面面垂直的判定定理-最全面总结

第一篇：面面垂直的判定定理-最全面总结

面面垂直的判定及性质定理

知识点1：二面角及其平面角

1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.2）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为、的二面角记为 -l- ．

3）二面角的平面角的定义

1定义：在二面角-l-的棱l上任取一点O，如图，在半平面  和 内，从点 O 分别作垂直于棱l的射线OA、OB，射线OA、OB组成∠AOB．则 ∠AOB 叫做二面角 -l- 的平面角.2二面角的大小

二面角的大小可以用它的平面角来度量．即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． ① 二面角的两个面重合： 0°；

② 二面角的两个面合成一个平面：180°；

③平面角是直角的二面角叫直二面角．

二面角的范围：[ 0°, 180°]．

知识点2：两个平面垂直的判定定理

1）两个平面垂直的定义：两个平面互相垂直两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作⊥.2）两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.知识点3：二面角的平面角的做法

第1页

知识点4：面面垂直的性质定理

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（面面垂直，则线面垂直）考点1：面面垂直的判定定理的应用

例1.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面

PBC.考点2：求二面角的大小

例2.在正方体ABCDA1BCD中，找出下列二面角的平面角： 11

1（1）二面角D1ABD和A1ABD；

（2）二面角C1BDC和C1BDA.考点3：线线、线面、面面垂直的相互转化

例3.在正方体ABCDA1BCD中，已知P,Q,R,S分别为棱AD,AB,AB,BB1的中点，求证平面PQS⊥平111111

1面B1RC

.3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB 第2页

于点F，求证：

（1）AE⊥平面PBC；（2）平面PAC⊥平面PBC；（3）PB⊥EF

B

C

同步练习：

1.如图，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．

求证：AESB，AGSD．

2.如图所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EF//

CD，AMEF． 求证：MF是异面直线AB与PC的公垂线．

3.如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点．

(1)求证：SD平面ABC；

(2)若ABBC，求证：BD面SAC．

第3页

A

4.如图所示，平面平面，l，在l上取线段AB4，AC，BD分别在平面和平面内，且ACAB，DBAB，AC3，BD12，求CD长．

5.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面

EFD.16.（2012全国）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AA1，D是棱AA1的中点

2（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；

（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

（3）求二面角A1BDC1的大小。

C1

A11

B

第4页 D

7.（2009全国）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1

（1）证明：AB=AC

（2）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小

8.（2010全国）如图,四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，DA E

BA1 C1 AB=BC=2，CD=SD=1

（1）证明：SD平面SAB

（2）求AB与平面SBC所成角的大小．

第5页

第二篇：面面垂直性质定理

数学学案

【学习目标】

1．掌握平面与平面垂直的性质定理；平面与平面垂直的性质编辑：

2.能运用平面垂直的性质定理解决一些简单问题；

3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

【学习重点】掌握平面与平面垂直的性质定理并能运用解决一些简单问题

【数学思想】转化的思想

【知识回顾】

1.两个平面互相垂直的定义：

2.两个平面互相垂直的判定定理：符号表示：

【新知导航】

线面平行面面平行线面垂直面面垂直（面面垂直判定定理）

面面垂直线面垂直 ？

【探究1】黑板所在平面与地面垂直，你能否在黑板上画几条与地面垂直的直线？你为什么这么画？你能归纳总结出这些直线有什么共同点吗？

【探究2】下图正方体中，平面ADD1A1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD，平面ADD1A1内的直线A1A与平面ABCD垂直吗？

A1B

1探究结论：（）

【新知学习】两个平面互相垂直的性质定理

定理的证明：（由文字语言转化为符号语言证明）已知： 求证： 证明：

【探究3】过平面外一点作已知平面的垂线，你能做出几条来？

探究结论（）【尝试练习1】如图，已知平面,,，直线a满足a,a，试判断直线a与平面的位置关系.【尝试练习2】如图，已知平面平面，平面平面，a，求证：

a.【课堂小结】

1、请归纳一下本节课你学习了什么性质定理，其内容各是什么？

2、类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？

【达标检测】

1、下列命题中，正确的是（）

A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直 B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直 C、若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直

D、a,b异面，过不在a,b上的点M，一定可以作一个平面和a,b都垂直.2、已知直线l,m，平面,，且l,m，给出下列命题：（1）//lm（2）lm//（3）l//m（4）l//m其中正确的命题是

BCAB

3、在三棱锥P—ABC中，平面PAB平面PBC，求证：PA面ABC，4、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN面A1DC，求证：（1）MN//AD1

(2)M是AB的中点

第三篇：面面垂直性质定理及习题

面面垂直性质定理及习题《必修2》1.2.4一、学习目标撰稿：第四组审稿：高二数学组时间：2009-9-8

1． 理解面面垂直的性质定理

2． 会用性质定理解决有关问题

3． 线线、线面、面面之间的位置关系及相互转化

4． 利用面面位置关系解决有关问题

二、学习重点

面面垂直的性质定理及应用

学习难点

“线线、线面、面面”判定及性质定理的应用

三、知识链接

1． 面面垂直的判定定理

2． 面面平行的判定与性质定理

3． 直线与面平行、垂直的判定与性质定理

四、学习过程

1． 回顾上节内容，问：如果两个平面垂直，那么一个面内的直线是否一定垂直于另一个平面？

通过以上讨论，得平面与平面垂直的性质定理（1）符号语言：

（2）图形语言：

2． 如何对定理加以证明：

性质定理体现了什么关系？

它反映了面面垂直与线面垂直之间的密切关系，两者可以互相转化。

3． 对性质定理的应用

例：P4

4练习4

拓展：P43 例

3五、基础达标

1、判断下列命题是否正确，说明理由：

（1）若α⊥β，α⊥γ，则α∥β

（2）若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ

（3）若α∥α1，β∥β1，α⊥β，则α1⊥β1。

2、如图α，β，γ，为平面，α∩β＝l,α∩γ＝a, β∩γ＝b,l⊥γ,指出图中哪个角是二面角

α-l-β的平面角，并说明理由。

3、判断下列说法是否正确：

（1）若平面α内的两条相交直线分别平面β 内的两条相交直线，则平面α平行与平面β；

（2）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行；

4、已知平面α、β直线l,且α∥β，l，且l∥α,求证：l∥β。

5、（1）已知平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，试判断这条直线与该平面的位置关系；

（2）已知一个平面内有三点到另一平面距离相等，试判断这两个平面的位置关系。

6、如图，已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线，CDα，CD⊥AC。

求证：平面PAC⊥平面PBD.7、在四棱锥P—ABCD若PA⊥平面A BCD，且四边形ABCD是菱形。

求证：平面PAC⊥平面PBD.8、如图，已知正方体ABCD—A1B2C3D

4,求证：平面B1AC⊥平面B1BDD1.9、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角C1-BD-C的正切值。

10、已知平面α，β，γ，且α∥β，β∥γ，求证：α∥γ。

11、如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，点D，E分别是BC和 B'C'的中点。求证：平面A'EB

∥平面ADC'。

12、如图，有一块长方体的木料，经过木料表面A1B1C1D1内的一点P，在这个面内画线段，使其与木料表面ABCD内的线段EF平行，应该怎样画线？

今天我的收获

第四篇：面面垂直的性质定理（范文模版）

线面、面面垂直的性质定理

教学目标：1.掌握垂直关系的性质定理,并会应用。

2.通过定理的学习，培养和发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形

语言进行交流的能力、几何直观能力。

3.通过典型例子的分析和自主探索活动，理解数学概念和结论形成过程，体会蕴涵在其中的思想方法.重 难 点： 垂直关系的性质定理是重点也是难点。

课时安排：1课时.教学手段：多媒体.教学过程：

一、复习引入

线线垂直线面垂直 面面垂直

二、性质定理的引入

（一）问题探究一

为了改善小区电力供应，政府决定在大雄家外的马路边立两根电线杆，如果你是工程师，你有办法保证这两根电线杆平行吗？

答：令它们都垂直于地面！

【抽象概括】

定理6.3如果两条直线同垂直与一个平面，那么这两条直线平行.（文字描述）

ab

a,ba//b（数学语言，学生归纳）

※归纳线面垂直的性质：

1、线线垂直

2、线线平行（图形符号）

【练习】

表示平面，则下列命题 若m、n表示直线，中，正确的命题序号有__________.(1)m,nm//

n

(2)m//n,mn

(3)m,n//mn(4)m//,mnn

（二）问题探究二

在探究一中，如果大雄家有一面在马路边而且垂直于地面的围墙，那么你怎么保证电线

杆都垂直于地面呢？

答：令每一条电线杆紧贴墙面且都垂直于墙面与地面的交线！

【抽象概括】

定理6.4 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们交线的直线垂直于另

一个平面.(文字描述)m ,l mm(数学语言，学生归纳)ml 

（图形符号）※归纳面面垂直性质：线面垂直线面垂直面面垂直

【练习】

设两个平面互相垂直，则（）

A.一个平面内的任何一条直线都垂直与另一个平面

B.过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上

C.过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面

D.分别在两个平面上的两条直线互相垂直 C1 例1在长方体ABCDA1B1C1D1中，MN在BA1 N平面B1BCCMNBC于M1内，且 DC（1）判断MN与AB的关系，说明理由（MN垂直的所有平面与直.线A 2）找出与

P

例2如图，在四面体PABC中，PA面ABC，面PAB面PBC，求证：BCAB.C分析：利用逆向思考的方法寻找证明思路.B

四、小结：面面平行

1、线线垂直线面垂直 面面垂直

2、几何证明中常常使用逆向思考的方法.五、作业：P49B3、P70C2

P68A5－A8 在书上

第五篇：面面平行判定定理教案

2．2．2面面平行的判定

教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版必修二

教学目标

一、知识与技能

1.理解面面平行判定定理并初步应用；

2.化归与转化思想在解决实际问题中的应用。

二、过程与方法

1.体会“类比”的数学思想;

2.经历面面平行定理的证明过程,体验反证法的过程.三、情感态度与价值观

引导学生反思新旧知识间的联系，促进学生养成善于联系的思考问题，从实

际生活中获知数学知识。

教学重点

面面平行的判定定理及其应用

教学难点

面面平行判定定理的由来及其证明

教辅手段

黑板，PPT

教学过程

一、问题导入：

复习线面平行的判定方法，引入本节课的课题

二、新知探究

1、两平面的位置关系（借助PPT），引导学生发现两平面的位置关系——即平行和相交；

2、教师提问：如何能判别两平面平行呢？显然当一个平面内的所以直线都和另

一个平面不相交时，两平面平行。

教师总结：这个问题告诉我们，判定两平面平行问题，可以证明一个平面内的所有直线与另一个平面平行，即面面平行转化为线面平行，但要证明所有直线

和另一个平面平行是很困难的。

教师提问：同学们思考一下，能否将“所有直线：化为有代表性的”一条“或”

几条直线“呢？

3、学生探究(以长方体模型为例）:

（1）平面内有一条直线与平面平行，,平行吗？

（2）平面内有两条直线与平面平行，,平行吗？

4、经过观察讨论解决问题

（PPT）定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平

面平行．

5、教师分析并书写证明过程。

三、理解应用：

例1：如图，已知正方体ABCD-EFGH，求证：平面AEG平行于平面BDF

证明：ABCDEFGH为正方体

GF//HE,GFHE.又AB//HE,ABHE,GF//AB,GFAB,ABFG是平行四边形.AG//BF.又AG平面BDF,BF平面BDF

由直线与平面平行的判定定理得

AG//平面BDF,同理GE//平面BDF，又AGEGG，平面AEG//平面BDF.四、课堂练习:

必做题：课本58页1、3选做题：课本58页

2五、归纳提升:

1、两个平面的位置关系：相交、平行

2、判定两个平面平行的方法：

1）使用“两个平面互相平行”的定义

2）两平面平行的判定定理

3、数学思想方法：

转化的思想

六、课后延续

1.回顾本课的学习过程，整理学习笔记，正确运用面面平行判定定理；

2.完成书面作业：必做教材61页3；5。

选做教材61页8

七.板书设计