小学奥数教案——容斥问题

第一篇：小学奥数教案——容斥问题

教案

容斥问题

一 本讲学习目标

理解并掌握容斥问题。

二 重点难点考点分析

容斥问题涉及到一个重要原理——包含和排除原理。也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。

三 概念解析

容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质1和性质2分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等于性质1加上性质2减去它们的共同性质。

四 例题讲解

一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？

四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？

某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答的不对？

某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？

光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？

学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组一共有多少人？

一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？

一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。问这个俱乐部里两种棋都会下的有多少人？

100个人参加测试，要求回答五道试题，并且规定凡答对3题或3题以上的为测试合格。测试结果是：答对第一题的有81人，答对第二题的有91人，答对第三题的有85人，答对第四题的79人，答对第五题的有74人，那么至少有多少人合格。

五 课堂练习

在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数，也不是5的倍数的数有多少个？

实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。

一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅。

一、二年级参展的书法作品共有多少幅？

六 课后作业

六

（一）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅不是三年级的，有19幅不是四年级的，三、四年级参展的图画共有8幅，其他年级参展的画共有多少幅？

五年级有22名学生参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？

七 励志或学科小故事——阿契塔

阿契塔（Archytas）希腊数学家。公元前约420年生于意大利塔伦通（现塔兰托）；公元前约350年卒。阿契塔是毕达哥拉斯学派的成员，居住在塔伦通，那里是当时保留到最后的一个纺织毕达哥拉斯学派的活动中心。阿契塔象公元前四世纪的许多希腊学者那样，致力于说服希腊各城邦联合起来反对日

效力增长的外来势力。可是，同所有其他希腊学者一样，他也失败了。希腊人坚持彼此之间的自相残杀，直到被马其顿所征服。

阿契塔的洒趣在于希腊的三大问题之一——立方倍积，即给定一个立方体，仅用圆规和直尺作另一个立方体，使这个立方体的体积是给定的立方体的两倍。后来发现，在所指定的条件下，这个问题是不可解，但是在经过一番努力之后，阿契塔发现了与比例中项（即在两个外项之间插入的一些线或数值）有关的一些定理，他使用比立方倍积问题所给条件的严格要求要自由一引起的工具，通过精巧的三维构体这个问题。他是试图把纯粹的技艺应用于力学的第一个希腊数学家，当时他按照自己的方式创立了关于声音和音理论。他仿照算术级数（1，2，3，4„„）和几何级数（1，2，4，8，„„），提出了调和级数（1，0.5，0.33，0.25，„„）的概念，他主张音调取决于空气的振动速度。他是正确的，但是他完全没有波动的概念。他相信音调高的声音在空气、物体中传播的速度比音调低的声音快，这当然是错误的。据信他还是滑轮的发明者。

第二篇：小五班容斥问题讲义

小五班容斥问题讲义

容斥原理1.二量重叠问题：总和=A+B-AB 容斥原理2.三量重叠问题：总和=A+B+C-AB-AC-BC+ABC 例题1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书。借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人。语文、数学两种课外书都借的有（）人。

练习1.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为（）人。

练习2.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有（）人。

练习3.民兵进行训练，每横排人数一样多，每竖行人数也一样多，李军站的位置从前面数是第4人，从后面数是第6人，从左面数是第3人，从右面数是第2人，一共有多少人参加训练? 练习4.王红从前面数是第6人，郝文排在最后，和王红间隔3个人，王红和黄克在同一横排上，王红从左数是第2个人，黄克从右数是第1人，他们间隔5人。三二班同学一共有多少人? 练习5.六一儿童节那天，全班45人到颐和园去玩，有33人划了船，20人爬了山，5名同学因身体不好，他们既没划船也没爬山，他们游览了长廊。问：既划了船也爬了山的同学有多少？

例题2.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有（）人,最多有（）人。

例题3.在1至100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有（）个。练习1.在1至10000中不能被5或7整除的数共有（）个。

练习2.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有（）个。练习3.在1到10000这10000个自然数中，即不能被8整除也不能被125整除的数有多少个？ 练习4.有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占，标有4的倍数的卡片占，标有12的倍数的卡片有15张．那么，这些卡片一共有多少张?

例题4.五一小学举行小学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的。现在知道五、六年级共展出22幅画，问：其它年级共展出多少幅画？ 练习1.东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的。现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅? 练习2.光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法共有多少幅?

练习3.实验小学举办学生书法展.学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅.一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅.一、二年级参展的书法作品共有多少幅?

例题5.洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？(9)练习1.把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？(12)例题6.罗明、李阳和赵刚每人都有几本书，罗明和李阳共有33本，罗明和赵刚共有39本，李阳和赵刚共有34本。问：他们三人各有几本书？

练习3.甲班和乙班共88人，乙班和丙班共97人，丙班和丁班共94人。求甲班和丁班共多少人？

例题7.二年一班共42名同学，其中少先队员33人。这个班男生20人，女生中有4人不是少先队员，求男生中有多少人是少先队员。

练习1.某班有学生46人，在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现，有电子琴的22人，两种琴都没有的14人，只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。问：只有电子琴的有多少人？

例题8.一次数学测验，甲答错了题目总数的1/4，乙答错了3道题，两人都答错的题目是题目总数的1/6。求甲、乙都答对的题目数。

练习1.一次数学速算练习，甲答错题目总数的1/9，乙答对7道题，两人都答对的题目是题目总数的1/6。问：甲答对了多少道题？

例题9.有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?

例题10.某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队．已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有（4）人．

练习1.某班有42人，其中26人爱打蓝球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打蓝球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球。没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好。问：既爱打蓝球又爱打排球的有几人？ 练习2.100个学生只有一人没学过外语，学过英语的有39人，学过法语的有49人，学过俄语的有41人，学过英语也学过法语的有14人，学过英语也学过俄语的有13人，学过法语也学过俄语的有9人。问：三种语言都学过的有多少人？ 练习3.64个小学生都订了报纸，其中订A报的28人，订B报的41人，订C报的20人，并且同时订A、B报的10人，同时订A、C报的12人，同时订B、C报的也是12人。问：三种报都订的有多少人？

练习4.在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。其中6人要了汽水，6人要了可乐，4人要了果汁，有3人既要了汽水又要了可乐，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可乐又要了果汁。问：(1)三样都要的有几人？(2)只要一样的有几人？

练习5.在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕，2个人既带了汉堡又带了芝士蛋糕。问：

（1）三种都带了的有几人？（2）只带了一种的有几人？ 答案：0人，4人

练习6.六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人。问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？

练习7.五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人。求这个班的学生人数。

练习8.建平学校第14届秋季运动会中，参加100米短跑的共156人，比参加200米短跑的少40人，比参加50米短跑的多26人，同时参加100米和50米短跑的有74人，同时参加200米和100米的有80人，是同时参加50米和200米人数的2倍，同时参加50米、100米和200米的有30人，求这届运动会中参加50、100米和200米的共有多少人？

练习9.在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3支铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支? 例题11.分母是1001的最简真分数有（）个。练习1.以105为分母的最简真分数共有多少个？

练习2.在前200个自然数中，能被2或3或5整除的有多少个？

练习3.试求：在1000以内(含1000)的自然数中，不能被3、5、8任何一个整除的数的个数。

例题12.有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与同时参加跑和跳两项的人数都是17人。问：仅参加跑和投掷两项的有多少人？

练习1.学校数学竞赛出了A、B、C三道题，至少做对一道的有25人，其中做对A题的有10人，做对B题的有13人，做对C题的有15人。如果三道题都做对的只有一人，那么只做对两道题和只做对一道题的各有多少人？

练习2.某年级60人中有2/3的同学爱打乒乓球，3/4的同学爱踢足球，4/5的同学爱打蓝球，这三项运动都爱好的有22人。问：这个年级最多有多少人这三项运动都不爱好？

练习3.某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球。那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？

练习4.康大六校五年二班学生参加语文、数学、英语三科考试，90分以上的语文有21人，数学有19人，英语有20人，语文、数学都在90分以上的有9人，数学、英语在90分以上的有7人，语文、英语都在90分以上的有8人，另有5人三科都在90分以下，这个班最多能有多少人？

练习5.图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过? 练习6.甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了7.5个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个? 练习7.学校举行棋类比赛，设象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加两项。根据报名的人数，学校决定对象棋的前六名、围棋的前四名和军棋的前三名发放奖品。问：获奖人数最多为几人？最少为几人？

例题13.某小学的统计数字表明：学校共有学生1200名，其中男生650名，高年级学生300名，三好学生100名，男生中的三好学生60名，高年级学生中男生160名，高年级女生中三好学生20名，非高年级女生中不是三好学生的400名。试证明：这个统计数字一定有错误。

练习1.全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会。至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀。如果全班有6个人数学不及格，问：(1)全班数学成绩优秀的有几名？(2)全班有几个人即会游泳又会滑冰？

例题14.某工厂一季度有80％的人全勤，二季度有85％的人全勤，三季度有95％的人全勤，四季度有90％的人全勤。问：全年全勤的人至多占全厂人数的百分之几？至少占百分之几？

练习1.五（6）班有54人参加秋游活动其中35人喜欢玩“捉特务”，45人喜欢玩“老鹰捉小鸡”，40人喜欢踢足球，50人喜欢跳牛皮筋，你是否可以肯定这个班至少有多少学生对这四项活动都喜欢。

第三篇：容斥问题知识点及实例解析

一、知识点 ?

1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。

如：集合A={0，1，2，3，„„，9}，其中0，1，2，„9为A的元素。

2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。A∪B读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集A∪B。

? 例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}

3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表示：

? 例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。

4、容斥原理（包含与排除原理）：

（用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3）

原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：

第一步：先求出?A?+?B?（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；

第二步：减去?A∩B?（即“排除”加了两次的元素）

总结为公式：|A∪B|=?A?+?B?-?A∩B? 原理二：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：

第一步：先求?A?+?B?+?C?；

第二步：减去?A∩B?，?B∩C?，?C∩A?；

第三步：再加上?A∩B∩C?。

即有以下公式：

?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?-?A∩B?-?B∩C?-|C∩A|+|A∩B∩C?

二、例题分析：

例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求?A∪B?。

解1：A={2，4，6，„20}，共有10个元素，即|A|=10 B={3，6，9，„18}，共有6个元素，即|B|=6 A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A∩B|=3 所以?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。

解2：本题可直观地用图示法解答

? 如图,其中,圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体,其中阴影部分的数6,12,18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即A∩B中的数)只要数一数集合A∪B中的数的个数即可。例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人？

解：设A={数学成绩90分以上的学生} B={语文成绩90分以上的学生} 那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，?A?=25，?B?=21，?A∪B?=38 现要求两科均在90分以上的学生人数，即求?A∩B?，由容斥原理得 ?A∩B?=?A?+?B?-?A∪B?=25+21-38=8 点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。

例3 某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少？

解：设A={打篮球的同学}；B={跑步的同学} 则 A∩B={既打篮球又跑步的同学} A∪B={参加打篮球或跑步的同学} 应用容斥原理?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=39+37-25=51（人）

例4 求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个？

分析：这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数。”但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。

解：设A={100以内的5的倍数} B={100以内的7的倍数} A∩B={100以内的35的倍数} A∪B={100以内的5的倍数或7的倍数} 则有?A?=20，?B?=14，?A∩B?=2 由容斥原理一有：?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=20+14-2=32 因此，不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数是：100-32=68（个）

点评：从以上的解答可体会出一种重要的解题思想：有些问题表面上看好象很不一样，但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。

例5 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人；同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人；三个小组都参加的有2人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人？

解1：设A={数学小组的同学}，B={语文小组的同学}，C={外语小组的同学}，A∩B={数学、语文小组的同学}，A∩C={参加数学、外语小组的同学}，B∩C={参加语文、外语小组的同学}，A∩B∩C={三个小组都参加的同学} 由题意知：?A?=23，?B?=27，?C?=18 ?A∩B?=4，?A∩C?=7，?B∩C?=5，?A∩B∩C?=2 根据容斥原理二得：

?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?-?A∩B?-?A∩C|-?B∩C|+|A∩B∩C? =23+27+18-（4+5+7）+2 =54（人）

解2： 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。? ? ? 设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域Ⅶ（即A∩B∩C）表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2（人）。区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5（人）。区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为5-2=3（人）。区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14（人）。同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为：

14+20+8+2+5+3+2=54（人）

点评：解法2简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。

例6 学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电影？有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影（但不喜欢看戏剧）？（假定每人至少喜欢一项）

解法1：画三个圆圈使它们两两相交，彼此分成7部分（如图）这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合，由于三种都喜欢的有12人，把12填在三个圆圈的公共部分内（图中阴影部分），其它6部分填上题目中所给出的不同爱好的同学的人数（注意，有的部分的人数要经过简单的计算）其中设既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为χ，这样，全班同学人数就是这7部分人数的和，即

16+4+6+（40-χ）+（36-χ）+12=100 解得 χ=14 只喜欢看电影的人数为 36-14=22 ? 解法2：设A={喜欢看球赛的人}，B={喜欢看戏剧的人}，C={喜欢看电影的人}，依题目的条件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18（这里加12是因为三种都喜欢的人当然喜欢其中的两种），|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再设|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| 得：100=58+38+52-（18+16+х+12）+12 解得：х=14 ∴36-14=22 所以既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为14，只喜欢看电影的人数为22。

点评：解法1没有用容斥原理公式，而是先分别计算出（未知部分设为х）各个部分（本题是7部分）的数目，然后把它们加起来等于总数，这种计算方法也叫“分块计数法”，它是利用图示的方法来解决有关问题，希望同学们能逐步掌握此类方法，它比直接用容斥原理公式更直观，更具体。

例

7、某车间有工人100人，其中有5个人只能干电工工作，有77人能干车工工作，86人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人？

解：工人总数100，只能干电工工作的人数是5人，除去只能干电工工作的人，这个车间还有95人。利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为163，然后找出这一公共部分，即163-95=68 例

8、某次语文竞赛共有五道题（满分不是100分），丁一只做对了（1）、（2）、（3）三题得了16分；于山只做对了（2）、（3）、（4）三题，得了25分；王水只做对了（3）、（4）、（5）三题，得了28分，张灿只做对了（1）、（2）、（5）三题，得了21分，李明五个题都对了他得了多少分？

解：由题意得：前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰好是试题总分的三倍。五人得分总和是16+25+28+21=90。因此，五道题满分总和是90÷3=30。所以李明得30分。

例9，某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名？

解：本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课的外语教师的人数。至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容斥原理,至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为50+45+40-15-10-8+4=106（人）不教这三门课的外语教师的人数为120-106=14（人）。

第四篇：小学奥数教案平均数问题（定稿）

小学奥数教案---平均数问题

第1讲

平均数(一)

一、知识要点

把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。

如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？

平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数

总份数=总数量×平均数

二、精讲精练

【例题1】 有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？

【思路导航】（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）；

（2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个）（3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=72（个）由（1）（2）两个等式可知：

1箱苹果比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃有（74－18）÷2=28（个），1箱苹果有28＋18=46（个）。

1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74（个）1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3－36=18（个）1箱苹果有多少个：28＋18=46（个）练习1：

1.一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分？

2.甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。求四人的平均体重是多少千克？

【例题2】 一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？

【思路导航】女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2－90.5=0.7（分）。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），应补给每个男生0.7分，16.8里包含有24个0.7，即全班有24个男生。

练习2：

1.两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？

2.有两块棉田，平均每亩产量是92.5千克，已知一块地是5亩，平均每亩产量是101.5千克；另一块田平均每亩产量是85千克。这块田是多少亩？

【例题3】 某3个数的平均数是2.如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。被改的数原来是多少？

【思路导航】原来三个数的和是2×3=6，后来三个数的和是3×3=9，9比6多出了3.是因为把那个数改成了4。因此，原来的数应该是4－3=1。

练习3： 1.已知九个数的平均数是72.去掉一个数之后，余下的数的平均数是78。去掉的数是多少？

2.有五个数，平均数是9。如果把其中的一个数改为1.那么这五个数的平均数为8。这个改动的数原来是多少？

【例题4】 五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？

【思路导航】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.7－91.5=0.2（分）。9里面包含有几个0.2.五一班就有几名同学。

练习4：

1.五（1）班有40人，期中数学考试，有2名同学去参加体育比赛而缺考，全班平均分为92分。缺考的两位同学补考均为100分，这次五（1）班同学期中考试的平均分是多少分？

2.某班的一次测验，平均成绩是91.3分。复查时发现把张静的89分误看作97分计算，经重新计算，该班平均成绩是91.1分。问全班有多少同学？

【例题5】 把五个数从小到大排列，其平均数是38。前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48。中间一个数是多少？

【思路导航】先求出五个数的和：38×5=190，再求出前三个数的和：27×3=81.后三个数的和：48×3=144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个数就算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。

练习5：

1.甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？

2.十名参赛者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那么第5人和第6人的平均分是多少分？

第2讲

平均数

二、精讲精练

【例题1】 小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分，才能把平均成绩提高到86分。问这是他第几次测验？

【思路导航】100分比86分多14分，这14分必须填补到前几次的平均分84分中去，使其平均分成为86分。每次填补86－84=2（分），14里面有7个2.所以，前面已经测验了7次，这是第8次测验。

练习1：

1.老师带着几个同学在做花，老师做了21朵，同学平均每人做了5朵。如果师生合起来算，正好平均每人做了7朵。求有多少个同学在做花？

2.一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成绩是94分，如果数学算在内，平均每门95分。已知他数学得了100分，问这位同学一共考了多少门功课？

【例题2】 小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89分，政治、数学两科平均91.5分，政治、英语两科平均86分，英语比语文多10分。小亮的各科成绩是多少分？

【思路导航】因为语文、英语两科平均分84分，即语文＋英语=168分，而英语比语文多10分，即英语－语文=10分，所以，语文是（168－10）÷2=79分，英语是79＋10=89分。又因为政治、英语两科平均86分，所以政治是86×2－89=83分；而政治、数学两科平均分91.5分，数学是91.5×2－83=100分；最后根据五科的平均成绩是89分可知，自然分是89×5－（79＋89＋83＋100）=94分。

练习2：

1.甲、乙、丙三个数的平均数是82.甲、乙两数的平均数是86，乙、丙两数的平均数是77。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？

2.小华的前几次数学测验的平均成绩是80分，这一次得了100分，正好把这几次的平均分提高到85分。这一次是他第几次测验？

【例题3】 两地相距360千米，一艘汽艇顺水行全程需要10小时，已知这条河的水流速度为每小时6千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米？

【思路导航】用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。显然，要求往返的平均速度必须先求出逆水行全程时所用的时间。因为360÷10=36（千米）是顺水速度，它是汽艇的静水速度与水流速度的和，所以，此汽艇的静水速度是36－6=30（千米）。而逆水速度=静水速度－水流速度，所以汽艇的逆水速度是30－6=24（千米）。逆水行全程时所用时间是360÷24=15（小时），往返的平均速度是360×2÷（10＋15）=28.8（千米）。

练习3：

1.甲、乙两个码头相距144千米，汽船从乙码头逆水行驶8小时到达甲码头，已知汽船在静水中每小时行驶21千米。求汽船从甲码头顺流行驶几小时到达乙码头？

2.一艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行165千米。已知客轮的静水速度是每小时30千米，水速每小时3千米。现在正好是顺流而行，行全程需要几小时？

【例题4】 幼儿园小班的20个小朋友和大班的30个小朋友一起分饼干，小班的小朋友每人分10块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块。求一共分掉多少块饼干？

【思路导航】只要知道了大、小班小朋友分得的平均数，再乘（30＋20）人就能求出饼干的总块数。因为大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块，30个小朋友一共多2×30=60（块），这60块平均分给20个小班的小朋友，每人可得60÷20=3（块）。因此，大、小班小朋友分得平均块数是10＋3=13（块）。一共分掉13×（30＋20）=650（块）。

练习4：

1.数学兴趣小组里有4名女生和3名男生，在一次数学竞赛中，女生的平均分是90分，男生的平均分比全组的平均分高2分，全组的平均分是多少分？

2.两组同学跳绳，第一组有25人，平均每人跳80下；第二组有20人，平均每人比两组同学跳的平均数多5下，两组同学平均每人跳几下？ 【例题5】 王强从A地到B地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行12千米。剩下的步行，每小时走4千米。王强行完全程的平均速度是每小时多少千米？

【思路导航】求行完全程的平均速度，应该用全程除以行全程所用的时间。由于题中没有告诉我们A地到B地间的路程，我们可以设全程为24千米（也可以设其他数），这样，就可以算出行全程所用的时间是12÷12＋12÷4=4（小时），再用24÷4就能得到行全程的平均速度是每小时6千米。

练习5：

1.小明去爬山，上山时每小时行3千米，原路返回时每小时行5千米。求小明往返的平均速度。

2.运动员进行长跑训练，他在前一半路程中每分钟跑150米，后一半路程中每分钟跑100米。求他在整个长跑中的平均速度。

作业

1.甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树18棵，甲、丙两组平均每组植树17棵，乙、丙两组平均每组植树19棵。三个小组各植树多少棵？

2.把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖7元，乙知甲级糖有4千克，平均每千克8元；乙级糖有2千克，平均每千克多少元？

3.甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在这次考试中得了多少分？

4.五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数是16。这个改动的数原来是多少？

5.两组同学进行跳绳比赛，平均每人跳152次。甲组有6人，平均每人跳140次，如果乙组平均每人跳160次，那么，乙组有多少人？

6.五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是7，后四个数的平均数是10，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？

7.甲船逆水航行300千米，需要15小时，返回原地需要10小时；乙船逆水航行同样的一段水路需要20小时，返回原地需要多少小时？

8.一个技术工带5个普通工人完成了一项任务，每个普通工人各得120元，这位技术工人的收入比他们6人的平均收入还多20元。问这位技术工得多少元？

9.把一份书稿平均分给甲、乙二人去打，甲每分钟打30个字，乙每分钟打20个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字？

第五篇：小学奥数工程问题教案.

小学奥数工程问题教案

一、本讲学习目标

联系生活实际，弄清楚工作量、时间、效率之间的关系，提高解决行程问题的能力。

二、重点难点考点分析

工程问题的实质就是工作量、工作时间和工作效率之间的关系问题。工程问题的解题思路和行程问题相似，需要找出三个基本量之间的关系，通过三个基本量之间的换算找出解题方法。工程问题当中，分数的出现与运算较为常见，因此，解决工程问题首先要学好分数的四则运算。

三、知识框架

解决工程问题首先弄清行程问题中这三个量的关系： 工作量=时间×效率(a=t×e)时间=工作量÷效率(t=a÷e)效率=工作量÷时间(e=a÷t)

四、概念解析

工作量：工程问题中的工作量是工程问题的总体量，在未知情况下，可假设工作量为1 ； 时间：工程问题中的时间是工程问题的因子量；

效率：和时间一样，效率也是工程问题的因子量，其地位和形式与时间类似。

五、例题讲解

甲、乙两个工程队共同完成一项工程需18天，如果甲队干3天、乙队干4天则完成工程的1/5。问：甲、乙两队独立完成该工程各需多少天？

打印一份稿件，甲单独打需要50分完成，乙单独打需30分完成。现在甲单独打若干份后，乙接着打完，共42分。问：甲打了稿件的几分之几？

有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池A和B注水，在相同的时间内甲、乙两管注水量之比是7:5。经过2时，A、B两池中已注入水之和恰好是一池水。此后，甲管的注水速度提高25%，乙管的注水速度降低30%。当甲管注满A池时，乙管还需多长时间注满B池？

一项工程,甲,乙两队合作30天完成.如果甲队单独做24天后,乙队再加入合作,两队合作12天后,甲队因事离去,由乙队继续做了15天才完成.这项工程如果由甲队单独完成,需要多少天

李师傅加工540个零件。他前一半时间每分生产8个，后一半时间每分生产12个，正好完成任务。当他完成任务的45%时，恰好是上午9点。张师傅开始工作的时间是几点几分几秒？

师徒三人合作承包一项工程，8天能够全部完成。已知师傅单独做所需的天数与两个徒弟合作所需的天数相同。师傅与徒弟甲所需的天数的4倍与徒弟乙单独完成这项工程所需的天数相同。问：徒弟乙单独完成这项工程需多少天？

一项工程,甲,队独做10天可以完成,乙队独做30天可以完成.现在两队合作期间甲队休息了2天,乙队休息了8天(两队不在同一天休息).从开始到完工共用了多少天

某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才13

能完成；如果由第二、四、五合干需要8天完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天。那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？

六、课后练习

完成一项工作，需要甲干5天、乙干6天，或者甲干7天、乙干2天。问：甲、乙单独干这件工作各需多少天？

一件工作，甲、乙合干需要6天完成，已知甲单独完成该工作的1/2所需的时间与乙单独完成该工作1/3的时间相等。问：甲单独完成该工作需要多长时间？

一项工程,如甲队独做,可6天完成.甲3天的工作量,乙要4天完成.两队合做了2天后,由乙队单独做,乙队还需做多少天才能完成

甲、乙、丙三人合修一围墙。甲、乙合修5天修好围墙的1/3，乙、丙合修2天修好围墙的余下1/4，剩下的围墙甲、丙又合修5天才完成。问：甲、乙、丙单独修好围墙分别需要几天？

有一批工人完成某项工程，如果能增加八人，则10天就能完成；如果能增加3人，就要20天完成。现在只能增加2个人，那么完成这项工程需要多少天？

八 励志或学科小故事——欧几里得

欧几里得出生于雅典，接受了希腊古典数学，30岁就成了有名的学者。欧几里得善于用简单的方法解决复杂的问题。他在人的身影与高正好相等的时刻，测量了金字塔影的长度，解决了当时无人能解的金字塔高度的大难题。他说：“此时塔影的长度就是金字塔的高度”。尽管欧几里得简化了他的几何学，国王还是不理解，希望找到一条学习的捷径。欧几里得说：“在几何学里，大家只能走一条路，没有专为国王铺设的达到”。这句话成为千古传诵的学习箴言。