人教A版必修2线面垂直、面面垂直习题（5篇模版）

第一篇：人教A版必修2线面垂直、面面垂直习题

例2已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O

PBC上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面

证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC

而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC

又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE

∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC

例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点

（1）求证：AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证法

证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)

(1)AD(0,2,0),D1F(1,0, 2) ADD1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, AD⊥D1F （2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|，|D1F|设AE与D1F的夹角为θ，则

cosθ121001(2)

0

所以，直线AE与D1F所成的角为90°

（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，D1F⊥平面AED，∵D1F平面A1FD1M

平面AED⊥平面A1FD

1例5如图，已知AB是圆O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任一点，求证：平面PAC平面PBC．

分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可 解：∵AB是圆O的直径，∴ACBC，又∵PA垂直于O所在的平面，∴PABC，∴BC平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC平面PBC．

点评：由于平面PAC与平面PBC相交于PC，所以如果平

面PAC平面PBC，则在平面PBC中，垂直于PC的直线一定垂直于平面PAC，这是寻找两个平面的垂线的常用方法

1“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的A充分条件B必要条件

C充要条件D既不充分又不必要条件

答案：B

2给出下列命题，其中正确的两个命题是

①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等

A①②B②③C③④D②④

解析：①错误如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交②正确如下图，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈

β且E、F分别为AB、CD的中点，过C作CG∥AB交平面β于G，连结BG、GD 设H是CG的中点，则EH∥BG，HF∥GD

∴EH∥平面β，HF∥平面β ∴平面EHF∥平面β∥平面α ∴EF∥α，EF∥β

③错误直线n可能在平面α内

④正确如右上图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、b′确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的答案：D

4在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD

证明：连结MO

∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC

1又A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=22，tan∠MOC=，2

2∴∠AA1O=∠MOC，则∠A1OA+∠MOC=90°∴A1O⊥OM

∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD

11在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD

（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论

（1）解：当a=2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC

又∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面PAC

故当a=2时，BD⊥平面PAC

2.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平B面，则下列命题中的真命题是()

A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α

B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β

C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

解析：两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一平面垂直，故A为假命题；以三棱柱的侧面和侧棱为例知B为假命题；若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ或β∥γ，故D为假命题；若m∥α，则α中必存在直线l与m平行，又m⊥β，∴l⊥β，故α⊥β，故选C.答案：C1、给出以下四个命题：

（1）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；

（2）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

（3）如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；

（4）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

其中真命题的个数是（）A、4B、3C、2D、12、设、、为平面，m、n、l为直线，则m的一个充分条件是（）

,l,mlB． m,,

C． ,,mD． n,n,m A、

3、m、n是空间两条不同直线，、是空间不同平面，下面有四个命题：

①m,n//,//,则mn②mn,//,m,则n//

③mn,//,m//,则n④m,m//n,//,则n

其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。

4、已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连PB，PC，PD，AC，BD，则互相垂直的平面

有对。

三、例题讲解：

例

1、如图，已知PA⊥三角形ABC所在平面，∠ACB=900 ,AM⊥PC，AN⊥PB

（1）求证：PC⊥BC

（2）求证BC⊥平面PCA

（3）求证AMN⊥平面PCD。

1、设,,为两两不重合的平面，l,m,n为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,则∥；②若m,n,m∥,n∥,则∥；

,则l∥；④若l,m,n,l∥,则m∥n.⑤若//,m,n,则m//n⑥若m,n,m//n,则//

⑦若,m//,n//,m,n,则// ③若∥,l

其中真命题的个数是

（A）1（B）2（C）3（D）

42、在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（）（A）BC//平面PDF（B）DF⊥平面PA E

（C）平面PDF⊥平面ABC（D）平面PAE⊥平面 ABC3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，现

在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P，那么在四面体P-DEF

中，必有（）

A、DP⊥平面PEFB、DM⊥平面PEF

C、PM⊥平面DEFD、PF⊥平面DEF4、已知P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面内的射影

（1）若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的；

（2）若PA、PB、PC与平面所成的角相等，则O是△ABC的；

（3）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的；

（4）若平面PAB、PBC、PCA与平面所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的；

（5）若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的；

（6）若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的；

5．等边三角形ABC的边长为1，BC上的高为AD，沿高AD折成直二面角，则A到BC的距离是（）A．2B．2C．D． 22

4AB，BB1，B1C1例

1、（1）如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，E,FG,H分别为AA1，的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）

（2）如图,正棱柱ABCDA1BC11D1中,AA12AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为___

(3)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA=90，点D1、F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成的角的余弦值_________。

（4）在正四面体A-BCD中，异面直线AB与CD所成角的大小是

_______.A

1

例

2、在正四棱柱ABCDA1BC11D1中，AB2BB12，P为B1C1的中点．

1、求异面直线AC与BP所成的角；

2、求点B到平面APC的距离．

例

3、在正三棱锥S—ABC中，D为AB的中点，且SD与BC所成的角为45，则SD与底面所成的角的正弦值为（）

A、123B、C、D、323

31．（全国Ⅰ•理•7题）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）

4123

A．5B．5C．5D．

5ABC内的5（全国一11）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面

射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）

A．1

23B

．3C

D．3 答案：C6、（福建卷6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

答案：D

第二篇：线面垂直面面垂直专题练习

线面垂直专题练习

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

aMa//baMa//M①②③b∥M④M.bMa//bb⊥abaMbMab

其中正确的命题是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有()

第2题图

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

4有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.35.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题的序号是()．．．

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

6.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.7.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

A1C1C9、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：平面PAC⊥平面PBC．

BA

C10、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问

△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举

出反例．

BA C

第三篇：面面垂直习题（模版）

例1如图,在四面体P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。

解：如图，过B作BE⊥AC于E，过E

作EF⊥PA于F，连接BF

∵PC⊥平面ABC，PC平面PAC

C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC

由三垂线定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，设PC=1,由E是AC的中点，BE

32,EF

12sin450B

24tgBFE

BE

EF6

例2:如图, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求证:

AF⊥平面PBC.证明:∵PA⊥平面ABCBC 平面ABC

∴ PA⊥BC

又AC⊥BC PA∩AC=A

∴ BC⊥平面PAC

平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC

平面PAC,∵AF⊥PCAF

平面PBC∩平面PAC=PC

∴ AF⊥平面PBC

如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求证：平面ADE⊥平面ACE.E

D

C

A

B

如图在空间四边形ABCS中，SA平面ABC，平面SAB 平面SBC

(1)求证：ABBC ；

(2)若设二面角SBCA为45，SA＝BC，求二面角ASCB的大小

S

E

a

A 2aC

已知线段AB的两端点在直二面角CD的两个面内,且与、分别成30和45角，求AB和CD所成的角

C

如图PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中点，二面角PCDB 为45求证：平面PEC平面PCD

G C

E B

第四篇：线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案

线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案

1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．

(1)求证：BC⊥AD；

2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．（1）求证：AB⊥BC；

3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

(第1题)

（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．

4.如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.5.如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.6.证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

D1 C1 A1 B1 D C A B，7.如图所示，直三棱柱侧棱，侧面

中，∠ACB=90°，AC=1，的两条对角线交点为D，的中点为M.求证：CD⊥平面BDM.8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

9.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．

(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC。

12..如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面BSC a, 13.如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD= AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.14.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．

15.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．

16.如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD

平面MBD 于点O，求证：AO1

答案与提示：

1.证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO．

∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD．又AD平面AOD，∴BC⊥AD．

2.【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

3.【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD ∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF ∴GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD． 12CD又AE

12CD，（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC ∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，FHPF而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CDPC，设

22AD=2，∴PF=2，PC=PDCD8423，26623∴A到平面PEC的距离为3． ∴FH=2

34.【证明

】

取

SA的中

点

E，连接EC，EB.∵SB=AB,SC=AC, ∴SA⊥BE,SA⊥CE.又∵CE∩BE=E, ∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE 5.证明：(1)因为SA=SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，所以△SDB≌△SDA，所以∠SDB=∠SDA，所以SD⊥BD.又AC∩BD=D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.6.证明：连结AC

BDAC

AC为A1C在平面AC上的射影

A1C平面BC1D同理可证ACBC11

BDA1C

7.证明：如右图，连接

∵、，∴、，则

.为等腰三角形...为直角三角形，D为.，∴

.又知D为其底边

∵

又，∴ 的中点，∴，∴.∵，的中点，∴

又

∵ ⊥平面BDM.、.即CD⊥DM.为平面BDM内两条相交直线，∴ CD 8.证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB． 又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD平面CDF，∴C． D

又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

9.证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E

直角△BPC中，，由AB=AC，AE⊥BC，直角△ABE中，在△PEA中，∴，，，平面ABC⊥平面BPC.10.证明：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴DEC90，即DE⊥EC．

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE平面D1DCC1，∴BC⊥DE．又ECBCC，∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB过DE，∴平面DEB⊥平面EBC．

(2)解：如图，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵面ABCD⊥面D1DCC1，∴EO⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝15，(第10题)

5又OE＝1，所以，tanEFO＝．

11.（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径

∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC． ∵BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．

.12.证明：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连接AD，SD.由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，∴AD⊥BC,SD⊥BC.令SA=a,在△SBC中，SD=

a, 又AD=

=

a, ∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.13.证明：取BD的中点E，连接AE，CE.则AE⊥BD,BD⊥CE.在△ABD中，AB=a,BE= BD=

, ∴AE= ,同理,CE=

.在△AEC

中，AE=EC=

∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.又∵AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD 14.证明：((1)取EC的中点F，连接DF．

∵ CE⊥平面ABC，∴ CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．

∵ BD∥CE，∴ BD⊥平面ABC．

在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，,AC=a，∴ Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．

(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MNCF．

∵ BDCF，∴ MNBD．N平面BDM．

∵ EC⊥平面ABC，∴ EC⊥BN．

又∵ AC⊥BN，∴ BN⊥平面ECA．

15.证明：

又∵ BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵ DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴ DM⊥平面ECA．

又∵ DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴ MN∥AE．

∵ AE平面PAD，MN平面PAD，∴ MN∥平面PAD．

(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．

由(1)知，需证AE⊥AB．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AB．又AD⊥AB，∴ AB⊥平面PAD．

∴ AB⊥AE．即AB⊥MN．

又CD∥AB，∴ MN⊥CD．

(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AD．

又∠PDA=45°，E为PD的中点．

∴ AE⊥PD，即MN⊥PD．

又MN⊥CD，∴ MN⊥平面PCD．

16.证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1．

设正方体棱长为a，则AO23a2，MO2324a21．

在Rt△AC11M中，A29221M4a．∵AO1MO2A1M2，A1OOM． ∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

∴

第五篇：线面垂直面面垂直及二面角专题练习

线面垂直专题练习

一、定理填空：

1.直线和平面垂直

如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理 线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理1：如果两条平行线中的一条于一个平面，那么判定定理2：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么.性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线.二、精选习题：

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

①a//baMaMa//Mb∥M④bM②a//b③b⊥M.abaMbMab

其中正确的命题是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有()

第3题图

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是()

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

C.过a一定可以作一个平面与b垂直

D.过a一定可以作一个平面与b平行

4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

5.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.36.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题的序号是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.求证:VC⊥AB;

8.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．

10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.面面垂直专题练习

一、定理填空

面面垂直的判定定理：

二、精选习题

1、正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于

2、三棱锥PABC的三条侧棱相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的____心.3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________

4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________

5、已知l是直二面角，A,B,A、Bl，设直线AB与成30角，AB=2，B



到A在l上的射影N，则AB与所成角为______________.6、在直二面角AB棱AB上取一点P，过P分别在,平面内作与棱成 45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是_____________

7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________.二、解答题：

8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

B1

C1

C

A

B10、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：平面PAC⊥平面PBC．

BAC11、如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．

BA

C

二面角练习1210

1.正方体ABCD－A1B1C1D1中,二面角A－BD1－C的大小是（）A.52B.C.D.632

32.边长为a的正三角形中，AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B－AD－C后，BC=

a，这时二

2面角B－AD－C的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°

3.以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高为折痕，将△ABC折起，若折起后的三角形ABC为等边三角形，则二面角C－AD－B的大小为（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

4在空间四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分别 是AC、AD、CA的中点。求证：平面BEF

^平面BEG。

性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。

二面角的基本求法

(1)定义法：在棱上取点，直。

9．SA^平面ABC，AB^BC，SA=AB=BC，（1）求证：SB^BC；（2）求二面角S-BC-A和C-SA-B的大小；

（3）求异面直线SC与AB所成角的余弦值。

10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面角A-B1C-A1的大小；（2）平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值。

11.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角A-BD1-P的大小。

(2)．三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平垂直。

12．平面ABCD^平面ABEF，ABCD是 矩形且AF=

AD=a，G是EF2

A

平面AGC^平面BGC；（2）求GBB

角的正弦值；

（3）求二面角B-AC-G的大小。

13．点P在平面ABC外，ABC是等腰直角三角形，?ABC

（1）求证：平面PAB^平面APA^BC。PAB是正三角形，（2）求二面角P-AC-B的大小。

（3）．垂面法

14.将一副三角板如图拼接，并沿BC折起成直二面角，设AB=AC=a, ∠BAC=∠DCB=90°,∠DBC=30°,求二面角B－AD－C的大小 及二面角C－AB－D的正切值。

C