研究性学习14 函数与方程（合集）

第一篇：研究性学习14 函数与方程

2013届高三理科数学研究性学习（14）

专题十一：函数与方程相关问题研究（复合函数的根的问题研究）

例：（教学与测试第4课时）已知函数f(x)x2xq，集合Axf(x)0,xR，Bxf(f(x))0,xR.（1）若q2，试求集合A,B

（2）若B为单元素集，试求q的值.变式1：已知c0，函数f(x)cx2cx，g(x)x3cx2cx，如果函数yf(x)与函数yg(f(x))有相同的零点，试求实数c的取值范围；

变式2：（2007年江苏高考）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f(x)bx2cxd，）g(x)ax3bx2cxd，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x）

=0的根，反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根

（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范围；

变式3：（2012年江苏高考）已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求g(x)的极值

2]，求函数yh(x)的零点个数． 点；（3）设h(x)f(f(x))c，其中c[2，

第二篇：函数与方程教案

函数与方程教案

27.3实践与探索(第二课时)二次函数与一元二次方程的关系 晋城四中 李前进 【教学目标】

1、知识与技能:(1)体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法;(2)理解二次函数图象与x轴(横轴)交点的个数与一元二次方程的根的个数之

间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数 图象特征;22(3)理解一元二次方程ax+bx+c=0的根就是二次函数与y=ax+bx+c图象与x轴交

点的横坐标。

2、过程与方法:(1)由一次函数与一元一次方程根的联系类比探求二次函数与一元二次方程之间 的联系;(2)经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学

思想和数形结合的数学思想。

3、情感、态度与价值观: 培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验 探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质。【重点与难点】

重点:经历“类比--观察--发现--归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探

索过程。

难点:准确理解二次函数与一元二次方程的关系。【教法与学法】

教法:采用“发现式学习”的方式，注重“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为

基础创设问题情境，引导学生经历“类比—猜想—观察—发现—归纳—应用” 的探究过程。学法:探究式学习。

appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition.Width 2-3 mm from the edge of weld Groove.Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm.Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm.Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm(wall thickness mm t)incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door.7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color.7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0.7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful.7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste.7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged.7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance.7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade.7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores.7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch.The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible.B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening 【教学过程】

一、诗词导入

教师投影:我国著名数学家华罗庚曾经说过:“数缺形时少直观，形少数 时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”(学生齐读)师:数学家的寥寥数语就将数与形之间的内在联系表达的淋漓尽致。今天，我们通过研究二次函数中的数形结合来体会“数形结合百般好”的奥妙～ 设计思路:从学生熟悉的小诗入手，激发学生探究学习的积极性。

二、温故知新 y3那些年，我们一起做过的题: 2(1)解一元一次方程x+1=0;1(2)画一次函数y=x+1的图象，并指出函数y=x+1的图象 x –2–11O 与x轴的交点坐标。–1(3)你会不画图象求函数y=3x,3与x轴的交点坐标吗, 师生共同总结:一次函数y,kx，b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx，b,0的根

设计思路:这一环节让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品质

三、类比猜想

22你觉得一元二次方程ax+bx+c=0的根与二次函数y=ax+bx+c之间有联系吗，四、问题探究

教师分配研究的任务，然后小组合作完成，教师提问，学生展示研究成果。设计思路: 学生画函数图象比较慢，分配任务既可以节约时间，又可以使 每个学生都有事可做，能够很好地完成学习任务。

appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition.Width 2-3 mm from the edge of weld Groove.Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm.Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm.Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm(wall thickness mm t)incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door.7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color.7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0.7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful.7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste.7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged.7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance.7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade.7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores.7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch.The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible.B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening 表格一: 二次函数 函数图象 图象与x轴方程的根 一元二次 方程 的交点坐 标 22 y=x+2x x+2x=0 22y=x-2x+1 x-2x+1=0 22y=x-2x+2-2x+2=0 x

五、归纳结论

2(1)从“数”的方面看，当二次函数y=ax+bx+c的函数值y=_0_ 时，二次函数 x2-2x+ 2 变为一元二次方程ax+bx+c=0,此时相应的_自变量的值即为二次方程 2ax+bx+c=0的_根_;2=0(2)从“形”的方面看，当二次函数的y值为0时，从图像看指的是二次函数图 像与_x轴_的交点，此时二次函数y=ax+bx+c与x轴交点的_横坐标_即为二x2-2x+ 2次方程ax+bx+c=0的_根_。表格二: 2=0 2一元二次方程二次函数y=ax+bx+c的图象一元二次方程根的判别式 222b,4ac ax+bx+c=0的根的个数 与x轴交点的个数

x-2x+ 22=0 b,4ac>0 2 b,4ac=0 2 b,4ac<0 教师和学生一起总结: 2二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一 2个交点、没有交点。当二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横 2坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax+bx+c=0的根。appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition.Width 2-3 mm from the edge of weld Groove.Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm.Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm.Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm(wall thickness mm t)incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door.7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color.7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0.7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful.7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste.7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged.7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance.7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade.7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores.7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch.The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible.B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening 设计思路:通过教师引导学生完成表格，使学生对命题的内涵理解，“学生对数学命题中各部分符号的含义能深刻理解，发现并知道各部分间的内在联系。”填空使学生从“形”与“数”的角度体会数形结合思想，以及方程与函数互相转化的思想，从而归纳出具一般性的结论。y22y = x x 6

1六、基础练习x–3–2–1123O2–1(1)已知二次函数y=x-x-6的图象如图所示: –2 –3图象与x轴有2个交点，交点的横坐标 –42 是______,则方程x-x-6=0有__个根，方程的根是________ 2(2)函数y= x-5x+6的图象与x轴有___个交点,其交点坐标为_________、__________。(3)自命题

每个小组按照教师的要求，小组内通过讨论写出一个一般式的二次函数关系式，用关系式出一道有关二次函数和一元二次方程的简单的题，(七个大组分三种情况布置有目的性的布置，各小组只知道自己小组的任务)。教师通过在教师内观察学生活动情况，选两个代表性题由其他小组来做。

设计思路:小组活动，激发学生的学习热情，巩固对上面总结结论的认识。

七、例题讲解 2 例1:已知二次函数y=ax+bx+c(a?0)的对称轴是x=2,它与x轴的一个交 2点坐标是(4，0)，则方程ax+bx+c=0的两个解是__________ 设计思路:鼓励学生自主思考，然后小组讨论，派代表上讲台讲解。

八、巩固练习

2(1)抛物线y=ax+bx+c(a?0)的图象全部在x轴下方的条件是()22(A)a,0 b,4ac?0(B)a,0 b , 4ac,0 22(C)a,0 b , 4ac,0(D)a,0 b , 4ac,0(2)下列函数中其图象与x轴有两个交点的是()11112222(A)y=()x23+155(B)y=()x+23+155(C)y=()x23155(D)y=()x+23+1554444 appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition.Width 2-3 mm from the edge of weld Groove.Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm.Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm.Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm(wall thickness mm t)incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door.7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color.7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0.7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful.7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste.7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged.7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance.7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade.7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores.7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch.The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible.B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening

七、拓展提高:

21、已知二次函数y=ax+bx+c(a?0)的图象 如图所示，根据图象回答下列问题: 2(1)方程ax+bx+c=0的两个解是__________ 2(2)方程ax+bx+c=4的两个解是__________ 设计思路:让学生对二次函数和一元二次方程的关系的认识上升高度。

22、你会利用二次函数的图象求出一元二次不等式x,x,2，0的解集吗,(看课堂时间情况决定是否出示)

八、课堂小结，提高认识

函数 方程 22ax+bx+c=0(a ?0)y=ax+bx+c(a?0)横坐标的

值 图象与x轴交点 根 个数

一个关系:二次函数图象与一元二次方程根的关系: 两种思想:函数与方程互相转化的思想;数形结合思想(设计思路:用精炼的语言，使得学生记忆简便，而且印象加深，同时让学生在 总结中反思，完成升华。学生再次齐读华罗庚名言，下课。

九、布置作业，巩固提升

十、板书设计

课题:„„.课题:„„.方程与函数转化 例1: 方程与函数转化 例1: 函数 方程 22y=ax+bx+c(a?0)ax+bx+c=0(a ?0)横坐标的

值 图象与x轴交点 根 个数 数形结合 数形结合

appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition.Width 2-3 mm from the edge of weld Groove.Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm.Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm.Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm(wall thickness mm t)incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door.7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color.7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0.7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful.7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste.7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged.7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance.7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade.7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores.7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch.The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible.B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening

第三篇：函数与方程教案

第四章：函数应用

§1：函数与方程

教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。教学目标：

1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。

2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。重点难点：根据二次函数图像与x轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念。复习引入：

同学们好，今天我们来进行第四章函数应用的学习，这一节课我们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程：①ax+b=0(a0)这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的解是x=－.②ax2+bx+c=0(a0)这是一个一元二次方程，在对一ab元二次方程求解时我们会先用判别式△=b2－4ac来判断方程是否有实解。当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，x1≠x2;当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，x1=x2;当△＜0时，一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时，我们可以通过求根公式求出一元二次方程的根：x=

bb4ac2a2。③x5+4x3+3x2+2x+1=0

函数的零点。

说明：①零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。

②零点是一个实数，并不是一个点。③函数的零点就是相应方程的根。

④函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。

学习过零点概念及以上4点说明，我们已经学会判断零点：要求函数的零点就要看函数图像与x轴是否有交点，也即相应方程是否有实根。因此得到判断零点的方法。

2． 判断零点的方法：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点。可得出：方程f(x)=0的实根与函数y=f(x)的零点是一一对应的。

那如果所给的函数的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时，我们怎样判断函数有没有零点呢？

观察例1中第一个方程的对应图像：f(x)= x2-2x-3 从图像上看，我们知道函数f(x)= x2-2x-3有两个零点：-1,3.而能找到区间[-2,0]使零点-1在[-2,0]内，区间[2,4]使零点3在[2,4]内。且有f(-2)=5＞0,f(0)=-3＜0, f(-2)×f(0)＜0;f(2)=-3＜0, f(4)=5＞0, f(2)×f(4)＜0.可以发现f(-2)×f(0)＜0，函数f(x)= x2-2x-3在区间（-2,0）内有零点-1是方程x2-2x-3=0的一个根；同样地，f(2)×f(4)＜0，函数f(x)= x2-2x-3在区间（2,4）内有零点3是方程x2-2x-3=0的另一个根。因此可以得到以下结论：

3.零点存在性定理： 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]的图像是连续曲

5，一个小于2。

分析：转化判断函数f(x)=（x-2）（x-5）-1在区间（-∞，2）和(5, +∞)内各有一个零点。

解：考虑函数f(x)=（x-2）（x-5）-1，有f(2)=（2-2）（2-5）-1=-1＜0，f(5)=（5-2）（5-5）-1=-1＜0，又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，在（-∞，2）内存在一点a，使f(a)＞0；在(5, +∞)内存在一点b，使f(b)＞0，所以抛物线与横轴在（a，2）内有一个交点，在(5, b)内也有一个交点，而该交点即是方程的解。所以方程（x-2）（x-5）=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。

四、零点存在性定理说：“若f(a)×f(b)＜0，则在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间（a,b）内至少有一个实数解”，它只指出了方程f(x)=0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。那改为f(a)×f(b)＞0时，问题：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)×f(b)＞0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内是否有零点?可能有几个零点？

解：零点个数可以是任意自然数。可讨论在区间[-3,3]上函数零点个数，来画图进行观察。

第四篇：函数与方程知识点总结[范文]

在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。数学分为两部分，一部分是几何，另一部分是代数。小编准备了高一数学函数与方程知识点，希望你喜欢。

一、函数的概念与表示

1、映射

(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB。注意点：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数

构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：(1)分式的分母不为零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;(3)对数函数的真数必须大于零;

(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

2求函数定义域的两个难点问题

(1)已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

(2)已知f(2x-1)的定义域是[-1,3],求f()x的定义域

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且xR的分式;

④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;⑥图象法：二次函数必画草图求其

四、函数的奇偶性

1.定义: 设y=f(x)，xA，如果对于任意xA，都有f(?x)?f(x)，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意xA，都有f(?x)??f(x)，则称y=f(x)为奇函数。

2.性质：

①y=f(x)是偶函数?y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数?y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

高一数学函数与方程知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。

[函数与方程知识点总结]相关文章：

第五篇：“函数与方程思想”案例分析

教学设计案例分析

——“函数与方程思想”案例

一．主题

函数与方程是中学数学的重要概念，他们之间有着密切的联系；函数与方程的思想是中学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题。函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值，解（证）不等式，解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是历年高考的重点和热点。

1.函数的思想

用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识。

2.方程的思想

在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决。

3.函数的思想与方程的思想的关系

在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决。对于函数，当

时，就转化为方程，也可以把函数

看作二元方程，函数与方程可相互转化。

4.函数与方程的思想在解题中的应用

（1）函数与不等式的相互转化，对函数，当

时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。，当

时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。

时，就化为不等式，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。

（2）数列的通项与前

项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。

项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。

（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决。这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。

（4）立体几何中有关线段，角，面积，体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切。

二．背景

此案例的背景主要是：这是一堂与函数与方程思想有关的中学数学课，虽然本节教材是实施新的课程改革，但是这节内容与老教材的内容基本一致。选用此案例的原因是虽然该案例的授课老师授课时是一节平常课，采用的上课方式是组讨论式，但是该授课老师以前曾有过用此节内容开公开课的经历，当时采用的上课方式是普通的启发式教学。通过此案例我们可以将其进行分析比较，进而得到结果。

三．情景描述

四．教学反思研究

五．教学设想