所以恰当合理深入的变式教学使得课堂变得生动活泼，学生爱学，老师乐教，这样既有利于学生学习知识，又有利于培养学生的创新能力。

参考文献：

［1］谢景力.数学教学的变式及实践研究［d］.2006.