2012-2013微积分(下)要点

第一篇：2012-2013微积分(下)要点

2012-2013（2）《微积分（下）》重要知识点

第7章

向量的数量积、向量积；

平面方程，直线方程

第8章

多元复合函数偏导数（具体函数要求到二阶、抽象函数要求到一阶）； 全微分；

多元函数的极值与最值——拉格朗日乘数法

第9章

在直角坐标下计算二重积分；

在极坐标下计算二重积分

第10章

级数基本概念与性质；

常数项级数：正项级数、交错级数收敛性判别；

幂级数：收敛半径、收敛区间、收敛域

第11章

一阶微分方程：可分离变量微分方程、一阶线性微分方程；

二阶微分方程：线性微分方程解的结构、二阶常系数线性齐次微分方程、简单的二阶常系数线性非齐次微分方程

第12章

一阶常系数线性齐次、非齐次(f(t)为多项式函数)差分方程

Mathematics程序

第二篇：微积分考试要点

微积分(下)期末考试要点：

1，二元函数的定义域；

2，二元函数的极限；

3，二元函数的全微分；

4，交换二次积分的积分顺序；（参考P231页 例8）

5，幂级数的收敛区间；（参考P262页 例1,2）

6，正项级数敛散性的判别；

7，微分方程的定义；

8，可分离变量的微分方程；（参考P281页 例1,2）

9，二阶常系数齐次线性方程的通解；（参考P294页 例1，2，3）10，一阶常系数线性差分方程的解法；（参考P308页 例1）11，二元复合函数求偏导；（参考P208页 例1,2）

12，二元隐函数求偏导数；（参考P211页 例9）

13，二元函数的极值；（参考P216页 例1）

14，在平面直角坐标系下二重积分的计算；（参考P229页 例4,5,6）15，一阶线性微分方程的解法；（参考P284页 例4,5）

16，二阶常系数非齐次线性方程的解法。（参考P296页 例4,5）

（注意：要点的最后六个是大题，就是11至16。）

第三篇：微积分下册复习要点

微积分下册复习要点

第七章 多元函数微分学

1．了解分段函数在分界点连续的判别；

2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考 3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。

4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。

5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。必考。

第八章 重积分

1．二重积分交换积分次序；必考。

2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）

在使用时特别注意“先二后一法”的运用。必考。

4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。

第九章 曲线曲面积分

1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；

2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）

3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。

可以参考期中考试卷中最后三个题。

4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。

第10章 级数

1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。

2．幂级数的收敛域及和函数的计算。（利用逐项求导和逐项积分）必考。

3．将函数展成幂级数。（一般利用间接法）必考。

4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）

第11章 常微分方程

1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。

2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。

3．二阶非齐次线性微分方程的阶的结构：齐次通解+非齐次的一个特解。

4．二阶常系数非齐次线性微分方程的计算：特征方程+待定系数法（特解的形式）必考。

5．常微分方程的实际应用。必考。

第四篇：微积分(下)自我检查试题集

微积分自我检查试题集

第二部分微积分下册

自我检查试题一

一、填空（每小题3分，满分15分）

1． 设f(xy,xy)2x(x2y2)，则f(x,y)________________。

2． 曲面ezzxy30在点（2，1，0）处的切平面方程为______________________。

3． 微分方程yexy满足y(0)1的特解为_________________。

4． 设f(x)是以2为周期的函数，且f(x)x1,x0，则它的傅立叶级数在点12x,0x

x处收敛于________________。

5． 函数f(x)lnx在x1处的泰勒级数为___________________________________。

二、单项选择（每小题3分，满分15分）

x2y22,xy041．设函数f(x,y)xy2，在点（0，0）处为（）。

220,xy0

（A）f(x,y)连续，但偏导数不存在（B）f(x,y)的偏导数存在但不连续

（C）f(x,y)连续且偏导数存在（D）f(x,y)不连续且偏导数不存在2．设u2xyz，则u在点(2,1,1)处的方向导数的最大值为（）。

（A）26（B）4（C）{2,4,2}（D）{2，4，2}

3．曲线积分2L(x3xy2)dx(y3x2yx)dy，其中L是从O（0，0）经A（1，1），B（2，0）到O（0，0）的闭折线，则其值是（）。

（A）2（B）1（C）0（D）1

4．设f(x,y)为连续函数，则I

（A）

（C）e1dxlnx0f(x,y)dy 交换积分次序后为（）。e1e0dy1elnx0ef(x,y)dx（B）ydyf(x,y)dx 1e

0elnx0dyf(x,y)dx（D）dyyf(x,y)dx 1

5．设是平面xyz4被圆柱面x2y21截出的有限部分，则曲面积分（）。

（A）0（B）

ydS的值是



（C）4（D）

3三、计算题（每小题7分，满分42分）

y2z

1． 设zsin(x)，求。

2xy

2． 计算



dyexdx。

y

23． 设D:xyx,y0，求



y

D

x2y2dxdy。

(1)n1

4． 求幂级数(x1)n1的收敛区间及和函数。

n1n1

5． 设是x2y21,z0,z3所围立体的表面，取外侧，求曲面积分

x(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy。



6． 求微分方程yyy满足初始条件y

x0

0,y

x0

2的特解。

ex

四、（9分）设(1)e，且曲线积分[(x)]ydxx(x)dy 在右半平面x0内与积分

xL

路径L无关。

（1）求未知函数(x)；

（2）计算从点（1，0）到（2，1）的曲线积分的值。

五、（11分）在曲面:之积为最大。

六、（8分）判别级数

xyz1 上，求该曲面的切平面，使其在三坐标轴上的截距



n2



(1)nn(1)

n的敛散性。

自我检查试题二

一、填空（每小题3分，满分15分）

1． 函数u(z2y)x 在点M0(1,0,e)处的梯度为____________________。2． 已知方程x2y2z22ez确定zf(x,y)，则dz________________。

3． 一曲线构件L：x2y21上任一点M(x,y)处的线密度(x,y)3，则L的质量为

________________。

(3)n12n4． 幂级数x的收敛半径为________________。

nn1



5． 方程yy1的通解为___________________。

二、单项选择（每小题3分，满分15分）1．lim

x1y1

sin(xy)xy

().(A)0(B)1(C)2(D) 2．

。f(x,y)d=（）

x

2x2y21

（A）4dx

0

dy

0x2

f(x,y)dy（B）dxf(x,y)dy

1

1

（C）



1

1x2

f(x,y)dx（D）dy



1y2

1y2

f(x,y)dx

3．设f(x)

x1,2x0，且以4为周期，则f(x)的傅立叶级数在x5处（）。

x1,0x2

（A）收敛于3（B）收敛于2（C）收敛于1（D）收敛于0

4．若y1(x),y2(x),y3(x)是二阶非齐次线性方程yp(x)yq(x)yf(x)的三个线性无关的特解，C1,C2为任意常数，则该方程的通解是（）。

（A）C1y1C2y2y3（B）C1(y1y2)C2(y1y3)（B）C1(y1y2)C2(y1y3)y3（D）C1(y1y2)C2(y1y3)y3 5．设k为正常数，则级数



(1)nknn

n

是（）。

（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）敛散性与k有关

三、计算题（每小题7分，满分49分）

yx2z

1． 已知zxf()y()，其中f,有二阶连续导数，求。

xyxy

2． 设f((x,y,z)x2yz3，其中z是由ezxyze1所确定的x，y的函数，求fx(1,1,1)。3． 设D：xy1,yx,x2所围，求

x2

()dxdy。yD

4． 设：x2y21,0z1位于第一卦限的部分，求

xydv。



5． 计算曲线积分



xyx

L

ds，其中L为ylnx上点（1，0）和（e，1）间的弧段。

6． 已知 4x3ydxxf(x)dy 在右半平面内是某个二元函数u(x,y)的全微分，其中f(x)可

导，且f(1)2，求f(x)及u(x,y)。7． 求微分方程yycosxesinx的通解。

四、（8分）求级数

x4n1的和函数，并求其收敛区间。n14n1



xy

五、（9分）设F2xi2yj，试问将质点M从原点沿直线移到直线1上哪一点时，ab

作功最小？并求最小的功。

六、（4分）若级数

a

n1



2n

和

b

n1



2n

都收敛，求证：

(a

n1



n

bn)2收敛。

自我检查试题三

一、填空（每小题3分，满分15分）

1． 周期为2的函数f(x)在一个周期内表达式为f(x)x,1x1，则它的傅立叶级数的和函数在x

处的值是________________。

2x

2． 设f(x,y,z)()z，则df(1,1,1)__________。_______

y

3． 若二重积分

___。3d的积分域D的面积为A，则3A(3A)d__________

D

D

4． 设L为(xx0)2(yy0)2R2，则1ds_____________。



L

5． 微分方程

dyxy

的通解为______________________。2dx1x

二、单项选择（每小题3分，满分15分）

1．微分方程y5y6yxe2x的特解形式是（）。

（A）ae2x(bxc)（B）(axb)e2x（C）x(axb)e（D）x(axb)e 2．设f(x,y)(xy)

xy

32x

2x，则下列结果中错误的是（）。

（A）fx(0,1)3（B）fy(1,0)3

（C）f(1,1)32（D）fy(1,1)16(2ln2)3．设f(x,y)是连续函数，则（A）（C）



a

。dxf(x,y)dy（）

x

dy

ay

f(x,y)dx（B）dyf(x,y)dx

y

aa

dy

ay

a

f(x,ydx（D）dyf(x,y)dx

aa

4．设简单闭曲线L所围区域的面积为S，则S =（）。

xdxydyydyxdx（B）2L2L11

（C）ydxxdy（D）xdyydx

2L2L

（A）

5．设常数k0，则级数

(1)n

n1



kn

（）。2

n

（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛或发散与k的取值有关

三、计算题（每小题8分，满分48分）1． 设

zzxz

ln，求和。

xyzy

2． 求函数Ux2y2z2在曲线xt,yt2,zt3上点（1，1，1）处，沿曲线在该点处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。3． 计算二重积分4． 计算

y22xedxdy，其中D是曲线和在第一象限所围区域。y4xy9xD

xdydzydzdxzdxdy,



为球面x2y2z2a2的外侧。

x2n

5． 求幂级数的和函数(x)。

(2n)!n0

6． 求微分方程y2ye2x0满足条件y(0)1,y(0)1的解。

四、应用题（每小题9分，满分18分）

1． 某演出团欲印刷节目海报5000份，印刷版面大小是96(cm)2，上下各留1cm的空白，左

右各留1.5cm的空白，试问印刷版面长宽各多大，才能耗费最少量的纸张？

2． 一桶内有100m的水，现以浓度为2kg/m的盐溶液用3m/min的速率注入桶内，同时，被搅拌均匀的混合溶液以同样的速率流出。（1）求任一时刻t桶内盐的含量Q；（2）何时桶内存盐100kg？

五、证明题（4分）xdxydy

在整个xOy平面除去y的负半轴及原点的开区域G内是某个二元函数的全微22

xy

分，并求出一个这样的二元函数。

第五篇：微积分教案

§1.6 微积分基本定理的应用

课型：新授课

一．教学目标

1．.会利用微积分基本定理求函数的积分.2．通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二．温故知新：

1.微积分基本定理 2.定积分的简单性质

3.导数公式

三．探究导航

探究1 例1．计算下列定积分：（1）2021311dx；

（2）(2x2)dx。

1xx例2．求下列定积分：

（1）(3x4x)dx

（2）2sin202xdx 2分析：利用定积分的性质及微积分基本定理求定积分时，有时需先化简，再积分！

探究二：0sinxdx,sinxdx,sinxdx。

022由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论  计算定积分的一般步骤：

(1)把被积函数能化简的先化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差；

(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差； (3)分别利用求导公式找到F(x)使得F′(x)＝f(x)； (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值； (5)计算所求定积分的值．

四．课堂达标练习

A

组

1．(exex)dx=（）

01121（A）e+

（B）2e

（C）

（D）e-

eee2．(3x2k)dx=10，则k=____________ 023．计算定积分：（1）(42x)(4x)dx

（2）02221x22x3dx

x3（3）

41x(1x)dx

（4）(x21x)2dx

B组

1．计算定积分：

（1）edx

（2）4cos2xdx

012x6

2．设m是正整数，试证下列等式：（1）sinmxdx0

（2）

3．已知f（x）是一次函数，其图象过点（3，4）且cos2mxdx

10f(x)dx1求f（x）的解析式

五．课后作业

已知f（x）=axbxc且f（1）=2，f(0)0，f(x)dx4

121求a，b，c的值