十三章数学归纳法极限排列组合（合集五篇）

第一篇：十三章数学归纳法极限排列组合

重庆南开中学 吴剑qq13615357wuwujianjian_@163.com

（1）数学归纳法证明不等式：

求证：当n1时，我就不说了。

假设当n

k时成立，既xk()

那么当nk1时，121211xk1xkxk1(xk(xk2)(xk(xkxkxkxk)

222212k1成立，由归纳假设xk

()1

2k1，所以只需要证11xk)，22

既只需要证1xk3,①。因为xk12133xk1xk11(xk11)2

xk3（A）2222

因为由归纳假设，1xk()k1成立，所以有

111()k1xk()k1xk

又12(222

由（A），（B）两式知①式成立。

由归纳法原理，成立。

（2）数列与数学归纳法证明数列不等式

k1，所以1xkB）

前两个我就不求

(2)都是正数，直接两边除以两个的积（呵呵，看到11与了这就是常用处理）an1an

那就有了1a111a2n1，因为anan12a2n1anan10，所以n11 nan1annanan呵呵，则1112 an1ann

重庆南开中学 吴剑qq13615357wuwujianjian_@163.com

（3）直接数学归纳法证。开始不说了。

假设k112akk，则当nk1时。ak1akak，考虑二次函数2k2(k1)

yk112xk时，函数增，所以 的单调性可得当xxk2(k1)2

k11(k1)21akk2，呵呵，下面只需要证 k1222k2(k1)(k2)(k1)

k2k111，kk2k1即可，很简单了，直接算。22k3k2(k1)(k1)

这题我感觉能用数学归纳法来做应该是倒数第二道的档次。还有，利用递推关系证明不等式时，常常可以用数学归纳法，k到k+1那步就可以利用函数单调性，如我的方法。3问另法放缩。

111111111()()1222a0ana0a1an1an23n

1111212(n1)nn．又a01

2所以ann又

121n2n1n2

anan12an1an12(n1)an1an1所以an12an故nnn2nn1

1121n2

anan1.∴anan12an1an12an12an=an12nn1nnnn1

n1111111 22.同理利用累加可得ann2an1annn1nnnn1

综合以上知n1ann.n2

（3）数学归纳法证明一个解不出的递推关系的通项。

已知数列an中，a13，an3n1，求证，an4m3（m是非负整数）a

分析：这题是一个数列递推关系问题，和以前我们能够解出的递推关系不一样，是无法求解的。不过看题目并不是要求通项，只是证明通项是一个给出的形式，故可采用归纳法证明。

证明：当n1时，a13403，成立，假设当n=k时，ak4p3，p是非负整数。

那么当n =k+1时。

01224p34P3 ak134p3(12)4p3C4C*2C*2....Cp34p34p34p32

24p34P124p34P1=18p64(C4)=38p44(C4)p3....C4p32p3....C4p32

24p34P124p34P1=34(2p1C4是非负整数，)显然2p1C4p3....C4p32p3....C4p32

所以命题成立。

(4)换元思想求函数极限

（5）数学归纳法证明一数列不等式。有点难度

a12,an12n,求证:an1an

当n1时，成立，为了后面方便，多算个n=2吧

假设当nk，(k

2)时都成立，既ak1ak11

当nk1时，ak12kak1kk1k(k1)222[k] ak2a(k1)22a(k1)k1k12ak1

易知k(k1)0，又ak11

2ak1(k

1)

12[k2 2

下只需要证

21k1k22k2(kk2k22k1)k1

10

所以成立。（这里用假设nk，是因为直接用连续两项关系的话放缩方向始终不对）

还可以证明一个加强命题，1an1

（6）组合从集合｛1，2，3.....，15｝中取出4个不同的元素，是其中一个元素的三倍等于其他三个

元素之和（如1，6，7，10，就是一种取法），则这样的取法种数有

A106B96C155D125

解：题目可变为抽三个数字，和为3的倍数，且三数不是等差数列。

（分析：第四个数实际上抽好那三个，他就定了，只是第四个数不能是已经选好的前3个数，所以，前三个数就不能是等差，否则前三数的中间一个就是第四个，就矛盾了）

余0：3，6，9，12，15

余1：1，4，7，10，13

余2：2，5，8，11，14，（1）若三数来自于同一类，方法是3C5330，（2）若三数来自不同类，则只能一类取一个则总数5

则总共有30+125=155个。

但是这里面有很多是等差数列的，有多少个等差数列的情况呢？

注意到只要三数成等差数列，则三数和一定是3的倍数，所以我们在算之前那155个的时候里面包含了所有的等差数列，则在1—15这些数里选三数成等差数列共有C72C8249个，（只需要在7个偶数中选2个作为两头的数，等差中项就有了。8个奇数同样，或者按公差分类数也行，13+11+9+。。+1=49）

所以满足条件的为155-49=106

第二篇：高数极限习题

第二章 导数与微分

典型例题分析

客观题

例 1 设f(x)在点x0可导,a,b为常数,则limf(x0ax)f(x0bx)xabx0()

f(x0)Aabf(x0)

B(ab)f(x0)

C(ab)f(x0)

D

答案 C

解

f(x0ax)f(x0bx)limx0x[f(x0ax)f(x0)][f(x0bx)f(x0)]lim x0x

f(x0bx)f(x0)f(x0ax)f(x0)blim

alim

x0x0bxax

(ab)f(x0)

例2（89303）设f(x)在xa的某个邻域内有定义,则f(x)在xa处可导的一个充分条件是（）1f(a2h)f(ah)(A)limhfaf(a)存在(B)lim存在h0hhh(C)limf(ah)f(ah)2hh0存在(D)limf(a)f(ah)h存在h0答案 D

解题思路

(1)对于答案(A)，不妨设

1hx，当h时，x0，则有

1f(ax)f(a)limhfaf(a)lim存在，这只表明f(x)在xa处hx0hx右导数存在,它并不是可导的充分条件,故(A)不对.(2)对于答案(B)与(C),因所给极限式子中不含点a处的函数值f(a)，因此与导数概念不相符和.例如，若取

1,xaf(x)

0,xa则(B)与(C)两个极限均存在，其值为零，但limf(x)0f(a)1，从而f(x)在xaxa处不连续，因而不可导，这就说明(B)与(C)成立并不能保证f(a)存在，从而(B)与(C)也不对.(3)记xh,则x0与h0是等价的,于是 limf(a)f(ah)hh0limf(ah)f(a)hh0limf(ah)f(a)h

h0x所以条件D是f(a)存在的一个充分必要条件.例3(00103)设f(0)0,则f(x)在点x0可导的充要条件为()x0limf(ax)f(a)f(a)(A)lim1h1h2h0f(1cosh)存在(B)lim1h1hh0f(1e)存在

h(C)limh02f(hsinh)存在(D)limh0f(2h)f(h)存在

答案 B

解题思路

(1)当h0时, 1coshhh02limf(1cosh)h2h0lim2f(1cosh)f(0)h21.所以如果f(0)存在,则必有

limf(1cosh)f(0)1coshh0lim1coshh2h0若记u1cosh,当h0时,u0,所以

f(1cosh)f(0)f(u)f(0)limlimf(0)h0h01coshu于是

limf(1cosh)h2h012f(0)

1h2这就是说由f(0)存在能推出limh0f(1cosh)存在.h0,而不是u0,因此 但是由于当h0时,恒有u1cos1f(x)f(0)f(0)limlim2f(1cosh)存在只能推出存在,而不能推出f(0)h0hx0x存在.

(2)当h0时, 1eho(h),于是

hlimf(1e)hhh0limf(ho(h))f(0)hh0limf(ho(h))f(0)ho(h)

h0 由于当h0时, ho(h)既能取正值,又能取负值,所以极限limf(ho(h))f(0)ho(h)h0存在与limf(h)f(0)hh0f(0)存在是互相等价的.因而

极限lim1hh0hf(1e)存在与f(0)存在互相等价.(3)当h0时, 用洛比塔法则可以证明limlimf(hsinh)h2h0,所以 6hf(hsinh)f(0)hsinhlimlimh 3h0h0hsinhhh03hsinh1由于h0,于是由极限limf(hsinh)f(0)hsinhh0limhsinhh3h0h存在未必推出hsinh(4)f(x)在点x0可导一定有(D)存在,但(D)存在不一定f(x)在点x0可导.h0limf(hsinh)f(0)也存在,因而f(0)未必存在.例 4(98203)函数f(x)(xx2)|xx|有()个不可导点

(A)0(B)1(C)2(D)3

答案 C

解题思路 当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有可能出现在函数的零点,因为函数零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点x00,x11,x21考察导数的存在性.解 将f(x)写成分段函数:

23(x22(xf(x)2(x(x2x2)x(1x),x2)x(x1),x2)x(1x),x2)x(x1),2222x1,1x0,0x1,1x.(1)在x00附近,f(x)写成分段函数:

22x(xx2)(x1),x023 f(x)(xx2)|xx|22x(xx2)(1x),x0容易得到

f(x)f(0)22f(0)limlim(xx2)(x1)2

x0x0xf(x)f(0)22f(0)limlim(xx2)(1x)2

x0x0x由于f(0)f(0),所以f(0)不存在.(2)在x11附近,f(x)写成分段函数:

2x(1x)(xx2)(1x),x123f(x)(xx2)|xx|

2x(1x)(xx2)(x1),x1f(x)f(1)2f(1)limlimx(1x)(xx2)4

x1x1x1f(x)f(1)2f(1)limlimx(1x)(xx2)4

x1x1x1由于f(1)f(1),所以f(1)不存在.(3)在x21附近,f(x)写成分段函数:

2x(1x)(xx2)(x1),x123f(x)(xx2)|xx|

2x(1x)(xx2)(x1),x1f(1)limf(x)f(1)x1x0x1由于f(1)f(1)0,所以f(1)存在.x1f(1)limx1f(x)f(1)limx1x(x1)(x22x2)0

limx(x1)(xx2)0

综合上述分析,f(x)有两个不可导的点.例5(95103)设f(x)具有一阶连续导数,F(x)f(x)(1|sinx|),则f(0)0是F(x)在x0处可导的()

(A)必要但非充分条件

(B)充分但非必要条件

(C)充分且必要条件

(D)既非充分也非必要条件

答案 C

分析 从F(x)在x0的导数定义着手.将F(x)f(x)(1|sinx|)f(x)f(x)|sinx| 解

F(x)F(0)f(x)f(0)f(x)|sinx|f(0)|sin0|limlimF(0)lim

x0x0x0x0x0x0

f(0)f(0)

f(x)f(0)f(x)|sinx|f(0)|sin0|F(x)F(0)limlimF(0)lim

x0x0x0x0x0x0f(0)f(0)

于是推知F(0)F(0)的充分必要条件是f(0)0. 例6(92103)设函数f(x)3xx|x|,则使f32(n)(0)存在的最高阶数n().(A)0

(B)1(C)

2(D)3

答案 C

解题思路 应先去掉f(x)中的绝对值,将f(x)改写为分段函数

2x3 f(x)3xx|x|34x32x0x0x0x0

2x3 解 由f(x)3xx|x|34x32

6x2得f(x)212xx0x0

12x且f(x)24x又f(0)limx012 f(x)x024x0x0x0

f(x)f(0)x0limx02x03x00,f(0)limf(x)f(0)x0x0limx04x03x020

所以f(0)存在.f(0)limf(x)f(0)x0x0limx06x0x012x0 00 f(0)limf(x)f(0)x02limx0x0x0所以f(0)存在.f(0)limf(x)f(0)x0x0limx012x0x012

x0即f(0)f(0).因而使fx0f(0)limf(x)f(0)24

x0(n)(0)存在的最高阶数是2.x0lim24x0

例7 f(x)cos|x|x2|x|存在的最高阶导数的阶数等于（）

A

0

B 1

C 2

D 3 答案 C 解题思路 注意cos|x|cosx,所以只需考察x|x|在点x0的情况.例8(96203)设0,f(x)在区间(,)内有定义，若当x(,)时，恒有f(x)x，则x0必是f(x)的（）

(A)间断点，(B)连续而不可导的点，(C)可导的点，且2f'(0)0

(D)可导的点，且f'(0)0

答案

C

解 由题目条件易知f(0)0,因为

|所以由夹逼定理

f(x)f(0)x||f(x)xf(x)x||x2x|

2lim|x0f(x)f(0)x|lim|x0|lim|x0xx|0

于是f(0)0.1ex,x0, 则f(0)为（）

例9(87103)设f(x)x0,x0.

1(A)0

(B)

(C)1

(D)1

2答案

(C)

解题思路

因f(x)为分段函数,故它在分段点处的导数应按导数的定义，又由于是未定式,可用洛必达法则求极限.200型解

1e f(0)limx2f(x)f(0)x0ulimx0x0xx00lim1exx2x02x

2当u0时,e 1与u是等价无穷小,所以当x0时,1e与x是等价无穷小.因而

2lim1exx2x021

12,则x0时,f(x)在x0处的微分dy与

例10(88103)设f(x)可导且f(x0)x比较是()的无穷小.(A)等价(B)同阶(C)低阶(D)高阶

答案 B

解题思路

根据yf(x)在xx0处的微分的定义:dyf(x0)x.x12 解 limlim,可知dy与x是同阶的无穷小.x0xx0x21xsin,x0

例11(87304)函数f(x)在x0处（）xx00,dy

(A)连续,且可导

(B)连续,不可导

(C)不连续

(D)不仅可导,导数也连续

答案 B

解题思路

一般来说,研究分段函数在分段点处的连续性时,应当分别考察函数的左右极限;在具备连续性的条件下,为了研究分段函数在分界点处可导性,应当按照导数定义,或者分别考察左右导数来判定分段函数在分段点处的导数是否存在.因此,本题应分两步:(1)讨论连续性;(2)讨论可导性.解(1)讨论函数在点x0处的连续性

10f(0),可知函数f(x)在点x0处是连续的.由于limf(x)limxsinx0x0x

(2)讨论函数在点x0处的可导性

1xsin0f(x)f(0)1xlimlimsin

由于lim不存在,所以,函数f(x)在点

x0x0x0x0xxx0处不可导.x

例12 设f(x)p必须满足（）p1sin01x,x0,x0 在点x0可导,但是f(x)导数在点x0不连续,则

A0p1

B1p2

C0p2

D1p答案 B

解题思路

(1)当p1时,下述极限不存在: x因此f(0)不存在.当p1时, x0limf(x)f(0)xsinlimx0p1xlimxp1sin1

x0xxx所以f(0)0.x0limf(x)f(0)xsinlimx0p1xlimxp1sin10

x0xx这就是说,只有当p1时, f(0)才存在,所以选项A,C可以被排除.(2)当p1时

0,x0 f(x)11p1p2sinxcos,x0pxxx当且仅当p20,即p2时,limf(x)0f(0),所以当且仅当1p2时，x0f(x)在点x0可导,但是f(x)在点x0不连续.例13(95403)设f(x)可导，且满足条件limf(1)f(1x)2x12x01,则曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线斜率为（）(A)2,(B)2,(C),(D)1

答案 B

解 记ux,则有

f(1)f(1x)1f(1u)f(1)1limlimf(1)x02x2u0u2

例1

4设yln(12x),则y

(A)(10)()

9!(12x)10

(B)9!(12x)10

(C)10!2910(12x)

(D)9!21010(12x)

答案 D

解题思路

求高阶导数的一般方法是: 先求出一阶、二阶、三阶导数;找出规律,即可写出高阶导数.2y, 12x21y(2)(1)(2)(1)(2)

22(12x)(12x)y(2)(1)(2)(2)2(12x)3

y(10)9!21010(12x).例17

(90103)设函数f(x)有任意阶导数,且f(x)f(x),则f(n)(x)(n1),(n2).n1(A)n!f(x)(B)nf(x)(C)f2n(x)(D)n!f2n(x)

答案 A

解题思路 这是一个求高阶导数的问题,涉及到求抽象函数的导数.解

由f(x)有任意阶导数且f(x)f(x),可知

2f(x)f(x)32f(x)f(x)2f(x)ff(x)2f(x)32f(x)f(x)3!f2(n)n12(x)2f(x),(x)

34依此由归纳法可知 f(x)n!f(x)

注意(1)当n1,n2时虽然(B)也正确,但当n2就不正确了,所以将(B)排除之;

222(2)在求导数f(x)时,可将函数f(x)看成是由yt与tf(x)复合而成的,(t)f(x)2tf(x)2f(x)f(x).(初学者可能会这样做:f(x)2f(x),后面丢掉一个因子f(x).则根据复合函数的求导法则,故f(x)222

例18(91303)若曲线yxaxb和2y1xy在点(1,1)处相切，其中

23a,b是常数,则（）(A)a0,b

2(B)a1,b3

(C)a3,b

1(D)a1,b1

答案 D

解题思路

两曲线在某点相切就是指两曲线在此公共点处共一条切线,从而两曲线的斜率也应相等.解

曲线yxaxb在点(1,1)处的斜率是

2k1(xaxb)2x1(2xa)x132a

另一条曲线是由隐函数2y1xy确定,该曲线在点(1,1)处的斜率可以由隐函数求导数得到: 对于方程2y1xy两边求导得到2y3xyyy,解出y得到此曲线在点(1,1)处的斜率为

k2yx1y1323y3223xy1

x1y12令k1k2,立即得到a1.再将a1,x1,y1代入yxaxb中得出b1.例19设f(x),g(x)定义在(1,1)，且都在x0处连续，若g(x)x0f(x)x，则（）x02(A)limg(x)0且g'(0)0，(B)limg(x)0且g'(0)1

x0x0(C)limg(x)1且g'(0)0

(D)limg(x)0且g'(0)2

x0x0 答案 D

解题思路 分析函数f(x)的表达式,并运用f(x)在x0处连续这一关键条件.解 既然f(x)在x0处连续,于是必有limf(x)limx0g(x)xx02,于是必有limg(x)0.于是又有g(0)limx0g(x)g(0)xx0limg(x)xx02.1cosx 例 20(99103)设f(x)x2xg(x)x0x0 其中g(x)是有界函数,则f(x)在x0处()(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续

(C)连续,但不可导(D)可导

答案 D

解题思路

若能首先判定f(x)在x0处可导,则(A)、(B)、(C)均可被排除.解

x f(0)lim21f(x)f(0)x0x0x2limx01cosx3limx023limx0x2x)

2x220

(x0时1cosx~ f(0)lim2f(x)f(0)x0xx0由于f(x)在x0点的左导数等于右导数,因而 f(x)在x0处可导.x0x0limxg(x)2limxg(x)0（g(x)是有界函数）

 例21 设f(x)sinx,则(f(f(x)))()A.cos(sinx)cosx B.sin(sinx)cosx C.cos(cosx)sinx D.sin(cosx)sinx

答案 A

例 22 设f(x)是可导函数,则()A.若f(x)为奇函数,则f(x)为偶函数B.若f(x)为单调函数C.若f(x)为奇函数,则f(x)为奇函数D.若f(x)为非负函数 答案 A

解题思路 根据导数定义,利用函数的奇性.解 由于f(u)f(u),所以 ,则f(x)为单调函数 ,则f(x)为非负函数

f(x)limlimf(xx)f(x)xf[x(x)]f(x)x0limf(xx)f(x)x

x0x因此f(x)为偶函数.x0f(x)例23 设yesinsin22x,则dy()sin2 B.2eA.esinx C.2e 答案 D

解题思路 运用复合函数微分法

例 24 设f(0)存在,lim(1x0xxsin2xsincosx D.e2xsin2x

1cosf(x)sinx1)xe,则f(0)()A.0 B.1 C.答案 C

解 由 C.e

lim(1x01cosf(x)sinx1)xe

可以知道当x0时,有

lim(参阅第一章1.5的例2)

x011cosf(x)1 xsinxf2当x0时,sinx与x是等价无穷小,1cosf(x)与

(x)2是等价无穷小.于是

f(x)11cosf(x)1limlim1 2x0xx0sinx2x又因为f(0)存在,所以此式又推出 f(0)limf(x)xx022.1,x0arctan 例 25 设f(x) 在点x0可导,则()xaxb,x0A.a1,b2 B.a1,b0 C.a1,b2 D.a1,b2

答案D

解题思路 先考察函数在点x0左右极限,确定连续性,再考察左右导数.由可微性最终确定a,b.解

1,所以b.(1)limf(x)lim(axb)b,limf(x)limarctanx0x0x22x0x0于是f(0)2.(2)f(0)a,f(0)limx0f(x)f(0)arctanlimx01xx2

xarctan1xx2: 以下需要用洛比塔法则求极限limx0

arctanlimx01x2lim(arctan1xx2)limx01x2xx0于是由f(0)f(0)推出a1

11

例26.(93303)若f(x)f(x),且在(0,)内f(x)0,f(x)0,则f(x)在(,0)内必有

(A)f(x)0,f(x)0(B)f(x)0,f(x)0

(C)f(x)0,f(x)0(D)f(x)0,f(x)0 答案 C

解体思路 所给函数显然是奇函数,因此f(x)是偶函数,f(x)是奇函数.解 由f(x)0,x(0,)知f(x)0,x(,0);由f(x)0,x(0,)知f(x)0,x(,0).

第三篇：文化概论十三章

第十三章 古典文学

一、填空

1．最早的诗歌应当是民歌。《诗经》是我国第一部诗歌总集，共305篇，收集了我国公元前11世纪到公元前6世纪的诗歌作品，代表了从西周初年到春秋中叶大约五百年间的诗歌创作，其作品本来都是合乐的歌词，因此按乐调分为风、雅、颂三部分。风指地方乐调，即各地的民乐；雅指周王朝直接统治地区的乐调；颂则是用于宗庙祭祀的音乐，其艺术表现手法一般分为比、兴、赋三种。比是指以客观事务来比喻诗人的思想感情；兴是用声音、意义等类比关系引发诗歌内容；赋则是直接铺陈和描写客观事物。其形式采用四言诗，重章迭句，一唱三叹，对后世的诗歌创作产生了深刻的影响，为中国诗歌的发展奠定了稳固的基础，属于现实主义手法。

2．楚辞又称骚体，浪漫主义手法。著名诗人有屈原，写出《离骚》、《九歌》、《九章》、《天问》等；后有宋玉，代表作为《九辩》；汉代有刘向、王逸等人整理的《楚辞》。《离骚》是我国最早的一首长篇抒情诗，屈原也由此成为中国历史上第一个抒发个人激情的伟大诗人。

3．《诗经》与《楚辞》并称“风骚”，构成中国诗歌发展史上的两大源头。

4．宋代郭茂倩编辑的《乐府诗集》收录了从汉代到隋唐的全部乐府作品。汉魏乐府“感于哀乐，缘事而发”，具有强烈的现实主义精神，诗体自由多样，句式以五言为主，三、四、六、七言不等，奠定了五言诗和七言诗的基础，著名篇章有《十五从军征》、《战城南》、《东门行》、《妇病行》、《陌上桑》、《孔雀东南飞》（是我国古代长篇叙述诗之最）、《木兰辞》、《敕勒歌》等。到东汉末年出现了文人创作的五言诗，有班固的《咏史诗》、张衡的《同声歌》、无名氏的《古诗十九首》，借景抒情，语言精练，交替使用赋比兴手法。

5．建安七子：孔融、王粲、刘桢、陈琳、阮瑀、应瑒、徐干。--建安文学，其中尤以曹植的成就最高。

6．蔡琰有《悲愤诗》、《胡笳十八拍》，阮籍《咏怀诗》，嵇康《幽愤诗》，左思《咏史诗》。

7．陶渊明是我国诗歌史上“田园诗派”的奠基者，代表作《归去来兮辞》、《归园田居》、《饮酒》、《咏荆轲》、《桃花源诗》等。南朝刘宋诗人谢灵运开辟了我国诗歌史上的“山水诗派”，其代表作《登池上楼》、《石门岩上宿》等。鲍照擅长七言歌行，有《拟行路难》18首。

8．南北朝出现了音律，代表人物是沈约、谢眺等。他们依据四声的规律，在诗歌创作中注意声、韵、调的相互配合和词语对偶形式的运用，创造了一种讲究声律和对仗的新诗体，因其活跃在南齐永明年间，故称为永明体。从此中国诗歌开始从比较自由的形式向讲求格律的方向发展。

9.《全唐诗》共录作者2300余位，诗作48900余首，以诗体而论，由永明体发展而来的近体诗为主，其中又分五律，七律，五绝，七绝。

9．初唐四杰：杨炯、卢照邻、骆宾王、王勃。“沈宋”指“沈佺期、宋之问”，他们大力创作律诗、绝句，对创立近体诗作出了重要贡献。以高适、岑参为代表的“边塞诗派”，以王维、孟浩然为代表的“田园诗派”。李白被称为“诗仙”，杜甫被称为“诗圣”，合称“李杜”。白居易与元稹倡导“新乐府运动”，前者写有《秦中吟》、《新乐府十五首》、《长恨歌》、《琵琶行》等，因其活跃在元和年间，被称为“元和体”。晚唐的李商隐和杜牧，合称“小李杜”。10．词（唐朝出现）是由民间的曲子词发展而来。晚唐诗人温庭筠主要作词，与李商隐并称“温李”，其词与韦庄等人的共编入《花间集》，因而被称为花间派。

11．北宋词坛有以苏轼为代表的豪放派和以秦观为代表的婉约派。周邦彦言情体物，极尽工巧。集婉约之大成。辛弃疾，是中国最杰出的的爱国主义诗人。

宋初曾有些诗人模拟李商隐互相酬唱，编为《西昆酬唱集》，词藻艳丽而内容贫乏，称为“西昆体”。随即即有黄庭坚主张作诗“无一字无来历”，提倡“点铁成金”、“夺胎换骨”，形成著名的“江西诗派”。南宋四大家有尤袤、杨万里、范成大、陆游。12 ．明代曾流行雍容典雅的台阁体，明中叶以后有以李梦阳、何景明为首的“前七子”和李攀龙、王世贞为首的“后七子”，反对台阁体，提倡复古，之后派别纷起，都难逾唐宋。清初的诗坛盟主为钱谦益，清末黄遵宪以诗歌的形式反映近代革命史上的重大事件，被称为“诗史”。

13．先秦散文分为两种，历史散文和哲理散文。历史散文主要集中于《尚书》、《国语》、《左传》、《战国策》。《尚书》的内容主要是殷商和西周初年的王室文告、命令、王公大臣的谈话等，是我国最早的一部历史文献，现存58篇，其中28篇《今文尚书》比较可信。

《国语》记载周、鲁、齐、晋、郑、楚、吴、越八国历史事实，以晋国为最详。有的事件已有情节描写，语言也比《尚书》要浅近质朴。

《左传》是以具体的史实来丰富和补充文字过于简略的《春秋》，文字简练，句式灵活，能完整的叙述事件和通过细节刻画人物。特别是诸侯国之间的战争，写的很激动人心。

《战国策》主要记述战国时代谋士们的言行，分东周、西周、秦、齐、楚、魏、赵、韩、燕、宋、卫、中山等十二策。文章注重刻画人物，善于铺张描绘，许多故事写得有声有色；还有一些篇章着重刻画人物性格，写得神采照人。哲理散文则集中于诸子著作。《老子》语言凝练，哲理深邃，很像散韵夹杂的格言诗

；《论语》简约而意旨丰厚，说理论事富于哲理和抒情意味，许多句子成为后世格言和成语。《墨子》闻风质朴，论证有力，既有演绎，又有归纳，实开论辩文之先河。《孟子》是从语录体过渡到长篇论文的桥梁。

《庄子》已开始摆脱语录体，部分篇章已是专题论文，其特点是以寓言说理，将思辨与形象融为一体，对后世的浪漫主义有着深远的影响。

《荀子》已是成熟的议论文，《韩非子》则逻辑周密，说理透辟。另外还有《晏子春秋》、《吕氏春秋》等。

14．西汉司马迁《史记》、贾谊《过秦论》、晁错《论贵粟书》、东汉班固《汉书》。最伟大的散文作家当数司马迁—史记是一部历史著作，也是传记文学总集。

15．中唐以大散文家韩愈、柳宗元为首，掀起以复古为口号的“古文运动”，其根本性质是恢复儒家传统，改变文体、文风。运动所提出的基本口号是“文以载道”，即文章必须有思想性，必须表达和宣扬儒家的道统，反对空洞无物，反对因袭模仿，反对矫揉造作。韩愈的散文有《师说》、《与孟东野书》、《送李愿归盘谷序》、《柳子厚墓志铭》、《祭十二郎文》等。柳宗元写有《种树郭橐驼传》、《童区寄传》等，山水游记《永州八记》等。苏轼称赞韩愈“文起八代之衰”。

16．宋代的欧阳修第二次举起“古文运动”的旗帜，并以他的道德文章彪炳当世，成为宋代文坛的领袖。

17．唐宋八大家指韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩、欧阳修。苏轼有散文《石钟山记》、《超然台记》、《凌虚亭记》、《放鹤亭记》等。范仲淹《岳阳楼记》、周敦颐《爱莲说》。

18．明代刘基散文集《郁离子》，宋濂的传记性散文《秦士录》、《送东阳马生序》。明中叶以后，文坛上出现了以李梦阳，何景明为代表的“前七子”和即李攀龙，王世贞为首的“后七子”，反对形式主义的“台阁体”，主张“文必秦汉，诗必盛唐”。

导致以唐顺之、茅坤和归有光为代表推崇唐宋古文的唐宋派，尤以归有光（项脊轩志）成就最高。明后期的公安派以袁宏道、袁中道、袁宗道兄弟三人为代表，主张散文“独抒性灵”，不拘客套。袁宏道有《虎丘记》、《满井游记》等。

还有竟陵派的钟惺、谭元春等人，主张散文表现“幽情单绪”，使文章的题材更窄。明末散文家张岱有散文集《陶庵梦忆》和《西湖梦寻》。张溥的《五人墓碑记》。

19．清代散文：夏完淳《狱中上母书》、邵长衡《阎典吏传》；

清中叶以方苞、刘大櫆、姚鼐为代表的桐城派和以恽敬为代表的阳湖派，两派都提倡唐宋古文，讲究“义法”，但以前者的影响为大。方苞的《狱中杂记》、姚鼐《登泰山记》。龚自珍《病梅馆记》、梁启超《少年中国说》、康有为《强学会序》、章炳麟《邹容传》。

20．辞赋是兼具诗歌和散文特点的一种文体，作为一种文学形式，在先秦时代就已经出现。最早以“赋”名篇的是荀子的《赋篇》和宋玉的《风赋》等。两人一南一北，代表了赋在初期的两种不同风格。前者以四言韵语为主，受到《诗经》的影响；后者文采典雅华美，受到《楚辞》的影响。宋玉的赋还有《高唐赋》、《神女赋》、《登徒子好色赋》等。

21．汉赋有贾谊《吊屈原赋》、淮南小山《招隐士》、枚乘《七发》。

“汉赋四大家”指司马相如、班固、扬雄、张衡。司马相如《子虚赋》和《上林赋》（奠定了散体大赋的体制），扬雄《长杨赋》和《羽猎赋》，班固《两都赋》，张衡《二京赋》。

22．魏晋南北朝：曹植《洛神赋》、王粲《登楼赋》、蔡邕《述行赋》、祢衡《鹦鹉赋》、左思《三都赋》、孙绰《天台山赋》、陶渊明《闲情赋》、潘岳《怀旧赋》、鲍照《芜城赋》、江淹《恨赋》和《别赋》、庾信《哀江南赋》。

23．唐代：王勃《春思赋》、张九龄《荔枝赋》、李白《大鹏赋》、李商隐《虱赋》、陆龟蒙《蚕赋》、柳宗元《瓶赋》和《牛赋》、杜牧《阿房宫赋》（多用白描手法,语言情新，议论鲜明，体现了赋的艺术手法的新的变化）。

24．宋代：欧阳修《秋声赋》、苏轼《前赤壁赋》和《后赤壁赋》。金代：元好问《秋望赋》、郝经《怒雨赋》。

25．元曲四大家：关汉卿（成就最大）、马致远、郑光祖、白朴。关汉卿代表作有《窦娥冤》、《救风尘》、《拜月亭》、《望江亭》、《单刀会》、《调风月》等。

26．王实甫的《西厢记》源自于唐代元稹的传奇小说《莺莺传》，被誉为天下夺魁。在金代有董解元的《西厢记诸宫调》。

27．元杂居前期的艺术活动中心主要在北方，京城大都和地处山西的平阳都是戏曲艺术最活跃的地方。著名剧目有纪君祥《赵氏孤儿》、马致远《汉宫秋》、白朴《梧桐雨》和《墙头马上》。尚仲贤《柳毅传书》、李好古《张生煮海》。元杂居后期的活动则转向南方，原南宋京城临安成为艺术创作和表演中心，但兴盛情况已与北方不可同日而语，主要创作成就有郑光祖《倩女离魂》、乔吉《扬州梦》、宫天挺《范张鸡黍》。28．明清流行的戏曲形式是传奇，是在南方流行的南戏的基础上发展起来的。元末明初的重要传奇作品有高则诚的《琵琶记》和被称为“四大南戏”的《荆钗记》（元柯丹丘）、《白兔记》、《拜月记》（元施惠）、《杀狗记》。

此后还有李开先《宝剑记》、王世贞《鸣凤记》、梁辰鱼《浣纱记》。《浣纱记》首开传奇剧用昆山腔演唱传统，为后来昆曲的兴起奠定了基础。

29．明代戏曲的鼎盛时代是明代下半叶，这时出现了以沈璟为代表的吴江派和以汤显祖为代表的临川派。沈璟致力于戏曲声律理论的研究，主张创作严守音律，写过十七种剧本，主要有《义侠记》、《博笑记》、《埋剑记》等，现只存七种较为完整。与其同派的作家还有王骥德、卜世臣、叶宪祖、顾大典等人。汤显祖居于“玉茗堂”，在创作上，他反对拟古和死守格律，主张写情，作品只有五种传世，即《紫箫记》、《紫钗记》、《还魂记》（即《牡丹亭》）、《南柯记》、《邯郸记》。

30．玉茗堂四梦：《紫钗记》、《牡丹亭》、《南柯记》、《邯郸记》。

31．明末清初传奇创作成就比较高的作家是李玉，其作品以“一人永占”为代表，即《一捧雪》、《人兽关》、《永团圆》、《占花魁》。

此外还有朱素臣的《十五贯》、李玉与朱素臣合著的《清忠谱》。清代戏曲家李渔（笠翁）的《闲情偶寄》一书系统的论述了戏曲文学的特点及戏曲表演艺术，具有重要的文学价值。

32．清初杰出的戏剧家是洪昇和孔尚任，世称“南洪北孔”。洪昇有《长生殿》，孔尚任有《桃花扇》。

33．中国的古典小说是从先秦的神话传说发端的，后来又吸引了史传文学和寓言散文的一些东西，至汉代出现了将历史故事与民间传说结合在一起的作品，如西汉刘向的《说苑》、《新序》和无名氏的《燕丹子》等。魏晋以后出现了所谓“六朝小说”，一类“志人”，主要记载士族阶层的遗闻逸事，其代表作为刘义庆的《世说新语》；一类志怪，主要记述神话故事和民间传说，多神仙鬼怪，其代表作为干宝的《搜神记》。

34．唐人传奇有牛僧孺的《玄怪录》、李复言的《续玄怪录》、薛用弱的《集异记》、裴铩的《传奇》等。许多名篇如《李娃传》、《莺莺传》、《霍小玉传》、《柳毅传》、《离魂记》、《枕中记》、《南柯太守传》等。

35．宋元话本的内容主要有小说和讲史两类。小说一类主要包括传奇、公案、灵怪等，其中描写婚姻爱情和狱断公案的小说尤其生动感人，给后来的短篇小说创作以深刻影响；讲史一类则主要是将历史演绎为小说形式，对中国古典小说影响巨大，是中国长篇小说的开端。其代表作有《大宋宣和遗事》、《大唐三藏取经诗话》、《全相平话五种》（即《武王伐纣平话》、《七国春秋平话》、《秦并六国平话》、《前汉书平话》、《三国志平话》）。

36．明代四大奇书：《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《金瓶梅》。冯梦龙的“三言”：《喻世明言》、《警世通言》、《醒世恒言》。凌 濛初的“二拍”：《初刻拍案惊奇》、《二刻拍案惊奇》。

“三言”中的名篇有《杜十娘怒沉百宝箱》、《卖油郎独占花魁》、《玉堂春落难寻夫》、《沈小霞相会出师表》等。

37．清代：蒲松龄《聊斋志异》、吴敬梓《儒林外史》、曹雪芹《红楼梦》（法国《通用百科全书》称其为“18世纪中国社会的一面镜子”“世界文坛上的一座丰碑”）、李汝珍《镜花缘》、吴趼人《二十年目睹之怪现状》、刘鹗《老残游记》、曾朴《孽海花》。

第四篇：第十三章多元函数的极限和连续性

《数学分析（1，2，3）》教案

第十三章 多元函数的极限和连续性

§

1、平面点集

一 邻域、点列的极限

定义1 在平面上固定一点M0x0,y0，凡是与M0的距离小于的那些点M组成的平面点集，叫做M0的邻域，记为OM0,。

定义2 设Mnxn,yn，M0x0,y0。如果对M0的任何一个邻域OM0,，总存在正整数N，当nN时，有MnOM0,。就称点列Mn收敛，并且收敛于

M0，记为limMnnM0或xn,ynx0,y0n。

性质：（1）xn,ynx0,y0xnx0,yny0。（2）若Mn收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。二 开集、闭集、区域

设E是一个平面点集。

1． 内点：设M0E，如果存在M0的一个邻域OM0,，使得OM0,E，就称M0是E的内点。2． 外点：设M1E，如果存在M1的一个邻域OM1,，使得OM1,E，就称M1是E的外点。

3． 边界点：设M*是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M*的任何邻域OM*,，其中既有E的点，又有非E中的点，就称M*是E的边界点。E的边界点全体叫做E的边界。4． 开集：如果E的点都是E的内点，就称E是开集。

5． 聚点：设M*是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M*的任何邻域OM*,，至少含有E中一个（不等于M*的）点，就称M*是E的聚点。性质：设M0是E的聚点，则在E中存在一个点列Mn以M0为极限。6． 闭集：设E的所有聚点都在E内，就称E是闭集。

7． 区域：设E是一个开集，并且E中任何两点M1和M2之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在E中，就称E是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。三平面点集的几个基本定理

1．矩形套定理：设anxbn,cnydn是矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且

13-1

《数学分析（1，2，3）》教案

bnan0，dncn0，那么存在唯一的点属于所有的矩形。

2.致密性定理：如果序列Mnxn,yn有界，那么从其中必能选取收敛的子列。

3.有限覆盖定理：若一开矩形集合x,y覆盖一有界闭区域。那么从里，必可选出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。

N4．收敛原理：平面点列Mn有极限的充分必要条件是：对任何给定的0，总存在正整数N，当n,m时，有rMn,Mm。

§2 多元函数的极限和连续

一 多元函数的概念

不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平行四边行的面积A由它的相邻两边的长x和宽y以及夹角所确定,即Axysin;圆柱体体积V由底半径r和高h所决定,即Vrh。这些都是多元函数的例子。

2一般地，有下面定义：

定义1 设E是R的一个子集，R是实数集，f是一个规律，如果对E中的每一点(x,y)，通过规律f，在R中有唯一的一个u与此对应，则称f是定义在E上的一个二元函数，它在点(x,y)的函数值是u，并记此值为f(x,y)，即uf(x,y)。

有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数xR22x2y2就是一个上半球面，球心在原点，半径为R，此函数定义域为满足关系式xyR222222的x，y全体，即D{(x,y)|xyR}。又如，Zxy是马鞍面。二 多元函数的极限

2定义2

设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0rM,M0时，有f(M)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limfMA或fMAMM0。

MM02定义的等价叙述1 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0xx0yy0时，有f(x,y)A，就称A是13-2

《数学分析（1，2，3）》教案

二元函数在M0点的极限。记为limfMA或fMAMM0。

MM02定义的等价叙述2 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0xx0,0yy0且x,yx0,y0时，有

f0f(x,y)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limMMMA或fMAMM0 。注：（1）和一元函数的情形一样，如果limf(M)A，则当M以任何点列及任何方式趋于M0时，f(M)MM0的极限是A；反之，M以任何方式及任何点列趋于M0时，f(M)的极限是A。但若M在某一点列或沿某一曲线M0时，f(M)的极限为A，还不能肯定f(M)在M0的极限是A。所以说，这里的“”或“”要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。例：设二元函数f(x,y)xyx2y22，讨论在点(0,0)的的二重极限。

例：设二元函数f(x,y)2xyx2y或2，讨论在点(0,0)的二重极限是否存在。

0,例：f(x,y)1,xy其它y0，讨论该函数的二重极限是否存在。

二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。例：limxyxyx2xyysinxyx2。

例：① limx0y0② lim(xy)ln(xy)③ lim(xy)ex0y0xy2222222(xy)

例：求f(x,y)xy3223xy在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为limrr0coscos32sin23sin0?（注意：cos3sin在374时为０，此时无界）。

xyx22例：（极坐标法再举例）：设二元函数f(x,y)y2，讨论在点(0,0)的二重极限．

证明二元极限不存在的方法．

基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路径的极限不存在；或２）某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法，说明极限与辐角有关． 例：f(x,y)xyx2y2在(0,0)的二重极限不存在．

13-3

《数学分析（1，2，3）》教案

三

二元函数的连续性

定义3

设fM在M0点有定义，如果limf(M)f(M0)，则称fM在M0点连续．

MM0“语言”描述：0,0,当0

四 有界闭区域上连续函数的性质

有界性定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上有界。一致连续性定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上一致连续。

最大值最小值定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上必有最大值和最小值。

nP0和P1是D内任意两点，f是D内的连续函数，零点存在定理

设D是R中的一个区域，如果f(P0)0，f(P1)0，则在D内任何一条连结P0,P1的折线上，至少存在一点Ps，使f(Ps)0。

五

二重极限和二次极限

在极限limf(x,y)中，两个自变量同时以任何方式趋于x0,y0，这种极限也叫做重极限（二重极限）．此xx0yy0外，我们还要讨论当x,y先后相继地趋于x0与y0时f(x,y)的极限．这种极限称为累次极限（二次极限），其定义如下：

若对任一固定的y，当xx0时，f(x,y)的极限存在：limf(x,y)(y),而(y)在yy0时的xx0极限也存在并等于A，亦即lim(y)A，那么称A为f(x,y)先对x，再对y的二次极限，记为yy0limlimf(x,y)A．

yy0xx0同样可定义先y后x的二次极限：limlimf(x,y)．

xx0yy0上述两类极限统称为累次极限。

注意：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。例：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设

11xsinysinyxf(x,y)0x0,y0x0ory0

由f(x,y)xy 得limf(x,y)0（两边夹）;由limsinx0y0y01y不存在知f(x,y)的累次极限不存在。

例：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。设

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《数学分析（1，2，3）》教案

f(x,y)xyx2y2，(x,y)(0,0)

由limlimf(x,y)limlimf(x,y)0知两个二次极限存在且相等。但由前面知limf(x,y)不存在。

x0y0y0x0x0y0例：（两个二次极限存在，但不相等）。设

f(x,y)xx22yy22，(x,y)(0,0)

则 limlimf(x,y)1，limlimf(x,y)1;limlimf(x,y)limlimf(x,y)（不可交换）

x0y0y0x0x0y0y0x0上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的关系。但在某些条件下，它们之间会有一些联系。

定理1 设（1）二重极限limf(x,y)A；（2）y,yy0，limf(x,y)(y)。则

xx0yy0xx0yy0lim(y)limlimf(x,y)A。

yy0xx0（定理1说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在）。推论1

设（1）limf(x,y)A；（2）y,yy0，limf(x,y)存在；（3）x,xx0，limf(x,y)xx0yy0xx0yy0存在；则limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重极限limf(x,y)。

yy0xx0xx0yy0xx0yy0推论2 若累次极限limlimf(x,y)与limlimf(x,y)存在但不相等，则重极限limf(x,y)必不存在（可xx0yy0yy0xx0xx0yy0用于否定重极限的存在性）。例：求函数fx,yxy22222xyxy在0,0的二次极限和二重极限。

13-5

第五篇：高数极限求法总结

首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面

首先 对 极限的总结 如下

极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致 极限分为 一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他 法则（大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！

必须是 X趋近而不是N趋近！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！）

必须是 函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！）

必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！

当然还要注意分母不能为0 落笔他 法则分为3中情况 0比0 无穷比无穷 时候 直接用 0乘以无穷 无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方

对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注意！！）

E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是 用于 函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！

x的x次方 快于 x！快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数（画图也能看出速率的快慢）！！！当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用 证明单调性！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！！）

（从网上发现，谢谢总结者）