万有引力的定律的推导与证明

第一篇：万有引力的定律的推导与证明

万有引力的定律的推导与证明

我推导的，供大家参考与借鉴（QQ:1596058469）

关键词：微积分，椭圆，高阶导数，二维向量，极坐标，运动学方程。符号说明：

ax代表平行于长轴的水平加速度

ay代表平行于短轴的竖直加速度

r代表恒星与行星的距离

代表r与x轴夹角

t代表时间

r''代表r对t的二阶导数

r'代表r对t的一阶导数

代表行星对于恒星的角速度

'代表对t的一阶导数，即角加速度

i代表沿x轴正向的单位常矢量

j代表沿y轴正向的单位常矢量

a代表行星的合加速度

er代表行星与恒星连线的单位方向向量，方向由恒星指向行星a代表椭圆的长半轴

b代表椭圆的短半轴

c代表椭圆焦距

F1代表椭圆左焦点

S代表极径r线段扫过的面积

C代表任意常数

代表万有引力

Fx代表万有引力的水平分量

Fy代表万有引力的竖直分量

T代表行星公转周期

代表圆周率

m代表行星质量

M代表恒星质量

K代表开普勒常量

G代表万有引力常量

标量表示式：

d2(rcos)22axr''cos2r'sinr('sincos)(r''r)cos(2r'r')sin2dt

d2(rsin)22ayr''sin2r'cosr('cossin)(r''r)sin(2r'r')cos2dt

矢量表示式：

ax(r''r2)cos(2r'r')sin

ay(r''r2)jsin(2r'r')jcos

ercossinrcosrsinderisinjcosd

aaxay(r''r2)er(2r'r')der

d

现推导r()的函数关系式

x2y2

设椭圆的一般方程为221,则其左焦点坐标为F1(c,0),以F1为极点，建立极坐标方程，有：ab

(rcosc)2(rsin)2

1a2b2

化简：b2cos2a2sin2r22crb2cosb2c2a2b20又a2b2c2

2cb2cos4c2b4cos24b2cos2a2sin2b4

r2b2cos2a2sin2cb2cosb2c2cos2b2c2sin2cb2cosb2ab222b2c2sin2accos2accos

椭圆元面积：

12rd2

由开普勒 第二定律：单位时间内，极径扫过的面积是常数dS

dS12r常数dt2

即S与t是一次函数关系,其通解为：

S

 12rtC2dS12r常数dt2

r2'2rr'r2'0

2r'r'0

FFxFym(r''r2)erm(2r'r')derm(r''r2)erd

b2b2

r(ccosa)accosr

b2racrcos,左右对t求导，关键性一步：

0ar'cr'coscrsin

再对t求一次导，飞跃性一步：

0ar''cr''cos2cr'sincr('sin2cos)

0ar''c(r2r'')cosc(2r'r')sin

b2b2b2

20(accos)r''crcosr''r(a)(r''r2)r2arrr

r22a2r''rb22

r22aFm(r''r)erm2er b2

行星扫过一周的面积（S

S椭S(T)S(0)

r22ab

T

22212rtC）212rTab22ab2)a2323ra(r)a4a4aMmmemememe2er rrrr22222222bbrbrTrMTr其中Ka3/T2为开普勒常量2（42a3

记G为万有引力常量2MT

er指有恒星指向行星的单位方向向量，负号代表万有引力方向与er方向相反。综上：万有引力的公式为：FG

Mmer r2

第二篇：中考科学——初中物理推导与证明

1.2.3.4.5.6.7.8.由欧姆定律和串联电路的特点导出：串联的两个导体的总电阻等于各导体的电阻之和。并请你设计一个实验方案进行验证。由欧姆定律和并联电路的特点导出：并联的两个导体的总电阻的倒数等于各导体的电阻倒数之和。并请你设计一个实验方案进行验证。请证明在有两个电阻R1和R2的串并联电路中都有P=P1+P2 请证明：在远距离传输电能过程中若发电机输出功率和传输导线电阻一定的情况下，输电导线上因发热而损失的功率与传输电压的平方成反比。使用滑轮组提升物体在不计摩擦和绳重的情况下其机械效率与动滑轮上绳子的股数和物体被提升的高度无关。请证明对于同种材料制成的均匀实心的不同种柱体在高度相等时对水平面的压强相等。对于能够漂浮在液体上的物体总有：物液V排V物

对于密度比液体大的实心物体用弹簧秤悬挂并完全浸没在液体中时总满足：物

液GGT示数

9.一架不准确的天平，主要是由于它横梁左右两臂不等长。为了减少实验误差，在实

验室中常用“交换法”来测定物体的质量。即先将被测物体放在左盘，当天平平衡时，右盘中砝码的总质量为ml；再把被测物体放在右盘，当天平平衡时，左盘中砝码的总质量为m2。试证明被测物体的质量mm1m2

10.一具形状不规则的木棒水平放置于地面上，采用如下方法测定其重量：在木棒左端

以F1的竖直向上的力刚好能提起木棒，在木棒右端以F2的数值向上的力也能刚好提起木棒。证明木棒的重量G=F1+F2。

11.某汽车质量为M，当其在水平路面行驶时，发动机输出功率恒为P1，此时汽车以v1的最大速度匀速行驶。当汽车行驶入长度为L高为h的斜坡上，发动机输出功率为P2，已知在斜坡上汽车受到的总阻力为水平路面上的k倍。证明在斜坡行驶时汽车的最大速度v2

12.P2v1LMghv1P1kL

天津在支援四川德阳地区抗震救灾活动中，一辆满载物资的总重为G牛顿的运输车，将物资沿ABCD路线运至D处，AB段海拔高度为h1米，CD段海拔高度为h2米，如图l4甲所示。在整个运输过程中，汽车以恒定速度v米／秒运动，汽车t=0时经过A处，tl时经过B处，t2时经过C处，在此过程中汽车牵引力功率P随时间，变化的图象可简化为图l4乙所示(P1、P2、tl和t2也为已知量)。

甲乙

请利用已知量证明汽车沿斜坡BC段运动时所受总阻力

fP2(t2t1)G(h2h1)v(t2t1)

第三篇：和与差的对数公式的推导证明(公式编辑版)

和与差的对数公式的推导证明 张先胜

重庆市合川区农委，重庆市合川区（401520）

E-mail ：hcnw631@163.com

摘要：本文推导证明了和与差的对数公式，丰富了对数公式体系。

关键词：和差对数公式

中图分类号：O122.6

1.引 言

对数产生于十七世纪前二十五年。对数方法是苏格兰的皮纳尔独立决发现的，在其对数专著《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，布里格斯继承纳皮尔的未竟事业，发表了《奇妙对数规则的结构》详细阐述了对数计算和造对数表的方法。十八世纪，欧拉发现了指数与对数的本质联系。

经典对数理论已发现系列对数公式，幂积商等对数公式发现已久，但没有查询到和与差的对数公式。本文运用对数理论，推导证明了和与差的对数公式。

2.和的对数公式推导证明 设logaMp，logaNq，(a>0,a≠1)，由对数的定义得

MaPNaq

则

MNapaq，那么

loga(MN)loga(apaq)

根据

所以 aaxlogaax

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

将Map，Naq代入，得

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

logaMlogaNlog(aa)a

即分别用M、N的以a为底对数——logaM、logaN表示M与N的和(M+N)以a为底的对数。

3．差的对数公式推导证明 设logaMp，logaNq，(a>0,a≠1)，由对数的定义得

MaPNaq

则

MNapaq，那么

loga(MN)loga(apaq)

根据

a

所以

loga(MN)loga(apaq)xalogaax

loga(alogaa

palogaaq)将MapNaq代入，得

loga(MN)loga(apaq)

loga(alogaapalogaaq)

logaMlogaNlog(aa)a

即分别用M、N的以a为底对数——logaM、logaN表示M与N的差(M-N)以a为底的对数。

4．结论 综上所述，除存在幂积商等对数公式外，也存在和与差的对数公式。

（1）和的对数公式

loga(MN)loga(alogaMalogaN)

（2）差的对数公式

loga(MN)loga(alogaMalogaN)

参考文献

[1]数学手册。

[2] 百度百科。

作者简介: 张先胜，男，籍贯重庆市合川区，一九八五年四川农业大学毕业，科学爱好者。通讯地址：重庆市合川区南津街南园路35号合川农业委员会

邮编：401520

工作单位：重庆市合川区农业委员会

第四篇：《万有引力定律》说课稿

《万有引力定律》说课稿

各位领导、各位评委，你们好！

我是9号说课者，我说课的课题是：万有引力定律

一、教材的地位和作用

《万有引力定律》是人教版教材高中物理必修2第六章第三节的内容。从性质与地位上看，本节内容是对上一节教学内容的进一步外推，是下一节内容的基础；从思想方法上看，是猜想、假设与验证相结合、是演绎与归纳相结合的教学内容。教科书的立意还在于物理理论必须接受实践的检验。

二、学生情况分析

学生在本章的第二节中，已经学习了太阳与行星间的相互作用规律，在第五章中已经学习了匀速圆周运动的相关规律，这些为“月——地检验”的学习和理解奠定了一定的基础，但“月——地检验”中，是要验证同一物体在地面上不同高度（地面附近和地面上38万公里高的地方）受到地球作用力的大小关系的，可最后要转化为可验证地面附近物体自由下落的加速度（即重力加速度）和月球绕地球运动的加速度（即月球绕地球做圆周运动的加速度）之间的关系，这步转化不易理解，是学生理解“月——地检验”的一大障碍。

三、教学目标

根据本节课教材的结构和内容分析，结合高一年级学生的认知结构、心理特征以及学生的实际情况，我制定了以下的教学目标：

1、知识与技能

1)知道地球上的重物下落与天体运动的统一性；

2)知道万有引力是一种存在于所有物体之间的吸引力，知道万有引力定律的适用范围； 3)会用万有引力定律解决简单的引力计算问题，知道万有引力定律公式中r的物理意义。

2、过程与方法

了解万有引力定律发现的思路和过程，体会在科学规律发现过程中猜想和求证的重要性。

3、情感态度和价值观

1)了解万有引力定律发现的意义，体会科学发展对人们世界观的改变所起的作用； 2)了解引力常量G的测定在科学历史上的重大意义，体会科学家的在科学发展过程中所起的重要作用。

四、教学的重、难点

基于教材内容、学生的实际情况和教学目标的分析，我设定了以下的教学重难点。

重点：万有引力定律的发现过程，万有引力定律的理解和简单应用； 难点：“月——地检验”的理解。

五、教学法

为了讲清教材的重、难点，使学生能够达到本节内容设定的教学目标，基于本节课内容的特点，我主要采用了以下的教学方法：

1、启发式：

教师通过提问，明确要解决的问题，引导学生去思考。学生通过思考、讨论解决教师的提问。

2、自主、合作学习

发挥学生的主体性原则。学生能自学的地方，能合作解决问题的地方，教师就可以放手。

六、教学过程

课堂主要教学活动分为三个环节：引入、新课教学和课堂小结。

1、引入：（预计3—5分钟）

教师展示：【课件】幻灯片1——牛顿坐在苹果树下，苹果下落的照片。展示照片，目的是激发学生的好奇心，引起学生的无意注意。

教师提问：

（1）既然是行星与太阳之间的力使得行星不能飞离太阳，那么是什么力使得地面上的物体不能离开地球，总要落回地面呢？

（2）这两种作用是同一种性质的力吗？

（3）拉住月球使它围绕地球运动的力，与拉着苹果下落的力相同吗？这些力都遵循相同的规律吗？

这三个问题逐渐递进，问题越来越明确，也越来越具有可比性。只要能回答问题（3），也就回答了问题（2），解决了问题（1）。这里实则是猜想：拉住月球使它围绕地球运动的力，与拉着苹果下落的力性质相同，这些力都遵循相同的规律。

2、讲授新课：（预计35分钟）（1）月——地检验（预计15分钟）

首先，要学生弄明白将要验证的是什么；其次，要学生弄明白为什么要验证的是这个；然后，要学生思考怎么样才能验证这个。要验证的问题是：将某一物体分别放在地面附近和月球轨道上，检验物体在地面上不同高度受到地球作用力的大小是否满足1/602的关系。

为什么要验证的是这个：用同一物体或质量相同的两个物体，这样作用力的大小关系只由距离来决定，体现的是控制变量的思想。

如何才能验证这个？

教师提问：你能将这个物体放到38万公里高的地方，测出它受到地球对它的作用力吗？

设计这个问题的目的，是要学生通过思考、讨论，体会到：将这个物体放到38万公里高的地方不现实，至少牛顿那个时代的人做不到，也就是说，直接测量该物体在38万公里高度上受到的地球对它的作用力，不具有可操作性。对于已经预习过的学生，肯定是知道要将之转化为加速度的关系来验证，可是怎样转化，正是本节的难点所在。

教师提问：假设地面附近有个苹果，其质量等于月球的质量，这样算不算是同一个物体分别放在地面附近和距离地面38万公里高的地方了呢？

设计这个问题的目的，是要学生体会到：换一个角度，多一条路；正所谓：山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村。

教师启发式提问：根据牛顿第二定律，物体的加速度由什么决定？ 教师引导学生思考：力的作用效果之一，就是使物体产生加速度，既然力的关系难以验证，那么我们就验证力的作用效果好了。我们知道地面附近的物体在只受地球作用下做自由落体运动，而月球在地球的作用下做匀速圆周运动。

这样，问题就得到了转化。

教师提问：这两个加速度多大？它们满足1/602的关系吗？请你计算后说明。设计这个问题的目的，是要学生通过分组讨论、计算、验证，用数据说明牛顿的猜想的正确性。（此验证，所用数据都是常识，不必教师给出。）最后教师要指出：虽然在中学阶段只能将椭圆轨道近似为圆形轨道来证明万有引力定律，但牛顿当年是在椭圆轨道情形下证明了万有引力定律的。这一步是要学生体会：更严格的证明，需要更高的数学水平。从而激发学生的求知欲望。

（2）万有引力定律（预计10分钟）

这部分内容实则是：进一步猜想、进一步推广。

鉴于万有引力定律的文字叙述、数学表达式、各个量的物理意义及单位、适用范围等，都不难理解，因此，这部分内容我就交给学生自学去了。

完了，我再交代：牛顿将太阳与行星间的引力规律，一步步推广至自然界中任何两个物体之间，是需要魄力、胆识和惊人的想象力的，物理学的许多重大理论的发现，不是简单的实验结果的总结，它需要直觉和想象力，大胆的猜测和严格的证明。

我这么一交代，是培养学生敢想敢做的意识，也就是培养学生的创新意识和实践意识。

（3）引力常量（预计10分钟）

教师提问：如果你是牛顿同时代的人，当你听说牛顿弄出来个什么“万有引力定律”，你能据此算出两个人之间的引力吗？请解决课后问题与练习1。设计这个问题的目的，是要学生通过问题解决过程中出现的问题，而体会到两点：

1、引力常量的测定是多么重要，没有引力常量G的值，万有引力定律是没有应用价值的，还只是停留在理论的层面；

2、引力常量的测定难度之大，可以想象，在牛顿之后100年内，都没有人测定出来，从而为学生体会卡文迪许工作的重要性和难度之大打下伏笔。

教师提问：卡文迪许是怎样测量两个铅球之间的万有引力的呢？

这个问题，有时间的话呢，就展示【课件】幻灯片2，介绍卡文迪许的扭秤装置。没有时间的话呢，就不展开了，我就这么一问，只要学生心中一闪：是呀，这怎么测量呀？我的目的就达到了。

介绍完了引力常量G的值，教师还需指出：引力常量能够测定，本身就是对万有引力定律的一次证明。

教师提问：现在，我们有了较精确的引力常量G的值，那么，你能估算两个人之间的万有引力吗？请再次解决课后问题与练习1。

设计这个问题的目的，是要学生通过解决问题，体会两点：

1、万有引力定律的应用方法，各量的物理意义；2两个人之间的万有引力有多小，卡文迪许通过测量两个铅球之间的万有引力而测定引力常量G有多难。

3、课堂小结（预计3—5分钟）

要求学生先独立整理本节内容，弄明白自己会了什么？还有什么不懂的？然后小组内讨论，共同解决还不懂的问题。

完了教师指出：本节内容，主要是两个猜想、两步推广和两次验证。

4、板书设计

我比较注重直观、系统的板书设计，他能体现教材中的知识点和课堂的教学进程，以便于学生能够理解掌握。

5、布置作业。

作业为：课后问题与练习2、3。这两题，都是直接应用万有引力定律的，其训练价值有两个：

1、可加深学生对万有引力定律的理解，2、体会在宏观世界中万有引力起绝对的支配作用，而在微观世界中，万有引力是很微弱的。这为以后微观粒子所受万有引力的处理方法埋下伏笔。

各位领导、各位老师，我的说课完毕，水平有限，错误难免，还望指正，谢谢大家。说课教师：亳州二中 晏仲新 2012-4-18

第五篇：万有引力定律教案

《万有引力定律应用》教案

【教学目标】 1．（1）（2）（3）2．（1）（2）知识与技能

会计算天体的质量.会计算人造卫星的环绕速度.知道第二宇宙速度和第三宇宙速度.过程与方法

通过自主思考和讨论与交流，认识计算天体质量的思路和方法

预测未知天体是万有引力定律最辉煌的成就之一.引导学生让学生经历科学探究的过程，体会科学探究需要极大的毅力和勇气.（3）（4）通过对海王星发现过程的了解，体会科学理论对未知世界探索的指导作用.由牛顿曾设想的人造卫星原理图，结合万有引力定律和匀速圆周运动的知识推出第一宇宙速度.（5）从卫星要摆脱地球或太阳的引力而需要更大的发射速度出发，引出第二宇宙速度和第三宇宙速度.3．（1）（2）【教材分析】

这节课通过对一些天体运动的实例分析，使学生了解：通常物体之间的万有引力很小，常常觉察不出来，但在天体运动中，由于天体的质量很大，万有引力将起决定性作用，对天

体质量的计算，对天文学的发展起了方大的推动作用，其中一个重要的应用就是计算天体的质量.在讲课时，应用万有引力定律有三条思路要交待清楚。

1．从天体质量的计算，是发现海王星的成功事例，注意对学生研究问题的方法教育，即提出问题，然后猜想与假设，接着制定计划，应按计划计算出结果，最后将计算结果同实际结合对照....直到使问题得到解决.2．把天体（或卫星）的运动看成是匀速圆周运动，即F引=F向，用于计算天体（中心体）的质量，讨论卫星的速度、角速度、周期及半径等问题。

3．在地面附近把万有引力看成物体的重力，即F引=mg.主要用于计算涉及重力加速 的问题。 【教学重点】 1． 2．

【教学难点】

情感、态度与价值观

体会和认识发现万有引力定律的重要意义.体会科学定律对人类探索未知世界的作用.人造卫星、月球绕地球的运动；行星绕太阳的运动的向心力是由万有引力提供的 会用已知条件求中心天体的质量

根据已有条件求天体的质量和人造卫星的应用.【教学过程及师生互动分析】

自从卡文迪许测出了万有引力常量，万有引力定律就对天文学的发展起了很大的推动作用，这节课我们来学习万有引力定律在天文学上的应用.(一）天体质量的计算

提出问题引导学生思考：在天文学上，天体的质量无法直接测量，能否利用万有引定 律和前面学过的知识找到计算天体质量的方法呢？

1．基本思路：在研究天体的运动问题中，我们近似地把一个天体绕另一个天体的运动 看作匀速圆周运动，万有引力提供天体作圆周运动的向心力.2．计算表达式：

例如：已知某一行星到太阳的距离为r，公转周期为T，太阳质量为多少？

分析：设太阳质量为M，行星质量为m，由万有引力提供行星公转的向心力得：，∴提出问题引导学生思考：如何计算地球的质量？学生讨论后自己解决

分析：应选定一颗绕地球转动的卫星，测定卫星的轨道半径和周期，利用上式求出地球质量。因此上式是用测定环绕天体的轨道半径和周期方法测被环绕天体的质量，不能测环

绕天体自身质量.对于一个天体，M是一个定值.所以，绕太阳做圆周运动的行星都有

.即开普勒第三定律。老师总结：应用万有引力定律计算天体质量的基本思路是：根据行星（或卫星）运动的情况，求出行星（或卫星）的向心力，而F向=F万有引力。根据这个关系列方程即可.（二）预测未知天体：利用教材和动画模型，讲述自1781年天王星的发现后，人们发现天王星的实际轨道与由万有引力定律计算出的理论轨道存在较大的误差，进而提出猜想...然后收集证据提出问题的焦点所在---还有一颗未知的行星影响了天王星的运行，最后亚当斯和勒维烈争得在计算出来的位置上发现了海王星.（此部分内容，让学生看教材看动画，然后学生畅所欲言，也可以让学生课后找资料写一个科普小论文，阐述一下科学的研究方法.三）人造卫星和宇宙速度 人造卫星：

问题一：1.有1kg的物体在北京的重力大还是在上海的重力大？ 问题二：卫星为什么不会跳下来呢？ 问题三：

1、地球在作什么运动？人造地球卫星在作什么运动？

通过展示图片为学生建立清晰的图景．

2、作匀速圆周运动的向心力是谁提供的？

回答：地球与卫星间的万有引力即由牛顿第二定律得：

3、由以上可求出什么？

①卫星绕地球的线速度：

②卫星绕地球的周期：

③卫星绕地球的角速度：

教师可带领学生分析上面的公式得：

当轨道半径不变时，则卫星的周期不变、卫星的线速度不变、卫星的角速度也不变．

当卫星的角速度不变时，则卫星的轨道半径不变． 宇宙速度：当卫星轨道最低—贴近地球表面运动的时候呢？

上式中将R替换r，即可得到第一宇宙速度.注意:让学生亲自计算一下第一宇宙速度的大小，并帮助学生分析出来，第一宇宙速度就是最大的运行速度和最小的发射速度.引出第二宇宙速度和第三宇宙速度.指明应用的状况.【课堂例题及练习】

例1．木星的一个卫星运行一周需要时间1.5×10s，其轨道半径为9.2×10m，求木星的质量为多少千克？

解：木星对卫星的万有引力提供卫星公转的向心力：

，例2．地球绕太阳公转，轨道半径为R，周期为T。月球绕地球运行轨道半径为r，周期为t，则

太阳与地球质量之比为多少？

解：⑴地球绕太阳公转，太阳对地球的引力提供向心力

则，得：

⑵月球绕地球公转，地球对月球的引力提供向心力

则 ,得：

⑶太阳与地球的质量之比探空火箭使太阳公转周期为多少年？

例3．一探空箭进入绕太阳的近乎圆形的轨道运行，轨道半径是地球绕太阳公转半径的9倍，则 解：方法一：设火箭质量为m1，轨道半径R，太阳质量为M，地球质量为m2，轨道半径为r.⑴火箭绕太阳公转，则

得：………………①

⑵地球绕太阳公转，则

得：………………②

∴【课后作业及练习】 1． 的质量.∴火箭的公转周期为27年.方法二：要题可直接采用开普勒第三定律求解，更为方便.已知月球到地球的球心距离为r=4×10m,月亮绕地球运行的周期为30天，求地球

2．将一物体挂在一弹簧秤上，在地球表面某处伸长30mm,而在月球表面某处伸长5mm.如果在地球表面该处的重力加速度为9.84 m/s,那么月球表面测量处相应的重力加速度为

A．1.64 m/s

B．3.28 m/s

C．4.92 m/s

D．6.56 m/s 3．地球是一个不规则的椭球，它的极半径为6357km，赤道半径为6378km，物体在两极所受的引力与在赤道所受的引力之比为

参考答案：

1． 解：月球绕地球运行的向心力即月地间的万有引力 即有： 2

F向=F引=

得：

2．A

3． 1.0066