数学分析选讲课程教学标准（合集5篇）

第一篇：数学分析选讲课程教学标准

《数学分析选讲》课程教学标准 第一部分：课程性质、课程目标与要求

《数学分析选讲》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是为报考数学专业硕士研究生及对分析感兴趣的学生所开的一门选修课。本课程的目的是通过本课程的学习，使学生对已学过的数学分析的知识进行巩固、加深、提高，并扩大所学的知识，更好地掌握分析的基本思想、基本方法，使对所学的数学分析知识能做到触类旁通。

教学时间应安排在第五学期或第六学期。这时，学生已学完《数学分析》的课程，正准备硕士研究生的入学考试，且为了学生更好地利用时间，因此可把这门课安排在第四学期至第五学期的暑假及第六学期至第七学期的暑假。

第二部分：教材与学习参考书

本课程拟采用由裴礼文编写的、高等教育出版社1993年出版的《数学分析中的典型问题与方法》第一版一书，作为本课程的主教材。

为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：

1、数学分析讲义，陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，19992、数学分析解题方法600例，李世金、赵洁，东北师范大学出版社，199

2第三部分：教学内容纲要和课时安排

第一章 一元函数的极限

复习数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质，通过例子总结求数列、函数极限的方法，及用定义证明极限存在性。

通过这一章的学习，学习者要准确理解数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质，进一步熟练掌握求数列、函数极限的方法，及用定义证明极限存在性，理解数列的上、下极限的概念和性质。本章的主要教学内容（教学时数安排：10学时）：

§1.1数列极限和无穷大量

§1.2函数极限

§1.3数列的上、下极限

第二章 实数的基本定理及函数的连续性

对实数的基本定理——七大定理（确界存在定理、单调有界定理、闭区间套定理、Weierstress定理、Cauchy收敛原理、有限覆盖定理、聚点定理）的内容加以复习及没证明过的定理给予补充证明，及给出例子加以说明它们的应用，同时本章介绍连续性的证明，连续性的应用，一致连续，半连续与函数方程等方面的内容。

通过本章的学习，学习者要理解实数的基本定理及其应用，掌握连续，一致

连续概念及性质，掌握连续性的应用及一致连续的证明，同时理解用连续模来描述一致连续性，理解半连续。

本章的主要教学内容（教学时数安排：12学时）：

§2.1实数的基本定理

§2.2一元函数的连续性

§2.3一致连续

§2.4上、下半连续

第三章 一元微分学

复习一元函数导数的基本概念、微分中值定理、Taylor公式、函数的凸性。给出例子讨论微分中值定理的应用、讨论带Lagrange余项与带Peano余项的Taylor公式在解题中的若干应用、以及用微分方法讨论不等式、以及与不等式密切相关函数的凸性的问题。

通过本章的学习，学习者要熟练掌握微分导数的定义；进一步掌握微分中值定理、Taylor公式及其应用；掌握用微分方法讨论不等式、以及与不等式密切相关函数的凸性的问题。

本章的主要教学内容（教学时数安排：18学时）：

§3.1导数与微分

§3.2微分学基本定理

§3.3Taylor公式

§3.4导数在研究函数上的应用

§3.5函数的凸性

第四章 一元函数的积分学

本章在复习已学过的一元函数的积分学的基本知识后，主要讨论如下几方面的内容：积分与极限、可积性、积分值的估计、积分不等式与定积分的若干综合性问题、若干著名的不等式、反常积分。

通过本章内容的学习，学习者进一步熟练掌握一元函数的积分学的基本概念及基本性质；掌握利用积分求极限及求积分的极限；初步掌握定积分的可积性的证明；掌握利用变形求估计及积分估计的应用；掌握证明积分不等式的若干基本方法；掌握几个著名的不等式的变形与应用；掌握反常积分的计算及其收敛性的判定。

本章的主要教学内容（教学时数安排：14学时）。

§4.1不定积分

§4.2定积分

§4.3反常积分

第五章 级数

本章复习归纳数项级数敛散性的判别法，函数列、函数项级数一致收敛的概念及其判别法，求幂级数收敛半径、收敛域、级数和的方法，以及级数和的分析性质。并用有一定难度的例子来加深这些方面的训练，使得学生能够更好地掌握

这一章节的内容。

通过本章的学习，学习者进一步熟练掌握数项级数的判别法；准确理解函数项级数收敛和一致收敛的概念；熟练掌握函数项级数的一致收敛的判别法；准确理解一致收敛函数项级数的三大性质定理；理解掌握幂级数的性质，掌握幂级数的收敛区间的求法；掌握函数展成幂级数的条件，熟练掌握几个基本初等函数的幂级数展开式；利用幂级数的性质掌握一些级数求和。

本章的主要教学内容（教学时数安排：10学时）：

§5.1数项级数

§5.2函数项级数

§5.3幂级数

第六章 多元函数的微分学

复习近平面点集、二元函数极限、连续的定义、及偏导数、全微分的定义。归纳二元函数极限的计算方法、证明二元极限不存在的常用方法；二元函数连续性的证明及应用；二元函数偏导数的计算及可微、不可微的证明。

通过本章的学习，准确理解平面点集、二元函数极限、连续的定义、及偏导数、全微分的定义。掌握二元函数极限的计算方法、证明二元极限不存在的常用方法；掌握二元函数连续性的证明及应用；掌握二元函数偏导数的计算及可微、不可微的证明。

本章的主要教学内容（教学时数安排：8学时）：

§6.1多元函数的极限与连续

§6.2多元函数的偏导数

第七章 多元积分学

复习广义积分、含参量积分的各种敛散性判别法及含参量广义积分的一致收敛性判别法；含参量积分及含参量广义积分的连续性、可微性、可积性及其它们的应用；二重积分、三重积分的计算；第一类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲线积分、第二类曲面积分的计算；格林公式、高斯公式、斯托克司公式的应用。

通过本章的学习，掌握广义积分、含参量积分的各种敛散性判别法及含参量广义积分的一致收敛性判别法；掌握含参量积分及含参量广义积分的连续性、可微性、可积性及其它们的应用；掌握二重积分、三重积分的计算；掌握第一类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲线积分、第二类曲面积分的计算；掌握格林公式、高斯公式、斯托克司公式的应用。

本章的主要教学内容（教学时数安排：8学时）：

§7.1含参量积分

§7.2含参量的反常积分

§7.5重积分

第四部分：教学方案简要说明

课时计划是每周4学时，总约80学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，由于这门课是在已学完数学分析的基础上

开设的选修课，因此需要学生课后复习已学过的知识，同时根据学生在论证题比较薄弱的特点，课堂上讲授大量有一定难度的论证例题，拓宽学生的解题思路。本课程可以采用多媒体辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。

第五部分：课程作业与考核评价

本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课（4学时）由教师统一布置一些思考作业，总量达到20余次，由于这些思考题有一定的难度，鼓励学生互相讨论完成。

本课程的半期考试采用写小论文的形式，期末考试采用闭卷考试方式。考试题目的一般类型：（1）是非题或选择题：基本概念或基本计算、分析；

（2）计算题：求极限、级数和等等；（3）理论分析证明题。

本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括：课堂表现、平时作业完成情况、半期考。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。

制定者：谢碧华执笔

校对者:

审定者：苏维钢

批准者：×××

第二篇：数学分析专题选讲教案目录

数学分析专题选讲教案目录

第一专题 极限理论中的若干基本方法

教案1(数学分析专题选讲教案1-1)……………………………………….1 教案2(数学分析专题选讲教案1-2)……………………………………….8 教案3(数学分析专题选讲教案1-3)……………………………………….16 教案4(数学分析专题选讲教案1-4)……………………………………….25

第二专题 函数连续性中的若干基本方法

教案5(数学分析专题选讲教案2-1)……………………………………….32 教案6(数学分析专题选讲教案2-2)……………………………………….44

第三专题 微分中值定理中的若干基本方法

教案7(数学分析专题选讲教案3-1)……………………………………….51 教案8(数学分析专题选讲教案3-2)……………………………………….58 教案9(数学分析专题选讲教案3-3)……………………………………….65 教案10(数学分析专题选讲教案3-4)………………………………………69

第四专题 定积分中的若干基本方法

教案11(数学分析专题选讲教案4-1)………………………………………77 教案12(数学分析专题选讲教案4-2)………………………………………88 教案13(数学分析专题选讲教案4-3)………………………………………95 教案14(数学分析专题选讲教案4-4)…………………………………….103

第五专题 无穷级数与无穷积分中的若干基本方法

教案15(数学分析专题选讲教案5-1)…………………………………….111 教案16(数学分析专题选讲教案5-2)…………………………………….119 教案17(数学分析专题选讲教案5-3)…………………………………….126

第六专题 多元函数微分学中的若干基本方法

教案18(数学分析专题选讲教案6-1)…………………………………….131 教案19(数学分析专题选讲教案6-2)…………………………………….141 教案20(数学分析专题选讲教案6-3)…………………………………….148

第七专题 函数级数与含参变量无穷积分中的若干基本方法

教案21(数学分析专题选讲教案7-1)…………………………………….156 教案22(数学分析专题选讲教案7-2)…………………………………….162 教案23(数学分析专题选讲教案7-3)…………………………………….169 教案24(数学分析专题选讲教案7-4)…………………………………….177

第八专题 多元函数积分学中的若干基本方法

教案25(数学分析专题选讲教案8-1)……………………………………185.教案26(数学分析专题选讲教案8-2)……………………………………195.教案27(数学分析专题选讲教案8-3)……………………………………205.教案28(数学分析专题选讲教案8-4)……………………………………217.教案29(数学分析专题选讲教案8-5)……………………………………225.附件: 1.数学分析专题选讲课程简介…………………………………………..231 2.数学分析专题选讲课程教学大纲……………………………………..232 3.数学分析专题选讲课程考试大纲……………………………………..238

第三篇：数学分析课程教学大纲

《数学分析》课程教学大纲

(理工科师范类数学教育专业)

说明

数学分析是理工科师范类数学教育专业的一门必修的基础课。这门课程对于学员加深理论基础的学习，增强基本技能的训练，提高数学修养和业务素质，以便居高临下地分析和处理中学数学教材，有着重要作用。

本课程以极限概念为基础，主要内容为一元微积分的理论和应用。

本课程的教学目的一要求是：

一、使学员对极限思想与方法有较深刻的认识，弄清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，学习科学的思想方法，以利于辩证唯物主义世界观的培养与形成。

二、使学员掌握数学分析的基本知识、基本理论与基本技能，提高抽象思维、逻辑推理与运算的能力，并认识到数学分析在自然科学与社会科学中的广泛应用。

三、使学员对中学数学的有关内容有较深刻的理性认识，能深入浅出地处理好这些教材内容。

本大纲是在国家教委1990年颁布的《中学教师进修高等师范专科数学分析教学大纲》基础上修订而成。本课程课内学时为288学时，其中录像220学时(学时分配见下表)。

大纲内容

一、函数

（一）目的要求

１、正确理解和掌握函数概念，了解函数的各种表示法和记号；理解和掌握函数的四则运算与复合，会求函数的定义域；掌握反函数的定义和图象等。

２、理解和掌握有界函数与无界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数等概念。３、熟练掌握五种基本初等函数的定义与性质，能熟练地绘出它们的草图。

４、了解几个常用的非初等函数的例子。

（二）主要内容

１、函数概念（函数概念绝对值不等式定义域值域函数的符号图象 函数的各种表示法）

２、函数的特性种类（有界函数与无界函数单调函数奇函数与偶函数周期函数）３、函数的四则运算与复合４、反函数（定义存在的充要条件图象）

５、基本初等函数（幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数）６、初等函数（基本初等函数初等函数）

７、几个非初等函数的例子（整数部分函数小数部分函数符号函数狄里赫勒函数黎曼函数）

二、极限

（一）目的要求

１、理解和掌握数列极限与函数极限的概念，掌握它们的有关性质。

２、理解和掌握无穷小量与无穷大量的概念，掌握它们的有关性质。

３、会用“ε-N”、“ε-δ”、“ε-E” 等语言处理极限的有关问题。

４、能运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理与两个重要极限，熟练地求极限。

（二）主要内容

１、数列极限的概念（数列数列极限的定义几何意义）

２、数列极限的性质（唯一性有界性保号性保序性两边夹定理四则运算定理单调有界数列极限存在定理）

３、子数列（子数列数列极限与子数列极限的关系）

４、函数极限的概念（在一点处函数极限的定义左、右极限及其与双边极限的关系 χ→∞时的极限几何意义）

５、函数极限的定理（函数极限的性质函数极限与数列极限的关系）

６、两个重要极限

limsinχ── χ ＝1lim（1＋1─ χ）χ＝ е

χ→0χ→∞

７、无穷小量与无穷大量（无穷小量与无穷大量的定义、关系、性质、无穷大量与无界的区别无穷小量比较）

三、连续函数

（一）目的要求

１、理解和掌握函数连续的概念，一致连续概念要清楚。

２、对于间断点及其分类要有清楚的了解。

３、掌握闭区间上连续函数的性质。

４、了解初等函数的连续性。

（二）主要内容

１、连续概念（一点处连续、单侧连续与区间上连续的定义间断点及其分类）

２、函数在一点处连续的性质（有界性全保号性四则运算复合函数的连续性反函数的连续性）

３、闭区间上连续函数的性质（价值性有界性量值定理一致连续定理（均暂不证明））

４、初等函数连续性

四、实数的连续性

（一）目的要求

１、了解实数集关于极限运算的封闭性。

２、了解实数连续性的几个基本定理的证明方法并掌握其条件与结论。

３、了解闭区间上连续函数的性质的证明方法。

（二）主要内容

１、几个基本定理（闭区间套定理确界确界存在定理聚点聚点定理有限覆盖定理柯西收敛准则）

２、闭区间上连续函数性质的证明（一致连续定理不证）

五、导数与微分

（一）目的要求

１、掌握导数与微分的概念及其几何意义，了解它们的应用。

２、能熟练地应用导数的定义与求导法则求函数的导数。

３、会求一些函数的高阶导数。

（二）主要内容

１、导数概念（概念引入导数定义几何意义可导与连续的关系）

２、求导法则（四则运算复合函数与反函数的导数基本公式表）

３、隐函数与参数方程求导（隐函数求导法则参数方程求导法则）

４、微分（微分定义几何意义微分与导数的关系微分法则一阶微分形式不变性微分在近似计算上的应用）

５、高阶导数与高阶微分（高阶导数莱布尼兹公式（不证）高阶微分）

６、几何应用（曲线的切线方程与法线方程两条曲线的交角弧长的微分）

六、微分学中值定理和泰勒公式

（一）目的要求

１、掌握中值定理的条件、结论和证明方法。

２、会用中值定理证明一些恒等式与不等式。

３、会求一些简单函数的泰勒展开式。

（二）主要内容

１、中值定理（费尔引理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理）

２、泰勒公式（泰勒公式泰勒公式的余项（拉格朗日型））

七、导数的应用

（一）目的要求

１、能熟练地应用洛毕大法则求不定理的极限。

２、会利用导数判定函数的单调性，会求函数的极值和最大（小）值。

３、能运用导数较正确地作出函数的图象。

（二）主要内容

１、洛毕大法则（0 ─0 型∞─∞ 型（不证）其他不定型的转化）

２、函数的单调性（函数单调的充要条件函数严格单调的充要条件应用函数的单调性证明不等式）

３、函数的极值（极值概念极值判别法最大值与最小值）

４、函数作图（函数的凹凸性拐点渐近线函数作图）

八、不定积分

（一）目的要求

１、掌握原函数与不定积分概念。

２、熟练掌握换元积分法与分部积分法，了解不理函数积分法。

（二）主要内容

１、不定积分的概念（原函数与不定积分的概念不定积分的运算法则基本积分表）２、换元积分法（凑微分法典型代换法）

３、分部积分法

４、有理函数的积分（有理函数部分分式（了解原理，掌握方法））

∫dχ──────（χ2＋a2）n的递推公式

５、三角函数有理式和积分

九、定积分

（一）目的要求

１、正确理解和掌握定积分概念，了解可积准则，掌握可积函数类。

２、掌握定积分的性质，能熟练地应用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分。

３、掌握并正确用换元积分法与分部积分法。

（二）主要内容

１、定积分概念（概念引入定积分的定义）

２、可积准则（大和与小和可积的必要条件可积的充要条件）

３、可积函数类（连续函数只有有限个间断点的有界函数单调有界函数可积分函数类与有原函数的函数类的区别）

４、定积分的性质（线性有限可加性单调性绝对可积性积分第一中值定理）５、定积分的计算（可变上限的定积分牛顿－莱布尼兹公式换元积分法分部积分法）

十、定积分的应用

（一）目的要求

１、掌握定积分在几何上的应用，了解定积分在物理上的应用。

２、了解定积分的近似计算。

（二）主要内容

１、定积分在几何上的应用（微元法平面区域的面积平面曲线的弧长利用截面面积计算立体体积旋转体的侧面积）

２、定积分在物理上的应用（静压力变力作功非均匀曲线的质量）

３、定积分在近似计算（梯形法抛物线法）

十一、数项级数

（一）目的要求

１、掌握无穷级数及其敛散性等基本概念。

２、了解收敛级数的性质。

３、能熟练使用几种常用的判敛法则。

（二）主要内容

１、数项级数的敛散性（无穷级数部分和收敛与发散和与余和收敛级数的性质收敛的必要条件柯西准则）

２、正项级数敛散性判别法（比较判别法级数通项比值极限法达朗贝尔判别法柯西判别法）

３、任意项级数敛散性判别法（绝对收敛与条件收敛交错级数莱布尼兹判别法）

十二、函数项级数

（一）目的要求

１、掌握函数项级数的收敛域、和函数与一致收敛等基本概念。

２、会使用一致收敛的优级数判别法。

３、掌握和函数与极限函数的分析性质。

４、了解极限、收敛的否定语句叙述。

（二）主要内容

１、函数项级数的收敛域（函数项级数收敛域和函数极限函数一致收敛极限与收敛的否定语句叙述）

２、一致收敛的判别法（柯西准则优级数判别法）

３、函数项级数的分析性质（和函数的连续性、可积性、可微性极限函数的连续性、可积性、可微性）

十三、幂级数

（一）目的要求

１、弄清幂级数及其收敛半径、收敛域等概念，会求幂级数的收敛半径与收敛域。２、明确幂级数和函数的分析性质。

３、了解函数能展成泰勒级数的条件，能将一些函数民成泰勒级数。

４、了解函数民开式在近似计算上的应用及三角函数表与对数表的造表原理。

（二）主要内容

１、幂级数的收敛域（幂级数阿贝尔定理收敛半径收敛域）

２、幂级数的性质（内闭一致收敛性和函数的连续性、可积性、可微性）

３、函数的泰勒展开（系数求法与展开式的唯一性可展成幂级数的充要条件 几个初等函数的幂级数展开式）

４、幂级数在近似计算上的应用（求方根的近似值e和π的近似值三角函数造表对数造表）

十四、广义积分

（一）目的要求

１、掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。

２、能用收敛性判别法判断一些广义积分的敛散性。

（二）主要内容

１、无穷区间上的广义积分（无穷积分的收敛与发散绝对收敛与条件收敛收敛准则收敛性判别法与级数的关系）

２、无界函数的广义积分（瑕积分的收敛与发散绝对收敛与条件收敛收敛准则收敛判别法与无穷积分的关系Г函数简介）

十五、多元函数微分学

（一）目的要求

１、掌握平面点集的一些基本概念与多元函数的概念。

２、理解和掌握二元函数的极限、二元函数的连续性等概念。

３、掌握偏导数、全微分等概念，能熟练地求偏导数与全微分，了解高阶偏导数的概念，能求高阶偏导数。

４、弄清全微分、偏导数与连续三者之间的关系。

（二）主要内容

１、平面点集（点的圆形领域内点聚点界点边界开集闭集区域）

２、二元函数的极限与连续性（多元函数概念二元函数的定义域二元函数的极限与累次极限二元函数连续的概念闭区间上连续函数的性质（不证））

３、偏导数与全微分（偏导数全微分高阶偏导数全微分与偏导数、连续三者之间的关系）

４、复合函数的偏导数（复合函数可导的充分条件链式公式一阶微分形式不变性）５、隐函数存在定理（一元隐函数存在定理隐函数的求导）

十六、二重积分

（一）目的要求

１、掌握二重积分的概念，了解它的性质。

２、会正确计算二重积分，并利用它计算空间形体的体积与平面图形的面积。３、了解三重积分的概念。

（二）主要内容

１、二重积分的概念（概念引入二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分存在的充分条件（不证））２、二重积分的计算（二重积分化为累次积分利用级坐标计算二重积分）

３、二重积分的应用（空间形体的体积平面图形的面积）

４、三重积分的概念计算方法举例

十七、曲线积分

（一）目的要求

１、掌握两类曲线积分的概念，会求曲线积分。

２、掌握格林公式、曲线积分与道路无关的条件。

（二）主要内容

１、两类曲线积分（第一型曲线积分的定义、性质与计算方法两类曲线积分的关系）２、格林公式

３、曲线积分与道路无关的条件

十八、微分方程简介

（一）目的要求

１、了解微分方程的一些基本概念。

２、掌握几种简单类型微分方程的解法。

（二）主要内容

１、基本概念（微分方程阶解初始条件特解通解）

２、一阶微分方程（可分离变量的微分方程齐次方程一阶线性方程全微分方程）

第四篇：2015年秋西南大学《数学分析选讲》-第一次作业

《数学分析选讲》 第一次作业

一、判断下列命题的正误

1.设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.对

2.函数f(x)sinx为(,)上的有界函数.对 3．函数f(x)sinxcosx既不是奇函数，也不是偶函数.对 4.若数列{an}收敛，则数列{an2}收敛.对 5．若数列{an}有界，则数列{an}一定收敛.错 6．若数列{an}收敛，则数列{an}的任何子列都收敛.对 7.设数列{an}与{bn}都发散，则数列{anbn}一定发散.8．若S为无上界的数集,则S中存在一递增数列趋于正无穷.错 对

9．若函数f(x)在x0的极限存在，则f(x)在x0处一定连续.错

二、选择题

x2,x11．设f(x), 则 f[f(0)](A)3x,x1 A 1 ； B 2 ； C 3 ； D 0 2．设函数f(x)1,x为有理数，则 f(21)（C）．

0,x为无理数1 2A 1 ； B 1 ； C 0 ； D 3．若数列{xn}有极限a,则在a的(0)邻域之外，数列中的点（B）A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；

C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列{xn}收敛，数列{yn}发散，则数列{xnyn}（D）．

A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设lim|xn|2，则（C）

nA 数列{xn}收敛； B limxn2；

nC 数列{xn}可能收敛，也可能发散； D limxn2；

nx2axb)0，其中a,b是常数，则（B）6．已知 lim(xx1

A a1,b1；

B

a1,b1；

C a1,b1 ；

D a1,b1

三、计算题

(3x1)80(2x5)201．求极限 lim.x(5x1)100(3x6)70(8x5)201．求极限 lim.90x(5x1)6538xxlim90x15x7020(3x6)70(8x5)20解: limx(5x1)90

2．求极限limx0370820 905sinx.x11解：limx0sin2x(x11)sin2x limx0x11(x11)(x11)(x11)sin2x(x11)sin2xlim4

x0x0(x1)1x lim

3． 求极限lim(n1n1<21n221nn2).解：因为nnn21n1n21n221nn2<

nn12

又limnnn2nlimnn121，所以由迫敛性定理，limn1n121n221nn21

nxnx,x(,)的连续性.若有间断点指出其类型.4．考察函数f(x)limxnnnxnxnxn2x1lim2x1；解： 当x0时，有f(x)limx同理当x0时，有f(x)1.nnnxnn11,x0而f(0)0，所以f(x)sgnx0,x0。所以0是f的跳跃间断点.1,x0

四、证明题

设limana，limbnb，且ab.证明：存在正整数N，使得当nN时，有nnanbn.证明： 由ab，有aababb.因为limana，由保号性定理，存在n22ababN10，使得当nN1时有an。又因为limbnb，所以，又存在n22abN20，使得当nN2时有bnN1,N2}，当nN时，有.于是取Nmax{2abanbn

第五篇：数学分析课程论文选题

1.初等函数的定义及分类。2.分段函数的性质及应用。3.复合函数的性质研究。

4.数列极限定义（N）的注。5.极限求法综述。

6.利用公理（实数连续性）证明极限的若干技巧。7.利用两边夹定理证明极限的若干技巧。8.极限证明方法综述。

9.连续函数的若干等价定义。

10.函数一致连续性的等价性及性质。

11．闭区间上的连续函数的性质及其应用。

12．初等函数的连续性及对中学数学教学的指导作用。13．实数的构造理论。

14．闭区间套定理的证明、推广及应用。15．有限覆盖定理的证明、推广及应用。16．实数的连续性定理的等价性。17．上、下确界的性质及应用。18．对各种导数的研究。

19．微分在近似计算中的应用。20．（高阶导数）莱布尼兹公式的应用及推广。21．拉格朗日中值定理的证明及应用。22．柯西中值定理的证明及应用。23．泰勒公式的证明及应用。

24．中值定理“中间值”的渐进性。25．罗尔中值定理的证明及应用。26．泰勒公式在近似计算中的应用。27．利用导数证明不等式。28．凸函数的等价定义。

29．凸函数在不等式证明中的应用。30.函数的最值研究。（一元、多元）31．函数的极值研究。（一元、多元）32．常用的几个函数的图象及性质。（正态分布的密度函数、函数……）33．不定积分计算中的若干技巧。34．分部积分法中U、V的选取技巧。35．换元积分法中的换元技巧。

36．有理函数的不定积分计算中的若干技巧。37．三角函数的不定积分计算中的若干技巧。38．黎曼积分的定义。39．可积准则的等价性。

40．积分变限函数的若干应用。41．积分等式证明的若干技巧。42．积分不等式证明的若干技巧。43．平面图形的面积的计算方法。44．积分中值定理的证明及推广。45．积分中值定理中间值的渐进性。46．（不同旋转轴的）旋转体体积的计算方法。47．微积分在物理学中的应用。48．微积分在经济学中的应用。49．正项级数判别法综述。50．绝对收敛级数的若干性质。51．一致收敛性质及其判别法。52．和函数的分析性质及其应用。53．将函数展开为幂级数的若干方法。54．幂级数的应用。

55．Fourier级数收敛定理的证明及应用。56．闭区间套定理的推广及其应用。

57．二元函数的极限、连续、偏导数、可微性之间的关系。58．方向导数的性质及其应用。59．多元函数极值的充要条件。60．Lagrange乘数法及应用。61．最小二乘法及应用。62．隐函数的存在性。

63．广义积分的收敛判别法。64．函数的性质及其应用。65．B函数的性质及其应用。

66．含参变量有限积分的性质及应用。67．含参变量无穷积分的性质及应用。68．二重积分的计算方法。69．三重积分的计算方法。70．重积分在几何中的应用。71．重积分在物理学中的应用。72．分片函数的重积分的计算方法。73．分片函数的可微性及其应用。74．第一型曲线积分的性质及其应用。75．格林公式及其应用。76．奥高公式及其应用。

77．奇偶对称性在重积分中的应用。78．奇偶对称性在曲线积分中的应用。79．代换技巧在曲线积分中的应用。80．第二型曲线（面）积分的计算方法。81．斯托克斯公式及其应用。