初探初中几何证明的困难与成因

第一篇：初探初中几何证明的困难与成因

初探初中几何证明的困难与成因

2001年教育部制定的新的《数学课程标准））中，对于几何内容的安排体现了三个特点：一是几何课的开设时间提前了，不光是相当于初中的7-9年级学段，而且在相当于小学的1-6年级学段都安排有简单几何知识的内容。二是几何课的课时压缩了，过去初中数学课是代数与几何两大分支齐头并进，而现在却是代数、几何、概率三大内容，几何的份量显然压缩了。三是几何课以“空间与图形”的名目出现，一开始就兼有平面和立体的内容，而且重实践，轻体系。

几何是整个中学数学教学内容的重要部分。平面几何是运用逻辑推理的方法来研究平面图形性质的一门学科，按照新课标在图形与证明中的要求，应掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。因此，培养学生逻辑推理能力是平面几何教学的重要目的之一。初中七年级的学生虽然在小学接触了一些几何图形，但对于逻辑推理的思维方式完全是陌生的，尽管初中七年级上册还没有要求进行逻辑推理形式的书写，但是到了下册，就出现了较多由“已知→结论”这样的书写形式，而到了八年级下册，便用“∵，∴”来书写推理论证的格式了。学生如果没有一定的基础，在学习上自然会产生困难。所以几何课在整个初中课程中是难点，是瓶颈。从初一下学期开设几何课开始，数学成绩就明显出现分化。数学成绩好的学生必定几何成绩好，而相当大一部分学生几何成绩开始下滑，而且由怕几何而怕数学，因几何学不好便认为自己学数学不行，更有甚者就此对数学丧失了信心。怕几何──怕数学──厌数学──最终放弃数学，致使部分学生就这样不自愿而又无可奈何地成为“文科生”。所以就日常教学中的积累分析如下：

中学生几何学习困难主要反映在以下几个方面：

（1）畏惧心理和依赖心理

第一：数学内容向来具有枯燥乏味的“坏名声“，它的高度概括性与抽象性，严谨的逻辑思维性让一部分学生在小学就觉得晦涩难懂，而到了初中，对学生的运算能力，逻辑思维能力和分析问题，解决问题的能力要求就更高了，几何证明中严格的逻辑要求使学生普遍认为几何太抽象、太难学，使学生就产生了畏惧心理。

第二：现在学生普遍对教师存有依赖心理，缺乏学习的主动钻研和创新精神，期望教师对几何问题进行归纳概括，突出重点，难点和关键，并且提供详尽的解题示范,习惯于一步一步模仿硬套,只重视结论,而忽视了结论的发生发展过程,忽视对解题方法的探索，难以深刻领会结论，所以致使智慧得不到启迪，思维的方法和习惯得不到训练和养成，观察，分析，综合等能力都得不到提高。所以经常能听到有学生说：“我把几何定理，公理都背得滚瓜烂熟，但我拿到几何题却不知道怎么用！”

（2）基本的逻辑常识欠缺。对逆命题、反证法等理解不了。

（3）语言表述关。过分专业而严密的叙述要求使不少初学几何的学生无法逾越语言表述的障碍。本来会表达的意思都被几何语言搞糊涂了。有些学生口头叙述挺好，但一碰到要书写时，不知道如何下手，或者书写层次混乱;没有因果关系的，不管有用没用，把已知条件一律都罗列上；或者跳步，三言两语就写完了，让人看了摸不着头脑。

（4）不会画图、看图、用图。给了几何语句，画不出正确的几何图形，就无法做题；给了条件，在图形上看不出条件有什么用处，同时对课本上的图形没有充分研究利用，反成障碍。

（5）害怕几何证明题。对证明无从下手，不知道要做什么事，不知道做到哪一步就算证出来了。同时对现行教材几何体系产生困惑，七年级，八年级在学习过程中都已经说明的正确结论在有些几何证明题中不能用，什么结论能用，什么不能用，学生困惑，老走弯路。

（6）不善于与周围实际生活联系起来去丰富想象，“数学问题解决”的意识淡薄，停留在模仿做现成题的水平，遇到需要作辅助线的题目束手无策。思路狭窄。综合应用能力较弱。

二、原因分析

（一）现行教材体系的原因

现行中学数学教材中的几何素材以其严谨、抽象、枯燥的呈现方式相对单一。几何内容的过分抽象，过分强调演绎推理，几何教材的过分“数学化”，使学生缺少将所学知识与现实生活紧密联系的机会，教材几何体系缺乏自身的严谨性，使学生也处于矛盾中，使学生的空间观念、空间想象能力的形成和培养受到相当大的限制。特别是教材中造成更多的人害怕几何，厌恶几何，甚至远离几何，对几何乃至整个数学丧失信心和继续学习的兴趣。

（二）教师方面的原因

教师是教学的关键。学生怕几何，学不好几何，教师要做很大的努力做好下面几点：

第一：教师要培养学生的兴趣，克服语言障碍，克服几何学习的心理障碍。首先，在教学中，认真钻研课程标准和教材，严格按照课程标准提取知识点，突出重点和难点，让学生清楚教学内容和知识结构体系以及各自在结构体系中的地位和作用;其次，加强与实践的联系，重视过程与方法的指导，挖掘数学美，激发学生的几何学习兴趣。

第二：做好引导学生几何人门，重视数学语言的教学。数学语言是学好几何的“敲门石。部分学生对数学产生畏惧心理，感到数学难学就是数学语言没有掌握好。在几何中，数学语言分为：文字语言，符号语言，图形语言。三种语言可以互译，互相补充，使之“尽善尽美”。学好几何，必须培养学生会读题，理解

题意，在课堂上要多训练学生的口头表达能力，同时注重书面语言的训练，作业必须严格要求，重视文字语言的叙述，要求用词准确，叙述有条理，逻辑性强。符号语言以简练，明确的特点对思维活动进行本质性的描述，因此，在教学中应该要求学生掌握一些规定符号，如⊙，⊿，⊥，∥„它们是如何书写的，各表示什么意义。其次要配合这些符号做适当的练习，多变换形式，不断强化，第三加强三种语言的互译训练。但要注意的是要循序渐进，不能操之过急，如果学生遇到困难，教师应多帮助其找原因，多鼓励他们，使其树立信心，克服心理障碍，使学生的知识不断巩固提高。在图形语言方面应鼓励学生多观察现实生活中的图形多接触各种图形。其次，让学生多画一些满足条件的图形。第三，练习用简洁的符号表示一些相关的内容（如：平行，两条线段相等，两角相等„），培养学生的图形感。总之，要突出图形特征，培养学生识图能力：突出图形变化、揭示概念、定理的本质属性；借“标准图形”记忆定理、定义；用“基本图形”解剖复杂图形。最后，强化板书的规范训练。

第三，要善于联系实际，充分利用周围丰富的几何素材，不要从书本到书本，枯燥无味。使得学生对于几何始终亲不起来，爱不起来。

第四，教师要学习新的教学理念，提高自身素质，注重学生发散思维的培养。鼓励学生进行一题多解或改变条件，让学生思考会得到什么不同的结论，在数学语言的转化过程中发展思维能力。没有创新意识，方法陈旧，教得太死，扼制了学生的思维发展。

第二篇：初中几何证明与计算专题复习

中考几何证明与计算专题复习

1.全等三角形

例题1：如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点

P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．P

D

C B

例题2：如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．

求证：AFBFEF．

A

E

B G

变式训练1：如图，在△ABC中，ABAC，BAC40°，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使BADCAE90°．

（1）求DBC的度数；

（2）求证：BDCE．

D C

变式训练2：如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.变式训练3：如图：已知在△ABC中，ABAC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若A90°，求证：四边形DFAE是正方形.D

F

C

2.相似三角形

例题1：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB6，AE9，DE2，求EF的长．

例题2：如图,点D在△ABC的边AB上，连结CD，∠1=∠B，AD=4,AC=5,求 BD 的长?

B

变式训练1：已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）

(A)1：2(B)1：4(C)2：1(D)4：

1变式训练2：如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．12mB．10mC．8mD．7m

3.四边形

例题1：下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形

例题2：已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E． 求证：（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE．

例题3：如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P．

（1）求证：AF=BE；

（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．

P

B

D

C 变式训练1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60º.(1)求证：AB⊥AC；

(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面积.变式训练2：在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF。⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；

⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明。

⑶若CD＝2，求四边形BCFE的面积。圆

例题1：如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O 上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．（1）求证：DC=BC；

（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

例题2：如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC∥OD，AB2，OD3,则BC的长为（）A．

B．

C

．

D

．

变式训练1：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使

DCBD，连结AC，过点D作DEAC，垂足为E．（1）求证：ABAC；（2）求证：DE为⊙O的切线；

（3）若⊙O的半径为5，BAC60，求DE的长．

变式训练2：在Rt△ABC中，ACB90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BDBF；

（2）若BC6，AD4，求⊙O的面积．

第三篇：初中几何证明口诀

初中几何证明口诀

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦

第四篇：初中几何证明技巧

初中几何证明技巧（分类）

证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

*12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等。

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

*11.利用半圆上的圆周角是直角。

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

证明 角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分线的定义。

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。

2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。

2.利用内外角平分线定理。

3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

*5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。

6.利用比利式或等积式化得。

证明四点共圆

*1.对角互补的四边形的顶点共圆。

*2.外角等于内对角的四边形内接于圆。

*3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。

*4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。

*5.到顶点距离相等的各点共圆

第五篇：初中几何证明

初中数学几何解题思路

从求证出发

你就要想，这道题要求证这个，就要有.....这些条件，再看已知，有了这些条件了，噢，还差这个条件。然后就找条件来证明这个还差的条件，然后全部都搭配齐全了，就证出了题目了

记住，做题要倒推走

把已知的条件从笔在图上表示出来，方便分析

而且你要牢牢记住一些定理，还有一些特殊角，特殊形状等等他们的关系 当一些题实在证不出来时，你要注意了，可能要添辅助线，比如刚才我说的 还差什么条件，你就可以画一个线段，平行线什么的来补充条件，你下子你就一目了然了，不过有些很难的看出的辅助线就要靠你的做题的作战经验了，你还要认真做题。

把这些牢牢记住，在记住老师教你们的公里定理些，你就已经成功大半了 作辅助线的方法和技巧

题中有角平分线，可向两边作垂线。

线段垂直平分线，可向两端把线连。

三角形中两中点，连结则成中位线。

三角形中有中线，延长中线同样长。

成比例，正相似，经常要作平行线。

圆外若有一切线，切点圆心把线连。

如果两圆内外切，经过切点作切线。

两圆相交于两点，一般作它公共弦。

是直径，成半圆，想做直角把线连。

作等角，添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线

实战演练

1.（10分）如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，延长EC，与∠BAD的平分线AF相交于

点F，求证：CF=BD.2.（6分）已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O.求证：四边形AFCE是菱形.3．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连结GF.（1）FG与DC的位置关系是,FG与DC的数量关系是；

（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.F

D EG

B

以上知识来源于网络 B A C A C