高等数学下册考试提纲

第一篇：高等数学下册考试提纲

高等数学下册考试提纲一、二元函数求极限

二、求向量投影，已知一定条件求平面方程

三、求方向导数最大值（梯度的模），隐函数求一阶偏导，多元抽象复合函数求二阶偏导四、二元分段函数在分界点连续，偏导数、可微性判断

五、交换二重积分次序；二重积分在直角坐标计算六、三重积分计算（球面坐标）

七、第一类曲线积分计算；第二类曲线积分计算（利用曲线积分与路径无关或格林公式）

八、第一类曲面积分计算；第二类曲面积分计算（利用高斯公式）

九、求数项级数的和；求幂级数的收敛域与和函数

十、数项级数敛散性判断；利用比较法证明数项级数收敛

十一、利用条件极值求最大、最小值在几何上的应用题

第二篇：《高等数学》考试大纲

《高等数学》考试大纲

――各专业（工科及管理类专业）适用

1.极限与连续

数列极限和函数极限的概念和性质，函数的左、右极限概念，无穷小的概念及性质，无穷小与无穷大的关系，无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在准则与两个重要极限，利用存在准则1及两个重要极限求极限。函数连续的概念及运算，函数间断点及其分类，初等函数的连续性，利用初等函数的连续性求极限，闭区间上连续函数的性质。

2.导数与微分

导数的概念，几何意义，可导与连续的关系，基本初等函数的导数公式，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则，隐函数的求导方法，对数求导法，高阶导数及其计算。微分的概念，微分基本公式，微分运算法则，微分形式不变性，微分的计算。

3.中值定理及其导数应用

罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，利用洛必塔（罗彼塔）法则求极限。函数单调性的判别法，函数单调区间的求法及利用单调性证明不等式，函数取极值的判别法及极值求法，函数最大值与最小值的求法，最值应用。曲线的凹（上凹）、凸（下凹）的判别法，曲线凹（上凹）、凸（下凹）区间及拐点的求法。

4.不定积分

原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分的第一、第二换元积分法，分部积分法，简单有理函数及无理函数的不定积分求法。

5.定积分

定积分概念和性质，变上限函数及其导数，牛顿－莱布尼兹公式，定积分的换元积分法，分部积分法。

6.定积分应用

平面图形面积及旋转体体积的求法。

教材：

1、高等数学上：第一章至第六章，第五版，同济大学应用数学系编，高等教育出版社。

2、高等数学上：第一章至第六章，第六版，同济大学应用数学系编，高等教育出版社。

3、经济应用数学系列教材－微积分：第一章至第六章，修订本，赵树源主编，中国人民大学出版社。

第三篇：广工高等数学A下册考试大纲

高等数学A考试大纲

一、向量在另一向量上的投影，直线与平面关系。

二、二元函数极限计算

三、求方向导数，求偏导数，隐函数求二阶偏导，求曲面的切平面或法线方

程，二元函数最大最小值应用题

四、交换二次积分次序，二重积分计算（直角坐标，极坐标）

五、傅里叶级数系数计算，数项级数敛散性判定，利用幂级数和函数求数项

级数和

六、曲线积分与路径无关条件，格林公式计算曲线积分，高斯公式计算曲面

积分

第四篇：高等数学下册总复习

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高等数学下册总复习

〈一〉内容提要

第八章 空间解析几何与向量代数

1．直角坐标系

（1）坐标轴、坐标面上点的特征；

（2）关于坐标平面、坐标轴、坐标原点的对称点；（3）空间两点间的距离公式 2．向量的概念：

（1）即有大小又有方向的量叫做向量(或失量)，记为a或AB。

（2）向量的坐标表示：点P(x,y,z),则向量OP正向上的单位向量。

若A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)，则AB={x2{x,y,z}xiyjzk。其中i、j、k为三个坐标轴

x1，y2y1，z2z1}。

axayaz222（3）向量a的长度叫向量的模，记为|a|：设a=a时，这个向量叫单位向量；与向量a,a,a|a|=，则xyza=|a|。当向量的模为

1同方向的单位向量为a0。

（4）向量的方向余弦：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角的余弦叫该向量的方向余弦。设a=ax,ay,az，则

acosx|a|ay cos|a|acosz|a|axaxayazaya2x222

2yaaza2zaxayaz222且cos2cos2cos21，即由非零向量a的三个方向余弦构成的向量cos,cos,cos是与a同方向的单位向量。

3．向量的运算

设a=ab,a,a，xyz=bx,by,bz，则

（1）数乘运算：kakax,kay,kaz；

；（2）加减运算：abaxbx,ayby,azbz1

（3）数量积：ab=|a||b|cos(a,b)=axbxaybyazbz。

（4）向量积： abijaybykazbz=axbx

两个非零向量a与b相互垂直ab=0；两个非零向量a、b平行ab=0分量成比例）。

两个向量aaxbxaybyazbz（即对应与b的夹角：cos(a,b)ab=|a||b|=

a2xaxbxaybyazbza2y。

2bza2z2bxb2y4．平面方程

（1）平面的点法式方程

设平面过点M0(x0,y0,z0)，n（2）平面的一般方程

{A,B,C}是平面的法向量，则平面的点法式方程为

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0。

AxByCzD0。

在平面的一般式方程中，以x、y、z的系数A、B、C为分量的向量就是平面的法向量n；反之平面的法向量n的三个分量就是三元一次方程中x、y、z的系数。

（3）特殊的平面方程 在平面的一般方程中，①若D=0，则平面过原点；

②缺少一个变量，则平面平行于所缺变量代表的坐标轴，如平面2x3z50平行于y轴； ③仅有一个变量，则平面垂直于这个变量代表的坐标轴，如平面3z50垂直于z轴。5．直线的方程

（1）直线的点向式方程：已知直线L过点M0(x0,y0,z0)，且方向向量为s={m,n,p}，则直线方程为：

xx0myy0nzz0p

（2）直线的一般式方程 A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20。

ijB1B2kC1C2直线的一般式方程与直线的点向式方程可以互化，其中 sA1A2。

6．常用二次曲面的方程及其图形： 球面(x椭球面 xax0)222(yy0)222(zz0)2R2

ybx22zc221 y22椭圆抛物面 zab(当ab时为旋转抛物面)2

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椭圆锥面 z2xa22yb22（当ab时为圆锥面）

母线平行于坐标轴的柱面方程：方程中仅含二个变量的方程为母线平行于所缺变量代表的坐标轴的柱面方程。如f(x,z)0为母线平行于y轴的柱面方程。

以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程：某坐标面上的曲线绕其中一个坐标轴旋转时，所得旋转面的方程是：将曲线方程中与旋转轴相同的变量不变，而将另一变量变为其余两个变量平方和的正负平方根。如：yoz面上的曲线f(y,z)0绕z轴旋转的曲面方程为

f(x2y,z)02。

7．空间曲线在坐标面上的投影曲线 空间曲线F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0在xoy面上的投影曲线方程。将空间曲线G(x,y)0z0F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0一般方程中的变量z消去所得的含x、y的方程G(x,y)0，则 F1(x,y,z)0F2(x,y,z)0

为空间曲线 在xoy面上的投影曲线方程。在其它坐标面上的投影曲线方程可类似求得。

第九章 多元函数微分法及其应用

一、基本概念 1．多元函数

（1）知道多元函数的定义

n元函数：yf(x1,x2,,xn)

（2）会求二元函数的定义域

1°：分母不为0； 2°：真数大于0；

3°：开偶次方数不小于0；

4°：zarcsinu或arccosu中|u|≤1（3）会对二元函数作几何解释 2．二重极限

limf(x,y)Axx0yy0这里动点(x,y)是沿任意路线趋于定点(x0,y0)的．，（1）理解二重极限的定义

（2）一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限；（3）会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法）． 3．多元函数的连续性

（1）理解定义：limf(P)f(P0)．

PP0（2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论；

（3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。

二、偏导数与全微分 1．偏导数

（1）理解偏导数的定义（二元函数）

zxlimx0f(x0x,y0)f(x0,y0)x

zylimy0f(x0,y0y)f(x0,y0)y

（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系．（3）求偏导数法则、公式同一元函数． 2．高阶偏导数

（1）理解高阶偏导数的定义．（2）注意记号与求导顺序问题．

（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：3．全微分

（1）知道全微分的定义

若zf(x0x,y0y)f(x0,y0)可表示成AxByo()，则zf(x,y)在点(x0,y0)处可微；称AxBy为此函数在点(x0,y0)处的全微分，记为dzAxBy．

zxy2zyx2．

（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件：

函数可微，偏导数必存在；（Azx，Bzy；dzzxdxzydy）

偏导数存在，不一定可微（zdz是否为o()）． 偏导数连续，全微分必存在．

三、多元复合函数与隐函数求导法则 1．多元复合函数的求导法则（1）zxzuuxzvvx

zyzuuyzvyv

（2）对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导法要熟练掌握．（3）快班学生要掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法． 2．隐函数的求导公式（1）一个方程的情形

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若F(x,y)0确定了yy(x)，则

dydxFxFy；

若F(x,y,z)0确定了zz(x,y)，则（2）方程组的情形

zxFxFz，zyFyFz．

FFyxF(x,y,z)0yy(x)若能确定，则由 G(x,y,z)0zz(x)GxGydydxdydxFzGzdzdxdzdx00

可解出dydx与dzdx；

若F(x,y,u,v)0G(x,y,u,v)0确定了uu(x,y)，vv(x,y)，象上边一样，可以求出

ux，vx及

uy，vy．

四、多元函数微分法的应用

1．几何应用

（1）空间曲线的切线与法平面方程

1°：曲线：x(t)，y(t)，z(t)，tt0时，上相应点(x0,y0,z0)处： 切线方程：xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)

法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 2°：曲线：y(x)z(x)，则点(x0,y0,z0)处

zz0切线方程：xx01yy0(x0)(x0)

法平面方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0 3°：曲线：F(x,y,z)0G(x,y,z)0，则点P(x0,y0,z0)处

yy0zz0FxGxFyGyP切线方程为 xx0FyGyFzGzPFzGzFxGxP

法平面方程：FyGyFzGzP(xx0)FzGzFxGxP(yy0)FxGxFyGyP(zz0)0

（2）空间曲面的切平面与法线方程

1°：曲面：F(x,y,z)0，点(x0,y0,z0)处

切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0 法线方程：xx0Fxyy0Fyzz0Fz

2°：曲面：zf(x,y)，在点(x0,y0,z0)处

切平面方程：zz0fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)法线方程：2．极值应用

z0x（1）求一个多元函数的极值（如zf(x,y)）：先用必要条件，求出全部驻点，再用充分条件求

z0yxx0fxyy0fyzz01

出驻点处的zxx，zyy与zxyACBACB2

；0，A0时有极大值，A0时有极小值； 0时无极值． 2（2）求最值

1°：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2°：有实际意义的最值问题．（3）条件极值

求一个多元函数在一个或m个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法．

如：uf(x,y,z)在条件1(x,y,z)0与2(x,y,z)0下的极值时，取

F(x,y,z;1,2)f(x,y,z)11(x,y,z)22(x,y,z)

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FxFy解方程组Fz12000，求出x，y，z 00则(x,y,z)就是可能的极值点；再依具体问题就可判定(x,y,z)为极大（或极小）值点．

第十章

重积分一、二重积分

n1． 定义：f(x,y)dlimD0f(i,i)i

(n)i12． 几何意义：当f(x,y)≥0时，f(x,y)d表示以曲面zf(x,y)为顶，以D为底的曲顶柱体体积．

D物理意义：以f(x,y)为密度的平面薄片D的质量． 3． 性质

1°：kf(x,y)dkf(x,y)d

DD2°：[f(x,y)g(x,y)]dDDf(x,y)dDg(x,y)d

3°：若DD1D2，则f(x,y)dDD1f(x,y)dD2f(x,y)d

4°：f(x,y)1时，f(x,y)dD

D5°：若在D上(x,y)≥(x,y)，则

(x,y)dD≥(x,y)dDDf(x,y)d≥

Df(x,y)d

6°：若f(x,y)在闭区域D上连续，且m≤f(x,y)≤M，则

mD≤f(x,y)d≤MDD

7°：（中值定理）若f(x,y)在闭区域D上连续，则必有点(,)D，使

Df(x,y)df(,)D

4． 二重积分的计算法（1）在直角坐标系中

1°：若积分区域D为X型区域

axb D：(x)y(x)21yy2(x)y1(x)OaXbx则化为先y后x的二次积分：

型区域Df(x,y)dxdybadx2(x)1(x)f(x,y)dyy

cyddx1(y)x2(y)2°：若积分区域D为Y型区域D：则化为先x后y的二次积分：

1(y)x2(y)

cxY型区域Df(x,y)dxdydcdy2(y)1(y)f(x,y)dx

（2）在极坐标系中

f(x,y)f(rcos,rsin),drdrd

1°：极点在D外：D：

1()r2()O极点在D外r则有f(x,y)dDd2()1()f(rcos,rsin)rdr

2°：极点在D的边界上：D：

0r()O极点在D的边界上r则有f(x,y)dDd()0f(rcos,rsin)rdr

3°：极点在D内：D：020r()d

Or则有f(x,y)dD20()0f(rcos,rsin)rdr

极点在D内在计算二重积分时要注意：

1°：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有xy或两个积分变量之比yx22、xy时，一般可选择极坐标系．

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2°：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的情况（二次积分换次序）． 3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：D关于x轴（或y轴）对称时，应配合被积函数对于y（或x）的奇偶性．

axb4°：若f(x,y)f1(x)f2(y)，积分区域D:,则二重积分可化为两个定积分的乘积．

cyd二、三重积分

n1． 定义：f(x,y,z)dvlim0f(i,i,i)vi

(n)i12． 物理意义：以f(x,y,z)为密度的空间体的质量． 3． 性质（与二重积分类同）．

4． 三重积分的计算法（1）在直角坐标系中 1°：若为：(x,y)Dxyzzz2(x,y)z1(x,y)zz2(x,y)，此处Dxy为在xOy面

zz1(x,y)Ozz1(x,y)与zz2(x,y)分别为的下界面和上界面方上的投影，yDxy程，则

f(x,y,z)dxdydzDxyz2(x,y)f(x,y,z)dzz1(x,y)dxdy

xC1z0C22°：若为：此处Dz0为用平面zz0截时(x,y,z0)Dz0，z所得的截面面积，则f(x,y,z)dxdydzC2C2C1Dz0dzDz0f(x,y,z)dxdy

z0

（2）在柱面坐标系下

若为：1()r2()，则

z(r,)zz(r,)21xC1Oyf(x,y,z)dxdydzd2()1()rdrz2(r,)z1(r,)f(rcos,rsin,z)dz

（3）在球面坐标系中

1212若为：，则

(,)z(,)21f(x,y,z)dxdydz21d21d2(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)sind2

注：1°：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求；

2°：三重积分的计算也有选系、选序的问题；

3°：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合；

axb4°：若是长方体：cyd，而f(x,y,z)f1(x)f2(y)f3(z)，则三重积分化为三个定积分ezf的乘积．

三、重积分的应用 1． 几何应用（1）求面积：DdD

（2）求体积：f(x,y)d，dv

D（3）求曲面面积：若：zf(x,y)，在xOy面上的投影为Dxy，则的面积为：zz1dxdy

xy22ADxy2． 物理应用（1）求质量：m(x,y)dD；m(x,y,z)dv 1m（2）求重心：x1mDx(x,y)d；yDy(x,y)d

在均匀情况下，重心公式可变形为：x同理，可得到空间体的重心坐标．

（3）求转动惯量：

Jx1Dxd；y1DDyd

DDy(x,y)d；J2yDx(x,y)d；JoJxJy

2同理可有空间体对坐标面、坐标轴的转动惯量．

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第十一章

曲线积分与曲面积分

一、曲线积分 1．定义：

n（1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：f(x,y)dslimLn0i1f(i,i)si

（f(x,y,z)dslimL0i1f(i,i,i)si）

物理意义：曲线的质量．

（2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：

P(x,y)dxLQ(x,y)dylim0P(i1ni,i)xiQ(i,i)yi

P(x,y,z)dxLQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzlim0P(i1n

i,i,i)xiQ(i,i,i)yiR(i,i,i)zi物理意义：变力沿曲线所作的功． 2．性质：（1）LL1L2（LL1L2）

f(x,y)ds（2）第一类：f(x,y)dsLL第二类：LL

（3）两类曲线积分的联系：PdxQdyL(PcosLQcos)ds

其中cos，cos是曲线上点(x,y)处切线的方向余弦．（PdxQdyRdzL(PcosLQcosRcos)ds）

3．计算法（化线积分为定积分）

x(t)L：，≤t≤，则f(x,y)dsy(t)L22f(t),(t)(t)(t)dt

P(x,y)dxLQ(x,y)dyP(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtxx

注意：L为yf(x)时，取L为

yf(x)，a≤x≤b

4．格林公式及其应用（1）格林公式：PdxQdyLDQPyxdxdy 注意：1°：P，Q在D上具有一阶连续偏导数；

2°：L是单连域D的正向边界曲线；

3°：若D为多连域，先引辅助线，后再用格林公式．

（2）平面上曲线积分与路径无关的条件

设P，Q在单连域G内有一阶连续偏导数，A，B为G内任意两点，则以下四个命题等价： 1°：PdxLABQdy与路径L无关；

2°：对于G内任意闭曲线C有PdxQdy0；

C3°：在G内，PdxQdy为某函数u(x,y)的全微分；

QxPy4°：在G内处处成立．

(x,y)（3°中有：u(x,y)P(x,y)dx(x0,y0)Q(x,y)dy）

二、曲面积分 1．定义：

（1）第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

nf(x,y,z)dSlim0i1f(i,i,i)Si

物理意义：曲面的质量。f(x,y,z)1时，dSS

（2）第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）

vdSPdydzQdzdxRdxdylim0P(i1ni,i,i)(i)yzQ(i,i,i)(i)xzR(i,i,i)(i)xy

2．性质（1）12

（2）第一类：fdSfdS

 12

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第二类：

（3）两类曲面积分的联系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosdS

其中：cos，cos，cos是曲面上点(x,y,z)处法线的方向余弦． 3．计算法（化曲面积分为二重积分）

第一类：若曲面：zz(x,y)，在xOy面上的投影为Dxy，则

zzfx,y,z(x,y)1dxdy等等．

xy22f(x,y,z)dSDxy第二类：前、后P(x,y,z)dydzPx(y,z),y,zdydz

DyzQ(x,y,z)dzdx右、左Qx,y(x,z),zdzdx

Dxz上、下R(x,y,z)dxdyRx,y,z(x,y)dxdy

Dxy4．高斯公式及其应用

设空间区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数，则有

PdydzQdzdxRdxdyPQRyzxdxdydz

注：1°：是的边界曲面的外侧；

2°：非封闭曲面，必须添加辅助曲面，先封闭后再用公式． 5．通量与散度、环流量与旋度（普通班不要求）

通量：vndSPdydzQdzdxRdxdy

散度：divvPxQyRz

环流量：PdxQdyQdzAds

旋度：rotAixPjyQkzR

第十二章

无穷级数

一、常数项级数 1． 基本概念

（1）定义：形如unu1u2un的无穷和式，其中每一项都是常数．

n1n（2）部分和：Snui1i

（3）常数项级数收敛（发散）limSn存在（不存在）．

n（4）和SlimSn（存在时）．

n注：发散级数无和．

（5）余项：当limSnS时，称级数rnnui1ni为原级数第n项后的余项．

2． 基本性质

（1）kun与un敛散性相同，且若unS，则kunkS；

n1n1n1n1（2）若unS，vn，则unvns

推论1：若un收敛，vn发散，则unvn必发散； 推论2：若un与vn都发散，则unvn不一定发散．

（3）在级数前面去掉或添加、或改变有限项后所得级数与原级数的敛散性相同（收敛级数的和改变）．（4）收敛级数加括号（按规则）所得级数仍收敛于原来的和；（收敛级数去括号不一定收敛）

（5）若级数un收敛，则必有limun0．

n1n（若limun0，则un必发散）

nn13． 几个重要的常数项级数

（1）等比级数aqn1n1a1q发散|q|1|q|1；

（2）调和级数n11n发散；

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（3）p级数n11np（p0），p1时收敛，0p≤1时发散）；

（4）倒阶乘级数n11n!收敛．

4． 常数项级数的审敛法

（1）正项级数的审敛法

设un与vn均为正项级数

n2n11°：un收敛n1Sn有界；

2°：比较法

若un收敛（发散），且un≥vn，（un≤vn），则vn收敛（发散）．

n1n1推论1：若limnunvnl，0l，则vn与un具有相同的敛散性．

n1n1推论2：若limnunl，则un发散；

nn1若limnunl（p1），则un收敛．

nn1p3°：比值法

1时，则有1时1时un1n收敛若limnun1unun1n发散

un1n待定4°：根值法

1时，则当1时1时un1n收敛若limnnunun1n发散

un1n待定（2）交错级数的审敛法

莱布尼兹定理：若交错级数(1)n1n1un（un0）满足：

1°：un≥un1 2°：limun0

n则(1)n1n1un收敛，且其和S≤u1，|rn|≤un1．

（3）任意项级数的审敛法

1°：若limun0，则un发散；

nn12°：若|un|收敛，则un绝对收敛；

n1n13°：若|un|发散，un收敛，则un条件收敛．

n1n1n

1二、函数项级数 1． 基本概念

（1）定义：形如un(x)u1(x)u2(x)un(x)；

n1（2）收敛点、发散点、收敛域、发散域；

n（3）部分和：Sn(x)ui1i(x)；

（4）和函数：在收敛域上S(x)limSn(x)nun1n(x)．

2． 幂级数

n（1）定义：anxx0，当x00时有：anx；

n0n0n（2）性质

nn1°：若anx在x0处收敛，则当|x||x0|时，anx绝对收敛（发散）；

n0n0nn 若anx在x0处发散，则当|x||x0|时，anx发散．

n0n0 16

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2°：幂级数anxx0的收敛域，除端点外是关于x0对称的区间(x0R,x0R)，两端点是n0n否属于收敛域要分别检验．

3°：在anx的收敛区间R,R内，此级数的和函数S(x)连续． nn0（3）收敛区间的求法

1°：不缺项时，先求liman1ann，得收敛半径R1；

再验证两端点，则收敛域＝(x0R,x0R)∪收敛的端点． 2°：缺项时，先求limun1(x)un(x)(x)，解不等式(x)1得x的所属区间x1xx2，再验证n端点x1，x2，则收敛域＝(x1,x2)∪收敛的端点．

3． 幂级数的运算

（1）幂级数在它们收敛区间的公共部分可以进行加、减、乘、除运算．（2）幂级数在其收敛区间内可以进行逐项微分与逐项积分运算，即

an0nxnS(x)，|x|R，则有：

nanxn0an0nxnnan0nxn1S(x)，|x|R；

x0nanxdxn0n0x0anxdxnn0ann1xn1x0S(x)dx，|x|R

4． 函数展开为幂级数

（1）充要条件：若函数f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则

f(x)n0f(n)(x0)n!(xx0)nlimRn(x)0．

n（2）唯一性：若f(x)在某区间内能展开成幂级数f(x)an0n(xx0)，则其系数

nan1n!f(n)(x0)，（n0,1,2,）．

（3）展开法：

1°：直接法（见教材P279）

2°：间接法

利用几个函数的展开式展开

exn0xnn!，(,)

sinx(1)n0nx2n1(2n1)!x2n或(1)n1n1x2n1(2n1)!，(,)

cosx(1)n0n(2n)!，(,)

11xn0xn，(1,1)

ln1x(1)n0nxn1(n1)，(1,1]

1xm1n1m(m1)(m2)(mn1)n!xn，(1,1)

5． 傅立叶级数

（此内容只适用于快班）（1）定义：如果三角级数出，即

an1a02an1ncosnxbnsinnx中的系数an，bn是由尤拉——傅立叶公式给1f(x)cosnxdx，n0,1,2,；

bnf(x)sinnxdx，n1,2,

则称这样的三角级数为f(x)的傅立叶级数．

（2）收敛定理

设f(x)是周期为2的周期函数，如果它在一个周期内满足：连续或只有有限个第一类间断点；单调或只有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数

a02an1ncosnxbnsinnx收敛于f(x)f(x0)f(x0)2x为连续点x为间断点．

（3）函数f(x)展开为傅立叶级数的方法：

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1°：求f(x)的傅立叶系数；

2°：将1°中的系数代入三角级数式； 3°：写出上式成立的区间．

（4）正弦级数与余弦级数

称bnsinnx（an0）为正弦级数；称n1a02an1ncosnx（bn0）为余弦级数．

若在,上，f(x)为奇函数，则有an0，其正弦级数为bnsinnx，n1bn20f(x)sinnxdx，（n1,2,）；

若在,上，f(x)为偶函数，则有bn0，其余弦级数为

a02an1ncosnx，an20f(x)cosnxdx，（n0,1,2,）；

若f(x)是定义在0,上的函数，要求其正弦（余弦）级数，可先对f(x)进行奇（偶）延拓；

奇延拓：F(x)f(x)x0,f(x)x,0x[0,]x[,0)

f(x)F(x)偶延拓：f(x)

对于周期为2l的函数的展开情况与上边类似（略）．

第五篇：高等数学下册公式总结

高等数学(向量代数—>无穷级数)

向量与空间几何

向量：向量表示((a^b));向量运算(向量积)；向量的方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程(参数方程和投影方程)

平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式(方向向量)、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积)

切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线

多元函数微分学

多元函数极限：趋近方式，等阶代换

偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等)；复合函数求导(Jacobi行列式)；

多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值)重积分

二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法

三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性

重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力

曲线与曲面积分

曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分(参数方程)；格林公式面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式

无穷级数

级数收敛：通项极限

正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛

幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数：傅里叶系数(高次三角函数积分)；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数

矢量分析与场论(空间场基础)

方向导数与梯度

方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦

梯度(grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)

格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分

通量与散度

高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量)

散度(div)：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场))环流量与旋度

斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义(环通量)

旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场(磁场))