余弦定理对于任意三角形（共5篇）

第一篇：余弦定理对于任意三角形

余弦定理

对于任意三角形，若三边为a，b，c 三角为A，B，C—，则满足性质—

a^2 = b^2 + c^22〃a〃c〃cosB

c^2 = a^2 + b^2c^2)/(2〃a〃b)

cosB =(a^2 + c^2a^2)/(2〃b〃c)

（物理力学方面的平行四边形定则以及电学方面正弦电路向量分析也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b〃cos C+c〃cos B，b=c〃cos A+a〃cos C，c=a〃cos B+b〃cos A。编辑本段证明方法

平面向量证法(此方法简洁有力，充分体现了向量运算的威力和魅力。不能因为向量比余弦定理晚出现就觉得这个方法不妥当，因为向量的定义中不存在余弦定理，也就是说：向量的正确性不立足于在余弦定理，所以用向量证明余弦定理不存在逻辑问题。况且指数也比对数晚出现，可是如今定义对数用的就是指数方法。只要方法更优，逻辑上没有问题，我们尽可能追求简洁。）

∵如图，有c=a-b，c^2=(a-b)〃(a-b)=a^2+b^2-2a〃b=|a|^2+|b|^2-2|a||b|cos

=> c^2=a^2+b^2-2abcosC 粗体为向量，正常字体指的是边长

平面几何证法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角

(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。

(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)

判定定理一(两根判别法)：

若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取

减号的值

①若m(c1,c2)=2,则有两解

②若m(c1,c2)=1,则有一解

③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。判定定理二(角边判别法):

一当a>bsinA时

①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解

②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)

③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解

④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)

⑤当b

二当a=bsinA时

①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解

②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解)

三当a

解三角形公式

例如：已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。

解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。由余弦定理

cos A=0

所以∠A=90°.再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。

解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC〃cos A

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以BC=√7.(注：cos60=0.5,可以用计算器算）

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。

其他

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。

30° 45° 60° 75°

Sin 1/2 √2/2 √3/2（√6+√2)/4

Cos √3/2 √2/2 1/2(√6-√2)/4

Tan √3/3 1 √3 2+√3

先考虑怎样计算三角形第三边的长

实际应用

在实际生活中，余弦定理是在计算机应有技术中的智能推荐系统，新闻分类中的基本算法之一。从吴军的《数学之美》那本书上知道余弦公式是可以对新闻进行分类的，当然就可以用来对用户进行分类了。引用《数学之美》文章中的话：“向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。” “当两条新闻向量夹角的余弦等于一时，这两条新闻完全重复（用这个办法可以删除重复的网页）；当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类；夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。”同理，可以在推荐系统中用来计算用户或者商品的相似性。

余弦定理的前世

如果要算起最古老的数学定理，那自是勾股定理——远在几千年前的巴比伦时期就已经存在；要算起证明方法最多的数学定理，那也是勾股定理——有四五百种方法，爱因斯坦，美国总统这些人都参与进来。今日让我们简单回味一下勾股定理的前世今生，对这伟大的数学定理重新瞻仰。

勾股定理的最早记录，来自美索不达米亚时期的数学泥版。在一块泥版上，刻着“构成直角三角形的各边长”，比如（3,4,5），（5,12,13）等，这大概是最早的毕达哥拉斯数组的最早记录，虽然其远在毕达哥拉斯之前。不过，巴比伦人并没有将之写成统一的数学形式，他们只是将这些数组列成表格，方便计算。很显然，这个时期的数学都是为了解决实际问题。而且严格来说，巴比伦人也没有发现真正的勾股定理，但这作为勾股定理的雏形是绝对有道理的，因为毕达哥拉斯本人都很有可能是从巴比伦人那里学到了勾股定理。

这事一下子就得跳到古希腊时期，正如我们所知道的，由毕氏学派发现了勾股定理的一般形式。勾股定理在西方也就被冠以“毕达哥拉斯定理”的称号，在中国，最早记录勾股定理的文献，应该是《周髀算经》。不管怎么说，勾股定理的形式也就完全确定下来，至此以后就再也没有变过。但对其不断的证明和探索却没有停止，直到现在依然如此——爱因斯坦就是因为他独立证明出了勾股定理，产生出了对数学的兴趣，由此走上科学之路，有不明真相的童鞋据此写下这样一个等式：E=Mc=M(a+b)。

与我们知道的不同，古时的勾股定理并非如我们现在的形式——两直角边平方和等于斜边的平方。古希腊人对几何的崇拜，使得勾股定理的描述形式在很长一段时间里都是几何语言——两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。所以有后人对其表述形式作出了推广，比如将正方形改成三个相似图形。由于勾股定理作用在直角三角形中如此有效，人们自然会想到一般的三角形会不会由此类似的结论，对余弦定理的探讨由此展开。当然，由于在古代尚未发展处“三角函数”，甚至于连角度的概念都没有完全形成，所以所出现的余弦定理都只是现代余弦定理的几何等价形式。比如古希腊时期欧几里得，在其《几何原本》里就阐述了几条余弦定理的等价命题：

1：在钝角三角形中，钝角对边上的正方形，比钝角两夹边上的正方形之和大一个矩形的两倍，这个矩形就是由一锐角向对边的延长线做垂线，垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形。

2：在锐角三角形中，锐角对边上的正方形，比锐角两夹边上的正方形之和小一个矩形的两倍，这个矩形就是由一锐角向对边做垂线，垂足到原锐角顶点之间的一段与该边所构成的矩形。[1]

第二篇：任意三角形

主要的一些公式：

在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

（1）三边之间的关系：a^2＋b^2＝c^2。（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；

（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）

sinA＝cosB＝a/c，cosA＝sinB＝b/c，tanA＝a/b。

在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。

（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等,a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径）

（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

a^2＝b^2＋c^2－2bccosA；b^2＝c^2＋a^2－2cacosB；c^2＝a^2＋b^2－2abcosC。

三角形的面积公式：

（1）△＝ 1/2*a*ha＝1/2*b*hb＝1/2*c*hc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；

（2）△＝1/2absinC＝1/2bcsinA＝1/2acsinB；

（3）△＝a^2sinBsinC/2sin(B+C)＝b^2sinCsinA/2sin(C+A)＝

c^2sinAsinB/2sin(A+B)；

（4）△＝2R^2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）

（5）△＝abc/4R；

（6）△＝根号[s(s-a)(s-b)(s-c)] ；s=(a+b+c)/2 ；

（7）△＝r•s

解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。

（1）角与角关系：A+B+C = π；

（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；

（3）边与角关系：

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为外接圆半径）

余弦定理a^2＝b^2＋c^2－2bccosA；b^2＝c^2＋a^2－2cacosB；c^2＝a^2＋b^2－2abcosC

它们的变形形式有：a=2RsinA，sinA/sinB=a/b，cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc。

第三篇：解斜三角形之余弦定理 教案

解斜三角形之余弦定理

一、教学类型： 新知课

二、教学目的：

1、2、掌握余弦定理的推导过程（向量法）； 会解斜三角形。

三、教学重点：余弦定理的推导

教学难点：余弦定理在解三角形中的应用

四、教具: 黑板

五、教学过程：

（一）引入新课：

上节课我们学习了正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC ,是三角形的边与其角的正弦之间的关系，它的应用范围是什么呢？

1、2、已知两角，一边，求其他两边，一角;已知两边及一边的对角，求另一边的对角。

现在我提出一个问题:已知三边，如何求三角？

经过这一节课的学习，就可以回答这个问题了。下面我们来研究这个问题：

（二）讲解新课 这一节课，我们继续沿用向量法研究，仍然用“从特殊到一般”的数学思想。

如图所示，在直角三角形中，b²=a²+c²，在斜三角形中，它们又有什么关系呢？

AC=AB+BC |AC|²=AC·AC=(AB+BC)(AB+BC)=|AB|²+2BC·AB+|BC|²

=|AB|²+2|BC|·|AB|COS(180°-B)+|BC|² =|AB|²-2|BC|·|AB|COSB+|BC|²

b² = c²2bccosA c ² = b ² + a²-2abcosC 他们是不是也成立呢？这个留作思考题，不过答案是肯定的。这三个式子就是今天所要学习的余弦定理：

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边

与它们夹角的余弦的两倍。

将上述定理中的三个式子稍作变形，即得

cosA=﹙b ² + c ²-a ²﹚／2bc cosB=﹙c² + a²-b²﹚／2ac cosC=﹙ b ² + a²-c ²﹚／2ab 我们来看余弦定理的应用范围：

1、2、已知两边及夹角，求第三边极其他两角： 已知三边，求三角。

六、举例子：

在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求A,B,C(精确到1°)。解：已知三边，求三角。

cosA=﹙b ² + c ²-a ²﹚／2bc =（10 ²+6 ²-7 ²）／2×10×6 =0.725 查表，得 A≈44° cosC=﹙ b ² + a²-c ²﹚／2ab =（7 ²+10 ²-6 ²）／2×10×7 =0.8071 查表，得 B≈36° B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°

七、布置作业：

1、2、余弦定理的其他两种形式的证明； 课本131页：3.﹙3﹚（4）4.(2)

八、教学后记

第四篇：解斜三角形、正弦定理、余弦定理--冯自会

文尚学堂

文尚学堂学科教师辅导讲义

讲义编号***教学管理部***教学管理部***教学管理部

第五篇：三角形任意两边之和大于第三边教学案例

教学案例：三角形任意两边的和大于第三边

通伏小学 张永恒

教学内容：人教版八册P82 教学目标：

1、通过动手操作和观察比较，使学生知道三角形任意两边的和大于第三边；

2、能根据三角形三边的关系解释生活中的现象，提高运用数学知识解决实际问题的能力；提高观察、思考、抽象概括的能力以及动手操作的能力；

3、让学生积极参与探究活动，获得成功体验，产生学习数学的兴趣。重点：三角形三边之间的关系

难点：探索发现三角形三边之间的关系。教学准备：小棒、课件 教学过程：

一、引入

1、师：同学们，我们已经认识了三角形，你能告诉大家什么是三角形吗？ 生：由三条线段围成的图形叫做三角形。

师：不错，那么三条线段就一定能围成三角形吗？能（不能）

师：那我们就来围围看吧。谁愿意上来围？（两生上台演示——评析）

2、师：看来，有的三条线段能围成三角形，有的三条线段不能围成三角形。那下面我们大家都来围围三角形，好不好？ 二、三角形三边关系的探究

（一）围三角形，创建研究素材

1、师：（1）同桌两人合作，每次从5根小棒中任取3根来围三角形，将围的情况记录在白纸上。要求分工合作：一人围，一人记录。

2、学生操作（教师指导）

3、反馈：学生汇报能和不能围成的情况（教师板书记录）师：还有吗？情况不少，我们就用省略号来表示吧！

[检测错误情况——对同学们汇报上来的能和不能围成三角形的各种情况，对照自己的记录，看看谁还有意见？]

（二）思考讨论，发现规律

1、师：同学们，能不能围成三角形看来跟三条线段的什么有关？（长度），那么究竟怎么样的三条线段不能围成三角形？怎么样的三条线段又能围成三角形，下面我们先通过自己观察、思考，再与同桌进行讨论来发现其中的奥秘。

2、学生讨论（教师参与）

3、反馈 层次1：

师：下面我们先来看怎样的三条线段不能围成三角形？

（1）生：我们发现两边的和小于（等于）第三边就不能围成三角形。比如2+2小于5，就不能围成三角形。（师板书：2+2＜5，）

师：真的吗？来围给我们看看？（生上台围，展示）（2）师：是不是所有的情况都是小于呢？

生：我们发现两边的和等于第三边也不能围成三角形。3+3等于6，就不能围成三角形。（师板书：3+3=6）

师：也请你围给我们看看？（生展示）

检验其余记录下来的情况。（师生齐算，板书算式）层次2：（1）列举发现

师指着板书：这些能围成三角形的三条边又有怎样的关系呢？

生：我们发现两条边的和大于第三条边就能围成三角形。如2+3＞4，这样就能围成三角形。（师板书）

师：谁有不同发现？

生：我们认为必须每两条边相加和大于第三条边才能围成三角形。比如2+3＞4、2+4＞3、4+3＞2（师板书）

哪些组还有不同发现？

生：我们认为最短的两边的和大于第三条边就能围成三角形。如只要2+3＞4，就能围成三角形。

师：还有吗？（2）辨析

师：各自说说理由吧！生：因为如果只考虑一种情况是不行的，有时两条线段的和大于第三条线段，也不能围成三角形。

师：举个例子呢？引导学生引用“不能”的情况来反证。

生：比如在刚才不能围成的情况中：3+4＜8、8+4＞3、8+3＞4，出现了两个大于的情况，但只要存在两边和小于（等于）第三边的情况，也不能围成三角形。所以只考虑一种情况是不行的。

师：那么为什么最短的两条线段的和大于最长的线段就能围成三角形呢？ 生：因为最短的两条线段的和大于最长的线段，那么另外两组边加起来肯定比这一组长。意思是如果2+3＞4，那么2+4肯定＞3，4+3肯定＞2。

（师用实物在黑板上演示）

小结：因为只要最短两边的和大于了最长的边，那么其他任意两边的和都会大于第三条边的。所以你们两组的观点实际上是一致的。这也就是三角形三边关系的一个

重要结论：三角形任意两边的和大于第三边

三、应用

1、下面哪几组的三条线段能围成三角形？（3、4、5）（2、3、7）（3、3、3）（3、3、6）

2、根据3、3、6这题延伸。要求：拿掉一根3厘米的线段，再重新配一根其它长度的线段，使它们能围成三角形。（取整厘米数）

如果拿掉的是6分米，那么配上的一根最短应该是几？最长可以是几？

3、机动：16分米长的小棒如果要围成一个三角形，我们必须将它截成3段，其中最长的一边最多可以截几分米？为什么？具体可以怎样截，你有没有方法可以将所有的情况不遗漏也不重复的列举出来？（要求边取整分米数）

四、总结

师：这节课你有哪些收获？关于三角形三边关系还有值得我们探索的地方，比如三角形任意两边的差与第三边有怎样的关系？有兴趣的同学课外可以自己进行探索。

（另外还有一种思路：先告诉学生结论，然后通过验证来检查结论是否正确）

六、案例反思

这节课，我始终在教学活动中，以培养学生的自主探讨学习为主,在新授课的过程中能充分发挥学生自主学习的作用。因为教学内容相对简单，我在课上只要学生自己能说的、能做的我就绝对不说、不做。整堂课学生的自主学习相当充分，并不是留于形式，浮于表面，而是实实在在的自主学习。特别是在探索三角形分类的过程中，多次让学生观察、思考、讨论，自主探索三角形的分类知识，我仅仅起了组织和引导的作用。一节课下来，学生在动手操作、主动探索、交流辩论的过程中，进行自主的归纳、总结，他们在自主学习中获取知识的能力，在操作中感悟数学的能力，均得到较好的发展。