浅谈小学数学教学中学生思维“两翼”的和谐发展

第一篇：浅谈小学数学教学中学生思维“两翼”的和谐发展

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浅谈小学数学教学中学生思维“两翼”的和谐发展

作者：黎阳

来源：《现代教育科学(普教研究)》2013年第03期

小学数学教学的目标在于培养学生的思维能力，尤其要促进学生的形象思维和抽象思维和谐发展。本文主要通过探讨小学生思维发展的特点及发展的特殊阶段，进而提出小学数学教学促进小学生形象思维与抽象思维和谐发展的策略。

小学数学；形象思维；抽象思维；教学策略

对已有信息进行加工处理的过程就是人类的思维过程，形象思维与抽象思维作为人类思维的不同分类，是数学思维的基本形式，同时也成为了数学思维的两翼。数学教学要有效促进学生的发展，其形象思维与抽象思维需和谐并进，比翼齐飞，二者不可偏废。如何实现数学的“两翼”思维和谐发展，这就要求数学教师要根据教学内容以及小学生思维发展特点和阶段进行教学。

一、形象思维、抽象思维的概念、特点及关系

依靠具体事物和材料，可以通过感知获得认识的思维就是形象思维。形象思维依靠个体过去在头脑中积存的表象去思维。因此，它具有形象性、可感知性、非逻辑性等特点。

在人们认识活动中，个体运用概念、判断和推理等形式进行思维的活动就是抽象思维。抽象思维属于理性认识的高级阶段。以概念为起点，运用这些抽象概念去认识和反映世间万物本质的过程就是抽象思维过程。个体通过认识活动获得超越感性思维的知识以及道理。它依靠判断和推理进行思维，对客观现实进行间接和概括的反映。抽象思维与形象思维不同，抽象思维需要通过分析感性材料进行思考，暂时抛弃具体形象和事物的属性，通过繁琐的思考方式揭示世间万物的本质特征和属性，并且运用逻辑形成概念，以达到间接反映现实的目的。

形象思维与抽象思维的关系是彼此联系、彼此统一的。抽象思维如果匮乏，科学理论和科学研究便不会产生。同时，抽象思维又必须与具体思维结合，否则，个体的认识过程便不能由抽象上升到具体，个体的认识便会产生缺陷。形象思维以具体事物为起点，抽象思维是以头脑中的概念为起点。形象思维与抽象思维关系密切。抽象地思考总是要以形象直感思维为基础，而形象思维又常常联系着抽象思维。

二、课改前后对学生形象思维、抽象思维的不同要求

通过新课改前后小学数学大纲的教学目标要求分析，形象思维与抽象思维二者在小学数学教学中不可偏废。《九年义务教育全日制小学数学大纲（试用修订版）》中提出：学生通过数学教育能够获得对整数、小数、分数四则计算的能力，学生初步的思维能力和空间概念需要得到培养，通过数学内容和知识的学习，对学生进行引导，使学生获得全面观察、操作和猜测的能力，使学生能够获得初步的分析、综合、比较、抽象和概括的能力。对简单问题能够判断、推理并逐渐学会有依据的思考问题，同时注意培养学生思维的敏捷性和灵活性。

综上所述，新课程改革以前，学生的抽象思维较被关注。大纲的要求十分重视对学生抽象思维的训练和培养，学生运用学习手段在教师的鼓励和组织下对数据进行分析，运用抽象概念，发展空间观念，进一步提高思维能力。

新课程改革以后，形象思维受重视程度加深。《全日制义务教育数学课程标准》（修订稿）的总目标指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，能够运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。了解数学的价值，增强学好数学的信心。总体目标通过四个方面具体阐述，其中要求学生在数学思考方面，要能够建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。

新课程改革后，注重强调通过数学学习，领悟数学与自然以及人类社会的密切关系，在情感态度和一般能力上要充分发展。这进一步强调了形象思维的发展。所以，数学教育不仅仅是培养学生的抽象思维，更应该将抽象思维与形象思维协同发展，二者不可偏废，在培养学生全面发展的过程中，不能将形象思维与抽象思维的培养割裂。

三、小学数学教学促进思维两翼和谐发展的策略

小学数学教学应该促进学生形象思维与抽象思维的和谐发展。研究客观世界中数量关系与空间形式的科学被称为数学。个体思维的过程也可以说是对数学知识的研究过程。个体思维的基本方式包括形象思维与抽象思维，二者贯穿数学学习和认知的始终。数学思维是指通过连续的具体事物的感知、运用头脑的想象力获得对事物的表象认识，提炼出数学概念与解决问题的方法，最终形成对知识的理性认识。通过这个过程，在整体上，形象思维与抽象思维得到协调发展。

1.根据儿童的年龄特点有针对地培养和发展学生思维的两翼。小学数学教学设计的重点应强化形象思维的根基作用。小学生的思维发展规律在于先对感知的事物比较容易理解，小学生的思维阶段处于形象认识阶段，此时，教师在进行小学数学教学过程中，应充分考虑到这一特殊阶段，重视形象思维的基础作用。从小学生的思维发展特点着手，儿童的思维经历了由形象思维转向抽象思维的过程。年龄的差异决定了小学生的思维发展特点不同。年龄是儿童思维发展的制约因素，小学生的思维最初在一定程度上依赖于形象思维。正因如此，注重培养小学生的形象思维能力，既是儿童本身年龄和思维发展的需要，又是他们学习抽象数学知识的必经之路。

低年级小学生，教师在进行数学教学过程中应该以实物或生活情境作为教学工具促进形象思维发展。小学数学的整个教育过程，从一到三年级，具体实物一直是数学知识的表现方式，小学生容易触碰，容易感知。例如，一年级上册《认识物体和图形》，学生在初步认识长方体、正方体、圆柱等一些立体图形时，还应该通过教具让学生进行触摸感知。在数学教学过程中，教师通过利用学生的感官及触觉获取认知，依靠直观体验让学生领会立体图形的外观特征。这便是一种培养小学生形象思维的教学方式。

在数学课堂中，教师通过组织学生进行各种活动，让学生感知各种图形，使学生在头脑中建立起各种图形的特征，提高数学想象力，为日后的抽象思维发展打好基础。

形象思维与抽象思维的互相作用随着学生年龄的增长而到来，思维发展阶段有新的提高就依赖于形象思维与抽象思维的互相协调。到小学四至六年级时，要建立数学概念和空间观念，小学生已有的形象思维培养便发挥了作用。小学生早期有关形象思维的培养能够引导学生进一步发展其抽象思维能力。这一时期，是小学生思维发展的“形象+想象”阶段，此时，形象思维与抽象思维这两种相互关联又互为作用的有机思维整体便发挥了作用。小学生在解决实际问题时，左、右脑半球始终会处于互动思考过程中，两个脑半球都会把感知来的信息，经双方的内在加工与转换，将思维推向更深入的阶段。所以，此时，形象思维与抽象思维互助互补。形象思维与逻辑思维互相渗透又对立统一。形象思维犹如人体的血肉，抽象思维则是人体的骨架，两种思维互相作用有机结合。根据儿童思维的特点，他们的思维主要是经由具体形象思维发展到抽象思维的过程。尽管如此，这种抽象思维也仅仅是初级的，具体形象和感知性依然难以摆脱。

2.在课堂教学中有效促进小学生思维两翼和谐发展。

首先，通过走进情境，收集信息。新教材借用了学生身边丰富的资源，创设了生动活泼的学习情境，教师在教学过程中应充分利用这些信息资源，通过对适当学习情境的展示，教师引导学生在情境中进行全面观察，然后发现和收集数学信息。同时，对这些信息进行筛选、提取，进而培养学生收集信息的能力。

其次，积极鼓励学生处理信息，锻炼学生提出问题，进而培养学生的形象思维和抽象思维。引导学生对已发现信息进行思考和分析，通过学生之间的互相讨论和交流，整理有用信息，同时引导学生根据信息提出有价值的数学问题。

第三，通过学生对关系的分析，需找解决问题的思路。在培养小学生形象思维与抽象思维和谐发展过程中，要充分调动学生的知识基础和生活经验，鼓励学生采取动手操作的办法或者通过组织学生进行小组讨论等方式分析数学中的数量间关系，进而寻求解决问题的途径和方法。最终目标是逐渐使学生形成自觉思考、个体自主解决问题的意识和能力。

第四，多方训练，拓展提升学生的形象与抽象思维能力。小学生解决问题的能力要通过一定程度的练习来形成，同时，教师要根据学生反馈的信息做出及时调整，起到巩固所学知识的作用。在对学生的练习设计上要考虑切合实际，特别需要注意联系学生所熟悉的生活环境设计问题情境。教师在设计教学内容时要由易到难，采用面向全体学生的策略。这样做的好处是利于比对，循序渐进地提高学生解决问题的能力。在学生熟练掌握解决问题的技能时，学生的形象思维与抽象思维也能够得到和谐发展。

总之，只有在课堂中充分重视小学生的形象思维与抽象思维的协调发展，才能实现数学教学的最终目标，对小学生思维的深入发展才有真正意义。

第二篇：浅谈小学数学教学中学生创新思维的培养

浅谈小学数学教学中学生创新思维的培养

小学数学课程标准中明确指出：通过小学数学教学，要使小学生具有初步的创新精神和实践能力，数学教学对思维的抽象性、逻辑性、概括性提出了很高的要求，数学是思维的体操，数学课堂教学是培养学生创新思维的重要途径。

一创设情景，激发思维积极性

心理学研究表明，积极的思维的活动是建立在浓厚的兴趣和丰富的情感的基础之上的。数学知识虽然单调枯燥，但蕴含着丰富的可以激发学生兴趣的因素。因此在课堂教学中，教师应充分利用这些因素，创设情境，激发学生积极地去思维。

如在“长方形、正方形面积公式应用”教学时，我先出示一道题：“小军最近学习了面积这一单元，他家的一个房间长6米，宽3米，现在要给这房间铺上方砖，每块方砖的面积是9平方分米。爸爸让他计算一下一共需要多少这样的方砖。你能帮助他吗？”学生遇到这种生活中比较熟悉的问题，都积极开动脑筋，这时教师在配合图形加以引导，以唤起学生思维表象，这样的情境创设，巧妙的激发了学生的学习兴趣，帮助学生把实际问题转化数学问题，并运用数学知识解决这个问题。

二、重视数学练习，培养发散性思维

发散性思维是一种不依靠常规，寻求变化，寻求变异，从多方面寻求答案的思维方式。这种思维不受现成知识的局限，不受传统方式的束缚，其结果可能由已知推导未知，发现新事物，新理论，这是培养学生发散性思维能力的有效的方式。培养发散性思维，主要是培养思维的广阔性、灵活性和独创性。思维的发散点越多，思维发散量越大，创新思维出现的概率也越大。数学教学中的一题多解、一题多变、一题多问等是培养发散性思维的有效途径。如：一瓶油，连瓶一共重800克。吃去一半的油，连瓶一起称，还剩550克。空瓶重多少克？引导学生分析数量关系，画出线段图，得到如下几种解法：

解法一:

先求半瓶油重：800-550=250（克）

再求一瓶油重：250×2=500（克）

最后求空瓶重：800-500=300（克）

解法二：因为半瓶油和空瓶共重550克，所以从550克里减去半瓶油重，就是空瓶重量。算式是：550-（800-550）=300（克）

学生体会到成功的喜悦，思维变得异常活跃，此时，教师再因势利导，借助线段图，让学生思考800÷2是什么？从而引出第三种解法。

解法三：

先求半瓶油和半个空瓶重量：800÷2=400（克）

再求半瓶油和一个空瓶重量减去半瓶和半个空瓶重量，再乘以2，便得一个空瓶重量，算式是：（550-400）×2=300（克）

学生受到解法三的启发，很快又得到更为巧妙、简捷的解法。

解法四：先求一瓶油和两个空瓶的重量：550×2=1100（克），再减去一瓶油和一个空瓶的重量，即为一个空瓶的重量：1100－800=300（克）

从上面的解题过程可以看出：在数学教学中，把抽象的数和形象的图结合起来，较好的激发了学生的再造想象，使学生灵活善思，促进了学生发散性思维的发展。

三、重视小组合作，培养创新意识

学生小组合作，是一种很好的教学形式，学生互助合作，对问题展开讨论，这样人人都有发言的机会，通过讨论分析问题，解决问题。如：某村挖一条2400米的水渠，前4天挖了全长的40％，还要几天才能完成？一般的解法是：2400÷（2400×40％÷4）—4=6（天），解答后，老师问，如果工作总量变了，你会解吗？如果具体的工作总量没有告诉我们，题目能

解答吗？学生通过讨论思维的闸门纷纷打开，相继列出几种算式：（1）4×〔（1－40％）÷40％〕；（2）4÷〔40％÷（1－40％）〕；（3）1÷（40％÷4）－4（3）4÷40％－4等

小组合作不是所有的内容都适合，这种教学形式必须选择恰当的教学时机进行，才能发挥最大的作用。（1）当题目答案不唯一时；（2）当学生思考出现困难时；（3）当问题的涉及的面大，学生回答不全时；（4）当学生的意见不统一时。学生通过讨论说理，让问题越辩越明。课堂教学不仅仅是学生个体的学习活动，也是群体的、多向的学习活动，教师应充分把握时机，交流信息，在课堂上利用小组合作的形式形成学生在学习过程中的优势互补，激活学生的主体作用，培养学生善于发现新知识和总结新方法的能力，在学习过程中萌发创新意识。

四、鼓励大胆设想，培养独创性思维

想象是思维的翅膀，教师要鼓励学生大胆想象，提出与众不同的优化解法，使学生的思维从求异向创新发展。如：甲乙两地相距300千米，原计划5小时行完全程，实际提前1小时行完全程。平均每小时比原计划多行多少千米？

多数学生按常规列式为300÷(5－1)－300÷5,可是有一个学生列式为300÷5÷（5－1）。原来这名学生抓住了问题的实质进行推理，提前1小时行完全程也就是原计划最后1小时行的路程，在实际中由于每小时都比原计划多走一点而提前在（5－1）小时走完了，原计划1小时的路程也就是（5－1）小时里实际比计划多走的路程。受此影响，有的学生用假设法列式为300÷(5－1)÷5=15(千米)。即如果实际再行1小时，就要多行300÷（5－1）=75（千米），这是在5小时内比原计划共多行的路程，那么每小时比原计划多行75÷5=15（千米）。学生这种思维的独创性受到老师的肯定，同学的赞赏，也体验到成功所带来的愉悦。

培养和发展学生的创新性思维能力，教师要根据小学数学学科的特点，做到适时适度，要针对小学生的年龄特点，做到有趣有力，这样小学生的创新性思维能力就能得到充分发展。

第三篇：关于数学教学中学生思维训练的探讨

关于数学教学中学生思维训练的探讨

思维是人类的一种重要活动。人们对于它的研究、探讨在不断地发展进步，甚至创造出了可以模仿人的思维活动的电脑。在理论上取得的成果也颇丰，对于思维生理机能的揭示，还有从各个不同的角度对思维进行的分类，（例如，有的把它分为形象思维有和抽象思维；有的把它分为求同思维和求异思维；有的认为思维是聚敛的和发散型的；有的认为思维有正向和逆向之分等），这些对于思维的进一步研究，都有十分重要的价值。

本人多年从事基础教育，在初中数学教学中，对于学生学习数学的思维活动进行了一定的探讨，把学生学习数学的思维活动作了分层次划分。我认为，不妨把他们的思维活动划分成单向单步思维、单向多步思维和多向多步思维。他们在掌握数学知识实现课程目标的过程中，总是由最简单的单向单步思维过渡到单向多步思维，乃至于发展到多向多步思维。我们知道，数学是训练学生思维的广播操。新课标要求我们把训练学生的思维，培养学生的数学思想作为一项重要的工作来抓，因此我们要根据学生思维形成和发展的规律，对他们进行有计划，有目的的训练，由量变到质变，在实现认知目标，情感目标和能力目标的同时，逐步实现思维应达到的目标——形成创造性思维的能力。

一、注重单向单步思维的训练，形成牢固的思维基础

我们在实施数学教学活动中，学生的思维方向基本上是明确的，当他们遇到一个简单的数学问题时，在大脑里立即产生一个单向的思维个体，而解决问题又只需一步完成，我们把这种从一个知识点到另一个知识点，单方向，单步骤的思维称为单向单身思维。

二、单向单步思维是连续性思维的基础，是思维的最小单元，思维的目的性明确，时间短。前人对这种思维非常重视，他们总是力图把所有数学知识都浓缩在这一个个的单向单步思维单元里，由“因”到“果”，由“题设”到“结论”，总结出了许多公理、定理、公式，便于人们记忆，成为后人思维向前延伸的基石。

思维的源泉是知识和信息。学生的单向单步思维就是对已有的人类思维成果的学习，包括简单的重复，探索性的验证，创造性的发现。作为教师，主要是根据不同的情形，不同的学习内容，抓好这种思维品质的培养。1.使他们的单向单步思维具有完备性。在教学中对照目标，启发讨论逐步的实现目标，做到有问有答，有布置有检查，及时补充他们思维过程中的缺陷，克服半途而废或弄个一知半解的坏毛病。例如学习等腰梯形的性质：等腰梯形ABCD（AD∥BD）同一底角上的两个角相等，使学生不仅知道∠B=∠C，而且要知道∠A=∠D。2.使他们的单向单步思维具有准确性。在教学中为了达到目标，要一步一个脚印，脚踏实地。只有每个单向单步思维的准确性，才能保证整个连续性思维的准确性，不然的话，思维的结果是错误的没有意义。

三、在教学中，我们要加强一题多解的训练，扩大学的思路范文作文，也就是增大学生的思维方向。例如。计算，按照所学的方法，一步一步的施行乘法运算，再合并同类项，得出结果后，提请他们思考，有没有其它方法？思维过程：原式= 显然，既简单又明了。使学生在完成某一思维过程后，总要考虑还有没有更好的思维途径，克服思维过程中的满足感。使思维具有一定的探索性，从而发展到具有一定的创造力。

总之，学生在学习数学知识的过程中，他们是学习的主体，会根据不同的学习目标，单向单步思维，单向多步思维，多向多步思维交替出现。我们教师是学生学习的主导者，只有了解了他们思维的这些特点，才能在各种教学活动中加强引导，不断实现预定的目标。

第四篇：数学思维与小学数学教学

数学思维与小学数学教学

郑毓信

（南京大学哲学系，江苏南京210093）

摘要：“帮助学生学会基本的数学思想方法”是新一轮数学课程改革所设定的一个基本目标。以国际上的相关研究为背景，对小学数学教学中如何突出数学思维进行具体分析表明，即使是十分初等的数学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维形式及其特

征性质。

关键词：数学思维；小学数学教学 中图分类号：G623.5 文献标识码：C 收稿日期：2003-09-01；修回日期：2003-11-28

作者简介：郑毓信，南京大学哲学系教授，博士生导师，国际数学教育大会（ICME10）国际程序委员会委员。

对于数学思维的突出强调是国际范围内新一轮数学课程改革的一个重要特征，如由美国的《学校数学课程与评估的标准》和我国的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）关于数学教育目标的论述中就可清楚地看出。然而，就小学数学教育的现实而言，上述的理念还不能说已经得到了很好的贯彻，而造成这一现象的一个重要原因就是以下的认识：小学数学的教学内容过于简单，因而不可能很好地体现数学思维的特点。以下将依据国际上的相关研究对这一观点作出具体分析，希望能促进这一方向上的深入研究，从而能够对于实际教学活动发挥积极的导向作用。

一、数学化：数学思维的基本形式

众所周知，强调与现实生活的联系正是新一轮数学课程改革的一个重要特征。“数学课程的内容一定要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活，不断沟通生活中的数学与教科书上数学的联系，使生活和数学融为一体。”就努力改变传统数学教育严重脱离实际的弊病而言，这一做法是完全正确的；但是，从更为深入的角度去分析，我们在此则又面临着这样一个问题，即应当如何去处理“日常数学”与“学校数学”之间的关系。

事实上，即使就最为初等的数学内容而言，我们也可清楚地看到数学的抽象特点，而这就已包括了由“日常数学”向“学校数

学”的重要过渡。

例如，在几何题材的教学中，无论是教师或学生都清楚地知道，我们的研究对象并非教师手中的那个木制三角尺，也不是在黑板上或纸上所画的那个具体的三角形，而是更为一般的三角形的概念，这事实上就已包括了由现实原型向相应的“数学模式”的过渡。再例如，正整数加减法显然具有多种不同的现实原型，如加法所对应的既可能是两个量的聚合，也可能是同一个量的增加性变化，同样地，减法所对应的既可能是两个量的比较，也可能是同一个量的减少性变化；然而，在相应的数学表达式中所说的现实意义、包括不同现实原型之间的区别（例如，这究竟表现了“二元的静态关系”还是“一元的动态变化”）则完全被忽视了：它们所对应的都是同一类型的表达式，如4+5=9、7-3=4等，而这事实上就包括了由特殊到一般的重要过渡。

应当强调的是，以上所说的可说是一种“数学化”的过程，后者集中地体现了数学的本质特点：数学可被定义为“模式的科学”，也就是说，在数学中我们并非是就各个特殊的现实情景从事研究的，而是由附属于具体事物或现象的模型过渡到了更为普遍的“模

式”。

也正由于数学的直接研究对象是抽象的模式而非特殊的现实情景，这就为相应的“纯数学研究”提供了现实的可能性。例如，就以上所提及的加减法运算而言，由于其中涉及三个不同的量（两个加数与它们的和，或被减数、减数与它们的差），因此，从纯数学的角度去分析，我们完全可以提出这样的问题，即如何依据其中的任意两个量去求取第三个量。例如，就“量的比较”而言，除去两个已知数的直接比较以外，我们显然也可提出：“两个数的差是3，其中较小的数是4，问另一个数是几？”或者“两个数的差是3，其中较大的数是4，问另一个数是几？”我们在此事实上已由“具有明显现实意义的量化模式”过渡到了“可能的量化模式”。

综上可见，即使就正整数的加减法此类十分初等的题材而言，就已十分清楚地体现了数学思维的一些重要特点，特别是体现了在现实意义与纯数学研究这两者之间所存在的辩证关系。当然，从理论的角度看，我们在此又应考虑这样的问题，即应当如何去认识所说的纯数学研究的意义。特别是，我们是否应当明确肯定由“日常数学”过渡到“学校数学”的必要性，或是应当唯一地坚持立足

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于现实生活。

由于后一问题的全面分析已经超出了本文的范围，在此仅指明这样一点：与现实意义在一定程度上的分离对于学生很好地把握相应的数量关系是十分重要的。这正是国际上的相关研究、特别是近年来所兴起的“民俗数学”研究的一个重要结论：尽管“日常数学”具有密切联系实际的优点，但也有着明显的局限性。例如，如果仅仅依靠“自发的数学能力”，人们往往就不善于从反面去思考问题，与此相对照，通过学校中的学习，上述的情况就会有很大改变，这就是说，纯数学的研究“在帮助学生学会使用逆运算来解决问题方面有着明显的效果”；另外，同样重要的是，如果局限于特定的现实情景，所学到的数学知识在“可迁移性”方面也会表现出

很大的局限性。

一般地说，学校中的数学学习就是对学生经由日常生活所形成的数学知识进行巩固、适当重组、扩展和组织化的过程，这就意味着由孤立的数学事实过渡到了系统的知识结构，以及对于人类文化的必要继承。这正如著名数学教育家斯根普所指出的：“儿童来到学校虽然还未接受正式教导，但所具备的数学知识却比预料的多„„他们所需要的帮助是从（学校教学）活动中组织和巩固他们的非正规知识，同时需扩展他们这种知识，使其与我们社会文化部分中的高度紧密的知识体系相结合。”

当然，我们还应明确肯定数学知识向现实生活“复归”的重要性。这正如著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔所指出的：“数学的力量源于它的普遍性。人们可以用同样的数去对各种不同的集合进行计数，也可以用同样的数去对各种不同的量进行度量。„„尽管运算（等）所涉及的方面十分丰富，但又始终是同一个运算──这即是借助于算法所表明的事实。作为计算者人们容易忘记其所涉及的数以及他所面对的文字题中的算术问题的来源。但是，为了真正理解这种存在于多样性之中的简单性，在计算的同时我们又必须能够由算法的简单性回到多样化的现实。”

总的来说，这就应当被看成“数学化”这一思维方式的完整表述，即其不仅直接涉及如何由现实原型抽象出相应的数学概念或问题，而且也包括了对于数量关系的纯数学研究，以及由数学知识向现实生活的“复归”。另外，相对于具体知识内容的学习而言，我们应当更加注意如何帮助学生很好地去掌握“数学化”的思想，我们应当从这样的角度去理解“情境设置”与“纯数学研究”的意义。这正如弗赖登塔尔所指出的：“数学化„„是一条保证实现数学整体结构的广阔途径„„情境和模型，问题与求解这些活动作为必不可少的局部手段是重要的，但它们都应该服从于总的方法。”

二、凝聚：算术思维的基本形式

由以下关于算术思维基本形式的分析可以看出，思维的分析相对于具体知识内容的教学而言并非某种外加的成分，而是有着重

要的指导意义。

具体地说，这正是现代关于数学思维研究的一项重要成果，即指明了所谓的“凝聚”，也即由“过程”向“对象”的转化构成了算术以及代数思维的基本形式，这也就是说，在数学特别是算术和代数中有不少概念在最初是作为一个过程得到引进的，但最终却又转化成了一个对象──对此我们不仅可以具体地研究它们的性质，也可以此为直接对象去施行进一步的运算。例如，加减法在最初都是作为一种过程得到引进的，即代表了这样的“输入—输出”过程：由两个加数（被减数与减数）我们就可求得相应的和（差）；然而，随着学习的深入，这些运算又逐渐获得了新的意义：它们已不再仅仅被看成一个过程，而且也被认为是一个特定的数学对象，我们可具体地去指明它们所具有的各种性质，如交换律、结合律等，从而，就其心理表征而言，就已经历了一个“凝聚”的过程，即由一个包含多个步骤的运作过程凝聚成了单一的数学对象。再如，有很多教师认为，分数应当定义为“两个整数相除的值”而不是“两个整数的比”，这事实上也可被看成包括了由过程向对象的转变，这就是说，就分数的掌握而言我们不应停留于整数的除法这样一种运算，而应将其直接看成一种数，我们可以此为对象去实施加减乘除等运算。

对于所说的“凝聚”可进一步分析如下：

第一，“凝聚”事实上可被看成“自反性抽象”的典型例子，而后者则又可以说集中地体现了数学的高度抽象性，即“是把已发现结构中抽象出来的东西射或反射到一个新的层面上，并对此进行重新建构”。这正如著名哲学家、心理学家皮亚杰所指出的：“全部数学都可以按照结构的建构来考虑，而这种建构始终是完全开放的„„当数学实体从一个水平转移到另一个水平时，它们的功能会不断地改变；对这类‘实体’进行的运演，反过来，又成为理论研究的对象，这个过程在一直重复下去，直到我们达到了一种结构为止，这种结构或者正在形成‘更强’的结构，或者在由‘更强的’结构来予以结构化。”例如，由加法到乘法以及由乘法到乘方的发展显然也可被看成更高水平上的不断“建构”。

第二，以色列著名数学教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三个阶段：（1）内化；（2）压缩；（3）客体化。其中，“内化”和“压缩”可视为必要的准备。前者是指用思维去把握原先的视觉性程序，后者则是指将相应的过程压缩成更小的单元，从而就可从整体上对所说的过程作出描述或进行反思──我们在此不仅不需要实际地去实施相关的运作，还可从更高的抽象

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水平对整个过程的性质作出分析；另外，相对于前两个阶段而言，“客体化”则代表了质的变化，即用一种新的视角去看一件熟悉的事物：原先的过程现在变成了一个静止的对象。容易看出，上述的分析对于我们改进教学也具有重要的指导意义。例如，所说的“内化”就清楚地表明了这样一点：我们既应积极提倡学生的动手实践，但又不应停留于“实际操作”，而应十分重视“活动的内化”，因为，不然的话，就不可能形成任何真正的数学思维。另外，在不少学者看来，以上的分析在一定程度上表明了“熟能生巧”这一传

统做法的合理性。

第三，由“过程”向“对象”的过渡不应被看成一种单向的运动；恰恰相反，这两者应被看成同一概念心理表征的不同侧面，我们应善于依据不同的情景与需要在这两者之间作出必要的转换，包括由“过程”转向“对象”，以及由“对象”重新回到“过程”。

例如，在求解代数方程时，我们显然应将相应的表达式，如（x+3）2=1,看成单一的对象，而非具体的计算过程，不然的话，就会出现（x+3）2=1=x2+6x+9=1=„这样的错误；然而，一旦求得了方程的解，如x=-2和-4，作为一种检验，我们又必须将其代入原来的表达式进行检验，而这时所采取的则就是一种“过程”的观点。

正因为在“过程”和“对象”之间存在所说的相互依赖、互相转化的辩证关系，因此，一些学者提出，我们应把相应的数学概念看成一种“过程—对象对偶体”procept,这是由“过程”（process）和（作为对象的）“概念”（concept）这两个词组合而成的。，即应当认为其同时具有“过程”与“对象”这样两个方面的性质。再者，我们又应很好地去把握相应的思维过程（可称为“过程—对象性思维”〔proceptual thinking〕）的以下特征：（1）“对偶性”，是指在“过程”与相应的“对象”之间所存在的相互依存、互相转化的辩证关系；（2）“含糊性”，这集中地体现于相应的符号表达式：它既可以代表所说的运作过程，也可以代表经由凝聚所生成的特定数学对象；（3）灵活性，是指我们应根据情境的需要自由地将符号看成过程或概念。特殊地，数学中常常会用几种不同的符号去表征同一个对象，从而，在这样的意义上，上述的“灵活性”就获得了更为广泛的意义：这不仅是指“过程”与“对象”之间的转化，而且也是指不同的“过程—对象对偶体”之间的转化。例如，5不仅是3与2的和，也是1与4的和、7与2的差、1与5的积，等等。

综上可见，在算术的教学中我们应自觉地应用和体现“凝聚”这样一种思维方式。

三、互补与整合：数学思维的一个重要特征

以上关于“过程—对象性思维”的论述显然已从一个侧面表明了互补与整合这一思维形式对于数学的特殊重要性。以下再以有

理数的学习为例对此作出进一步的说明。

首先，我们应注意同一概念的不同解释间的互补与整合。

具体地说，与加减法一样，有理数的概念也存在多种不同的解释，如部分与整体的关系，商，算子或函数，度量，等等；但是，正如人们所已普遍认识到了的，就有理数的理解而言，关键恰又在于不应停留于某种特定的解释，更不能将各种解释看成互不相关、彼此独立的；而应对有理数的各种解释（或者说，相应的心理建构）很好地加以整合，也即应当将所有这些解释都看成同一概念的不同侧面，并能根据情况与需要在这些解释之间灵活地作出必要的转换。

例如，在教学中人们往往唯一地强调应从“部分与整体的关系”这一角度去理解有理数，特别是，分数常常被想象成“圆的一个部分”。然而，实践表明，局限于这一心理图像必然会造成一定的学习困难、甚至是严重的概念错误。例如，如果局限于上述的解

释，就很难对以下算法的合理性作出解释：

（5/7）÷（3/4）=（5/7）×（4/3）=„

其次，我们应注意不同表述形式之间的相互补充与相互作用。

这也正是新一轮数学课程改革的一个重要特征，即突出强调学生的动手实践、主动探索与合作交流：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式„„教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”[7]（2）由于实践活动（包括感性经验）构成了数学认识活动的重要基础，合作交流显然应被看成学习活动社会性质的直接体现和必然要求，因此，从这样的角度去分析，上述的主张就是完全合理的；然而，需要强调的是，除去对于各种学习方式与表述形式的直接肯定以外，我们应更加重视在不同学习方式或表述形式之间所存在的重要联系与必要互补。这正如美国学者莱许（R.Lesh）等所指出的：“实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表述方式──如图像，书面语言、符号语言、现实情

景等──同样也发挥了十分重要的作用。”

再次，我们应清楚地看到解题方法的多样性及其互补关系。

众所周知，大力提倡解题策略的多样化也是新一轮数学课程改革的一个重要特征：“由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应当尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。”

[7]（53）

当然，在大力提倡解题策略多样化的同时，我们还应明确肯定思维优化的必要性，这就是说，我们不应停留于对于不同方法在数量上的片面追求，而应通过多种方法的比较帮助学生学会鉴别什么是较好的方法，包括如何依据不同的情况灵活地去应用各种不同的方法。显然，后者事实上也就从另一个角度更为清楚地表明了“互补与整合”确应被看成数学思维的一个重要特点。

最后，我们应清楚地看到在形式和直觉之间所存在的重要的互补关系。特别是，就由“日常数学”向“学校数学”的过渡而言，不应被看成对于学生原先所已发展起来的素朴直觉的彻底否定；毋宁说，在此所需要的就是如何通过学校的数学学习使之“精致化”，以及随着认识的深化不断发展起新的数学直觉。在笔者看来，我们应当从这样的角度去理解《课程标准》中有关“数感”的论述，这就是，课程内容的学习应当努力“发展学生的数感”，而后者又并非仅仅是指各种相关的能力，如计算能力等，还包含“直觉”的含义，即对于客观事物和现象数量方面的某种敏感性，包括能对数的相对大小作出迅速、直接的判断，以及能够根据需要作出迅速的估算。当然，作为问题的另一方面，我们又应明确地肯定帮助学生牢固地掌握相应的数学基本知识与基本技能的重要性，特别是，在需要的时候能对客观事物和现象的数量方面作出准确的刻画和计算，并能对运算的合理性作出适当的说明──显然，后者事实上已超出了“直觉”的范围，即主要代表了一种自觉的努力。

值得指出的是，除去“形式”和“直觉”以外，著名数学教育家费施拜因曾突出地强调了“算法”的掌握对于数学的特殊重要性。事实上，即使就初等数学而言我们也可清楚地看出“算法化”的意义。这正如吴文俊先生所指出的：“四则难题制造了许许多多的奇招怪招。但是你跑不远、走不远，更不能腾飞„„可是你要一引进代数方法，这些东西就都变成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每个人都可以做，用不着天才人物想出许多招来才能做，而且他可以腾飞，非但可以跑得很远而且可以腾飞。”

[8]这正是数学历史发展的一个基本事实，即一种重要算法的形成往往就标志着数学的重要进步。也正因为此，费施拜因将形式、直觉与算法统称为“数学的三个基本成分”，并专门撰文对这三者之间的交互作用进行了分析。显然，就我们目前的论题而言，这也就更为清楚地表明了“互补与整合”确应被看成数学思维的一个重要特点。

综上可见，即使是小学数学的教学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维形式及其特征性质，因此，在教学中我们应作出切实的努力以很好地落实“帮助学生学会基本的数学思想方法”这一重要目标。

第五篇：数学思维与小学数学教学

数学思维与小学数学教学

内容摘要：数学教学的最终目的是使学生学会一种学习方法。随着社会的进步，人们逐渐认识到小学数学教学的首要目标是培养孩子的自主能力，培养孩子的智商。因此，小学数学教育的重点应该是培养学生的思维能力。这也是教学的重任和测试教学质量的关建。本文提到了数学思维的概念，讲到了小学数学教育要具备的基本功和通过学习数学要养成的思想方法。

关健词：数学思维 小学数学 基本功

思维即人脑对客观现实的一种反应和概括，同时还夹杂着自己的主观意识。从数学的角度对问题进行分析，并提出解决问题的方法称作数学思维。而数学本身是对模式的一种研究，是一种抽象化的过程。数学将具体的问题普遍化、抽象化为一个纯粹的数学问题，并通过抽象 的模式 解决实际问题。所以，对小学数学教学来讲，以他们生活中熟悉的具体事物为依据，逐步开始以数学抽象的思维方式去进行分析。

一.数学思维的概念

数学思维是一种有条件的，按部就班的，循序渐进的思维方式，主要以判断、推理等概念性的思维形式为主要依据，是小学生数学能力的核心体现。所以，在小学数学教学过程中，需要重点培养学生的逻辑思维能力，儿童时期是逻辑思维和数学概念形成的初期。数学知识本身就具有高度的逻辑性和抽象性，所以孩子通过逻辑推理和数学思考可以锻炼他们的分析问题，解决问题的能力，帮助孩子开发大脑潜能，提高孩子的创造力。

二.小学数学教学基本功的训练与提高

小学数学教学基本功之一――数学语言运用准确。作为小学数学教师，首先要具备讲数学语言的能力。数学教师在运用数学语言进行教学的时候，尽量要做到思路清晰、表述准确、语言简洁。把复杂话变简单，把简单的话变成容易让学生听懂。保证每个学生都能准确把握教学内容。比如，一些数学老师经常会说这样一句话：“15这个数字”，其实这是一个技术性的错误，数字只有0～9这十个，而15是个数，并非数字。如果老师在讲课中不强调清楚，就会给学生留下一个错误的概念，不能准确的区分，数和数字的差别。

小学数学教学基本功之二――会写，会画。板书是指教师根据课堂教学的需要，在黑板上书写的文字、符号、以及绘制的图表。一个完整的板书可以反映教师的许多基本技能，因此教师应重视板书的设计，注重基本功的训练。数学教学板书不是单一的，有很多内容往往要用图形来表达。因此，作为小学数学教师还要具备绘画的能力。

小学数学教学基本功之三――会制作教具。小学生的思维正处于从具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡阶段。在小学，可以提供一些教具，但不能完全满足教学的需要。当我们找不到合适的教具时，教师不得不自己动手，以达到教学效果。这就要求教师要具有，会制作教具的能力。

小学数学教学基本功之四――制作试卷。对于一些信息闭塞的山村学校来说，教师的这项基本功就变的更加重要。教师要根据课程标准、教学内容和学生的实际情况，制定相应的试卷，来测试学生的水平，改进教学方法，以便促进教学质量的提高，缩小与城市学校的差距。

三.小学数学教学要从不同的角度分析问题，看待问题

事实证明，人的智力是有差别的。有些学生确实学不好数学，可能怎么教都学不好！对于这样的学生，我们也不必强求，可以换一种思维去对待。我们可以这样看待，他数学学不好，不一定语文学不好，他只要有一门学的好，或者有一门其他方面突出的技能，“三百六十行，行行出状元”，他就能在社会上生存，就能发挥出自己的聪明才智，为社会做贡献。同样会得到别人的认可。《非诚勿扰》的主持人孟非在主持的过程中，曾经说过一句话，他说他上学的时候，数学考20分，英语考20分，语文考150分，满分150分。就这样，孟非成为了中国最著名的主持人之一。其实从不同的角度去看待问题就会有不同的结果，事实也是这样，其实以上讲的，就是一种数学思维，从不同的角度去看待问题，从不同的角度去解答问题，就像解数学题的时候，一道题可能有好几种解法，其实在这个过程中就是在培养学生用不同的方法解决同一个问题的能力，这个角度不行，你换一个角度，说不定就会有不同的答案。

有句话说，授之以鱼不如授之以渔，数学教学不仅仅是教受学生数学课程，更多的是在传授一种学习方法，在学习的过程中，提升学生的思维能力，解决问题的能力。其实在这个过程中锻炼的，是人的思考方式。做为一名小?W数学老师，应该尽量开发学生的潜能，打开他们的思维能力，以达到教育的目的。

参考文献

[1]张月红.数学教学中如何激发学生学习兴趣[J].学周刊.2016（07）

[2]岳永芳.浅谈创新能力在数学教学中的运用[J].中国培训.2016（06）

[3]肖必平.电子书包在小学数学教学中的应用[J].教育现代化.2016（26）

[4]武志红.小学数学教学中如何培养学生的学习兴趣[J].生物技术世界.2014（12）

[5]王春兰.小学数学教学与生活实践相结合的策略[J].现代农村科技.2014（24）

（作者单位：重庆市垫江县凤山小学）