初中数学变式训练题的类型

第一篇：初中数学变式训练题的类型

初中数学变式训练题的类型

变式1：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？

变式2：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的2/3？

变式3：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的2/3？

变式4：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？

变式5：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？

变式6：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做3小时完成此工作的2/5。现在甲先单独做4小时，然后乙加入合做2小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作？

这一变式改变已知的几个条件中的某些条件;或改变结论中的某些部分的形式;从而拓宽、加深学生的知识层面，也体现了教学的层次性和多样性，培养了学生创新能力和探究能力

第二篇：浅谈初中数学习题变式训练

浅谈初中数学习题变式训练

东营市利津县陈庄镇中学

闫如明

数学教学的最根本目的是培养学生能够独立思考问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识以及创造性的逻辑思维方式。数学教学不局限于一个狭隘的课本知识领域里，理解课本的内容知识不是教学的最终目的，更重要的是让学生在学习中如何运用课本知识，通过课本例题起到“窥一斑知全貌”“举一例能反三”的教学效果；因此调动学生学习的积极性和主动性，组织学生善于发挥自己的主观意识，学会独立自主的去探究和研究数学科学领域，是数学教师的首要任务，这就要求每位数学教师要善于去领会和研究课本例题和习题，设计出好的例题变式题。

翻阅历年的中考试卷可以发现，历年的中考试题都源于课本，都是课本习题的变式，那如何进行课本习题的变式教学？这是我们每一个数学教师必须认真思考的问题。我觉得教师所选用的习题应“源于课本”，然后对它进行变式，并紧扣考试说明，“以考为纲”，使它“高于课本”。这就要求教师们要善于利用变式教学，使数学教学“变教为诱，变学为思”。

一、变式教学在数学教学中所起的作用有如下几个方面：

1.帮助克服思维定势消极影响，培养思维的科学性。

思维定势心理学解释为是先于一定活动并指向一定活动的一种动力准备状态。它表现为在认识活动的方向选择上带有“经验型”的倾向性。其消极方面是受制于先前某种经验影响，生搬硬套、因循守旧，形成思维的惰性，对知识掌握产生一种负迁移的不良作用。例如学生在学习不等式a>b，c>d，a+c>b+d的性质后学生容易产生a>b，c>d，a-c>b-d的错误认识。在教学中讲解了正确推理a>b，c>d，a-c>b-d后，再通过语言变式把这一推理解释为“大数少减就一定大于小数多减”，学生就能真正体会推理的含义，消除负迁移形成的错误认识。因此，数学教学中如能够适当地运用变式教学，对防止此类不良定式的产生，克服思维定式的消极作用，使学生养成科学的思维习惯是十分有用的。

2.有利于培养发散和概括能力，提高思维的变通性。

变式教学在转换事物非本质特征的时候呈现了事物表象的多样性，使得我们可以动态地认识事物许多的鲜明特征，有助于拓展思维的宽度，培养思维的发散能力。但是变式教学的最终目的是为了突出事物本质的特征，舍弃问题的非本质因素，把复杂问题转换成简单问题，最后通过概括使认识达到新的高度。

3、丰富学生的感性经验，提高学生对知识理解的准确性。

理解是指个体运用已有知识经验去认识未知事物的联系关系，直至揭露其本质和规律的一种思维活动。它通过教材的直观和概括两个认识环节实现，在直观这一环节上，直观对象变式对直观效果有着重要的影响。数学教学中运用图像变式、语言变式等手段适当变更对象非本质因素，这对抓住本质要素进行准确的概括是十分重要的。如讲“角”的定义，若仅列举锐角、直角、钝角情形，学生就有可能形成角就是两条直线的交叉的错误认识。若把平角、周角展示给学生，这就能使学生准确理解到“从一点出发的两条射线组成图形”的真正含义。4.排除非本质因素影响，培养思维的深刻性。

思维的深刻性是教学中追求的目标之一，在掌握知识的应用阶段尤为明显。要不被千变万化的表象所迷惑，抓住本质的东西，变式教学是一种可以运用于教学的有效办法。通过利用练习变式训练学生的思维，使学生在多变的问题中受到磨练，举一反三，加深理解。

变式教学作为教学的方法之一，在实际工作中有重要作用，这是应该肯定的，那如何对习题进行变式教学呢？习题变式教学应遵守哪些原则呢？

二、习题变式训练应遵守以下3个原则：

1.针对性原则

习题变式教学，不同于习题课的教学，它贯穿于新授课、习题课和复习课，与新授课、习题课和复习课并存，一般情况下不单独成课。因此对于不同的授课，对习题的变式也应不同。例如：新授课的习题变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法。复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法还要进行纵向与横向的联系，同时变式习题要紧扣考纲。在习题变式教学时，要根据教学目标和学生的学习现状，切忌随意性和盲目性。2.可行性原则

选择课本习题进行变式，不要“变”得过于简单，过于简单的变式题，会让学生认为是简单的“重复劳动”，影响学生思维的质量；难度“变”大的变式习题易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失信心，因此，在选择课本习题变式时，要变的有“度”。3.参与性原则

在习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要鼓励学生大胆的“变”，培养学生的创新意识和创新精神。

三、实施“变式”教学三步曲

1.课前预习，强化自学

例题的变式教学，预习是必不可少的重要环节，是提出疑问、独立思考、提高分析和解决问题能力的环节；让学生带着疑问学习，是要求预习的根本目的，通过对新课的全面预习，提高了学生的自觉能力和实践能力，促进课堂效益，为例题变式教学的实施起着不可忽视的作用；因此，教师必须重视学生的预习，做好预习笔记，正确引导学生课前预习，“巧立名目”，精心设疑，让不同层次的学生在“山穷水疑无路”的时候，忽然“柳暗花明又一村”，激发学生的学习兴趣。

2.课堂初试牛刀

课堂教学是学生得以“解惑”的主渠道，是教师与学生进行沟通、传播知识的重要途径，是例题变式教学的关键；学生经历了预习，新课内容已胸有成竹，教师在教学中起好主导的作用，循循善诱，引导学生在错综复杂的数量关系，千头万绪的理论辨证中寻觅，总结科学的解题经验。

3.练习变式，借题发挥：

例题毕竟有限，要进一步提高“变”的魅力，练习题正是学生用武之地，练习变式是例题变式教学的最后环节。将练习题自由演变，一题多变，借题发挥，提升学生的思维能力和解题能力，巩固记忆，完善自我的应变能力、应试技巧。使整节课前后贯通，紧密相连，形成一个知识网络体系。

四、结束语：

变式教学是对数学中的问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点的内在联系的一种教学设计方法。通过变式教学，使一题多解，多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能产生主动参与的动力，保持其参与教学过程的兴趣和热情。若能重视对课本习题进行变式训练，不但可以抓好双基，便于搞清问题的内涵和外延，而且还可以提高数学能力。总之，在课堂教学中，通过变式教学引导学生通过多侧面、多角度、多渠道的思考问题，让学生多探讨、多争论，能有效的训练学生思维的完整性、深刻性和创造性，大大的激发学生的兴趣，从而培养学生的创新能力。我们应在理论和实践中努力的探索，勇于进取，努力使变式教学不断走向深入，走向成功。

第三篇：初中数学中“变式训练

变式训练案例分析

变式训练是中学数学教学中的一种重要教学策略，在提高学生的学习兴趣、培养学生的数学思维和数学解题能力方面有着不可忽视的作用。通过变式训练可以使教学内容变得更加丰富多彩，使学生的思路更加宽广。所谓“变式训练”，就是有针对性地设计一组题，采用一题多解，多题一解，多图一题，一题多变，对此辨析，逆向运用等方法，对初始题目加以发展变化，从逻辑推理上演绎出几个或一类问题的解法，通过对一类问题的研究，迅速将相关知识系统化、结构化、网络化，提高解题能力。

教学案例：

（一）一题多图

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

①当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，有DE=AD+BE，请说明为什么？ ②当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，有DE=AD－BE,请说明为什么？

①当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由。

感悟：

通过一题多图可以让学生掌握类比的数学思想。

（二）一题多变

一题多变主要在平面几何中用应广泛需要老师们认真总结练习。

1、（32-1）×（32+1）=。

2、（32-1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=3、3×（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

4、（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

5、（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）＋9=

感悟：

通过一题多变培养学生寻找共性，克服困难的信心，将知识网路化、系统化。

（三）一题多解

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：AD垂直平分EF。

方法

1、两次全等证明

方法

2、角平分线定理和一次全等综合证明。

方法

3、线段垂直平分线逆定理证明。

方法

4、“三线合一”证明。

感悟：

通过一题多解培养学生的发散思维和创新能力，使学生的能力大大提高。更能展现出教师的魅力。

变式训练并不是一朝一夕就可以成熟的，需要我们认真钻研大纲和教材把知识系统化、网路化用心对待！

第四篇：初中数学变式训练的应用研究

初中数学变式训练的应用研究

摘要：新课程改革以来，越来越多的中学数学教师经常用到“变式”练习，这是一种数学教学中的变换方式，通过变式练习可以让学生准确地掌握数学解题方法。同时使学生多角度地理解数学方法，使学生从“知识型”向“智力型”转换。变式训练源于课本，高于课本，循序渐进，有的放矢，纵向联系，温故知新。

关键词：变式训练；课本；分层教学

有些初中学生遇到题目就做，而不注重归纳解题的方法、解题规律，致使在问题解答过程中不能很好地将知识点纳入自己的知识体，日后一遇到复杂题目和图形也就无法从中分离出其熟悉的题型。因此，纯粹地将每个知识点以习题形式让学生翻来覆去训练，虽然也能收到一定的效果，但终究还是囿于同样类型的题目，无法跳出做题的灵活性与拓展性。通过变式训练能使学生多角度地理解数学方法，也是切实提高初中学生数学能力的重要一环，在教学过程中必须渗透，并且多多益善。

一、变式训练遵循的原则

（一）立足于课本

观察近几年的数学中考题我们可以发现，有不少题目的命题范围立足于课本，有些试题的原型来自课本。因此在教学中，教师要以传授课本上的知识为基础，有目的地以课本习题为主线，从不同角度、不同层次、不同背景对概念、性质、定理、公式以及基础问题做出变化，使其条件或结论的形式或内容发生变化，而我们要面对的很多问题虽然存在不同的层次，但其中的解题方法总有其内在的必然联系。作为初中数学教师要让学生把蕴含在教材中的数学思想与方法运用到问题解决的全过程，以期达到做一题通一类的教学效果，善于“类比”“转化”，实现最优化的学习效果。

（二）适度和梯度

在几何变式训练的过程中，既要注意由简单到复杂，由具体到抽象，有一定的梯度，同时又要有一定的深度，否则变式训练就会降格为一种低水平的重复。但又不能一味地拔高，否则大多数学生无法理解和掌握，那么就失去教学的意义。

（三）基于学生的认知规律

变式训练应用要结合教与学的需要，基于学生的认知规律而设计，从学生的认知基础出发，在一系列的变式训练中拓展思路，形成解题技能，完成“知识-应用-理解-形成技能-培养能力”的认知过程，最终达成知识向能力迁移的实现。总之，变式训练要根据学生掌握的情况，制定变式训练的目的。

二、变式训练在教学中的应用

（一）变式教学诠释概念，突破难点

在教学中有许多概念，因内容相近致使学生在学习中发生混淆，也有些知识点比较抽象难以理解。通过变式教学让学生抓住概念的本质，理解掌握相关的概念和突破难点。

（二）变式教学挖掘例题，触类旁通

教学中，如果静止地、孤立地只解答某个题目。那么题目再好，充其量也只不过是解决了一个问题而已；如果对它深入研究，通过变式教学，可以开阔学生的解题思路，培养学生思维的灵活性和深刻性，具有较好的教学价值。例如：在讲授一元一次方程应用题时，我把一道有关两车相遇的行程问题的应用题设计成七种变式的题目，在一次次变式的练习中，学生找到了不同的解决方法，呈现了一个广阔有趣的数学世界。通过一个题解决了一类问题，同时归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好培养了学生思维的深刻性。学生也不必陷于题海而机械、辛?谇业托А?

（三）变式教学拓展习题，开拓学生思维

初中数学习题课要坚持因材施教，根据学生的情况制定教学目标和教学的方式和内容。恰当的变式教学起点难度低，逐步实现知识螺旋式上升，既满足中下层学生的需求，也能培养优秀生良好的思维品质。在习题教学时，教师要充分预估学生解题过程中可能遇到的各种困难，对知识的关键点、重难点都要有针对性地进行铺垫、变式、拓展以及延伸，使学生解题过程更能水到渠成。

例如，原题：已知二次函数y=x2-4x-12，求x=0和x=4时的函数值，试比较这两个函数值的大小。

变式1：将例题的“x=0和x=4”改为“x=0和x=6”呢？若不通过计算你可否直接比较？

变式2：已知二次函数y=x2+bx+c的对称轴是x=2，试比较x=0和x=5时的函数值的大小。

分析：第一个变式中函数值的大小虽然经过计算获得解答，不过若是不经计算则就需要学生利用函数对称性加以解决了。在x>2时，函数值y随x的增大而增大，x=0和x=4的函数值是相同的，所以，问题转化为比较x=4和x=5时的函数值的大小。第二个变式中的函数已经不是一个具体的函数了，要比较x=0和x=5时的函数值的大小，就需通过函数的对称性来解决。在教学中，数学教师应依据学生需求的层次性对原型题目进行适度或梯度的变式，这样既充分调动了学生的思维，又拓展了学生的比较思维空间，也促进了学生的个性和潜能的发展。

（四）变式教学梳理知识点，形成知识网络

根据初中学生数学学习的特点、认知规律和心理特征，数学课程分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”和“综合与实践”四大部分。新课程标准在各学段中，都安排了四部分的课程内容，而这四部分课程内容分别穿插在3个学年中，数字中考复习就是要让这些零散的知识系统化，内化成学生自己的知识，形成知识网络。变式教学就是通过一组例题把多个知识点串联起来。

（五）变式教学体现数学思想

中考数学除了着重考查基础知识外，还十分重视数学思想方法的考查。比如动点问题、数形结合、折叠问题，数学问题工具化等，而这些题目一向是学生最为头疼的题目。为此通过一些体现数学思想方法的题目变式练习挖掘其隐含的数学思想，提高综合运用所学知识求解问题的能力。

折叠问题是这两年中考的热点和难点，如果学生能找出折叠隐含的条件，题目迎刃而解。如果找不到，题目就无法解决。在平时的教学中，不但让学生动手折叠纸片，找相等的角和线段，而且通过改变题目的背景，引导学生思考。

通过变式训练的形式，由浅入深，循序渐进、层层推进的方式把题目隐含的数学条件让学生“主动”的发掘出来，启发学生寻找解题思路，同时也满足不同层次学生的需求。

参考文献：

[1]赵晓楚，周爱东.如何在数学课堂中实施变式教学.中小学教学研究[J].2015（8）.[2]张俊.新课标视野下的变式教学.中学数学研究[J].2014（5）.[3]芦霞.变式训练在初中数学中的应用研究，小作家选刊[J].2015（32）.作者简介：

许艺琼，福建省漳州市，漳浦县丹山中学。

第五篇：浅谈初中数学课堂中的变式训练

浅谈初中数学课堂中的变式训练

摘 要：“变式训练”是创新的重要途径，也是一种有效的数学教学途径，因而教师利用“变式训练”，引导学生对数学问题多角度、多方位、多层次地进行讨论和思考，使学生更深刻地理解数学知识，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，最终提高学生的思维能力和创新能力。

关键词：变式训练；类型方法；应用举例

在初中数学教学中，常常会发现许多学生做题往往停留于机械模仿，不会独立思考，当问题的形式或题目稍加变化，就束手无策。变式训练类型方法应用举例培养和发展学生的数学思维是新课程理念下的重要目标。如何培养学生良好的数学思维呢？经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学思维。

中国所谓变式训练就是保持原命题的本质不变，不断变换原命题的条件、或结论、或图形等产生新的情境，引导学生从不同的角度、用不同的思维去探究问题，采用变式方式进行技能与思维的训练叫变式训练。“变式训练”是创新的重要途径，也是一种有效的数学教学途径，因而教师利用“变式训练”，引导学生对数学问题多角度、多方位、多层次地进行讨论和思考，使学生更深刻地理解数学知识，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，最终提高学生的思维能力和创新能力。

当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。从教学实践中摸索，归纳、总结，我认为变式训练主要有以下三种类型： 一、一题多变，举一反三

教学中重视对例题和习题的“改装”或引申，通过对这类习题的挖掘，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，也有利于知识的建构。

例如：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

由上面证明知道，当A，B在MN的同侧时，有DE=AD+BE，当A，B在MN的异侧时，有DE=AD-BE，DE=BE-AD此题表面上是证明三条线段的数量关系，实质上是证明两个直角三角形全等这个不变的结论，就可以猜想到三条线段DE，AD，BE的大小关系了。

以上只是结合教学实例简单地介绍了“变式训练”的应用，其实在我们教学中处处存在变式，利用“变式训练”提升教学实效性。极大地拓展了学生解题思路，提高了数学解题能力和探究能力。

二、多题一解，求同存异

许多数学练习看似不同，但它们的内在本质或者说是解题的思路，方法都是一样的，教师在教学中重视对这类题目的收集，比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成解题的数学思想方法。

例如：已知二次函数的图像经过A（-3，0）、B（1，0）、C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式。

变式1：已知二次函数的图像经过一次函数y=-x-3的图像与x轴、y轴的交点A、C，并且经过点B（1，0），求这个二次函数的解析式。

变式2：已知抛物线经过两点B（1，0）、C（0，-3）。且对称轴是直线x=-1，求这条抛物线的解析式。

变式3：已知一次函数的图像经过点（1，0），且在y轴上的截距是-1，它与二次函数的图像相交于A（1，m）、B（n，4）两点，又知二次函数的对称轴是直线x=2，求这两个函数的解析式。

变式题的教学，先让学生议练，教师在知识的转折点上提出一些关键性的问题进行点拨，在思路上为学生扫除障碍。三、一题多解，殊途同归

一题多解是从不同的角度思考分析同一道题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。适当的一题多解，可以沟通知识间的联系，帮助学生加深对所学知识的理解，促进思维的灵活性，提高解决问题的能力，让学生品尝到学习成功的快乐。

例1：证明一条线段是另一条线段的2倍时，有如下一些途径：

（一）作短线段的二倍线段，证明二倍线段等于长线段；

（二）取长线段的一半，证明一半的线段等于短线段；

（三）如果长线段是某直角三角形的斜边是，取斜边上的中线，证明斜边的中线等于短线段；

（四）有四个以上的中点条件时，考虑能否通过三角形中位线定理来证明等等，当然对这些途径，都应通过具体的例子来寻找。

这一题的设计体现了过程教学，体现了解决问题方法的多样化，教师应充分利用教材进行有目的的教学。既可巩固强化解题思想方法，又让学生通过一解多题，抓住本质，触一通类，培养学生的变通能力，收到以少胜多的效果。

总之，在初中数学教学中，教师通过变式训练，可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，并形成一个有规律可循的系列，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。同时，通过变式练习，学生不再需要大量、重复地做同一样类型的题目，真正达到了教育界所倡导的“轻负高质”，同时让学生领略到数学的和谐，奇异与美妙，收到极好的学习效果。

参考文献：

1.张乃达.数学思维教育学.南京：江苏教育出版社，1990

2.程松青，黄萍.中学数学.北京：人民教育出版社，2006

3.李玉琪.数学教育概论.北京：中国科学技术出版社，1994

（作者单位：江苏省阜宁县陈集中学）