对称美在高中数学教学中的相关应用（精选）

第一篇：对称美在高中数学教学中的相关应用（精选）

对称美在高中数学教学中的相关应用

摘要:数学形式和结构的对称性,数学命题关系中的对偶性都是对称美的自然表现.在数学解题方面,对称方法往往使问题解决的过程简捷明快.因对称和谐,它唤起人们探索的兴趣,人们长去研究它,数学方法是一门科学又是一门艺术,因此研究数学中的对称美与对称性原理解题是有价值的课题.关键词: 对称性﹑数学美﹑对偶式﹑对称性原理

Ⅰ.对称美及对称性原理在数学发现中的用途举例

<1>.利用对称性,预测问题结果

当人们面临一个课题或解一道数学难题时,往往先对结果作一大致的估量或预测而不是先用于计算或论证,有些数学问题可以根据其对称性,先预测结果,再进行证明.例1.已知x,y,z∈R﹢,且x+y+z=1求函数f(x,y,z)=

4x1+y14z1的最大值

分析直接求最大值,无从下手,观察变量x,y,z可知:它们在条件及函数f(x,y,z)中均具有对称性,可预测当x=y=z=时函数取最大值.此时,函数f(x,y,z)的值为41414121 从而4x1+4y14z121

只需进一步检测预测结果的正确性,将求最值题转化为证明题,降低了原题的难度.13131313

上不等式通过基本不等式<2>.运用对称性,诱发解题灵感

x2y2z2xyz

不难证得 

有些数学问题,用对称的眼光去观察﹑审视,通过形﹑式的补美造成对称或采用对称变换调整元素之间的关系,往往能诱发解题灵感,简化解题过程.例2.若a,b,c表示三角形三边之长,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)3abc

分析本题关于a,b,c是对称的,这就启发我们将3abc移到左平分给三个加项,即需证:

[a2(b+c-a)-abc]+[b2(c+a-b)-abc]+[c2(a+b-c)-abc] 0 由对称性,我们只需变换上式左边中的某一项,如 a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)

=a(a-b)(c-a)

于是, 左边其余两项显然为:b(b-c)(a-b),c(c-a)(b-c)

又因为关于a,b,c对称,故不妨假设a b c

此时, c(c-a)(b-c)0

而a(a-b)(c-a)+a(a-b)(c-a)=(a-b)[c(a-b)-(a2-b2)] =(a-b)2[c-(a+b)] 0

从而原不等式获证

<3>.洞察对称性,巧妙转化问题

对于一些数学问题,若能洞察到问题所具有的对称性,往往可将 题巧妙转化,使问题解题思路简捷﹑化难为易﹑避繁就简.例3.自点A(-3,3)发出光线h射到x到轴上,被x轴反射,其反射光

线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线h所在的直线方程

分析 :本题解法颇多,若能运用对称的思想,巧妙转化问题,不难发现原命题即为:”求过点A(-3,3)且与⊙c(x-2)2+(y-2)2=1对称的圆

⊙c¹相切的直线方程”如图,这样的转化不但明确了解题 思路,而且简化了解题计算量,设直线h的方程y-3=k(x+3)则根据⊙c¹的圆心C’(2,-2)到直线h的方程的距离等于⊙c¹的半径1,可求出k=-,从而求出直线方程

'3

'

<4>.剖析对称性,合理准确选择

数学的发现关键阶段------领悟阶段,发现常常是作出选择,就是要抛弃不合适的方案,保留合适的方案,而支配这种选择的就是数学美感,而对称美感往往扮演着重要角色 例4.已知:△ABC的内界圆与外切圆的半径分比别为r和R,则r和R比值等于()

ABCABC

cosB.4sinsincos

222222

ABCABC

C.4sinsinsinD.4coscossin

222222

A.4sincos

分析三角形的边a,b,c或角A,B,C对r和R的影响是相同的, r和R不可能对三角形的某一条边或某个角有选择或特别偏重,因此在比值

r的表达式中,必有边a,b,c或角A,B,C的轮换对称,因此C是正确的 R

怎样预见数学研究成果?如果我们对未来结果一无所知,那么只有凭感觉判制,数学中的对称美感,是我们必须信任的向导.Ⅱ.对称与非对称的联系

寻求对称不是解题的唯一途径,具体问题具体分析才是出路,下面对对称与非对称作一辨证分析 <1>.非对称向对称转化

对称的形式容易被感知与理解,均衡协调的结构往往能理顺思路,反之则会干扰思考,这就要求我们使凌乱的非对称的形式转化为对称和谐的结构.(1)根据题目的结构及需要,对原式添加某些项,使其形成对称局面,促使问题求解.例1.设a

n(x,y,z,t)可以取多少不同的值?

评析:如将n(x,y,z,t)再添上两项(x-z)2和(y-t)2则 n(x,y,z,t)+(x-z)2+(y-t)2就转化为关于x,y,z,t的全对称式,故 n(x,y,z,t)的不同值仅依赖于(x-z)2+(y-t)2=(x2+y2+z2+t2)-2(xz+yt)的不同取值,而上式右端第一项(x2+y2+z2+t2)又是全对称的,因此,n取不同的值仅依赖于xz+yt,而它恰有三种不同的值 ab+cd,ac+bd ,ad+bc,事实上(ab+cd)–(ac+bd)=a(b-c)+d(c-b)=(b-c)(a-d)>0

∴ab+cd>ac+bd

同理ac+bd>ad+bc

即n(x,y,z,t)可取三种不同值

(2).根据式子外部特征及某些性质,引进一个新的对称的式子,与原式

配合求解,所引进的新的式子称为对偶式

例2.设a,b∈R+,且1, 求证:对每一个自然数n有(a+b)n-an-bn≧22n-22n-1

12n1

证设d1=(a+b)n-an-bn =Cnan1bCnan2b2Cnabn1

1n2n1

令d2= d1=Cnabn1Cnan2b2Cnan1b

1a1b

d1+ d2=2 d1=

n1n1n2222n1n1

Cn(abab)Cn(ababCn(abab)

12n1

2anbn(CnCnCn)由题设可知 ab 4, 于是 2 d124n(2n2)即d12n(2n2)22n22n1 <2>.对称-------非对称---------对称的辨证关系

方法上的对称,形式上的对称,确实能为我们获取信息打开通道,但是没有一个极美的东西是在调和中有着某种”奇异”有的时候抓 住某种”奇异”更能简洁明快的求解.例3.在△ABC中求证sinsinsin

A2

B2

C1 28

12n1

评析: 这里的约束条件A+B+C=∏,将C视为常量(＂奇异＂),此时

CA

为常量, sin为变量,它们地位不同,(打破和谐性),问题转化

ABsisin为求的最大值,因为 22ABAB1AB1AB1

sinsin=(coscos)cossinC当且仅22222222

sin

当A=B时取最大值,同理固定B角,A=C时取最大值,固定A角, B=C时取最大值,呈现出和谐之感,因此只有当A=B=C=



时 3

sin

ABC1

sinsin=(最大)2228

例4.在△ABC中,求sin3Asin3Bsin3C最大值

分析点评:本例形式上与上例3极为相似,用同样的方法展开

sin3Asin3Bsin3C2sin

3(AB)3(AB)

cossin3C 223(AB)2sinsin3C(这里运用放缩法,与上例解法

不对称)

3(AB)3(AB)3(AB)

2sincos 2223(AB)3(AB)

[1cos] =2sin

=2sin

此时sin

3(AB)

可正可负(又与上例解法不对称),不妨设ABC之2

后虽然破坏了A,B,C的对称结构.(他们有大小之别)但为我们解题开拓了思路.∵ABC∴0上式=

3(AB)

 2

第二篇：原创：数学美在数学教学中的应用

长期从事数学教学，我发现学生对数学的态度有着惊人的差异，这很大程度上归因于他们对数学的领悟和鉴赏角度不同。数学其实是美的，数学美是一种极其严肃、雅致和含蓄的美，学生受到基础知识和审美能力的限制，并不都具有理想的鉴赏能力。因此，唤醒他们对数学的美好情感，倡导对数学美的崇尚是数学教育的任务之一。?

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一、数学知识的结构美与教学?

数学基础知识主要包括数学概念、命题、法则以及内容所反映出来的数学思想方法。数学知识的和谐美和简练美是数学知识结构美的两个主要方面。?

数学知识的和谐美是数学的普遍形式。教学时，教师不但要对这种美有较深刻的领悟，且要能艺术地表现出来。例如，在推导椭圆的标准方程时，教师在推导过程中的一边示范，唤醒学生的审美意识，学生也进入到美的境界，得到美的享受，一边让学生根据定义画出椭圆，且要求他们用生动形象的数学语言表达自己的思维活动。这样，再让学生感受和体验美的同时，激励他们创造美，使数学美在教学中的作用发挥得淋漓尽致。?

数学知识的简练美是数学的主要艺术特色。对简练美的追求是数学研究的一部分，它促进了数学理论的发展，也有益于知识的系统化。而数学知识的系统性，成为知识发展的主要特点：数学内容的发生和发展都是与它的知识点的形成分不开的，若干个知识点之间的联系，既具有纵向的顺序性，又具有横向的层次性。?

二、数学思维的协同美与教学?

数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般的思维规律认识数学规律的过程。数学思维的协同美大体上可从以下两个方面表现出来。?

归纳和演绎的相互作用。数学中大量地需要归纳，同时也需要演绎，在许多情况下两者互为作用的。在数学教学中，总是既用归纳又用演绎。为了增强归纳推理的可靠性，不管是以一般原理作指导还是对归纳推理的前提进行分析，都要用演绎推理。归纳和演绎在思维运行过程中这种辩证统一正体现了两者之间是交互为用的。?

在小学数学中，限于儿童的认知水平，数学知识的出现，较多地依赖于直观、实验和归纳，适当地进行演绎，以不断提高学生的逻辑推理能力。例如加法交换律，最早出现在一年级，显然不可能进行演绎论证，只能通过计算实践，由8+5=13，5+8=13等归纳出加法交换律，但在对加法交换律的反复应用中又让学生领会演绎思想，因此，在教学中要贯彻“归纳与演绎交互为用”的原则。?

形式逻辑与辩证逻辑的并重和统一。一方面，数学中大量存在相对稳定的状态，我们能用形式逻辑思维的方法进行分析和研究数学对象。另一方面，也存在显著的运动状态，如有限与无限的相互转化，代数、几何、三角各学科之间的转化以及数学各种相关运算方法的发展与对立统一等，故能用辩证思维的方法认识数学概念的形成和关系的不断发展变化。因此，在教学时要贯彻形式逻辑思维与辩证逻辑思维并重和统一的原则，发展学生的数学思维能力。以数学概念教学为例，按形式逻辑思维规律，对于每一个数学概念的认识要前后一致，而且不容许存在不相容。如果存在着两个互相排斥的认识，那么其中必有一真一假，概念数学必须遵循上述逻辑规则进行。但同时也应指出，用运动和发展的观点来思考，数学概念也是随着学生学习的数学知识的结构的发展而发展的。许多对立的概念可以统一起来，如实数和虚数同处于复数中，一个概念在不同的场合或不同的条件下可能有不同的认识，如三角函数的概念，最初学习的是锐角的正弦、余弦、正切和余切，被理解为直角三角形中一个锐角的对边比斜边、邻边比斜边、对边比邻边和邻边比对边，以后发展到任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割。我们知道，数学的发展归根到底是数学概念的不断发展，这种发展又有自身的规律。人们常说的概念是在发展中形成，而且又是在形成后不断发展的，所以一个数学概念具有确定性和灵活性两个特点。就像“乘法”这个概念在整数和分数中具有不同的数

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学含义一样。?

三、数学方法的奇异美与教学?

数学是一门研究思想事物的抽象的科学。确实，数学具有两重属性，这两重性可简单地概括为：一是数学知识，二是数学思想方法。而数学方法是数学中最本质的东西，数学方法的奇异美常常成为产生新思想、新方法和新理论的起点，使规律化、程式化的世界出现意外的、带有独创性的成果，令人兴奋和激动。?

如：“凸?n(n?＞4)边形的对角线最多有几个交点？”这个问题，按照习惯，也许会从四边形开始，逐步通过五边形、六边形等来构造对角线的交点，从中归纳出一般规律。当一次次构造的尝试都未获得理想的结果时，我们要敢于放弃传统方法，另辟蹊径：一个交点是由两条对角线相交而成，两条对角线由四个顶点确定，而凸n边形任意四个顶点都能且只能确定一个交点，于是问题就转化为“在n个顶点中任意取四个，共有几种取法？”新颖的方法带来了意想不到的效果，这便是化归法的奇异美所在。我们在传授数学知识的同时，更应注重数学方法的渗透，要求学生掌握方法的同时，能构造出解题模式，使数学美得到升华。?数和形是数学中最基本的两大概念，是数学研究的两个重要侧面，所以数形结合法是数学研究的重要思想方法。教学时，可利用数形结合来启发学生的直觉思维。数形结合是直觉思维的桥梁，我们应利用这一桥梁，使学生从美学角度审视或整理自己掌握的知识，这样能使他们的知识结构更完整、更充实。同时，为了使学生画图准确、迅速、美观，教学时我们可以开展构图比赛，培养学生创造美的能力。?

综上所述，数学正如罗素所说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且有至高的美。”在数学教学中，要充分挖掘数学美的因素，引导学生对美的追求，使他们摆脱“苦学”的束缚，走入“乐学”的天地。?

（洪发兰 安徽省淮北矿业集团芦岭矿中学 234113）

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第三篇：浅谈数学美及数学美在教学中的应用

浅谈数学美及数学美在教学中的应用

数学与生活息息相关，它来源于生活又高于生活，最宗又服务于生活。它是美的象征，它具有简单美、和谐美、奇异美等特征。它没有音乐中的抒情旋律、没有美术中鲜艳的画面、没有文学中动人的诗歌。因而许多人感到它枯燥单调，神秘莫测，难以唤起审美情趣。而我则认为数学具有无限的数学美！本文试从数学美在教学中的作用，实施美育的尝试加以论述。

一、数学美在教学中的作用

(一)什么是数学美？数学美是如何来提高学生钻研数学主动性的。

数学学习在创造性欲望的满足上无法与数学发现相比，但同样可以享受到“再发现”和“再创造”的喜悦。透彻地理解一个概念，巧妙地证明一个定理，正确地使用一个公式，一个方法的恰到好处的运用，特别是一道难题经过反复琢磨，冥思苦想后的突然悟出，真有“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的欣喜感觉。

我在《圆的计算》的教学过程中，为了加强学生对圆面积推导过程的理解和应用，首先我用了数学中的“简单美”的特征，发给学生一些相关材料，先由学生按照印好的线条剪拼，然后自己推导计算公式，最后小组讨论能否拼成其他图形。学生在讨论中剪拼成了三角形、梯形，最宗在我的指导下推导出了圆的面积计算公式。在这过程中，他们兴趣盎然，积极动手。当问题得到解决后他们个个眼中闪耀着成功的喜悦。

(二)启迪思维活动

发展思维的宗旨是开发智力，提高能力。在数学学习中，一道数学题的解法是否合理，不但要符合实践标准和逻辑标准外，还要符合美学标准。

例如有些应用题的解法常常有许多种，我们提倡解决问题方法的多样化，那么在这多种解法中如何判断其优劣呢?其最主要也是最基本的标准就是——是否简捷。如：“一条路长1500米，某工程队前2天修了全长的1／5，照这样计算，修完这条路还需几天?”

解法一：(1500-1500x1／5)÷(1500x1／5+2)=8(天)解法二：1500+(1500x1／5+2)一2=8(天)

解法三：[(1-1／5)÷1／5]x2=8(天)

解法四：2÷1／5—2=8(天)

后两种解法明显运算量小，道理十分清楚，特别是第四种解法．利用天数与与工作量的关系，一下子算出总天数，再减去已用的2天，马上得到解，因而也是最清楚、最“美”的解法。

(三)深化理解知识

在复习《平面图形的周长和面积》这一课中，我首先让学生回忆了所学过的平面图形，然后组织小组讨论.我们可以把这

样的平面图形怎样进行分类?为什么?讨论和分类的过程，也是理解这些图形内在联系的过程。学生通过图形的分类及用字母表示数量，得到的各种计算方式的极为优美的简洁的表达形式，体会到了数学所特有的美。

(四)陶冶思想情操。

爱美之心人皆有之，在年少时尤为突出，我们要让学生在美的享受中开启心灵，达到精神的升华。充分利用生动的材料．以数学美的魅力拨动学生的心弦，使他们在享受数学美的愉悦中增长知识，并在情感上产生共鸣，才能收到陶冶情操的良好效果。

在教《圆的周长》这一课时，我对我国古代数学家祖冲之稍做介绍，他把圆周率的值精确计算到了3．1415926-3．1415927之间，这在古代是多么的伟大啊，不言而喻，我国数学的辉煌成就中所体现出来的数学美，是给学生进行爱国主义教育的极好材料。又如，数学中的“曲线”不仅仅具有柔和而流畅的外形，而且还赋予丰富深刻的含义：圆，象征完美，象征团圆，而曲线则暗示着人生的某种真谛。

二、实施美育的尝试

(一)培养学生的审美意识

数学美虽是一种真实的美，但它是美的高级形式。因此，数学究竟美在何处？学生不可能轻易意识到。这就需要教师在教学中，有意识地培养学生的数学美感直觉，引导他们去发现

美鉴赏美，从而提高审美能力。

例如：在 《组合图形的面积计算》时，我先用多媒体放映生活纪实片，引领学生观察生活，到生活中去寻找数学。通过观察，学生捕捉到生活中的许许多多已学过的平面图形，然后定格在数学图形上，让学生提出问题，并思考如何解决，这样变抽象的说教为形象的演示。利用多媒体教学手段，打破时空局限，激活创造思维。

(二)创造优美数学环境

数学是一门科学，也是一门艺术。数学教学必须根据学生的心理特点，遵循教学规律。运用美育原则，通过教师的精心设计，把数学材料的静态集合转化成切合学生心理水平的教学的动态过程，造成一种知识与能力的结合，达到数学与艺术交融，教师与学生产生共鸣的优美环境。

例如，为了推导圆锥体积公式，根据教材要求和学生实际情况，我设计了如下教学过程：

1、提出问题，引起猜想。

问：我们是怎么推导圆柱体积公式的?现在要推导圆锥的体积公式，该怎么办?为什么这样?继而通过讨论，引起猜想。

2、实际演示、证实猜想。

拿出事先准备好的等底等高的圆柱、圆锥。把它们的容积近似地看成它们的体积，通过实验得出结论：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。

3、留疑

讨论：如果不是等底等高，结论能成立吗? 如果不能又将怎样？

数学教学的实质是思维过程的教学，教师须对课堂教学的全过程从宏观结构到微观环节都作精心布局，使教学动态系统和谐可控，使教学过程层次分明，起伏跌宕。环环紧扣，师生情感得到充分交流，让学生在优美的教学环境中得到启发受到教育。作为当今时代的一名数学教师更应该清楚并运用数学中的数学美，把它渗透在日常的教学过程中，让学生置身于数学教学情境中，发散思维，提高能力。

第四篇：高中数学中的对称问题小结

对称问题

一、要点梳理

1.对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。3.求对称曲线的常用思想方法：代入转移法

4.许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等

二、基础练习

1、已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为

（）A.(x＋1)2＋y2＝

1B.x2＋y2＝1

C.x2＋(y＋1)2＝1

D.x2＋(y－1)2＝1

2、方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线

（）A.关于x轴对称但不关于y轴对称

B.关于y轴对称但不关于x轴对称 C.关于原点对称

D.以上都不对

3、函数y＝－ex的图象

（）A.与y＝ex的图象关于y轴对称

B.与y＝ex的图象关于坐标原点对称

C.与ye的图象关于y轴对称

D.与ye的图象关于坐标原点对称

4、曲线x2＋4y2＝4关于点M（3，5）对称的曲线方程为___________.5、光线从点A（-3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（-2，6），求射入y轴后的反射线的方程。

变式：已知直线l1: x+my+5=0和直线l2:x+ny+P=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是（）A、xx5p

mnB、p=-5

C、m=-n且p=-5

D、11且p=-5 mn6.直线2x3y60交x、y轴于A、B两点，试在直线yx上求一点P，使P1AP1B最小，则P点的坐标是_______ 思考、已知函数f(x)13xx2x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的3两点M(x1,y1),N(x2,y2)，且恒有y1y2为定值y0，则y0的值为（）A.12

4B.

C.

D.2 3337、已知点M（3，5），在直线：x2y20和y轴上各找一点P和Q，使MPQ的周长最小。

x2y21的焦点为焦点作椭圆。问：点P在何处时，8、在直线l:xy90上任取一点P，过点P且以椭圆

123所作椭圆的长轴最短？并求具有最短长轴的椭圆的方程。

9、已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1

10、已知抛物线y=ax2－1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.x2y2变式：已知椭圆方程为试确定实数m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线y4xm1，43对称。

11、已知函数f(x)lnx(0x1)1x（1）在函数yf(x)的图象上是否存在一点（m,n），使得yf(x)的图象关于（m,n）对称？（2）令g(x)f(1x11)，是否存在这样的实数b，使得任意的a∈[,]时，对任意的x∈(0,)，不等式2x43g(x)xax2b恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由.12、已知抛物线C:y24x，过M(m,0)的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点.（Ⅰ）若m=3，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；

（Ⅱ）若m0，且存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列，求m的取值范围.（Ⅲ）若m0，记A关于x轴的对称点为A1，求证：直线A1B过定点.13、设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y2x上，l是AB的垂直平分线．（Ⅰ）当且仅当x1x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；

(Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

214、已知函数f（x）=(Ⅰ)求实数a,b的值；(Ⅱ)设g（x）=f(x)+13xx2axb的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2.3m是[2,]上的增函数。x

1（i）求实数m的最大值；

(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

参考解答：

1、C；

2、C；

3、D；

4、（x－6）2+4（y－10）2=4；

5、解：A（-3，4）关于x轴的对称点A1（-3，-4）在经x轴反射的光线上；A1（-3，-4）关于y轴的对称点A2（3，-4）在经过射入y轴的反射的光线上，∴kA2B=

642

23∴所求直线方程为 y62(x2)，即2xy20 变式、C；

6、(0,0)； 思考、B；解析： f(x)13111xx2x(x33x23x11)(x1)3 3333111f(x)(x1)3从而f(x)的图像关于定点(1,)对称，333112所以点P为(1,)，y1y2y02()

3337、解：可求得点M关于l的对称点为M1（5，1），点M关于y轴的对称点为M2（-3，5），则

MPQ的周长就是M2QQPPM1，连M2M1，则直线M2M1与y轴及直线x2y20的交点P、Q即为所求。

直线M1M2的方程为x2y70，直线M1M2与y轴的交点坐标为Q(0,)，由方程组72x2y2059597 得交点P(,)，∴点P(,)、Q(0,)即为所求。

24242x2y708、略

9、解：设P1B=x，∠P1P0B=θ，则CP1=1－x，P3PB∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ，∴tanθ=1=x.P0BCP1x1x1又tanθ=1==x，∴CP2==－1.CPCP2xx2而tanθ=

D(0,1)P2C(2,1)P1B(2,0)A P0P4P3D=P2DDP3DP31==x，∴DP3=x（3－）=3x－1.11x2(1)3xx又tanθ=AP31(3x1)23x23x2===x，∴AP4==－3.AP4AP4AP4xx依题设1> xx42512>tanθ>.2510、解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），yxb，设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程 2yax1ax2－x－（1+b）=0.① 判别式Δ=1+4a（1+b）＞0.②

x1x211=，y0=x0+b=+b.2a2a21113∵M∈l，∴0=x0+y0=++b，即b=－，代入②解得a＞.a42a2a解法二：设同解法一，由题意得 由①得x0=y1ax121，yax21，22y1y21，xx12y1y2x1x20.22①②③ ④将①②代入③④，并注意到a≠0，x1－x2≠0，得

1xx12a，由二元均值不等式易得2（x12+x22）＞（x1+x2）2（x1≠x2）.12x12x222.aa将⑤⑥代入上式得2（－1a2解法三：同解法二，由①－②，得y1－y2=a（x1+x2）（x1－x2）.yy2∵x1－x2≠0，∴a（x1+x2）=1=1.x1x2x1x21=.∵M（x0，y0）∈l，2a2111∴y0+x0=0，即y0=－x0=－，从而PQ的中点M的坐标为（，－）.2a2a2a∴x0=∵M在抛物线内部，∴a（+

213）＞（）2，解得a＞.aa41132）－（－）－1＜0.解得a＞.（舍去a＜0，为什么?）

42a2a变式：解法一：该问题等价于存在直线y中点落在直线y4xm上。

1xn，使得这直线与椭圆有两个不同的交点P、Q，线段PQ的4x2y243122由消去y得13x8nx16n480 y1xn4∵直线与椭圆有两个不同交点。

∴64n2413(16n248)0由韦达定理得：x1x21313 ① n228n124n，y1y2(x1x2)2n。13413 4n12n,)又M在直线y4xm上 1313124n4n4m，∴mn ② ∴131313故PQ中点为M(由①②知213213 m1313解法二：设A(x1,y2)、B(x2,y2)是椭圆上关于直线y4xm对称的相异的两点，x12y12x22y22AB中点为M(x0,y0)。则1,1，4343由点差法得y03x0，代入y04x0m解得，M点坐标为(m,3m)。而M是AB中点，∴M点在椭圆内部。

m29m2213213∴。1。解得m43131311、【解析】（1）若存在一点（m，n），使得y =f(x)的图象关于点（m，n）对称，则f(x+m)+f(m－x)=2n

xmmxm2x2即ln lnln1xm1mx(1m)2x2当m11在y=f(x)的图像上，,n0时f(x+m)+f(m－x)=2n 且,0221，使得y=f(x)的图像关于1对称。所以在y=f(x)的图像上存在一点,0,0221x（2）gx=ln2xlnx1(x＞－1), 构造函数Fx=ln1xxax，1x12x12axx112ax2axx112a则Fx2ax1，x1x1x12

因为x0,a∈[,]所以x10,2ax0, 1143 111),F(x)在(0,1)上是减函数； 2a2a111,),F(x)在(1,)上是增函数； 若F(x)0，则x∈(2a2a111111时,F(x)取最小值，即F(x)minF(1)=ln1a(1)2 所以当x2a2a2a2a2a111111a1=lna

=ln2a2a4a2a4a若F(x)0，则x∈(0,记h(a)ln11111111a,又h(a)2a(2)2121(2)2, 2a4aa4a2a4a4a

11113∈[3，4]所以h(a)0,即h(a)在[,]上为增函数，所以h(a)minh()ln2

44a433所以若使F(x)b恒成立，只需bln2.4311所以存在这样的实数bln2,使得对a∈[,]，对任意的x∈(0,)时，443因为不等式ln（1+x）＞x-ax2+b恒成立.12、（Ⅰ）解：由题意，直线l的方程为yx3，由yx3y4x

2得

y24y120y12,y26，故A1,2,B9,6

以AB为直径的圆的圆心为AB中点5,2，半径为

AB42 2圆的方程为:x5y232.（Ⅱ）解：设A, B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), MBAM(0).22则AM(mx1,y1),MB(x2m,y2)，所以 x2m(mx1)

○

1yy21

因为点A, B在抛物线C上, 2

所以y12=4x1,y22

=4x2，○

由○1○2，消去x2,y1,y2得x1m.若此直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列，则|OM|2|MB||AM|，2即|OM|2|AM||AM|，所以m2[(x1m)2y1]，因为y12=4x1，x1m，所以m2m[(x1m)24x1]，x12整理得x1(3m4)x1m20，○

因为存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列，所以关于x1的方程○3有正根，因为方程○3的两根之积为m2>0, 所以只可能有两个正根，3m40

所以m20，解得m4.(3m4)24m20 故当m4时，存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列.（Ⅲ）定点位N(-m,0)。

13、解：（Ⅰ）Fl|FA||FB|A,B两点到抛物线的准线的距离相等．

∵抛物线的准线是x轴的平行线，y10,y20,依题意y1,y2不同时为0，2∴上述条件等价于y1y2x12x2(x1x2)(x1x2)0;

∵x1x2，∴上述条件等价于

x1x20.即当且仅当x1x20时，l经过抛物线的焦点F． 另解：（Ⅰ）∵抛物线y2x2，即x2y11,p，∴焦点为F(0,)

248（1）直线l的斜率不存在时，显然有x1x20

（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b

即直线l：y=kx+b

由已知得：

yy2221kx1x2b2x22x1kx1x2b

222222y1y212x12x21kx1x2x1x2k

22x1x2bkx1x2 x2x21b0b1 212441x1x22k即l的斜率存在时，不可能经过焦点F(0,)

所以当且仅当

18xx12=0时，直线l经过抛物线的焦点F

（II）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y2xb； 过点A、B的直线方程可写为y所以x1,x2满足方程2x21xm，211xm0,得x1x2； 2411.A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式8m0, 即m432设AB的中点N的坐标为(x0,y0)，则x01111(x1x2,y0x0mm.28216由Nl,得115519mb,于是bm.1641616323232即得l在y轴上截距的取值范围为（9,）．

法二:y1=2x1, y2=2x2, 相减得2

2y1y212(x1x2)4x0,即4x0, x1x221192x0,y0b, 中点在抛物线内必y02x0 得b843214、解：（Ⅰ）由f'(x)x22xa及题设得f'(0)3a3即。

b2f(0)2（Ⅱ）（ⅰ）由g(x)13mm2xx23x2

得g'(x)x2x3。23x1(x1)g(x)是[2,)上的增函数，g'(x)0在[2,)上恒成立，即x2x32m0在[2,)上恒成立。

(x1)2m0在[1,)上恒成立 t设(x1)2t。x[2,),t[1,)，即不等式t2当m0时，不等式t2m0在[1,)上恒成立。tm当m0时，设yt2，t[1,)

tmm因为y'120，所以函数yt2在[1,)上单调递增，因此ymin3m。

ttymin0,3m0，即m3。又m0，故0m3。

综上，m的最大值为3。

1331xx23x2，其图像关于点Q(1,)成中心对称。3x131332证明如下：g(x)xx3x2

3x113183g(2x)(2x)3(2x)23(2x)2x3x23x

32x1331x2因此，g(x)g(2x)。

32上式表明，若点A(x,y)为函数g(x)在图像上的任意一点，则点B(2x,y)也一定在函数g(x)的图像上。

31而线段AB中点恒为点Q(1,)，由此即知函数g(x)的图像关于点Q成中心对称。

3（ⅱ）由（ⅰ）得g(x)

第五篇：信息技术在高中数学教学中的应用

信息技术在高中数学教学中的应用

东港市第一中学

王文峰 ***

信息技术在高中数学教学中的应用

数学是探究数量关系和空间模式的科学。现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。数学与信息技术的相互促进与紧密结合，不仅形成了作为高新技术的核心成分和工具库的数学技术，也深刻地改变了数学的教和学的方式.，随着信息技术的快速发展，数学的使用更加的普遍，也逐渐融合到我们日常生活的各个方面。数学是对客观现象进行抽象性整理，并且逐渐发展成为一种科学的语言和工具，不但是自然科学和技术科学的基本内容，还是人文科学和社会科学的关键环节。

新课程中的高中数学老师运用现代信息技术的高中数学能更好地扩充信息通过指导学生运用信息技术开展高中数学研究性学习，培养学生独立思考、自主学习的能力，为学生构建一种开放的学习环境，提供一个多渠道获取知识、并将学到的知识加以综合和应用于实践的机会，从而培养学生的创新精神和实践能力；激发学生的学习兴趣；提高学生自主探究的能力；培养学生再创造的能力，从而有效提高学生的学习效益，提高教学质量。

在新课程教学中，把信息技术应用到高中数学教学中来已经是必然趋势，信息技术在高中数学教学中起到了重要的作用，它有利于提高教学质量，有利于学生掌握知识。我觉得应该从以下几点开始转变。

一、有利于转变学习方式，让学生从“听数学”转变为“做数学”。

利用信息技术辅助教学可以激发学生的学习情趣。兴趣是最好的老师，是学生积极探索某种事物的认识倾向，是学生学习的动力源，是智能和心理发展的催化剂。恰当地运用多媒体手段，能创设出一个图文并茂、有声有色、生动逼真的教学环境，为数学教学带来一片生机，从而获得良好的教学效果。在数学教学中，不仅有数、式的变换，更有一些“形”的变换，多媒体技术，展示几何模型，进行图像的平移、翻转、伸缩变换，把复杂的数学问题具体化、简单化，同时把数学中的对称美、和谐美和曲线美展示给学生，让学生领略到数学学习中的无限风光，激发他们探究学习的情趣。在这个过程中，如果能给学生创设一种积极的探索问题的情境，给学生的比较和抽象创造一种活动的空间和条件，他们就能在问题解决过程中理解和掌握抽象的概念。

二、有利于激发学生的学习兴趣，更好地创设问题情境。

高中阶段的学生普遍认为，数学课程内容抽象，概念严谨又枯燥。在概念教学中，以相关知识为载体，运用电教媒体揭示概念本质，引导学生学会抽象、概括的学习方法，便于深刻理解概念。信息技术运用在教学中，能够创设出直观、生动、形象的感知情境，从而达到调动学生学习积极性和学习兴趣的效果，有效地激发学生的学习兴趣，使学生产生强烈的学习欲望，由此形成学习动机。现在是知识爆炸的时代，在当今这个信息化的时代，教师要有新的思想、新的观念、新的知识和新的能力，光靠粉笔和黑板是绝对不行的。而中学数学，由于学科自身的特点，的确没有某些学科形象、生动、具体，学生学起来容易感到枯燥无味，从而影响学习的积极性。所以，必须学会多媒体教学设计，并能在教学中熟练使用多媒体课件，不仅是在公开课、研究课中使用多媒体，更要在家常课中普遍使用，发挥信息技术的作用，提高课堂教学的效率。为此，教师就自加压力，努力学习新的教育思想，学习课件制作技术，提高自己处理信息的能力。

三、有处于开展人机交互学习，使学生成为学习的主人。

尤其是多媒体技术应用于数学教学重点在于如何充分发挥其辅助教学的作用。近年来，广大高中数学教师更加关注计算机认知工具的作用，尤其是校园网、因特网的广泛普及以及几何画板、Excel、Flash等软件的引入和使用，许多数学教师对信息技术与数学教学整合进行了有益的探究，并取得了一定的效果，在数学教学中，教师要注意学生思维能力的培养，引导学生在思考中善于发现问题，提出问题，解决问题，培养他们的创造精神。比如，在立体几何教学中，当学生的空间概念较弱，但图形比较复杂时，教师可以利用多媒体激发学生的积极性。如证明直线与平面的判定定理时，由于图形比较复杂，学生空间想象力较差，借助模型既可以提高学生的兴趣，又可以帮助学生理解定理的证明。同时，利用多媒体技术中图形的移动、定格、闪烁、同步解说、色彩变化等手段表达数学内容，还能充分激发学生学习的主观能动性，化被动为主动，培养其思维能力。随着信息技术的发展，信息技术融合到课堂生活中，已经成为必然的趋势，尤其是在数学方面。从科学的角度来说，信息技术和数学知识的融合是现在学科教学的一大创新。这个创新是在现代教育理论的引导下，在学科课程教育教学设计和工作的过程中，使用现代的信息技术，使用先进的教学观念、方法和模式，突破传统的教学模式，有可能提出一些无法解决或是不能提出的问题，从而有效的提升课堂

效率，完成教训目标，推进教育教学的全方位改革。

但是在平时的教学备课过程中，有一些弊端，教师在备课的过程中，需要查阅大量的相关资料，而庞大的书库也只有有限的资源，况且教师还要一本一本地找，一页一页地翻，这个过程耗费了教师大量的时间。网络信息为教师提供了无穷无尽的教学资源，为广大教师开展教学活动开辟了一条捷径。每个教师只要在地址栏中输入网址,就可以在很短的时间内通过下载,获取自己所需要的资料, 大大节省了教师备课的时间.随着计算机软件技术的飞速发展，远程教育网络的建立,给教育工作者创建了一个庞大的交流空间, 大量的练习型软件和计算机辅助测验软件的出现，让学生在练习和测验中巩固所学的知识，决定下一步学习的方向，实现了个别辅导式的教学。在此过程中，计算机软件实现了教师职能的部分代替，时代的发展，要求竞争者提高自身素质，也要求学校教育走在发展的最前端，学校教育的发展方向又要求教师更新教学手段，而教学手段的更新主要受教育观念的支配，所以我们首先要转变教育观念，真正把信息技术运用到教学中来。把信息技术作为辅助教学的工具，充分发挥信息技术在学生自主学习、主动探索、合作交流等的优势，良好的实现教师角色的转变。减轻了教师的负担.因此，数学教学需要越来越多地体现出教学过程的信息化，原本作为教学辅助工具的多媒体信息技术逐步显现出了它在数学教学中不可替代的作用，备好课，准备好课件，能起到事半功倍的效果。

现代信息技术能够变革课堂教学的传递结构，扩展信息功能，增加个别化教学的能力，优化教学；但也要注意，现代信息技术也不可能解决教学中的所有问题，因此夸大其作用，试图以此盲目代替传统教学的做法是不现实的，在未来的教学当中，现代教育技术必将得到进一步的应用；但现代教育技术的运用不能无节制，要与常规教学相结合，要以促进教学过程的优化为重点，设计好媒体使用的强度和时机。当然，这还需要我们在今后的教学实践中，继续去探索和完善。