《高等数学上册考试试题》（共5篇）

第一篇：《高等数学上册考试试题》

………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效…………… 《高等数学（上）考试试题》

一、填空题(每小题4分，5个小题，共计20分)学院 _____________班级名称_______________学号_____________姓名_____________教师________________1．limx(13x)(12x)(14x)2201030_________。2．设f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4),则f(x)0有且仅有_______个实根。________3．设　ysin(1x2),则y4．设　y12xe2x。，则其反函数x(y)的导数x(y)________f(a)f(ax)2x5．设　f(x)为可导函数且满足lim x01，则曲线yf(x)在点(a，f(a))处的切线斜率为________。

二、选择题(每小题4分，5个小题，共计20分)121．当x0时，(1ax)31与cosx1是等价的无穷小，则常数a(32)A、32B、23C、D、23 2．已知axb，当x1f(x)2　处处可导，则有(x，当x1)A、a2，b1B、a2,b1C、a1,b2D、a1，b2 3．设　limx0f(x)f(0)ln(13x)x24,则f(0)等于()A、3B、4C、1D、43)4．设函数yf(x)在点x处可导,则它在点x处的微分dy是指(A、f(x)B、f(x)C、xD、f(x)x 5． 设常数k 0，函数f(x)lnxxek在(0,)内零点个数为()A、1B、2C、3D、01

三、解答题(每小题7分，6个小题，共计42分)

1．计算极限

lim(xe

x0

2x)sinx。

2．设y

y(x)由方程e

xy

sin(xy)y确定,求

dydx。

3．设

xtlntyt

t，(t

1e)确定了函数yy(x),试求

dydx。

4．设函数

f(x)具有连续二阶导数,且f(0)f(0)0,f(0)6,求

f(sin2

lim

x)。

x0

x

5．求数列的极限

limn1

11

n2

n22nn2n． 

6．讨论函数

f(x)lim

1x2nn

1x

2n

x的连续性，若有间断点，判断其类型。

四、证明题(每小题9分，2个小题，共计18分)

1．证明：当

0ab时,bab

ln

ba



baa

成立.2．设f(x)在[0,a]连续，在(0,a)内可导，且f(a)0，证明存在一点

使得3f()f()0。

(0,a)，…

………

… _效__…__…__…__…__…__无__…_师…教… … _…__题__…__…__…__…__…名答姓…__…__…__…__…__内__…_号…学…_…__…__以__…__…__…__…__…称线名…级…班…__…__…__封__…__…__…_ …院…学密………

答案：

一、填空题(每小题4分，5个小题，共计20分)

1．()

2.43．y2cos(1x)4xsin(1x)4．

222

(2xe)e4x

x

2x2

(x0)5． 2

二、选择题(每小题4分，5个小题，共计20分)

1．C2．A3．D4．D5．B

三、解答题(每小题7分，6个小题，共计42分)

x

xe1

2x

1

1．lim(xe

x0xy

2x)sinlim{[1(xe

x0

2x

1)]xe

2x

}

sinx

e。

xy

2．e(yxy)(yxy)cos(xy)y，y

dy

3． y

t

y(ecos(xy))

xy

1x(ecos(xy))。

dtdxdt



t(lnt1)lnt1

t

t。

4．因f(x)具有连续二阶导数

则lim

12

x0,则f(x)及f(x),f(x)在x0都连续 f(sinx)sin2x

4x

f(sinx)x

lim

x0



lim

f(sin

x

x)

x0

lim

f(sin

x)sin2x

limf(sin

x0

x)3 f(0)

x0

2x

11n15．2n222n2，由夹逼准则有nnnn2nn

n

111

limn2221。nn2nnn

6．f(x)lim

1x1x

2n2n

n

x,|x|1



x0,|x|1，x,|x|1

x1

x1

x1

x1

在分段点x

lim

x1



1处，因为limf(x)lim(x)1，limf(x)limx1，即



f(x)lim

x1

f(x),x1是f(x)的跳跃间断点（第一类）；

x1

x1

x1

在分段点x

1

处，因为lim

x1



f(x)limx1，limf(x)lim(x)1，即limf(x)limf(x),x1

x1



x1



是f(x)的跳跃间断点（第一类）。

四、证明题(每小题9分，2个小题，共计18分)

1．证明:令f(x)lnx,则f(x)在(0,)连续,可导

当0ab时,对f(x)在[a,b]上应用拉格朗日中值定则至少存在理

(a,b),使f(b)f(a)f()(ba)

ba1

即lnblnaln



(ba)，又ab且(ba)0，则

1b







1a，故：当0ab时,bab

ln

ba



baa

成立.。

2．证明：令F(x)x3f(x)，因为f(x)在[0,a]连续，在(0,a)内可导，所以F(x)在[0,a]连续，在(0,a)内可导，且F(0)F(a)a3f(a)0，满足罗尔中值定理条件，至少存在一点(0,a)，使得

F()3f()f()0，即3f()f()0。

第二篇：高等数学上册

《高等数学》上册

一、函数与极限

1.函数基本概念—了解

1． 集合及集合的运算

2． 数轴、无穷大和无穷小的几何表示、区间 3． 常量和变量

4． 函数的定义和函数的表达方式 5． 函数的定义域和函数的计算 6． 基本初等函数

7． 复合函数和初等函数 8． 分段函数

2.函数的极限及运算法则—理解极限的含义，会计算求极限的题目；涉及范围较广，高等数学上册下册均有求极限的题目，极限的方法是研究函数的工具。（不会涉及证明用极限定义证明极限的题目）

1． 数列及数列极限 2． 函数的极限

3． 无穷大和无穷小的极限表示

4． 无穷大和无穷小的关系及无穷小的性质（运算注意前提条件有限个和无限个的区别）5． 极限的有界性定理及应用

6． 复合函数求极限（变量代换的方法）

3.两个重要极限（两个极限的运算法则的条件、推广和应用）

1． 第一个重要极限

2． 第一个重要极限的应用 3． 第二个重要极限

4． 第二个重要极限的应用（注意：单调 且有界是证明题的关键部分）4.无穷小的比较

等价无穷小及其应用

重要部分！5.函数的连续性和间断点

1． 增量

2． 函数连续的两个定义 3． 左连续和右连续

4． 函数的间断点分类（重要，出小题）

5． 连续函数四则运算的连续性（运算法则的条件、推广和应用）6． 反函数和复合函数的连续性

7． 连续函数的性质（注意：闭区间上连续函数的性质，重要，但一般不单独出题）一致连续性不用看 练习题一

2.导数与微分（重要,小题必考章节！）1.导数的定义和导数四则运算法则

1． 导数的定义（重要），2． 导数的几何意义（理解；其中数一数二导数的物理意义；数三，经济意义、边际函数、弹性函数）

3． 函数可导性与连续性的关系（必需的！）4． 求导公式表（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 函数导数的四则运算（必需的，熟悉到1+1=2！）2.不同类型函数的求导法则及高阶导数

1． 复合函数的求导法则（必需的，熟悉到1+1=2！）2． 隐函数的求导法则（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 参数方程所确定的函数的求导法则（小题，理解！多元隐函数的求导）4． 高阶导数（重要）

3.函数的微分及应用（理解，重要同导数必考，小题）

1． 微分的定义

2． 微分的几何意义

3． 微分的基本公式和运算法则 4． 复合函数的微分公式

5． 利用微分进行近似计算（除去不用看）练习题二

3.导数的应用（考大题 难题，重要章节！）

1.中值定理和洛必达法则（中值定理包括费马定理的应用及相关的证明题，必须会做证明题！）

1． 罗尔定理及几何意义

2． 拉格郎日中值定理及几何意义

3． 利用拉格郎日中值定理证明不等式

4． 洛必达法则（必考;泰勒公式及其应用，参照张宇的老师的导学或视频）2.函数的极值和最值（考小题，单调性及极值点、最大值最小值）

1． 函数的单调性及判断 2． 函数的极值 3． 函数的最值

3.曲线的凸凹性，拐点及函数作图（考小题，单调性及极值点、凹凸性及拐点、渐近线的定义理解）

1． 曲线的凸凹性及判断 2． 曲线的拐点 3.曲线的渐近线

4.函数作图（会大致描绘图形帮助做题）5.曲率

（了解即可）练习题三

4.不定积分（重要！运算的基础知识。与数

一、数三相比，数二有可能大题。）

1.不定积分的概念和基本公式

1． 原函数与不定积分（理解原函数）

2． 不定积分的定义（必需的，熟悉到1+1=2！）3． 不定积分的性质（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 基本积分表（必需的，熟悉到1+1=2！）5． 直接积分法（必需的，熟悉到1+1=2！）2.换元积分法

1． 换元积分法的引入

2． 第一类换元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 第一类换元法的应用（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 第二类换元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 第二类换元法的应用（必需的，熟悉到1+1=2！）3.分部积分法和不定积分技巧的综合应用

1． 分部积分法（必需的，熟悉到1+1=2！）

2． 被积函数和积分变量的选取（必需的，熟悉到1+1=2！）

3.有理函数的积分（重要，常见的一些题型，基本的运算方法的综合利用）4.综合题举例（积分表不必看）

5.定积分（重要！非常重要，是多元函数的二重积分，三重积分，线面积分的基础）1.定积分的定义和基本运算

1． 定积分的定义（理解！）

2． 定积分的性质

3． 变上限的积分函数（理解！）

4． 牛顿—莱布尼兹公式 各种题型的必需的，熟悉到1+1=2！

2.定积分的换元法和分部积分法

若不定积分学好，这一部分涉及的计算应该1． 定积分的换元法 很简单！2． 定积分的分部积分法

3． 利用方程和数列求定积分

常见的各种类型的题目一定要熟悉，再熟悉，3.广义积分（理解！考小题）再再熟悉，怎么熟悉都不为过！

1． 积分区间为无穷区间的广义积分 一元函数的极限，导数，微分，不定积分，定2． 被积函数有无穷间断点的广义积分（Г积分这是高等数学的基础，根本所在；然后多函数不用看）元函数（二元函数）的类似运算，只要把定义4.定积分的运用（会应用）相关推理过程理解了，则 自然会有 水到渠成1． 定积分的元素法 效果，难点不再难点！2． 利用定积分求平面图形面积

3． 利用定积分求体积（数三只看旋转体 体积）

4.曲线的弧长（数

一、数二公式记住，数 三不考）

第三篇：高等数学自我检查试题集上册

高等数学自我检查试题集

第一部分 高等数学上册

自我检查试题一

一、填空（每小题3分，满分15分）

1． 设f(x)的定义域为[1，5)，则f(1x)的定义域为_________________。2． limarccos（x2x1x)_____________。

__。3． f(3)a,则limf(32t)f(3)

t__________

t0

c都是单位向量，b、__4．（不做）已知a、且abc0，则abbcac_

1。

5． 设f(0)0,f(1)a，则f(x)f(x)dx__________

0_。

二、单项选择（每小题3分，满分15分）

1．当x0时，变量1cosx是x的（）无穷小。

（A）等价（B）同阶但不等价（C）高阶（D）低阶

2．设f(x)二阶可导，且limf(x)

ln(1xsinx)3，则f(0)是f(x)的（）。2

x0

（A）极大值（B）极小值（C）驻点（D）拐点

13．设f(x)x3

a,0xsinttdt,x0x03，当a取（）时，函数f(x)是连续函数。

（A）2（B）1（C）-1（D）0

4．已知曲线yf(x)在x1处有水平切线，且f(1)2，则曲线yf(x)在(1,f(1))处的曲率k为（）。

（A）0（B）1（C）2（D）2

5．下列广义积分发散的是（）。

（A）dx1

sinx1（B）1dxx2（C）e

0x2dx（D）2dxxln2x

三、计算题（每小题7分，满分49分）

1． 求lim（x01x1

ex1)。

2y2． 设yy(x)是由xyesiny所确定的隐函数，求dy

dx。

3． 设F(x)xxf(t)dt，其中f(x)在[1,)内具有一阶连续导数，求F(x)。

4． 求不定积分

sinxcosx1sin

x

dx。

12x

45． 已知f(x)ln(1x)，且f(1)，计算f(x)dx。

6．（不做）求过点(1,2,3)垂直于直线

线方程。

7． 设f(x)



y5



z6

且平行于平面7x8y9z100的直



x

e

t

costdt，试求f(x)在[0,]上的最大值和最小值。

四、应用题（每小题8分，满分16分）1． 设平面图形D由曲线yx,yx所围成，（1）求D的面积；

（2）求D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积Vx。

2． 将长为a的铁丝分成两段，一段围成正方形，一段围成圆形。问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小。

五、证明题（5分）

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)1，证明：2x



x

f(t)dt1在[0，1]上有且仅有一根。

自我检查试题二

一、填空（每小题3分，满分15分）

1． 若f(x)的定义域为（0，1），则f(e)的定义域为____________________。2． 设f(a)1，则lim

x

f(a3h)f(a2h)

h

_____________。

h0

3． 曲线y(x1)1的拐点是______________。4． 曲线yx4x3在点(2,1)处的曲率k_________

y。

5．（不做）位于yOz平面上的曲线ze(y0)绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是____________________。

二、单项选择（每小题3分，满分15分）1．函数f(x)xx在x0处（）。

（A）连续且可导（B）连续但不可导（C）可导但不连续（D）不连续也不可导 2．设f(0)0，且lim

f(x)1cosx

3，则f(x)在x0处（）。

x0

（A）不可导（B）可导，且f(0)0（C）取极大（D）取极小

3．设f(x)f(x)对一切x恒成立，且当x(0,)时，有f(x)0,f(x)0，则f(x)在(,0)内一定有（）。

（A）f(x)0,f(x)0（B）f(x)0,f(x)0（C）f(x)0,f(x)0（D）f(x)0,f(x)0 4．双纽线(xy)xy所围成的区域面积可用定积分表示为（）。

40

0

（A）2cos2d（B）44cos2d



（C）2

cos2d（D）

x52

y32

z

4340

2

(cos2)d

5．（不做）设直线L为：，平面为：x2y5z110，则直线L

与平面的相互关系是（）。

（A）L∥π，但L不在π上（B）L在π上（C）L⊥π（D）L与π斜交

三、计算题（每小题7分，满分49分）1． 求极限lim

x0

xsinxxtanx。

2． 设f(x)x(x1)(x2)(x2004)，求f(0)f(2004)。

xln(1t2)dydy,3． 设，求。2dxdxytarctant

4． 求不定积分xlnxdx。

5． 求定积分

x1

x

dx。

x4

y33

z22

6． 求过点(1,2,3)的直线L，使L与z轴相交且与已知直线l1：

垂直。

7． 曲线yx与yx所围图形绕y轴旋转，求旋转体的体积。

四、应用题（每小题8分，满分16分）

1． 求曲线ylnx在区间（2，6）内的一条切线，使得该切线与直线x2,x6和曲线ylnx所围成的图形面积最小。

2． 一正圆锥的半径以5cm/s的速率增加，而它的高以24cm/s的速率减少，求该圆锥在半径

为30cm，高为70cm时的体积变化率。

五、证明题（5分）

设在[a,b]上，f(x)0且可导，证明存在(a,b)，设

f(b)f(a)

f()f()

ln(ba)。

自我检查试题三

一、填空（每小题3分，满分18分）1． 函数yln（x3

5x)的定义域为__________________。

2． 若limxn2，则lim

n

n

(xnxn1)__________

_____。

3． 如果连续函数在区间的内部只有一个极大值点，没有极小值点，那么函数的最______值与

极______值相同。4．

ddx(log

a

x)

_____________。______

5． 

1cosxxsinx

2-2

dx__________

x。

6． (xx)e

dx_______________。

二、单项选择（每小题2分，满分12分）1．（不做）下列陈述中错误的是（）。（A）xy2z1图形是椭球面

（B）(x1)(y1)4的图形是母线平行于z轴的圆柱面（C）(xy)(yz)0的图形是直线（D）在空间直角坐标系中，xy

0的图形是原点

2．下列各极限中极限值为e的是（）。（A）lim(1x)

x0

11x

（B）lim((1

x

1x)

x

（C）lim(1x)

x0

x

（D）lim(1x)

x0

x

1

sinx,3．设函数f(x)x

a,x0x0

在(,)处处连续，则a（）。

（A）0（B）1（C）1（D）

24．在区间[1,1]上满足拉格朗日中值定理条件的函数是（）。

（A）yln(x1)（B）y

sinxx

（C）yx

1（D）yx

5．设在区间I上g(x)G(x)，则在I上g(x)dx（）。

（A）G(x)（B）G(Cx)（C）G(x)C（D）CG(x)

sinx

6．设f(x)是连续函数，且



f(t)dtx,x(0,2)，则f（22)（）。

（A）1（B）

（C）2（D）22

三、计算题（每小题7分，满分49分）1． 求lim

e

x

e

x

x0

xsinxxx

1。

1lnx

2． 求lim（x1



)。

3． 设x1t,ytt，求

x

dydx。

4． 求曲线yxe在其拐点处的曲率。

xex,

5． 设函数f(x)1,1cosx

x01x0

z1，计算f(x2)dx。

6． 求过两平行直线7． 设f(x)

x33



y22

和

x33



y42



z11的平面方程。



x

11t

dt，求f(x)dx。

四、应用题（每小题8分，满分16分）

1． 一位飞机观察员观察到一架飞机正在1143m的高度向他飞来，仰角为30，并以3/s的速

度增加，问飞机的地面速度是多少？

2． 设图形由yx3x3与y1围成，求面积S，并求其绕y轴旋转一周所形成的封闭立体的体积。

五、证明题（5分）

设f(x)在[0，1]上连续，且f(0)0,使得f(x)dxf()。







f(x)dx0。证明在（0，1）内至少存在一点，

第四篇：高等数学上册总结

《工程应用数学A》课程总结

无论我们做什么事都要不断地思考，不断地总结，学习也是这样，所以这次就借此机会对于这一学期所学内容进行一次总结，也算是对自我的一次思考。

一、课程主要知识

本课程主要以函数为起始，然后引出极限的定义以及极限的应用。然后以极限为基础介绍导数，微分。在微分中主要讲了一些求微分的定理，例如拉格朗日中值定理，柯西中值定理等等。其次讲了函数微积分，重点讲了一些求积分的方法，例如换元积分法，分部积分法。最后学习微分方程，这一块可以说是比较难的一章，什么一阶微分方程，二阶微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程等等，计算量也比较大。所以总的来说全书的知识点都是相连起来的。后面知识总是以前面所学知识为基础，一层一层展开的。

二、个人学习心得体会

其实不瞒老师，我高中的时候数学不是太好，平时考试数学有就有点拖后腿，而且我高考数学只考了70多分。有一天老师说，高考没及格的同学数学一定要好好学，否则极有可能挂科。当时，我还不相信，至少认为这种事不会发生在我身上。自己平时在数学上多少也花了点功夫。可以说做的准备工作比高中还多。基本上在每次上课前

都能预习，课上也认真听，而且课也差不多都能听懂，作业也都是自己独立完成的。我想及格应该不是问题，但后来的第一次过程考核，我才发现差距在哪，题目基本上不怎么会写，而且后来成绩出来，刚好考了60分。当时心就碎了。感觉落差好大。于是感叹“高树”太高了！我想是不是我题目做少了，难道说大学学数学也要用题海战术吗？可是我看班里有些同学平时上课也不听，作业基本靠抄，有事没事就拿着手机看电子书，但是考试却比我高，我就很郁闷，难道是他们比我聪明还是他们另有技巧？

经过一段时间的学习之后，我发现课前预习很重要。课前预习能够让你上课更有效率，也不会那么累。老师上课在黑板上的板书很多都是书上的。如果你课前预习了，就会知道老师说的在哪，书上有没有，记笔记的时候就可以抓住重点。不用完整地抄下来。但是你不预习的话，因为不知道书上有没有或是哪里是重点就得全部抄下来，很浪费时间，这样一来一节课就全部用在记笔记上了，根本没什么时间去听课，上课也就不会有效率。所以课前预习很重要。其次必要的练习也不可缺少。比如说上课老师说的定理不太懂，这时候就需要用练习来加强对知识的理解。

三、本课程对个人的影响

高等数学在整个大学的学习过程中占有一定的重要地位，它不仅对以后将会学到的线性代数和概率统计有影响，而且还是考研必考的科目。对于我们网络工程专业准备考研的同学来说，这绝对是一个重

头戏。对于不准备考研的同学来说，也有一定的影响，它可以培养我们的逻辑思维能力、计算能力，使我们的思维更缜密。数学是科学之母，任何学科的发展都离不开它。所以高数一定要学好。

四、总结

学习如逆水行舟不进则退，对于高数这门课程尤其是这样。因为只要你一节课没跟上就会步步跟不上，所以高数的学习不能放松，必须抓紧。相信我能学好！一定可以的！

第五篇：高等数学上册复习

第一章复习提要 第一节 映射与函数

1、注意几个特殊函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数；这些函数通常用于判断题中的反例

2、注意无界函数的概念

3、了解常用函数的图像和基本性质（特别是大家不太熟悉的反三角函数）第二节 数列的极限 会判断数列的敛散性 第三节 函数的极限

1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。（重要）

2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线（p37）。（重要）

3、了解函数极限的局部有界性、局部保号性。第四节 无穷大和无穷小

1、无穷小和函数极限的关系：limf(x)Af(x)A，其中是无穷小。

xx0x

2、无穷大和无穷小是倒数关系

3、铅直渐近线的概念（p41）, 会求函数的铅直渐近线

4、无界与无穷大的关系：无穷大一定无界，反之不对。

5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态 第五节 极限的运算法则

1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用。以乘法为例比如f(x)x,g(x)但是limf(x)g(x)1

x01。limf(x)0，limg(x)。xx0x02、会求有理分式函数

p(x)的极限（P47 例3-例7）（重要）q(x)xx0时:若分母q(x0)0，则极限为函数值

0型极限，约去公因子 0 若只是分母为零，则极限为无穷大。（p75页9（1））

x时，用抓大头法，分子、分母同时约去x的最高次幂。第六节 极限存在的准则，两个重要极限（重要）

1、利用夹逼准则求极限： 例 p56也习题4（1）（2），及其中考试题（B）卷第三题（1）

2、利用两个重要极限求其他的极限（p56习题2）

1sinxsinx0；lim1 3 注意下面几个极限：limxsin0；limx0xx0xxx第七节 无穷小的比较（重要）

1、会比较两个无穷之间的关系（高阶、低阶、同阶，k 阶还是等价穷小）若分子和分母同时为零，则为

x22、常见的等价无穷小：sinx,tanx,arcsinx~x；1cosx~

2ex1~x；(1x)~1nx n13、若(x)为无穷小，则sin(x)~(x)，(1(x))n~(x)n，ln(1(x))~(x)，e(x)1~(x)。

4、替换无穷小时必须是因式

x0limtanxsinxx3limxx3x0x0

应该

x2xtanxsinxtanx(1cosx)1limlimlim2

2x0x0x0x3x3x35、会利用等价无穷小计算极限（p60页习题4）

第八节 函数的连续性与间断点（重要）

1、函数在点x0连续 limf(x)f(x0)

xx0左连续limf(x)f(x0)且

xx0f(x)f(x0)

右连续limxx02、会判断间断点及其类型。讨论分段函数的连续性。

3、f(x)在点a连续f(x)在点a连续；但反之不对。

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

初等函数在其定义域上都是连续的，因而求某点处极限时可以直接把点代入求值。

4.注意三个例题：例6-例8（重要）

5、幂指函数u(x)v(x)求极限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)来求。（重要）

6、若含有根式，则分子或者分母有理化（p75页9（2））是求极限的一种重要方法。（重要）

7、利用分段函数的连续性求未知数的值（如p70页 6）（重要）第十节 闭区间上连续函数的性质

最大值最小值定理、零点定理、介值定理的内容 会零点定理证明方程根的存在性。（重要）补充说明 请熟悉函数e当x0,x0,x时的极限。第二章复习提要

1、导数的定义

（1）利用导数的定义求一些极限的值：例如P86页第6题 例

1、设f(0)0,f(0)k0,则limf(x)____.x0x1x例

2、设f(x0)存在，则limf(x0h)f(x0)________.（重要）

hh0（2）利用左右导数讨论函数的可导性：P125页第7题

sinx,x0例

3、已知f(x)，求f(x)

x,x0注意分点处的导数应该用定义来求。（重要）

（3）利用左右导数求未知数的值：P87页第17题（重要）

sinx,x0例

4、设f(x)为可导的，求a的值

ax,x0（4）利用导数几何意义求切线和法线方程（重要）

（5）可导连续，反之不成立！

2、求导法则

（1）复合函数求导不要掉项；

（2）幂指函数u(x)v(x)ev(x)lnu(x)转化成指数来求导

3、高阶导数

（1）一般的函数求到2阶即可；（2）几个初等函数的n阶导数：

(eax)(n)aneax；y(n)sin(xn)；(cosx)(n)cos(xn)

22[ln(1x)](n)(1)n1(n1)!(1x)n，(n1)!(1x)n[ln(1x)](n)(1)n1(1)n(n1)!(1x)n

由上面的求导公式我们容易推出下列求导公式：

1(n)n!()[ln(1x)](n1)(1)nn11x(1x)1(n)n!()[ln(1x)](n1)n11x(1x)(1(n)n!)[ln(ax)](n1)(1)nn1ax(ax)1(n)n!)[ln(1x)](n1)n1ax(ax)((3)二项式定理

(uv)(n)(nk)(k)Ckuv nk0n（4）间接法求高阶导数：

1x2例

5、求y的n阶导数：提示y1。

1x1x（5）注意下列函数的求导

例

6、求下列函数的二阶导数：P103页第3题（重要）（1）yf(x2)；（2）yln[f(x)]

4、隐函数及参数方程求导（重要）（1）一般方法，两边对x球到后解出

dy。dx（2）会求二阶导数

（3）对数求导法适用于幂指函数和连乘或连除的函数（4）注意参数方程二阶导数的公式

dydyd()2()tdydtdx。（重要）dxdx2dtdxdxdt（5）相关变化率问题：

根据题意给出变量x和y之间的关系；



两边对t（或者是其他变量）求导



dydx和之间的关系，已知其中一个求另外一个。dtdt5、函数的微分

（1）微分与可导的关系：可微可导且dyf(x)dx（2）利用微分的形式不变性求隐函数或显函数的微分： 显函数的例子见课本的例题；下面给出隐函数的例子 例

7、设ysinxcos(xy)0,求dy。解: 利用一阶微分形式不变性 , 有

d(ysinx)d(cos(xy))0

sinxdyycosxdxsin(xy)(dxdy)0

dyycosxsin(xy)dx。

sin(xy)sinx（3）近似计算公式：注意x0的选取原则。(一般不会考)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

第三章：微分中值定理与导数的应用复习提要 3.1 微分中值定理（重要）

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理应用： 证明等式，一般通过证明导数为零

证明不等式：若不等式中不含x，则取x作为辅助函数的自变量；若含有x，则取t作为辅助函数的自变量。（重要）

判断方程的根（存在性用零点定理，唯一性或判断根的个数用中值定理，有时还要结合单调性，见153也习题6）（重要）

利用辅助函数和中值定理证明等式（一个函数用拉格朗日，二个用柯西）例1 设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)0，证明至少存在一点(0,1)使得f()2f()。

证明：上述问题等价于f()2f()0。

令f(x)x2f(x)，则f(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件，于是少存在一点(0,1)使得

()2f()2f()0 即有f()2f()0。

（5）请熟悉132页例1.3.2 洛必达法则（重要）

（1）(其他类型的未定式)最终转化成0型和型未定式 0（2）每次用前需判断

（3）结合等价无穷小效果更佳。3.3 泰勒公式

（1）一般方法：求各阶导数代入公式即可；

（2）常见函数ex,ln(1x)，sinx,cosx的麦克劳林公式 3.4 函数的单调性和凹凸性（1）会用列表法求函数的单调区间和凹凸区间（注意一般是闭区间），拐点。注意不要漏掉导数不存在的点也可能是单调区间的分点； 二阶导数不存在的点也可能是拐点。（2）利用单调性证明不等式（重要）（3）利用单调性判断方程的根（重要）3.5 极值和最值（重要）

（1）列表法求极值（极值可能点为驻点或不可导点）（2）最值（找出极值可能点再与端点比较）

（3）对于时间问题，若极值点唯一，则也为最值点。3.6 函数图形的描绘 注意渐近线 3.7 曲率

（1）弧微分公式

（2）曲率和曲率半径的计算公式（重要）第四章复习提要

4.1 不定积分的概念和性质

1、基本积分表



2、公式f(x)dxf(x)和f(x)dxf(x)C 

3、注意如下问题：（填空、选择、判断）若ex是f(x)的原函数，则x2f(lnx)dx若f(x)是ex的原函数，则12xC 2f(lnx)1dx C0lnxC xx若f(x)的导数为sinx，则f(x)的一个原函数是（B）。A 1sinx;B 1sinx;C 1cosx;D 1cosx

4.2 换元积分法（重要）

1、第一换元法的原理：g(x)dx

把被积函数g(x)凑成g(x)f((x))(x)的形式，因而这种方法也称为凑微分法。

2、一些规律： ①f(x)1xdx2f(x)(x)2f(x)dx

11f(axb)(axb)dxf(axb)d(axb)

aa②f(axb)dx1③f(lnx)dxf(lnx)(lnx)dxf(lnx)d(lnx)

x④sin(2k1)xcosnxdxsin2kxcosnxsinxdx(1cos2x)cosnxdcosx ⑤cos(2k1)kxsinxdxcosxsinxcosxdx(1sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：sin(2k1)xdx和cos(2k1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥sin2kxcos2nxdx用公式sin2x⑦tanxsecn2k2n2k1cos2x1cos2x和cos2x降次。22n2kxdxtanxsecxdtanxtanx(1tanx)dtanx

注sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧csc2k2xdxcsc2kxcsc2xdx(1cot2x)dcotx

⑨tan(2k1)xsecnxdxtan2kxsecn1xdsecx(sec2x1)secn1xdsecx ⑩利用积化和差公式：

1cosAcosB[cos(AB)cos(AB)]

21sinAcosB[sin(AB)sin(AB)]

21cosAsinB[sin(AB)sin(AB)]

21sinAsinB[cos(AB)cos(AB)]

2第二换元法

被积函数中含有a2x2，利用代换xasint,t(被积函数中含有a2x2，利用代换xatant,t(kk,)22,)22被积函数中含有x2a2，利用代换xasect,t(0,)（一般要分情况讨论）被积函数为分式，分母次数比分子次数高，到代换 利用下列积分公式：

⒃tanxdxln|cosx|C；⒄cotxdxln|sinx|C

⒅secxdxln|secxtanx|C；⒆cscxdxln|cscxcotx|C ⒇dx1xdx1xaarctanC；（21）lnx2a22axaC aa2x2a（22）xdxarcsinC；ln(xa2x2)C（23）ax2a2a2x2dx（24）dxx2a2lnxx2a2C

4.3 分部积分法（重要）

1、分部积分公式：udvuvvdu

2、u的选取原则：反对幂指三。

这个原则不是绝对的，如通常exsinxdxsinxdex。

3、如果遇到反三角函数和对数函数的高次幂，通常先换元更容易算。如(arcsinx)2dxarcsinxtt2dsint；

ln2x2ttdxlnxtedt x2遇到根式axb，先令taxb去根号。会做形如例7、8那样具有典型特点的题目。

4.4 有理函数的积分（重要）

1、P(x)，先用多项式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、对Q(x)分解因式，根据分解结果用待定系数法确定x1x1AB：应设

(x2)(x3)(x2)(x3)x2x3 x2x2ABxC：应设 (2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)x2x2ABx3Cx2DxE(2x1)(x2x1)2：应设(2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)2

原则就是分子的次数总是要比分母低一次。

3、三角函数可以通过如下换元法转化为有理函数的积分

xxx2tan1tan22tan2；cosx2；tanx2 sinxxxx1tan21tan21tan2222x令tant，则三角函数就转化成为有理函数

24.被积函数含有naxb或naxbcxd，则令tnaxb或tnaxbcxd 几个典型题目 P207页（42）x1dxdx，（43）x1x2P211页例7、8 x22x3补充说明：这一章的内容需要大家在掌握一定规律的前提下多做练习，方能取得比较好的效果 第五章：定积分

5.1 定积分的概念和性质

1、定积分的定义：f(x)dxlimf(i)xi

abni02、定积分的几何意义：曲边梯形的面积

3、定积分的性质：利用定积分的性质判断积分的取值范围或比较两个积分的大小（p235,10,13）(重要)5.2 微积分基本公式

1、yf(x),axb的积分上限的函数（重要）

(x)xaf(t)dt,axb

及其导数：（如p243,5题）（1）(x)f(x)

d(x)f(t)dtf((x))(x)adxda（3）f(t)dtf((x))(x)

dx(x)d(x)（4）f(t)dtf((x))(x)f((x))(x)

dx(x)

2、利用上面的公式计算极限、判断函数单调性等： 相应例题（p242,例7，8），相应习题（p243-244:习题9，12，12，14）（重要）（2）

3、牛顿-莱布尼茨公式：函数F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

baf(x)dxF(b)F(a)，记作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函数(或者带绝对值的函数)的积分应为分段积分的和：典型题目p244，习题10.5.3 定积分的换元法和分布积分法（重要）

1、第一换元公式：f[(x)](x)dtf(t)dt

ab

2、第二还原公式：f(x)dxf[(t)](t)dt

ab注意：一般来说应用第一换元公式，我们一般不需要把新变量写出来，因而也就

cos2不需要写出新变量的积分限，如cossinxdx 但是应用第二换元。

30公式，一般要写出新变量及其积分限，如

2023aasinta2x2dx(a0)xa22cos2tdt

003、分布积分公式：u(x)dv(x)u(x)v(x)av(x)du(x)

baabb说明：无论是还原法还是分布积分法，定积分和不定积分的计算过程都是相似的。

4、利用下面的公式能帮助我们简化计算：（重要）（1）偶倍寄零

00（2）2f(sinx)dx2f(cosx)dx（3）xf(sinx)dx020f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）

（4）设f(x)是周期为T的连续函数：则

aTaf(x)dxf(x)dx；0TanTaf(x)dxnf(x)dx(nN).(p249，例7，p253，0T1(26))

5、形如例9这样的积分。5.4 反常积分

1、无穷限的反常积分：设F(x)是f(x)的原函数，引入记号

F()limF(x);F()limF(x)

xx则

af(x)dxF(x)|aF()F(a)；f(x)dxF(x)|F()F().bf(x)dxF(x)|bF(b)F()；

反常积分收敛意味着相应的F(),F()存在；特别的积分F(),F()同时存在。

f(x)dx收敛必须注意：对于无穷限积分来说，偶倍寄零原则不在成立！

2、无界函数的反常积分（瑕积分）：设F(x)是f(x)的原函数，则 若b为瑕点，f(x)dx F(x)aF(b)F(a)；

bab若a为瑕点，则f(x)dxF(x)aF(b)F(a)；

bab若a,b都为瑕点，f(x)dx F(x)aF(b)F(a)；

bab则c(a,b)为瑕点，则f(x)dxf(x)dxf(x)dxF(x)c。aF(x)caacbcbb反常积分收敛意味着相应的F(a),F(b)存在；特别的积分f(x)dx（c(a,b)ab为瑕点）收敛必须F(c),F(c)同时存在。

说明：由上面的公式看出，反常积分与定积分的计算方法是一样的。都是先求原函数然后代入两个端点，只是对于非正常点（如和瑕点）算的是函数的极限。

3、换元法也适用于反常积分

4、会利用下面的两个重要反常积分来讨论一些函数的收敛性（重要）

ap1,dx(a0)1,p1xpp1(p1)a(ba)1qb,q1dx 1qa(xa)q,q1练习：p260,2题；求积分bdx的收敛性。

b(xb)qa5、遇到形如f(x)dx积分时，注意[a,b]是否含有瑕点。否则会得到错误的结果：

adx。1x第六章 定积分的应用

6.2 定积分在几何学上的应用

1、平面图形的面积（直角坐标系和极坐标下）（重要）

2、体积（特别是旋转体的体积）（重要）

3、三个弧长公式（重要）

6.3 定积分在物理学上的应用（做功、水压力重要，引力了解）如1