高一数学 线面平行的判定与性质

第一篇：高一数学 线面平行的判定与性质

[文件]sxgbk0025.doc

[科目]数学

[关键词]线面平行/知识要点/直线和平面的位置关系

[标题]线面平行的判定与性质

[内容]

【知识要点】

一、直线和平面的位置关系

1、线面平行定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们说这条直线和这个平面平行。

2、位置关系

(1)直线在平面内______有无数个公共点；

(2)直线和平面相交_____有且只有一个公共点；

(3)直线和平面平行_______没有公共点

3、画法和表示 a(1)直线在平面内（图1）

a a

（图1）

(2)直线和平面相交(图2)

aA

A 

（图2 a

(3)直线和平面平行(图3)

a||

(图3)

二、直线和平面平行的判定

1、根据线面平行定义，注：线面平行是用否定的语句定义的，根据定义证明时常用反证法。a2、根据判定定理：如果平面外一条直线

和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线

和这个平面平行。

a,b,a||ba||(图4)b 

(图4)

思路：首先注意a，然后在平面内找到直线b，证明a||b，根据线面平行的判定定理得a||。

三、直线和平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过

这条直线的平面和这个平面相交，那么这

条直线就和交线平行  a 线面平行的判定与性质b

a||,a,ba||b(图5)

(图5)

注：直线和平面平行的判定定理和性质定理联用，是证题中常用的【例题选讲】

例

一、V是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为VB的中点，O为AC，BD的交

V

点，求证：EO‖平面VCD证明：V平面AC，V,O,C,D异面，O平面VCD，DOE平面VCD，C

O为BD的中点

又E为VB的中点，OE||VD，图6又VD平面VCD，OE||平面VCD

例

二、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N D1 N

C1 为A1D1，D1C1为中点，求证：MN||平面AC

证明：M,N为A1D1，D1C1的中点

A1 1连结A1C1，AC

MN||A1C

1又 AA1||CC1

A1C1||ACMN||AC

又AC平面AC,MN平面AC

D

C 图7

∴MN||平面AC

例

三、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，截面 BB1E1E平面DCC1D1＝EE1，求证：EE1||平面AA1B1B。

证明：BB1平面DCC1D1，A1BB1||CC1,CC1平面DCC1D1，D

1E1

C1

BB1||平面DCC1D1，又截面BB1E1E平面DCC1D1＝EE1，BB1||EE1

又BB1平面AA1B1B，EE1平面AA1B1B，EE1||平面AA1B1B。

例

四、在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M，N分别为A1B1，B1C1 的中点，求证：MN||平面AA1C1C.证明：取A1C1的中点E，连结ME，CE，M,E为A1B1A1C1的中点，ME||

A

D

C 图8 B

B1C1，2A

1N是BC的中点NC||

C1

B1C1 2

C N

∴ME|| NCMN||CE又MN平面ACC1A1

CE平面ACC1A1(图9)BMN||平面ACC1A1

例五、一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线和两个平面的交线平行。已知：ba||,a||求证：a||b

证明：在内取一点A，Ab，直线a 和点A确定一个平面

1，设1

c,则 a||c，在内取一点B，Bb,直线a和点B 确定一个平面1，设1d,则a||d,c||d,c,d,c||,又b,c,c||ba||b

例

六、设a,b是异面直线，求证：过b有且仅有一个平面平行于a。证明：在直线b上任取一点O，过O作直线a'||a,直线a'和b确 定一个平面，b,a.又a||a',a'

a||

存在过b且与a平行的平面；

假设还有一个平面，使得b,a||,则O，直线a和点O确定一个平面，设c,则a||c

a',c均过O点，且与a平行直线a',c重合，a',ba',b

b

B c

a

d





11



(图10)a b



图11

过相交直线有两个平面，矛盾，原假设不成立

过b有且只有一个平面与a平行。

【练习题】

一、选择题

1、直线和平面平行是指该直线与平面内的（）(A)一条直线不相交(B)两条直线不相交(C)无数条直线不相交(D)任意一条直线都不相交

2、已知a||,b，则必有（）(A)a||b

(B)a,b异面

(C)a,b相交(D)a,b平行或异面

3、若直线a,b都与平面平行，则a和b的位置关系是（）(A)平行(B)相交(C)异面(D)平行或相交或是异面直线

4、下列四个命题中，正确命题的个数是（）个(1)过直线外一点，只能作一条直线与这条直线平行；(2)过平面外一点，只能作一条直线与这个平面平行；(3)过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行；

(4)过两条异面直线中的一条直线，只能作一个平面与另一条直线平行。(A)1(B)2(C)3(D)

45、下列命题中，错误的命题是（）

(A)如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；

(B)一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；(C)经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；(D)空间四边形相邻两边的中点的连线，平行于经过另外两边的平面。

二、填空题：

(1)直线a||b,b||，则直线a和平面的位置关系是(2)若a||，则在平面内有条直线与a平行。

(3)点A平面，a，过A画与a平行的直线可以画与平面的关系是。

三、判断题（画图说明）

(1)经过平面外一点有只有一条直线与已知平面平行。

(2)若直线与平面平行，则平面内有具只有一条直线与已知直线平行。(3)若平面和直线平行，则平面内的任何直线都和已知直线平行。

四、解答题：

(1)如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这两条直线平行。

(2)正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为BD，B1C上的中点，求证：MN||平面ABB1A

1M

(3)正方体ABCDA1B1C1D1中，M是求证： A1C||平面DMB

【练习题答案】

一、D，D，D，B，B

二、(1)a||或a,(2)无数，(3)1，平行

三、(1)×(2)×(3)×(从正方体中容易找到相应图形)

四、(1)已知：c,a,b,a||b

图13

D1C1

C C

A1

B1 D1

C1

求证：a||c,b||c

证明：a||b,a,b

a||

又c,a

a||c

同理b||c

(2)证明：连结AC，则MAC，且M是AC的中点，又N是B1C的中点，MN||AB1又MN平面ABB1A1AB1平面ABB1A1MN||平面ABB1A1(3)证明：连结AC，交BD于O连结MO，M,O分别是AA1,AC的中点，MO||A1C又A1C平面BMD，MO平面BMDA1C||平面BMD

第二篇：线面平行的判定与性质

线面平行的判定与性质

[基础练习]

1．下列命题正确的是（）

A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行

B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行

C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行

D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面

2．若直线l与平面α的一条平行线平行，则l和α的位置关系是()

AlB l//C l或l//D l和相交

3．若直线a在平面α内，直线a,b是异面直线，则直线b和α平面的位置关系是()

A．相交B。平行C。相交或平行D。相交且垂直

4．下列各命题：

（1）经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线；

（2）若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行；

（3）空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。

其中假命题的个数为()

A0B 1C 2D

35．E、F、G分别是四面体ABCD的棱BC、CD、DA的中点，则此四面体中与过E、F、G的截面平

行的棱的条数是（）

A．0B 1C 2D

36．直线与平面平行的充要条件是

A．直线与平面内的一条直线平行B。直线与平面内的两条直线不相交

C．直线与平面内的任一直线都不相交D。直线与平行内的无数条直线平行

7．若直线上有两点P、Q到平面α的距离相等，则直线l与平面α的位置关系是()

A平行B相交C平行或相交D 或平行、或相交、或在内

8．a,b为两异面直线，下列结论正确的是()

A 过不在a,b上的任何一点，可作一个平面与a,b都平行

B 过不在a,b上的任一点，可作一直线与a,b都相交

C 过不在a,b上任一点，可作一直线与a,b都平行

D 过a可以并且只可以作一个平面与b平行

9．判断下列命题是否正确：

(1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行()

(2)若直线l，则l不可能与α内无数条直线相交()

(3)若直线l与平面α不平行，则l与α内任一直线都不平行()

(4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线()

(5)若平面α内有一条直线和直线l异面，则l()

10．过直线外一点和这条直线平行的平面有个。

11．直线a//b，a//平面α，则b与平面α的位置关系是。

12．A是两异面直线a,b外一点，过A最多可作个平面同时与a,b平行。

13．A、B两点到平面α的距离分别是3、5，M是的AB中点，则M到平面α的距离是。

14．P为平行四边形ABCD外一点，E是PA的中点，O是AC和BD的交点，求证：OE//平面PBC。

15．求证：如果一条直线和两相交平面平行，那么这条直线就和它们的交线平行。

[深化练习]

16．ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC//平面EFGH，BD//平面EFGH，AC=m,BD=n当EFGH为菱形时，AE：EB=.17.用平行于四面体ABCD的一组对棱AB、CD的平面截此四面体

(1)求证：所得截面MNPQ是平行四边形；

(2)如果AB=CD=a，求证：四边形MNPQ的周长为定值。

C

18．已知P、Q是单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D、面A1B1C1D1中心。

（1）求线段PQ的长；

（2）证明：PQ//平面AA1B1B。

DD

[参考答案]

1—8 CCCBCCDD9 无数多 11.b//或b 12.一个 13.4cm或1cm16.m:n17.(1)略(2)2a18.(1)2

第三篇：线面平行判定教案

2.2.1 直线与平面平行的判定

教学目标

1.知识与技能

(1)通过直观感知.操作确认，理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用

(2)进一步培养学生观察.发现问题的能力和空间想像能力

2.过程与方法

(1)启发式。以实物（门、书等）为媒体，启发.诱思学生逐步经历定理的直观感知过程。

(2)指导学生进行合情推理。对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生自己主动地去获取知识.发现问题.教师予以指导，帮助学生合情推理.澄清概念.加深认识.正确运用。

3.情感态度与价值观

(1)让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。

(2)在培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事认真仔细的习惯及合情推理的探究精神。

教学重点与难点

1.教学重点：通过直观感知.操作确认，归纳出直线和平面平行的判定及其应用。

2.教学难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用。

教学过程

一、复习引入

问题：回顾直线与平面的位置关系。

设计意图：通过师生互动回忆旧知识，帮助学生巩固旧知识，让学生在体验学习数学的成就感中来学习新知识，营造轻松愉快的学习氛围。

二、感知定理

思考1：根据定义，怎样判定直线与平面平行？图中直线l 和平面α平行吗？

思考2：若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？

思考3：有一块木料如图，P为面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内画一条直线和平面ABCD平行，那么应如何画线？

由以上实例可以猜想：

猜想：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α

a与平面α平行？

设计意图：通过三个情景问题和猜想的设计，使学生通过观察、操作、交流、探索、归

纳，经历知识的形成和发展，由此并猜想出线面平行的判定定理。培养学生自主探索问题的能力。

三、定理探究

定理探究：由猜想探究定理，并引出定理

定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号语言： a,b,a//ba//

解读定理：①定理的三个条件缺一不可；“一线面外、一线面内、两线平行”

②判定定理揭示了证明一条直线与平面平行时往往把它转化成证直线与直

线平行.直线与平面平行关系

空间问题平面问题直线间平行关系

③定理简记为：线(面外)线(面内)平行

定理证明：（略）线面平行.设计意图：通过解读定理，加强对定理的认识和理解以及应用定理的能力。

四、定理应用

例1 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD.

第四篇：线线平行垂直,线面平行垂直,面面平行垂直判定与性质

1.线线平行

判定：a用向量，方向向量平行b一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那个平面的交线。C若一平面与两平行平面相交，则两交线平行。D同时与一平面垂直的两直线平行。E同时平行于一条直线的两直线平行。

性质：貌似没啥性质，一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。

2.线线垂直

判定：a向量，方向向量垂直b直线垂直于平面，则直线与平面中的任意直线都垂直c第一条直线与第二条直线平行，第一条垂直于第三条，则第二条也垂直于第三条d把两直线放在一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重点）三垂线定理：平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于斜线在平面内的射影。（这个比较重要，记不住的话找一下例题，多看看图就好了）性质：貌似也没什么性质，一般也是要证明线面关系的时候用到它。注意：第一条直线垂直于第二条直线，第一条直线垂直于第三条直线，则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也可普通相交。

3,线面平行

判定：a面外一条线与面内一条线平行。（常用）b空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直线上不同两点到面的距离相等d证明线面无交点（定义）e反证法（线与面相交，再推翻）

性质：平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。

4.线面垂直

判定:a一条线和平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直b两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直两平面的交线，那么这条直线和这个平面垂直c直线的方向向量与平面的法向量平行

性质：如果两条直线同时垂直一个平面，那么这两条直线平行。

5.面面平行

判定a一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行。（常用）b如果两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行（大题一般不用）

性质：a两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面b两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面c两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行d平行平面所截的线段对应成比例（这个是推论，不好描述，书上或练习册上应该有类似的题）

6.面面垂直

判定：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直

性质：a如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。b如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。C如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。D三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

第五篇：线面平行的性质

最有力的回答是行动，最有效的方法是参与神木四中2015届高一数学组

直线与平面平行的性质

第周第课时编写人：史会婷审核人：薛向荣使用人：编写时间：2012-12-9高一班组姓名组评学习目标：1.掌握直线和平面平行的性质定理；

2.能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.一、自主学习：

复习1：直线与平面平行的判定定理是________________________________________.它的实质是由平行推出平行.复习2：两个平面平行的判定定理是______________________________________；

它的实质是由__________平行推出__________平行.1、如果直线a与平面平行,作图回答：(1)直线a

和平面内的直线有什么样的位置关系？

（2）经过直线a的平面与平面的位置关系有几种？

2、如果直线l∥平面，l平面，b，直线b与l平行吗？（画图说明）

3、直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行.用符号语言表示为：





简记为：平行平行

二、合作探究：

4、如图所示的一块木料中，棱BC平行于面AC.⑴要经过面AC内的一点P

和棱BC将木料锯开,应怎样画线? ⑵所画的线与平面AC是什么位置关系?

5、P32 例

46、如图所示，已知a∥b，a，b，

l，求证：a∥b∥l.7、如图，已知直线a,b都在平面外，且a∥b，a∥，.求证：b∥面.把握参与的今天，成就美好的明天参与就有快乐，自信就能成功

练习：P32

2小结：平面外的两条平行直线，如果其中一条平行于平面则另一条也平行于该面.9、求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线和它们的交线平行.提示：先写出已知

10.如图，在ABC所在平面外有一点P，D、E分别是PB与AB上的点，过D,E作平面平行于BC，试画出这个平面与其它各面的交线，并说明画法的依据.三、课后检测：

1.a、b、c表示直线，M表示平面，可以确定a∥b的条件是（）.A.a∥M,b

M

B.a∥c,c∥b

C.a∥M,b∥MD.a、b和c的夹角相等 2.下列命题中正确的个数有（）.①若两个平面不相交，则它们平行；

②若一个平面内有无数条直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行； ③空间两个相等的角所在的平面平行.A.0个B.1个C.2个D.3个

3.平行四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H 分别在空间四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、AD上，又EH∥FG，则（）.A.EH∥BD，BD不平行于FGB.FG∥BD，EH不平行于BDC.EH∥BD，FG∥BDD.以上都不对

4.a和b是异面直线，则经过b可作___个平面与直线a平行.5.异面直线a,b都和平面平行，且它们和平面内的同一条直线的夹角分别是45°和60°，则a和b的夹角为______.四、学习小结：

1.直线和平面平行的性质定理运用； 2.体会线线平行与线面平行之间的转化关系.五、知识拓展：

在证明线线或线面平行的时候，直线和平面平行的判定定理和性质定理在解题时往往交替使用，相互转换，即线面平行问题往往转化为线线平行问题，线线平行问题又转化为线面平

行问题，反复运用，直到得出结论.