[高考数学问答]如何在数学月考中总结问题

第一篇：[高考数学问答]如何在数学月考中总结问题

[高考数学问答]如何在数学月考中总结问题

数 学 三明学习三最解题

第一次月考已经结束，数学总复习已全面展开。高中数学知识量大、题目繁多，不少同学都有畏难情绪，感到无从下手。如何有效地做好总复习，笔者结合自身教学的体会，提出几点建议，供大家参考。

一、回归课本，落实三基。

对高考试卷进行分析不难发现，高考试题中有相当一部分试题是对基本知识、基本技能、基本方法的考查，考题往往是对课本原题的变形、改造及综合。所以在第一阶段的复习中，同学们要认真理解数学概念、强化记忆数学公式，注重通性通法，淡化特殊技巧。要把重点放在掌握知识及解题方法上，选择一些针对性强的经典题目强化训练，使基础知识系统化，基本技能、基本方法熟练化。

二、注重综合，强化能力。

考试命题中心提出：应更多地在知识网络的交汇点上设计试题，在综合中考查能力。高中数学的主干知识在高考命题中的主要综合有：函数、方程、导数与不等式的综合、函数与数列的综合、三角、向量的综合、解析几何与向量的综合、排列组合、概率与随机变量的综合等。数学思想方法是知识综合的统帅和纽带，是综合能力的中心。数学思想总结提炼为：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归思想、猜证结合思想。因此，在总复习中，要善于学习老师关于数学思想方法的评讲，自觉地、尽早地领悟数学思想方法，以综合能力为重点和难点，强化训练，使解题策略与方法明确化和系统化。

三、及时总结，查漏补缺。

做题的目的是培养能力，是寻找自己的弱点和不足的有效途径。对同学最有价值的试题往往不是我们会做的试题，而恰恰是我们做错的试题。要及时纠正错误，总结经验以免再犯，并将自己在平时练习中容易出错的地方辑录成册，以便在高考前提醒自己。在做试题时，如果发现自己的知识系统中有明显的漏洞，就要及时弥补，绝不可掉以轻心。

四、做到三明、三最。

问明：打破砂锅问到底，只要不懂，坚决搞懂;

看明：数学答案会使用，各步推理，一律弄清;

写明：独立解题勤练习，能做会做，表达无错。

数学解题追求的最高境界是：三最，即推理最高，表述最简!

方法最好、高三数学总复习阶段是一个艰苦漫长的过程，需要同学们坚定信心，持之以恒，坚忍不拔。愿你们能不断完善自己，取得最后的成功。

第二篇：高考数学问题补漏

1、推理逻辑问题

2、周期问题

3、对称问题

4、不等式问题

5、抽象函数问题

6、向量几何法

7、导数证明方法

8、解析几何大题

9、统计

10、对数图象交点或斜率问题

11、选择题解法

第三篇：数学归纳法在高考中的应用

数学归纳法在高考中的应用

学归纳法是用于证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学中占有很重要的地位．应用广泛．

数学归纳法有下两种基本形式

（1）第一数学归纳法

设是一个与正整数有关的命题，如果

①当（）时，成立；

②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．

（2）第二数学归纳法

设是一个与正整数有关的命题，如果

①当（）时，成立；

②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．

在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。

一、用数学归纳法证明整除问题

用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。

（2005山东）是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.证明：解：由f（n）=（2n+7）·3+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）·3+9能被36整除;当n=k+1时，［2knn

（k+1）+7］·3k+1+9=3［（2k+7）·3k+9］+18（3k－1－1），由于

3整除.由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）·3+9能被36整除，m的最大值为36.二、用数学归纳法证明恒等式问题

对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．（2005江西）是否存在常数，使得等式 对一切自然数 成立？并证明你的结论．

解：假设存在，使得题设的等式成立，则当时也成立，代入得

解得，于是对，下面等式成立：

令

假设时上式成立，即

那么

这就是说，等式当时也成立．

综上所述，当时，题设的等式对一切自然数都成立．

三、用数学归纳法证明不等式问题

用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“n＝k＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．

（2008全国一22）．设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数； nk－1－1是2的倍数，故18（3k－1－1）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36

（Ⅱ）证明：；

解析：

（Ⅰ）证明：，故函数在区间(0,1)上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，即成立；

（ⅱ）假设当时，成立，即

那么当时，由在区间是增函数，得

.而，则，也就是说当时，也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.（2008辽宁卷21）．在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：．

本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．

解：（Ⅰ）由条件得

由此可得

．················································ 2分

猜测．················································································ 4分

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，．

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知对一切正整数都成立．······································ 7分

（Ⅱ）．

n≥2时，由（Ⅰ）知．·········································· 9分

故

综上，原不等式成立．

四、用数学归纳法解决某些与正整数有关的探索性问题

由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法．在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要．

（2002湖北）已知y=f（x）满足f（n－1）=f（n）－lga（n≥2，n∈N）且f（1）=－lga，是否存在实数α、β使f（n）=（αn+βn－1）lga对任何n∈N *都成立，证明你的结论

解：∵f（n）=f（n－1）+lga

又f（1）=－lga，∴∴∴f（n）=（n－ n－1）lga22n－1n－1，令n=2，则f（2）=f（1）+f（a）=－lga+lga=0

证明：（1）当n=1时，显然成立

（2）假设n=k时成立，即f（k）=（k－ k－1）lga，则n=k+1时，2f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga

=（k－ k－1+k）lga=［（k+1）－（k+1）－1］lga

∴当n=k+1时，等式成立

综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=，β=－，使f（n）=（αn+βn－1）lga对任意n∈N*都成立

点评：本题是探索性问题．它通过观察――归纳――猜想――证明这一完整的过程去探索和发现问题，并证明所得出的结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．

通过上面的几个例子可知，数学归纳法在高考试题中常与数列、函数等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住关键点，并掌握一些常用技巧，重视变形转化能力，才能最终解决问题。222

第四篇：浅谈数学归纳法在高考中的应用

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1、数学归纳法的理论基础

数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。1.1数学归纳法的发展历史

自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。

安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。

伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明

n2(n1)212n

4333这是数学家对数学归纳法的最早证明。

接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用“逐步的无限递进”，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。

到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 an1ann

2其中ak123归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。

17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发

k1,2

他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递

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现的帕斯卡三角形。数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。

帕斯卡、毛罗利科、伊本穆思依姆等都很自觉地使用归纳推理，传承运用数学归纳法，但一直没有明确的名称，而是英国数学家德摩根在其命名上迈出了重要的一步，他曾在1838年伦敦出版的《小百科全书》中，建议将“归纳法（数学）”改为“逐次归纳法”，有意思的是在后来的一次无意中他无意中使用了“数学归纳法”这便成为了最早的名称。之后，英国数学家托德亨特的《代数》（1866年出版）中也采用了“数学归纳法”这一名称，从此这一名称在英国传播开了。1.2数学归纳法的逻辑基础

数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。

归纳公理：由自然数组成的集合为N，1N,若N中任意自然数的后继也属于N，则N包含了全部自然数。

2、数学归纳法的步骤及其类型

2.1 第一数学归纳法

设p(n)是关于自然数n的命题,如果p(n)满足:(1)p(1)成立；

(2)假设当nk时,命题p(k)成立；

可以推出p(k1)也成立，则命题p(n)对一切自然数n都成立。证明:设M是由满足命题p(n)的自然数组成的集合即M是自然数集N的子集,由于p(1)成立

1M,又由(2)知kM k1M

即k的后继k'M，由皮亚诺公理的归纳公理5得MN 因此对于一切自然数n，p(n)都成立。

第一数学归纳法的应用

22n(n1)333例1 用数学归纳法证明12n4nN

证明:（1）当n1时，左边=1=右边命题成立

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（2）假设nk时命题成立，即

k2(k1)212k4 33322k(k1)333(k1)3那么当nk1时，12(k1)4

(k1)2(k2)2

4即当nk1时命题也成立，所以原命题成立。

2.2 第二数学归纳法

假设p(n)是关于自然数n的命题,如果p(n)满足:(1)p(1)成立；

(2)假设p(n)对于所有满足ak的自然数a成立，则p(k)也成立； 那么,命题p(n)对一切自然数n都成立。

证明:设M{n|p(n)成立，nN},又设ANM(差集)假设A不空,由自然数的最小数原理, A有最小数a0 由条件(1)知1M,故a01 因此1,2a01M,又由条件(2)知a01M,必有a0M

这与a0A矛盾,所以A为空集

从而MN,则命题p(n)对一切自然数n都成立。

第二数学归纳法是第一数学归纳法的加强，在高考数学中不做要求，但是了解此方法很大程度上可以开拓一个学生的思维，体会其中的思想奥妙，在一定程度上可以激发学生学习数学的兴趣，促使学生去创新，与此同时可以发现数学的美。

2.3 数学归纳法其他类型（1）跳跃数学归纳法

①当n1,2,3,,l时，P(1),P(2),P(3),,P(l)成立，赣南师范学院2015届本科生毕业论文

②假设nk时P(k)成立，由此推得nkl时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数n1时，P(n)成立．

（2）反向数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 a)P(n)对无限多个正整数n成立；

b)假设nk时，命题P(k)成立，则当nk1时命题P(k1)也成立，那么根据①②对一切正整数n1时，P(n)成立．

（3）跷跷板数学归纳法

针对两个与自然数有关命题An,Bn a)证明A1成立；

b)假设Ak成立，递推证明Bk成立，即Ak成立推出Bk成立；

又假设Bk成立，由此递推证明出Ak1也成立，即Bk成立推出Ak1。于是，对于任意自然数，结论An,Bn都成立

3、结合高考试题体现数学归纳法

3.1 高考中数学归纳法题型的分析

在高考数学中，运用数学归纳法的证明一般不单独命题，考查常常渗透到数列综合题中，既考查推理论证能力，又考查探究思维能力。近年江西高考压轴题的数列不等式，常常会用到数学归纳法，且常与放缩法有关。其他省的高考题趋势也差不多，数学归纳法在高考中出现的几种题型主要是与数列、不等式、整除相结合考察，难度不是很大，但能体现出解题的效率大大增加，化复杂为容易、抽象为具体，是一个非常值得考察的知识点。3.2 数学归纳法在代数中的应用

在高考中数学归纳法知识的考察往往是结合代数一起进行的，而代数方面主要体现在数列、整除、不等式方面，但是在几何方面也是一个命题点，这样在一定程度上考察了学生的创新能力与想象能力，符合现代数学的教学目标。下面就这两大方面进行分析阐述。3.2.1数学归纳法在数列中的应用

高考数学中结合数列来体现数学归纳法是非常常见的题，有些数列的通项不

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好求，我们可以先对前面几项发现规律，进而进行猜想，继而用数学归纳法进行证明，这不失一种很好解决问题的方法。在生活上可以将此精髓应用，可以达到很好的效果。

例2 [2014·重庆卷] 设a11，an1an22an2b(nN)(1)若b1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．

(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN成立？证明你的结论．

解：(1)a22 a321

变下形式有a1111 a2211 a3311 根据这个规律进行猜想有ann11 下面用数学归纳法证明以上结论： 证明：

1、（1）当n1时，结论显然成立．

（2）假设nk时命题成立 即akk11

则ak1(ak1)211(k1)11(k1)11 当nk1时命题也成立 所以ann11nN

2、设f(x)(x1)211则an1f(an)

令cf(c)即c(c1)211解得c1 4下面用数学归纳法证明命题a2nca2n11（1）当n1时，a2f(1)0 a3f(0)21

a21a31结论成立 4（2）假设nk时结论成立，即a2kca2k11 易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而

cf(c)f(a2k11)f(1)a2

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即1ca2k2a2

再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得

cf(c)f(a2k22)f(a2)a31 故ca2k31因此a2(k1)ca2(k1)11 当nk1时命题也成立 综上，存在c

3.2.2数学归纳法在不等式中的应用

用数学归纳法证明不等式可以有效提高解题效率，解题过程得到优化甚至可以使避免一些具体问题或简化。直接使用数学归纳法进行不等式的证明时，在归纳和过渡往往存在一定的困难，如果能灵活地使用不等式的传递性和可加性，在恰当的时候使用过渡不等式和假设不等式与目标不等式的特征关系，通过放缩常数和强化命题等技巧,可以顺利完成归纳和过渡。同时，在利用它来解决不等式问题时首先要细心地观察，然后大胆地进行联想，发现一些内在的联系从而为解决问题提供了方法和途径。

例3 [2014·安徽卷] 设实数c0，整数p1，nN。

(1)证明：当x1且x0时，(1x)p1px ；

p1canan1p，证明：anan1cp。(2)数列{an}满足a1c，an1pp1p11使a2nca2n1对所有nN成立 4证明：(1)用数学归纳法证明如下

① 当p2时，(1x)212xx212x原不等式成立． ② 假设pk(k2,kN)时，不等式(1x)k1kx成立． 当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx1(k1)x

所以当pk1时，原不等式也成立。

综合①②可得，当x1，x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立。

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1p(2)先用数学归纳法证明anc ①当n1时，由题设知a1c成立；

②假设nk(k2,kN)时，不等式akc成立。由an1p1canan1p易知an0，nN ppak1p1cp1cak1(p1)akpppak1p1p当nk1时，1p由akc0得111c(p1)0 ppakp1ca1cc由(1)中的结论得(k1)p1(p1)1p(p1)p

akpakakpak因此ak1pc，即ak1c，所以当nk1时，不等式anc也成立。

综合①②可得，对一切正整数n，不等式anc均成立。再由

1p1p1pan1a1c1(p1)可得n11，anpanan即an1an

综上所述，anan1c，nN1p

点评：此高考题是用数学归纳法来证明著名不等式贝努利不等式，在一定程度上有回归到课本上的节奏，这题出现在高考试题上不仅是考察数学归纳法的知识，更重要的体现数学归纳法的功效，可以激发学生的创新思维，给学生想象空间，减少学生在探究未知知识时的畏惧心理。

在利用数学归纳法证明不等式，有些时候需要对命题的加强进而去证明，这样就可以把一个无从下手的题目进行处理，证得加强后的命题，因此原命题也成立。此方法在简答过程是由一定难度的，在学生成绩水平中具有区分度，但是很有必要让学生训练掌握，下面分析一个此类型的典高考题，体会下其中的思想、奥妙所在。

例4 [2008·辽宁卷]在数列{an}，{bn}中，a12,b14且an,bn,an1等差数列，bn,an1,bn1成等比数列nN

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1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4由此猜测{an}{bn}的通项公式，并证明你的结论； 2)证明：1115...... a1b1a2b2anbn12证明：1）略，直接写出几项进行归纳猜想进而用数学归纳法进行证明。2）分析：由于此问右边的式子与无关，不能直接用数学归纳法证明，因此可以加强结论之后再用数学归纳法证明。

当n1时，115不等式显然成立 a1b161211151......,n2 现用数学归纳法来证明ababab122n21122nna）当n2时，有1）知anbn(n1)(2n1)，命题成立 b）假设当nk时命题成立，那么当nk1时 由归纳假设有111511......a1b1a2b2ak1bk1122k2(k2)(2k3)

5115151 122k2(k2)(2k2)122(k2)122(k1)2所以当nk1时命题也成立

故得证。

3.2.3数学归纳法在整除中的应用

数学归纳法与整除性问题相结合，在一定程度上考察了一个学生的思维转换的能力，同时可以体现出学生对数学归纳法的理解与掌握程度。在最近几年里，各省未出此类题型，但是很有命题的趋势，并且有时候技巧性很强，所以值得去研究学习。

n例5 求证712n1能被9整除（n为正整数）

证明：令g(n)7n12n1

（1）当n1时，g(1)712118能被9整除，所以命题成立（2）假设nk时命题成立，即g(k)7k12k1能被9整除 那么当nk1时，g(k1)7k112(k1)1

7(7k12k1)9(8k2)

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由假设知7(7k12k1)能被9整除，而9(8k2)也能被9整除 所以g(k1)能被9整除

因此当nk1时命题也成立，所以原命题正确，得证。

说明：此类题型很多考生不能很好的配凑出假设结论出来，那么就要加一项减一项进行处理，对于整除本身是个抽象的问题就感觉困难，如果能找出此题的突破口，此类题就是比较好处理的。但是往往同学们很难把握到，针对这个问题，我们寻求另一种论证方法：“作差”，即求g(k1)g(k)的差，其优点是方法统一，容易显露问题的核心，便于寻求推证的途经，读者可以将这两种方法进行比较。另证：令g(n)7n12n1

(1)当n1时，g(1)712118能被9整除，所以命题成立(2)假设nk时命题成立，即g(k)7k12k1能被9整除 那么当nk1时，g(k1)7k112(k1)1

k1kg(k1)g(k)(712(k1)1)(712k1)则6(7k2)18(2m1)

其中m为整数

所以当nk1时命题也成立 所以原命题正确

3.3数学归纳法在几何中的应用

高考中用数学归纳法证明几何问题至今高考题中还没出现，但是思维是活跃的，可以激发学生的空间想象潜力，在将来知识爆炸的时代，选择优秀的人才，用数学归纳法证明几何问题将会是很好的选择，下面探究用数学归纳法证明几何问题的典型试题。

例6平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，求证它们：

1（1）共有f(n)n(n1)个交点；

2（2）互相分割成g(n)n2条线段；（3）把平面分割成h(n)

1n(n1)1个部分 29

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[分析] 本题利用几何法证明比较困难，因与n自然数有关，可考虑数学归纳法，结合图形，只要明确增加一条直线后发生的变化即可进行证明。

[证明]（1）当n1时f(1)0,g(1)1,h(1)2与图形性质相同，命题成立。(2)假设nk1(k2)时，命题成立，则当nk时，考查nk1及 增加一条直线l，这一条直线与原来的k1条直线的关系是它们都相交，各有一个交点。所以f(k)f(k1)k1又因为增加的一条直线l被原来的k1条直线分割成k段（即增加的k1个点把l分成k段）而l又把原来的k1条直线每条多分出一段（即增加的k1个交点把各交点所在的线段一分为二），共增加了kk1条线段。所以g(k)g(k1)kk1g(k1)2k1

又因为l被分割成k段，每段把该段所在的部分平面分成两部分，总共多出k个部分平面。所以h(k)h(k1)k，由假设易知f(k)h(k)1k(k1)1故nk时命题成立 21k(k1)，g(k)k2，2由（1）（2）知，对任何nN命题都成立。

[点评] 利用数学归纳法证明几何问题要语言叙述准确清楚，一定要讲清从nk到nk1时，新增加量是多少，也就是变化的状态。一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法，即在原来k的基础上，再增加1个，进而证明。也可以从k1个中分减1个来，剩下的k个利用假设。

4、数学归纳法的教学研究

4.1 对数学归纳法的教学建议

数学归纳法的知识点对于第一次接触的高中生来讲是一个很难理解的抽象问题，在一定程度上会阻碍他们理解该知识点，因此合理的教学在一定程度上会帮助学生克服面临的困难，与此同时可以帮助学生更好把握数学归纳法的题目，夺得更高的分数。下面提出几点教学的建议，此建议是根据《普通高中课程标准试验教科书数学选修2-2》数学归纳法知识排版选题提出的。(1)对数学归纳法原理的理解是这一节的难点，一定要特别注意

对数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的特别方法，其实它更应该反映的是一种递推的数学思想，先存在一个使结论成立的最小正整数n0，这是递推的基础，在这个基础上，假设当nk(kn0,kN)时，命题成立，根据这个假

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设，如能推出当n=k+1时命题也成立，那么久可以递推出对所有不小于n0的正整数命题都成立。这是递推的一句。有了这个一句，加上递推的基础，就可以说明对所有nn0的正整数n，命题都成立。

(2)通过教学要让学生认识到数学归纳法的两个步骤缺一不可。

数学归纳法的两个步骤缺一不可，教学中要向学生强调这一点。如果命题只证到nn0成立，就断定对一切正整数n都成立，即不做第二步证明，这就是不完整归纳，不足以证明命题的正确性。但没有第一步，也是不正确的。有些命题，如果只作第二步，完全可以做通，但事实上它们是不成立的。如1123+n=n(n1)1。

21若n=k时,123+k=k(k1)1

211123+k+(k1)=k(k1)1(k1)(k1)(k2)1，则可推得n=k+1时，22然而n=1时命题成立显然不成立。这个例子说明，数学归纳法的两个步骤是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，另一个是递推的依据（延续关系），二者缺一不可，教学中可以通过反例来让学生体会这一点。(3)教学中应引导学生特别注意根据题意找准初始值

（不是每个问题的初始值都是1）

教材所给例子中虽然第一步中的起始值都是从n=1开始的，但其实n从几开始要依据题目而论，只不过从n=1开始的题目比较普遍，难度也不太大，这一点教师可以依据学生情况做一补充。另外，在第一步骤中，只需证明n取第一个值时命题成立就可以了，无需继续验证其他有限个值，因为一旦有了“第一个”的基础，再有第二部递推的依据，即保证了n取第2个，第3个„„值时命题的正确性。

4.2 数学归纳法解题技巧

（1）起点前移：有些时候验证1比较困难，可以用验证n0成立代替验证n1，当然其他的点也可以向前移动，只要符合前移的起点对结论成立并且容易验证，为了简化问题，有意向前移动起点。

（2）起点增多：有些命题在证明nk向nk1这一步时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．

（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，可以改变跨度来实现，但是这样操作就会使起点增多。

（4）选择恰当的假设方式：归纳假设不是一定要用“假设nk时命题成立”，赣南师范学院2015届本科生毕业论文

我们可以根据题目的意思选取第一类、第二类、跳跃、反向数学归纳法的假设形式，灵活巧妙的处理。

（5）变换命题：有些时候我们需要利用一个辅助命题来帮助完成证明，也有的时候可以改成等价命题或则将证明的结论加强。这样才可以使用数学归纳法证明。

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参考文献

[1] 孙宏安.帕斯卡与数学归纳法[J].数学通报,1997(9)：28-30.[2] 罗增儒.关于数学归纳法的逻辑基础[J].数学教学,2004(8)：17-18.[3] 冯进.数学归纳法的发展历程[J].常热理工学院学报，2008(8)：21-25.[4] Rabinovitch L.RabbiLevi ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction [J].Archive for History of Exact Sciences,1970(6): 237-248.[5] 史久一，朱梧槚著．化归与归纳·类比·猜想．大连理工大学出版社，2008：16-20.[6] 朱华伟.高中数学新课程标准中的归纳法[J].数学通讯,2005(13）：26-30.[7] 黄光谷、黄川、蔡晓英、李杨.吉米多维奇数学分析习题集选解[M].出版社地址：华中科技大学出版社,2006:25-26.[8] 2011年IMO中国国家集训队教练组 编.2011走向IMO[M].上海：华东师范大学出版社，2011：30-31.赣南师范学院2015届本科生毕业论文

致谢

本论文是在导师刘育兴副教授悉心指导下完成的，导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不禁使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还是我明白了许多待人接物与为人处事的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢!

第五篇：2008年高考数学总结

2008年高三数学备课组工作总结

今年高考数学分数发生了出乎预料的大变化，广西的平均分为理科54分，文科49.41分，比07年的79.18分和71.08分分别下降25.18分和21.67分；是广西03年由标准分改为实际分以来的最低分的一年。我校桃源校区的高考数学成绩是理科58.6分，文科56.36分。面对这样的成绩我们真的不知道说什么好，辛辛苦苦拼搏了3年，而成绩刚达到总分的三分之一；真的是很惭愧。简直是以后都不知道怎样教学生了，自然，这份总结也很不好写，说你怎么努力、怎么紧扣考纲、做法有多好，但又不见你拿出好成绩。因此，在这里只能是把我们三年来的一些作法向大家作个汇报，希望各位领导各位同行多多指教。

一、备考工作从高一抓起

我们学校是自治区示范性高中，在市里享有较高的声誉。能就读沛鸿学校高中是学生的光荣和骄傲。他们刚进高一时，充满了激情和理想；在当年报名参加高中数学竞赛的总有几十人，这时候若趁热打铁容易收到事半功倍的效果。这一点，当年的数学教师邬建宁、邓臣斌、黄兵、谢吉宁等有着统一的认识。他们非常注意保护学生的积极性，关心和爱护每一个学生，积极辅导参赛选手，多表扬，多鼓励；主动和学困生沟通，利用课间10分钟、课外活动、晚自习时间诚心诚意的跟他们谈高中数学学习方法，耐心细致的解决数学问题；并且注意放大他们的闪光点，让他们体验成功看到希望。这些做法让学生深刻的感觉到老师在关注他，帮助他；自然就会添加学习的动力不断克服困难向前进。那时整个年级的学生对数学学习有畏难情绪的很少。直到高一结束，同类班级的数学成绩高低相差不过两分，基本上处于同等水平。到了高三年级，韦仕喜和唐江南两位教师加盟后，更是把关心、爱护学生的工作提高到更理性更科学的层次。除了平时的关爱外，还把 每次月考的情况作为找学生交流的的重要依据。同他们一次又一次的分析试卷，半个学期找遍所教班级所有学生。更是让学生理解了老师的良苦用心。尤其是唐江南、黄兵所教的7、8班集中了本年纪的几乎所有数学学困生，两位教师把求学看为求学生学习；千方百计动员那些为考艺术而不来学校复习的学生动员来校，再循循善诱他们克服困难，走向成功。这次参加会考424人，126人得A,占29。7%，一次通过率98.3%。取得比较理想的成绩，没有什么特殊的经验，简单说来就是最基本的两条：一是提前3个月印发了高中数学常用公式及复习指南，二是从高一就开始注重与学生的沟通；尤其是与学困生的沟通。

二、以《考试说明》为依据，突出主干知识的复习

高考复习的常规到位、订计划抓落实、团结协作等等问题，年年都一样，在此不重复。仅就〈考试说明〉出台前后讲一讲我们的一些做法。今年所使用的教材是02年以来的版本，一些传统的内容不断削减、淡化；例如三角函数的繁杂证明、立体几何的旋转体都逐渐离我们远去，复数仅要求最简单的运算即可。而不断加深强化的是向量、概率统计、导数及应用等等。必须明白增减的趋势，有选择的安排复习时间，复习才会有效益。对那些属于主干知识和近年来高考的考点、热点投入的时间要多，例如函数、数列、空间线面关系、坐标方法的运用和几乎所有的新增内容。而那些属于分支的知识，则是点到为止。一些少用难记的公式则到第三轮最后才去记它，例如多面体欧拉公式与线性回归公式等等。这些知识点的轻重与所花时间的多少，是在总复习开始，新的〈考试说明〉没有出台前，全组教师认真学习教学大纲和研究历年高考题一起制定的。实践证明我们做对了。08年的〈考试说明〉与07年的完全相同，前面提到的那几个属于分支的知识点一字未提。〈考试说明〉在对数学能力的要求即“思维能力”、“运算能力”、“空间想象能力”、“实践能力”、“创新意识”的内涵所做的界定非常清晰，分别有对应的例题和透彻的分析。我们只有认真学好〈考试说明〉才能把有限的时间投入到有效的复习中去。第二轮以及往后的复习的指导性文件就是〈考试说明〉，它所阐述的“命题原则”：

一、强化主干知识、二、淡化特殊技巧，强调数学思想与方法、三、深化能力立意、四、坚持数学应用、五、考察探究精神等等，都是我们的指导思想。许多思想原则我们在复习的过程都已经自觉或不自觉的实施了。例如我们把数学的“三基”贯穿于复习的始终；我们自己编的每份月考试卷充分体现了命题原则等等。教师和学生是非常听《考试说明》指挥的，因为它就是高考指挥棒；不听指挥肯定考不好。但是听指挥也不一定考得好。例如，《高考说明》指出：高考事实上对高中教学有着较强的评价导向作用，为稳定高中教学次序，照顾全国总体的实际教学水平，整卷难度控制在0.55左右比较合适。即平均分约82分。去年按照这一要求把握难度的唐老师所教班级得了平均分102分；今年认为难度和去年差不多；学生水平也相当，也把握同样的难度，结果得了68分。广西49.14分就是难度的0.32，离0.55相差比较远。可见老师和学生要听指挥，出题者也要听指挥，才能真正发挥高考促进教学和选拔人才的功能。

三、不同复习阶段的提醒和点拨

数学难就难在第一是内容多，复习到后面就忘记前面；第二是教材内容与高考要求相差太远，就算你把教材的题做的烂熟，高考也不会考得好。这就决定了复习一段时间后就要及时总结，把做过的题重新整理归类在考点周围，比较异同点，找出规律，把前后知识联系起来再向前复习。既滚动式地复习，螺旋式地上升。月考是帮助我们解决这个问题的重要方法。此外我们还有计划的在一些关键时间点给学生学习了以下资料：

一、07年10月印发了《解排列组合题八巧》；主要是对排列组合问题进行了总结和给出最优解法；

二、11月印发《高中数学常用公式》；为了备会考促高考，帮助学生理顺高中数学知识，人手一册该公式好用好查帮助记忆。

三、08年3月印发了从北京来南宁讲学的丁益祥老师部分讲稿《紧扣考试说明，提高复习效益》，主要讲从考试说明出发，解高考常见题、典型题问题。

四、4月份印发《给你提个醒》，对于学生在解题中易犯的各种错误：例如轨迹问题的端点取舍、符合某条件的多种结果、二次函数忽略了根的判别式、均值不等式的一正二定三相等条件等等共65个易犯错误进行了提醒。

五、5月份印发了07年高考真题及详细解答，让学生把目光收拢聚集在最近的试卷中。

六、5月下旬最后印发了“高考必胜”，从考试前一晚的复习、文具准备、考试答题顺序、技巧以及如何保持稳定的心理状态等等，给学生做最后一次的鼓励和提醒。

四、要补充说明的几点问题

1、把握好进度与深度的关系很重要

高考复习时间非常紧，必须有周密的计划，要有统揽全局的思想，首先要保证进度。任何一个章节都可以是无底洞，你不可能为它耗时过多而影响全局，至于复习得深与浅、掌握得好与差都是相对的，都有在最后查缺补漏的机会。

2、传统的“常规复习”与为参加模拟考的“突击复习”在阶段性的成绩方面有差别，在最后高考是无差别。我们在复习中用两个平行班作了尝试；一个班比较在乎市里的模拟考，在第一次模拟考前几乎把主干知识复习了一轮，结果模拟考考得不错；另一个班不“急功近利”，按常规方法一章一节去落实，结果模拟考考得稍差；但随着复习的深入，最后两个班的高考成绩无明显差别。

3、要加强对尖子生群体的辅导

在每次月考中总有一些数学相对考得好的学生，但他们总像走马灯似的不断变换，自生自灭，能保持总是名列前茅的学生非常少。以至到高考时，大家事先看好的那些学生大多令人大失所望。这除了题目难度问题、学生心理问题外，还有重要的一点就是我们未能及时帮助他们总结，把他们的局部经验上升为通性通法。许多特殊的技巧是局部有用，换了题就用不了。应特别向他们强调数学思想与基本方法，这是带有根本性的问题。掌握了它，你才能在千变万化的数学题面前找到切入点，有条不紊的发挥你的水平。这也是解决心理问题、克服慌乱的有效方法。

以上是我们备考的一些做法和体会。今天把它理顺出来，使一些好的做法不断完善，形成规律，对指导今后的备考还是有意义的。说得不到的地方，由新老高三双重身份的邓臣斌老师补充。

谢吉宁

2008．09．10