线面垂直习题精选精讲129

第一篇：线面垂直习题精选精讲129

习题精选精讲

线面垂直的证明

M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO如图1，在正方体ABCDA平面MBD．

1B1C1D1中，12如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

3如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过

A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于

E，F，G．求证：AESB，AGSD．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

习题精选精讲

5如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

6.空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD

D

7.证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

A

C

8.如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：

MNAB

C

.9如图在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC

分析：

AC

D

GEAB

F10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC

于M。求证: ①ANBC;②SC平面ANM

A．aB

．aC．aD．a

3．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是3，4，5，则OP的长为（）

A．5B．52C．35D．

24．在两个互相垂直的平面的交线上，有两点A、B，AC和BD分别是这两个平面内垂直于AB的线段，AC=6，AB=8，BD=24，则C、D间距离为_____．

5．设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α，②l∥β，③ α⊥β．若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为（）

A．3B．2C．1D．0 【典型例题精讲】

［例1］ 如图9—39，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

图9—39

［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．

习题精选精讲

图9—40

［例3］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．

图9—

42（1）求证：平面MNF⊥平面ENF．（2）求二面角M—EF—N的平面角的正切值．

［例4］在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为平面D1EF⊥平面AB1C．

2的正方形，侧棱长为3，E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：

例题

1．棱长都是2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为_____．



2．如图9—44，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面成3的角，侧面ABB1A1垂直于底面，图9—4

4（1）证明：B1C⊥C1A．（2）求四棱锥B—ACC1A1的体积．

3．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

习题精选精讲

图9—4

5（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，4．已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，对角线AC=2，BD=

23，E、F分别为棱CC1、BB1上的点，且满足EC=BC=2FB．

图9—46

（1）求证：平面AEF⊥平面A1ACC1；（2）求异面直线EF、A1C1所成角的余弦值． ．

【解题指导】在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加．在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直．解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用．

【拓展练习】

一、备选题

1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

第二篇：线面垂直性质习题及答案

直线与平面垂直的性质练习

一．选择题

C是⊙O上的任一点，求证：PC⊥BC．

1．直线平面,直线m内。则有（）

Al和m异面Bl和m相交Cl∥mDl不平行m 2 直线a∥平面，直线ba, 则b与的关系是（）A．b∥B、b 与相交C、b D、不能确定

3.直线b直线a，直线b平面，则直线a与平面的关系是（）A.a∥BaD a 或a∥Da

A

4．已知PH⊥Rt△HEF所在的平面，且HE⊥EF，连结PE、PF，则图中直角三角形的个数是（）F

A1B 2H

C3D

45.在下列四个正方形中,能得到AB⊥CD的是()

(A)

(B)(C)(D)

6．已知直线a、b和平面M、N，且aM，那么（）（A）b∥Mb⊥a（B）b⊥ab∥M（C）N⊥Ma∥N（D）aNMN

二．填空题。

7．在RtABC中，D是斜边AB的中点，AC=6cm,BC=8cm,EC平面ABC，EC=12cm，则

EA=cm ；EB=cm ； ED=cm。

8．已知正△ABC的边长为2cm，PA⊥平面ABC，A 为垂足，且PA=2cm,那么P到BC的距离为。

9．设棱长为1的正方体ABCD-A/B/C/D/中，M、N分别为AA/和BB/的中点，则直线CM和D/N所成的角的余弦值为 10．在菱形ABCD中，已知∠BAD=600，AB=10cm，PA⊥菱形ABCD所在平面，且PA=5cm，则P到BD的距离为，P到DC的距离为。11．如图3，已知PA⊥平面ABC,AB是⊙O的直径，12.设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，ACBC1,CD

求（1）AC与平面BCD所成角的大小；（2）二面角ABCD的大小；（3）异面直线AB和CD的大小．

参考答案

1~6DDCBAAEA=；

EB= ；9.1

10.10cm , 10cm

11．证明：∵PA⊥平面ABC, ∴PA⊥BC

∵AB是⊙O的直径 ∴AC⊥BC

∴BC⊥平面ACP ∴PC⊥BC 12.解：（1）∵AO面BCD，∴AOCO，∴ACO为AC与面BCD所成角．

∵BC1,CD

∴BD，∴CO

12BD

∴cosACO，∴ACO6，即AC与平面BCD所成角的大小为

．（2）取BC中点E，连接OE,AE，∴OE//CD．∵CDBC，A

F

B

OD

E

C。

ED= 13 cm

∴OEBC．又∵AO面BCD，∴AEBC，∴AEO为二面角ABCD的平面角．

11又∵OECDAO，∵AOOE，22

∴tanAEOAOAEOarctan 

OE22

． 2即二面角ABC

D的大小为arctan

（3）取AC的中点E，连接EF,OF，则EF//AB,OE//CD，∴OE与EF所成的锐角或直角即为异面直线AB和CD所成角． 易求得OEF45，即异面直线AB和CD所成角为45．

第三篇：专题线面垂直

专题九： 线面垂直的证明

题型一：共面垂直(实际上是平面内的两条直线的垂直)例1：如图在正方体ABCDA1BC11D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1中点,求证：AOOE

1题型二：线面垂直证明（利用线面垂直的判断定理）

例2：在正方体ABCDAO为底面ABCD的中心，E为CC1,1BC11D1中，平面BDE 求证：AO1

题型三：异面垂直（利用线面垂直的性质来证明，高考中的意图）例3.在正四面体ABCD中，求证ACBD

P N D C A M B 练：如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNAB

题型四：面面垂直的证明(本质上是证明线面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB、PC、PD、AC、BD,则下列垂直关系中正确的序号

是.①平面PAB平面PBC ②平面PAB平面PAD ③平面PAB平面PCD

例5.如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

第四篇：线面垂直习题精选精讲

线面垂直的证明中的找线技巧

 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO1如图1，在正方体ABCDA平面MBD． 1BC11D1中，1证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．1

2设正方体棱长为a，则A1O2AM在Rt△AC中，M111323a，MO2a2． 2492222a．∵AO，∴AOOM． ∵MOAM111

4OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．



利用面面垂直寻求线面垂直

2如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求

证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵BC

平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．

∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一

条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图

形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线

面垂直线线垂直．

判定

性质判定性质线面垂直面一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直

面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．

3如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD．

证明：∵SA平面ABCD，∴SABC．∵ABBC，∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴BCAE．∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．

评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD平面CDF，∴CDAB．

又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC．

∵PA平面ABC，BC平面ABC，∴PABC．∴BC平面APC．

∵BC平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．

∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC;②SC平面ANM 分析:

①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。

②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。

证明:

①∵SA平面ABC

∴SABC

又∵BCAB, 且ABSA = A

∴BC平面SAB

∵AN平面SAB

∴ANBC

②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B

∴AN平面SBC

∵SCC平面SBC

∴ANSC

又∵AMSC, 且AMAN = A

∴SC平面ANM

［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．

图9—40

（1）求证：AB⊥BC；

（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．

（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD

（1）【解】PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD，故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD，∴∠PDA=45°

（2）【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则

EN AM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．

∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．

【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．

［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．

2CD 图9—

42（1）求证：平面MNF⊥平面ENF．（2）求二面角M—EF—N的平面角的正切值．

（1）【证明】∵M、N、E是中点，∴EB1B1NNC1C1M∴ENB1MNC145

∴MNE90即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN平面A1C1∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN 平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF．

（2）【解】过N作NH⊥EF于H，连结MH．∵MN⊥平面ENF，NH为MH在平面ENF内的射影，2

3∴由三垂线定理得MH⊥EF，∴∠MHN是二面角M—EF—N的平面角．在Rt△MNH中，求得MN=2a，NH=3a，MN662，即二面角M—EF—N的平面角的正切值为2． ∴tan∠MHN=NH

4．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

图9—4

5（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．

（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD∴CD⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则

GF 12CD又

AE 12CD，∴

GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．

（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC

∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，FHPFPC，设AD=2，∴PF=2，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CD

PC=PDCD423，2

226623∴A到平面PEC的距离为3． ∴FH=2

【拓展练习】

一、备选题

1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径

∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．

∵BC 平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．

（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．

2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，BD＝2a，EC＝a．

（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；

（2）求截面△ADE的面积．

（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN，则MN∥A′A∥B′B，∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′

∴B′M⊥平面A′ACC′．

设MN交AE于P，a

∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2．

又DB＝2a，∴PN＝BD．

∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，∴PD∥B′M．

∵B′M⊥平面ACC′A′，∴PD⊥平面ACC′A′，而PD平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC′A′．

（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝2a，AE＝2a．

∴S△ADE＝2×AE×PD 13622aaa24＝2×．

第五篇：线面垂直高考题

高考真题演练：

(2012天津文数).（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

（2012天津理数）（本小题满分13分）P如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面

直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.C

D

（2010年安徽）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，BFC90,BF=FC，H为BC的中点.（I）求证：FH//平面EDB；

（II）求证：AC⊥平面EDB；

（III）求二面角B—DE—C的大小.(2012上海理数)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD

是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：

E

（1）三角形PCD的面积；（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）

B

（2012山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；

（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。

（2012年北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,(I)求证：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

（2012辽宁）如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，[来源:学科网]

///

ABACAA/,点M，N分别为A/B和B/C/的中点。

(Ⅰ)证明：MN∥平面AACC;

(Ⅱ)若二面角AMNC为直二面角，求的值。

（2012江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1ACCC1E分别是棱BC，11，D，上的点（点D 不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点． A1求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；

（2）直线A1F//平面ADE．

（2012湖南），在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点。（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积。

B A

D

/

/

/

C1

E

（2012湖北），∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；

（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小

（2012广东），在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）证明：BD⊥平面PAC；

（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

（2012年福建）在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点。（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长。

（2012大纲全国卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。

（2012安徽）平面图形ABB1AC11C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC2,BB1

4，ABAC，A1B1A1C1BC和B1C1折叠，使ABC

与A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接AA1,BA1,CA1,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。

（Ⅰ）证明：AA1BC；（Ⅱ）求AA1的长；（Ⅲ）求二面角ABCA1的余弦值。