构造法在结构教学中的应用辩个人自述

第一篇：构造法在结构教学中的应用辩个人自述

个人自述

各位老师，下午好！

我是09级数学与应用数学专业师范二班的某某，我的论文题目是《构造法在初等代数中的运用》，本论文是在某某老师的悉心指导下完成的。下面请允许我将论文的研究目的及结构向老师做以简要说明，恳请各位老师批评指导。

构造思想方法是一种重要的思想方法，构造法在初等数学中具有广泛的运用。在我的论文中，我主要研究了构造法在初等代数中的运用方法。在初等代数构造法的运用中常通过构造方程、构造函数、构造几何图形等方法，在解决方程问题、函数问题、不等式证明问题及求最值等具体问题中得到了广泛的运用。熟练掌握构造法有利于学生熟悉所学过的各知识间的内在联系，并运用到解决问题的过程中，对于培养学生的认知能力、创新能力以及养成勤于思考、善于发现的习惯具有重要作用。

本篇论文分为三部分。第一部分，我首先写出了研究构造法的目的和意义，阐述了构造法的发展阶段及解题原则。第二部分，对方程、函数及几何图形中具体的构造方法进行了说明，而且给出例题加以分析和理解。第三部分，论述了构造法在初等代数中可以培养学生的能力，并通过所举例题进行进一步理解构造法是如何培养数学能力的。

本文是在查阅了大量的相关资料并选取了很多相关例题从而研究形成的。由于我的能力有限，论文还有很多不足之处，论文中对于每种具体的构造方法的内涵发掘还不够深入，对于构造法在初等代数中的运用还不够全面，缺乏一定的创造性。

经过本次论文的写作，我学习到了很多知识，并积累了不少经验。在此我特别感谢刘红玉老师对我悉心的指导和帮助，并向今天参加我论文答辩的老师表示由衷的感谢。通过此次的答辩，希望各位老师指出我的错误和不足之处，我将会虚心接受，从而进一步的深入学习和研究，使论文得到提高和完善。

以上是我对自己论文的简单介绍，谢谢！

第二篇：构造函数法在导数中的应用（小编推荐）

构造函数法在导数中的应用

“作差法”构造

证明不等式或解决不等式恒成立问题都可以利用作差法将不等式右边转化为0，然后构造新函数[F（x）]，最后根据新函数[F（x）]的单调性转化为[F（x）min≥0]或者[F（x）max≤0来解决.]

例1 设函数[f（x）=x1+x]，[g（x）=lnx+12].求证：当[0

∵[F（x）=1+x-x1+x2-1x=-x2-x-11+x2?x<0.]

∴[F（x）]在（0，1]上单调递减.∵[F（1）=12-0-12=0，]

∴[F（x）]≥0，当且仅当[x=1]时，等号成立.∴当[0

恒成立问题中，求参数范围的问题，常常分离参数转化为[a≤F（x）min或者a≥F（x）max，]其中[F（x）]为构造的新函数.例2 若不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，则实数[a]的取值范围是（）

A.（-∞，0）B.（-∞，4]

C.（0，+∞）D.[4，+∞）

解析不等式[2x?lnx≥-x2+ax-3]恒成立，即[a≤2lnx+x+3x]在（0，+[∞]）上恒成立.设[h（x）=2lnx+x+3x]，则[h′（x）=（x+3）（x-1）x2（x>0）].当[x∈（0，1）]时，[h′（x）<0]，函数[h（x）]单调递减；

当[x∈（1，+∞）]时，[h′（x）>0]，函数[h（x）]单调递增.所以[h（x）min=h（1）=4].所以[a≤h（x）min=4].答案 B

根据题干的“结构特征”猜想构造

1.根据运算公式[f（x）?g（x）′=f（x）g（x）+f（x）g（x）]和[f（x）g（x）′][=f（x）g（x）-f（x）g（x）g（x）2来构造]

例3 已知函数[f（x）]的定义域是[R]，[f（0）=2]，对任意的[x∈R]，[f（x）+f（x）>1]恒成立，则不等式[ex?f（x）][>ex+1]的解集为（）

A.（0，+∞）B.（-∞，0）

C.（-1，+∞）D.（2，+∞）

解析构造函数[g（x）=ex?f（x）-ex]，因为[g′（x）=ex?f（x）+ex?f（x）-ex=ex[f（x）+f（x）]-ex]

[>ex-ex=0]，所以[g（x）=ex?f（x）-ex]为[R]上的增函数.又[g（0）=e0?f（0）-e0=1]，所以原不等式转化为[g（x）>g（0）]，所以[x>]0.答案 A

例4 设函数[f（x）]满足[x2?f（x）+2x?f（x）=exx，][f（2）=][e28，]则当[x>0]时，[f（x）]（）

A.有极大值，无极小值

B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值

D.既无极大值又无极小值

解析构造函数[F（x）=x2?f（x）]

则[f（x）=F（x）x2′=ex-2F（x）x3，]

[令h（x）=ex-2F（x），则h（x）=ex（x-2）x.]

[∴h（x）]在（0，2）上单调递减；在[（2，+∞）]上单调递增.[∴h（x）≥h（2）=0].[∴f（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增.]

答案 D

2.根据已知条件等价转化后再以“形式”来构造

运用下列形式的等价变形构造：分式形式[f（b）-f（a）b-a<1，] 绝对值形式[f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]，指对数形式[1×2×3×4ׄ×n≥en-sn.]

例5 设函数[ f（x）=lnx+mx]，[m∈R].（1）当[m=e]（[e]为自然对数的底数）时，求[f（x）]的极小值；

（2）讨论函数[g（x）=f（x）-3x]零点的个数；

（3）若对任意[b>a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立，求[m]的取值范围.解析（1）当[m=e]时，[f（x）=lnx+ex]，则[f（x）=x-ex2].∴当[x∈（0，e）]，[f（x）<0]，[f（x）]在[（0，e）]上单调递减；

当[x∈（e，+∞）]，[f（x）>0]，[f（x）]在[（e，+∞]）上单调递增.∴[x=e]时，[f（x）]取得极小值[f（e）=lne+ee]=2.∴[f（x）]的极小值为2.（2）由题设知，[g（x）=f（x）-x3=1x-mx2-x3（x>0）].令[g（x）=0]得，[m=-13x3+x（x>0）].设[φ（x）][=-13x3+x（x>0）]，则[φ（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）]，当[x∈（0，1]）时，[φ（x）]>0，[φ（x）]在（0，1）上单调递增；

当[x∈（1，+∞）]时，[φ（x）]<0，[φ（x）]在（1，+∞）上单调递减.∴[x=1]是[φ（x）]的惟一极值点，且是极大值点.因此[x=1]也是[φ（x）]的最大值点.∴[φ（x）]的最大值为[φ（1）]=[23].又[φ（0）]=0，结合[y=φ（x）]的图象（如图）可知，①当[m>23]时，函数[g（x）]无零点；

②当[m=23]时，函数[g（x）]有且只有一个零点；

③当[0

④当[m≤0]时，函数[g（x）]有且只有一个零点.综上所述，当[m>23]时，函数[g（x）]无零点；

当[m=23]或[m≤0]时，函数[g（x）]有且只有一个零点；

当[0a>0]，[f（b）-f（a）b-a<1]恒成立[?f（b）-b0）]，∴[h（x）]在（0，+∞）上单调递减.由[h′（x）=1x-mx2-1≤0]在（0，+∞）上恒成立得，[m≥-x2+x=-（x-12）2+14（x>0）]恒成立.∴[m≥14（对m=14，h（x）=0仅在x=12时成立）.]

∴[m]的取值范围是[14，+∞].例6 已知[f（x）=（a+1）lnx+ax2+1]，（1）讨论函数[f（x）]的单调性；

（2）[设a<-1，?x1，x2∈（0，+∞），][f（x1）-f（x2）][≥4x1-x2]恒成立，求[a]的取值范围.解析（1）[∵x∈（0，+∞），∴f（x）=2ax2+a+1x.]

[①当a≥0时，f（x）>0，f（x）在（0，+∞）上单调递增.②当-10时，f（x）在（0，-a+12a）上单调递增；当f（x）<0时，f（x）在（-a+12a，+∞）上单调递减.③当a≤-1时，f（x）<0，f（x）在（0，+∞）上单调递减.]

（2）不妨设[x1≤x2，]由（1）可知，当[a<-1]时，[f（x）]在[（0，+∞）上单调递减.]

[则有f（x1）-f（x2）≥4x1-x2]

[?f（x1）-f（x2）≥-4（x1-x2）]

[?f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2.]

[构造函数g（x）=f（x）+4x，则g（x）=a+1x+2ax+4≤0].[∴a≤（-4x-12x2+1）min.]

[设φ（x）=-4x-12x2+1，x∈（0，+∞），]

[则φ（x）=4（2x-1）（x+1）（2x2+1）2.]

[故φ（x）在（0，12）上单调递减；][在（12，+∞）上单调递增].[∴φ（x）min=φ（12）=-2.]

[∴a≤-2.]

第三篇：微积分学中的函数构造法在求解不等式问题的应用

函数构造法在证明不等式方面的应用

杨利辉

(成都纺织高等专科学校人文社科与基础部，成都 611731)

作者：杨利辉（1970-），女，助教，主要从事大学数学教学及研究。

摘要：关于不等式的证明方法有很多种，而运用函数构造法证明不等式使得问题简单化，本文阐述了数学中构造法的含义及其应用所产生的影响，用实例介绍了函数构造方法的几种应用情形。关键词：函数构造法；不等式；证明

Abstract： There are various methods can be applied to prove the inequalities.Especially, the method of construction can make the problems of inequalitybe simplified.We first state the meaning of the method of construction which applies effectively to resolve the problems of inequality in advanced mathematics.Then, construction of function, graphic solution, inequality equation and so on will be introduced.And a soundly explanation of various method of construction will be given by illustration.Keywords：The method of structure；Inequality；Constructing function;continuous1、构造法及其意义

学习数学在于善于寻求解题方法，发现一条摆脱疑难、绕过障碍的途径，实现从已知到未知的转化，在解题过程中，由于某种需要，要把题设条件中的关系构造出来，将关系设想在某个模型之上得以实现，将已知条件经过适当的逻辑组合而创造出一种新的形式，从而使问题得到解决.构造法是根据问题的有关信息确定特定的映射关系构造出数学模型，将问题转化为对数学模型的数理机制的研究，从而达到解题的一种化归方法。化归是一种间接解决问题的方法，它在解决数学问题中的作用在于转化，就是把待解决或未解决的问题进行变形，分割，映射，或者简单化，或熟悉化，或具体化，直到归纳到一类已经能够解决或者比较容易解决的问题中去.运用构造法解题的巧妙之处在于不是直接去解问题A，而是构造一个与问题A有关 的辅助问题B，通过解答问题B 而达到解决问题A的目的.构造法是数学中最具有挑战 性的解题思路，它的合理使用使复杂问题简单化.特别是对于解决不等式问题，因为不 第1页

等式是两个数值或两个代数式或两个函数大小的比较，不等式的证明方法有很多种，而采取构造法证明不等式不仅可以提高解题速度，同时也拓宽了解题思维.构造法作为一种创造性的思维活动，对思维能力的培养和提高也有很大的益处，它作为一种重要的数学思想和常用数学方法，具有广泛的应用，在证明过程中，既能逢难化易，又能活跃思维，是培养创造性思维的一个极好的切入点.本文通过几个实例，阐述如何运用函数构造法来证明不等式的问题.2、几种常见的函数构造方法

在证明不等式时，先认真观察不等式的结构特征，或者作适当的变形后再观察，然后构造出一个与该不等式有关的辅助函数，利用辅助函数的有关性质去证明不等式，这种证明不等式的方法就叫做函数构造法。

2.1 利用函数的单调性构造辅助函数：

若fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且对于任何x∈(a,b)有fx0 则fx 在[a,b]上单调增加；若fx0，则fx在[a,b]上单调减小.例1已知m、n、都为正整数,且1mn，证明：(1m)n(1n)m.分析利用不等式左右两端形成一致构造函数，并结合单调性来解决问题.证设fxln1x(x2)，x

1xln(1x)

则fx，因为x2，2x

x1,ln(1x)lne1，所以1x

所以fx0，故f(x)在(2,+∞)时是减函数, 即ln(1m)ln(1n)，mn

所以ln(1m)nln(1n)m,故原不等式成立.例2设实数a,b,c，满足|a|1,|b|1,|c|1，求证：abc2abc.证构造函数faabc2abcbc1acb2，因为|b|1,|c|1,所以bc10，故f(a)为关于变数a的一次函数，且f(a)在（-1，1）上为单调函数，而f1bc1cb2b1c1，由|b|1,|c|1知f(1)0故f(a)为减函数，当1a1时，有f(a)f(1)0.从而题设条件下有abc2abc.2.2利用函数的局部保号性

例3已知|a|1,|b|1,|c|1,求证：abbcac1.证原不等式形为bcabc10，构造函数f(a)bcabc1，若bc0，不等式成立，若bc0，则fa是a的一次函数,又－1＜a＜1，而f1bcbc11b1c0，f1bcbc11b1c0,由单调函数的局部保号性有 fa0，从而得到abbcac1.2.3利用整函数多项式的性质

20062006

例

4是整数.分析:分子中两个幂底数的第二项与分母都相同，联想到函数值的求法。

证明：构造函数 fx1x

因fxfx，故f(x)是一个只含有 x 奇次项且不含常数项的整系数多项式函数，因此f(x)是一个只含有偶次项的整系数多项式函数，x20061x2006，又因为x

故原式是整数.2.4利用函数的凹凸性

设函数yfx在[a，b]上连续，若对[a，b]中任意两个值x1和x2（x1x2），恒有f(x1x2f(x1)f(x2))，则称yf(x)在[a，b]上是上凸的；若恒有2

2xxf(x1)f(x2)f(12)则称yf(x)在[a，b]上是上凹的.22

b]上是上凸的，若yf(x)在[a，则对该区间内任意n个自变量的值x1,x2,x3,,xn

有不等式

f(x1x2xnf(x1)f(x2)f(xn))成立 nn

而且仅当x1x2x3xn 时等号成立.例

5、在ABC中，求证：sinAsinBsinC

证明：设x1x2且x1、x2(0,)，令f(x)sinx，因为f(x1)f(x2)sinx1sinx2xxxxxxxxsin12cos12sin12f(12)，22222233.2所以ysinx在[0，]上是上凸的，因为A，B，C(0,)根据定理有

故sinAsinBsinC

3.2sinAsinBsinCABCsinsin，3333、小结

本文介绍了运用函数构造法证明不等式的一些方法。利用函数构造法证明不等式需要认真分析要证明的不等式所具有的特点，引用不同的构造法，然后运用其特性对不等式加以证明。

构造法在数学中的应用非常的广泛，运用构造法解决不等式问题培养了学生具有创

造性的数学能力和解决实际问题的能力，而创造性的能力的体现是创造性思维。

对于数学思维的培养及数学方法的培养也有一定的加强作用，有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，有利于激发学生学习兴趣，有利于提高学生学习的自觉性，把学生和教师从题海中解放出来，从而减轻教与学的过重负担。

参考文献

[1]陈传璋,朱学炎,金福临,欧阳光中.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1983.[2]李忠,周建莹.高等数学[M].北京:北京大学出版社，2002.[3] 陶兴模.中学数学问题研究与教学探讨[M].重庆:重庆出版社，2006.[4] 王仲春,李元中.数学思维与数学方法论[M].北京:高等教育出版社，1989.[5] 袁拥军.从一道竞赛题谈构造法解题[J].中等数学,2004（10）：20—22.

第四篇：构造思想在数学分析中的应用

构造思想在数学分析中的应用

【摘要】 构造思想是一种重要的数学思想，具有较强的灵活性与创造性.通过构造数列对数学分析中的二个重要定理进行了证明，不仅加深了知识点的理解，而且对提高学生解决问题的能力有重要意义.【关键词】 数学思想方法；构造数列；辅助元素

【课题名称】 独立学院数学分析的教学方法探究与改革 【课题编号】 JG2014014

一、引 言

数学分析蕴含着丰富的数学思想方法，如类比、变换、化归转化、构造、递推归纳、数形结合等，构造思想是层次较高的一种，灵活运用可以培养学生的创新意识，提高解决问题的能力.二、构造思想的涵义

在解决问题时，根据问题的条件和结论或问题的性质和特点，构造出一个与研究对象紧密相关的辅助元素，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使原问题得以解决；或者构造出一个符合条件但是不满足结论的反例来否定结论.三、构造思想的应用

该思想在数学分析中的应用广泛，如通过构造函数证明微分中值定理、通过构造图像证明不等式、通过构造不等式证明重要极限、通过构造反例证明发散等，在此主要介绍构造数列的应用.1.在数列与其子列的关系中的应用

数列及其数列的子列有以下的性质定理：

数列{an}收敛当且仅当数列{an}的任何子列都收敛，且极限值相等.即

lim n→∞ an=a任意子列{ank}，有lim k→∞ ank=a

该定理在分析数列收敛性，特别是证明数列发散中有非常重要的作用，只要找到一个发散的子列或者是找到两个收敛的子列极限值不同即可说明，如数列-1 n，其偶数项组成的子列收敛于1，奇数项组成的子列收敛于-1，从而-1 n 发散.该定理的应用较多，但其充分性的证明在教材中大都没有给出具体证明，下面通过构造的思想对其充分性进行详细的证明，方便学生加深理解.例1 对于数列{an}，若{an}的任意子列{ank}都有lim k→∞ ank=a，则lim n←∞ an=a

分析 题目的条件情况太多我们不好入手，且已知若{an}收敛，则{an}的任何子列都收敛，且极限值相等，故选择反证法，假设{an}不收敛于a，只要可以构造出一个子列不收敛于a即可.2.在海涅定理中的应用

海涅定理是连接函数极限与数列极限的桥梁，有24种形式，但教材中一般只给x→x0这一种证明，其他的只给出结论或留给读者.下面通过构造的思想对x→∞的情况的充分性进行证明.四、小 结

通过以上的结果，可知构造思想比较灵活，但在解题过程中，只要弄清楚条件与结论的本质特点，找出其中的联系便可构造出实现目的的辅助元素.其次海涅定理的其余几种形式的证明可参考上述证明过程.【参考文献】

[1]明清河.数学分析的思想与方法[M].济南：山东大学出版社，2004，7.[2]刘江蓉.用构造思想锻炼学生的创造性思维[J].高等函授学报（自然科学版），2010，6.[3]王兵.概率统计的思想方法[M].济南：山东教育出版社，2007，8.[4]刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.5.[5]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

第五篇：构造法在解决数学问题中的应用

构造法在解决数学问题中的应用

1220510062吕彬

摘 要：构造是在数学的学习里是最重要的思想方法之一，它能够简化其运算量，探求最优解法，充分发挥创造性，加强数学与其他学科知识间的联系，从而激发学生学习兴趣，进一步提高学生分析问题和解决问题的学习能力。本文主要探讨构造法在解决数学问题中的基本思想和策略,并且以具体实例探讨构造法在数学解题中的应用，目的是为解决数学问题的学习和研究提供相应参考。

关键词：构造法;模型;数学问题；

构造思想，简而言之就是指在对问题进行仔细的分析、对其实质进行了解深刻的基础之上，借助逻辑思维推理或长期经验的积累，充分发挥较强的想象力和创造性，把原有问题从原来的模式中转化为更具反映其本质特征的新模式的思想方法。

构造法就是构造出运用定理或公式的条件，或者对于所解决的题目赋予几何上的意义，构造是数学运用的基本思想方法。通过认真仔细的观察，将进一步深入的思考，构造解题的模型，因而使问题得到了相应解决。构造的内涵非常丰富，没有完完全全的固定模式套用。它是以现实问题的特殊性和广泛抽象的普遍性为基础。针对具体的数学问题特点进而采取相应的解决方法。在做题时，要擅于将形与数相结合，将式子与函数、图形、方程等建立相关联系，构造出一个新问题形式，架起一个连接结论和条件的桥梁，如函数、图形、模型、方程等，在几种形式之中找出对应关系。进而能把问题给以解决。利用构造法解题，可以使三角、几何、代数等各种知识相互渗透，有利于提高学生基础数学知识的灵活运用，加强学生解决问题与分析问题的能力，大大培养了学生的创新能力、思维能力。很多数学问题用构造法来解决，可以获出简捷、新颖、独特的方法。

构造法有许多种，其中重要的有构造图形法、构造数列法、构造方程法、构造方程法、构造反例法等，本文主要通过举例来说明构造法在数学解题中的应用。

1、在不等式证明中的应用

在初等数学中不等式的证明是一个重点，也是一个难点，证明不等式有很多方法, 比如大家都知晓的分析法、综合法、反证法、比较法、参量法、数学归纳法、放缩法、微分法等，在解决不等式证明中, 图解法和换元法是常用的方法之一，通过换元，可以将复杂不等式转化成简单不等式，通过构造函数，将不等式的条件化归为形象、直观的关系。在这，我来谈谈在不等式证明中构造法的应用。构造法是根据不等式的条件，构造满足题目条件的函数、图像、方程等，以这些方程、函数为桥梁，从而达到证明的目的。

下面我们来看看具体实例的问题：

例

1、已知：0d

c，n0，求证： 11nn (1c)(1d)nncd

1，对于任意xx0，因为 21xn证明：令f(x)(1x)n

2)[f(x11nn][f(x)](1x)(1x)0，121nnx2x

1nnxx11所以f(x)f(x)n2nn10 21nx1x2x1x

2所以f(x)在[0,]上单调增加，由0dc 知f(c)f(d)，即11nn，证毕。(1c)(1d)nncd

从此题可充分看出构造法的巧妙运用，大大帮助我们解题的效率，使题目变得简洁明了，下面我们再来看一个不等式的解法。

2、在数列问题中的应用

在解决一些自然数N或与不等式有关的题目时，根据问题所出的结论及条件的结构，一般情况可通过设想、转换等手段构造出一个与问题有关的数列，然而对解题有很大的帮助。构造法在数列中一般有三种：

1、由已知条件直接构造一个或者几个式子，再根据这些式子的相互结合、变化来解决问题；

2、把题目中给出式子变形，构造出新的式子来解题。

3、由问题的已知式子，重新构造出另一个式子，把两个式子建立关系相加、减、乘、除或者其他结合方式来解答问题；

例

2、在数列{bn}中，b18，b22且满足bn24bn13bn0，求数列{bn}的通项公式。

分析：放眼看本题无从下手，但是要是有心人仔细观察会发现题目中给出的条件经过变形构造出另外一个式子后，本题就会迎刃而解。

解：由bn

2bn24bn13bn0经过变形后构造出： bn13(bn1bn)，又b2b16

所以数列{bn1bn}是以6为首项，3为公比的等比数列

则bn1bn63n1，即bnbn163n2(n2)

再利用构造法会得出：

bn(bnbn1)(bn1bn2)...(b2b1)b1(6)(3n11)8113n 3

1本题是类型二的典型题目，通过给出条件进行变形转换构造出另一个式子，进而解题由复杂变简单。构造法在高等数学里是重点、难点，在数列里更是难点、重点，因此掌握好构造法对于解决数列的问题有很大帮助。

3、构造反例的应用

为了否定一个命题, 构造反例是经常用的方法。反例是指用来说明某个命题不成立的例子，它与论证是相反相成的两种逻辑方法，论证是用已知为真的判断确定另一个判断的真实性，反例是用已知为真的事实去揭露另一个判断的虚假性。

下面我们通过几个例子来具体谈谈构造反例的应用：

例

1、命题“若x,y为无理数，则x也为无理数”是否成立？

思考分析：此题假如从正面来回答是有很大的难度的，因此我们要利用构造反例法，构造出一个反例来进行证明。如下：

（1（2y

xy 为无理数，则取xy

xyy2仍为反例。同学们往往认为x,y是无理数，然而x一定是无理数，然而这个观念是错误的，从上

面可以看出x

y是无论它是无理数还是有理数，都对这个命题提供了一个反例，避免了从正面来证明此命题。

4、构造法在方程问题上的应用

日常生活中，我们在做数学题中会遇到许多方程问题，还有许多问题可以转化成方程问题进行解答，这个时候就需要我们构造出一些方程去解题。遇到需要构造方程的题目时，首先要把面对的问题转变为方程问题去对待，构造出方程后要讨论其性质特点，推出相关结论，最后将推出的方程或方程组结论带回原题中。

在运用方程的观点来解决数学问题时应该注意到：

（1）有时公式可以当做为等量关系或者方程。于是，求值问题可以看作是解方程，恒等式证明可以看作方程变形；

（2）函数有很多性质都能归结成为方程问题的研究；

（3）不等式的求解和证明和方程有关。

例

2、已知实数x,y,z满足xyz5,xyxzyz3，求z的最大值。

思考分析：对于题目中有两数积以及两数和的问题，我们可以考虑构造一个一元二次方程出来，然后借助判别式“0”来求最值。

解：因为xy5z,xy3z(xy)3z(5z)z25z3，是关于t的一元二次方程t2构造出x,y

实根，(5z)tz25z30的两个

由“(5z)

从而解得124(z25z3)0”可知(3z13)(z1)0，13131，当xy时，z适合题意，333z13z的最大值是

3用方程解决数学题是很简便的一种方法, 对于较为复杂的数学问题则要求根据题目需要去设计方程。方程与函数等许多知识有着密切的联系，可根据问题中的结构特点和数量关系, 构造出新的方程，从而使复杂的问题得到解决。构造方程法应用较广, 如求值、证明计算等问题都可以运用方程来解决，掌握这部分知识很重要。

5、构造法在几何图形中的应用

在几何问题中, 我们往往会遇到求夹角的最小(大)值和求线段的最短(长)距离等问题, 如果仅仅从几何方面去思考, 往往使问题难以解决, 倘若能够灵活地运用构造法, 问 题则会趋于简单。

数与形是数学研究中两个不同的侧面，但是这两个侧面并不是孤立的，而是相辅相成的。有一些数学问题，如果给问题中的代数关系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题作出透彻的分析，从而探讨出解决问题的途径。

如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论． 构造的图形，最好是简单而又熟悉其性质的图形． 这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系得到的解析几何图形．

华罗庚曾说过“数离开形少直观,形离开数难入微”,利用数形结合的思想,可沟通代数与几何的关系,使得难题巧解。所谓构造图形指的是如果问题条件中的数量关系有明显的几何意义或以某种方式可与几何图形建立联系，则可通过几何作图构造图形，将题设条件及其数量关系直接在图形中得到实现，然后在构造的图形中寻求原问题的结论。

例1 对于正数y,z,x,证明



思考分析：三个正数y,z,x

解：构造的三角形图如右图1,AC2z2y22zycos1200y2z2AB2z2x22zxcos1200x2z2xzBCyx2yxcos120xy

根据三角形三边的关系得：AB

222022AC 得证

本例构造的图形直观的反映图形的性质，从而使问题得解

结束语

通过以上几个例子，我们可以发现，构造法在解题过程中有着意想不到的功效，问题很快便可解决。构造法解题重在“构造”。构造法在数学解题中有很多的应用，是数学思想方法中很重要的一种。

参考文献

略