第一篇：公务员考试——容斥原理问题
知识框架
数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。
在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。核心点拨
1、题型简介
容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。
2、核心知识
（1）两个集合容斥关系
（2）三个集合容斥关系 A、标准型公式
B、图示标数型（文氏图法）
画图法核心步骤： 1 画圈图； 数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)； ③做计算。C、整体重复型
A、B、C分别代表三个集合（比如“分别满足三个条件的元素数量”）； W代表元素总量（比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）； x代表元素数量1（比如“满足一个条件的元素数量”）； y代表元素数量2（比如“满足两个条件的元素数量”）； z代表元素数量3（比如“满足三个条件的元素数量”）。
3、核心知识使用详解
（1）容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。（2）容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。（3）容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。
夯实基础 1.两个集合容斥关系
例1：(2007年中央第50题)小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的，小强答对了27道题，他们两人都答对的题目占题目总数的，那么两人都没有答对的题目共有（）。
A.3道 B.4道 C.5道 D.6道 【答案】 D 【解析】 [题钥]
由于不知道这次考试题目的总数，所以可先设题目总数即元素总量为。
“小明答对的题目占题目总数的”，相当于集合A为。
“小强答对了27道题”，相当于集合B为27。
“他们两人都答对的题目占题目总数的”，相当于集合。
“两人都没有答对的题目”，相当于求集合。
[解析]
根据题意，确定元素总量W：；
确定集合A：；
确定集合B：27；
确定集合：；
代入两集合公式：
＝＝
因为和均为题数，须均为正整数，所以必须为12的倍数，而且由选项知：3≤≤6
当W＝12时，＝－16，不合题意；
当W＝24时，＝－5，不合题意；
当W＝36时，＝6，符合题意。
所以，两人都没答对的题目为6道。
因此，选B。2.三个集合容斥关系
例2：（浙江行测真题）某专业有学生50人，现开设甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课的有28人，兼选甲、丙两门课的有26人，兼选乙、丙门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三课均未选的有多少人？（）A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 【答案】 B 【解析】 [题钥]
“某专业有学生50人”，相当于元素总量W为50。
“有40人选修甲课程”，相当于集合A为40。
“36选修乙课程”，相当于集合B为36。
“30人选修丙课程”，相当于集合C为30。
“兼选甲、乙两门课的有28人”，相当于集合=28。
“兼选甲、丙两门课的有26人”，相当于集合=26。
“兼选乙、丙门课程的有24人”，相当于集合=24。
“甲、乙、丙三门课程均选的有20人”，相当于集合=20。
“问三课均未选的有多少人?”相当于求集合。
[解析]
根据题意，确定元素总量W：50
确定集合A：40 确定集合B：36
确定集合C：30
确定集合：28
确定集合：26
确定集合：24
确定集合：20
代入三集合标准型公式：
＝50-（40+36+30-28-24-26+20）
＝2
因此，选B。例3：（国家行测真题）
某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人？（）A.120 B.144 C.177 D.192 【答案】 A 【解析】 [题钥]
观察题目，属于三个集合容斥关系中的标数型问题，可采用文氏图法求解。[解析]
本题属于标数型问题，可采用文氏图法求解，如下图所示。
图中，黑色部分是准备参加两种考试的学生，灰色部分是准备参加三种考试的学生。计算总人数时，黑色部分重复计算了一次，灰色部分重复计算了两次，所以接受调查的学生共有：
63＋89＋47－24×2－46＋15＝120人。
因此，选A。例4：(浙江2004－20)某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组。现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？（）A.15人 B.16人 C.17人 D.18人 【答案】 A 【解析】 [题钥]
“某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组”，相当于元素总量W为35。
“参加英语小组的有17人”，相当于集合A为17。
“参加语文小组的有30人”，相当于集合B为30。
“参加数学小组的有13人”，相当于集合C为13。“如果有5个学生三个小组全参加了”，相当于元素数量3为5。
“问有多少个学生只参加了一个小组？”，此类题目属于整体重复型问题，可采用方程法求解。
[解析]
根据题意，设：
参加一个小组的人数为x，即元素数量1为x；
参加两个小姐的人数为y，即元素数量2为y；
确定元素总量W：38
确定集合A：17
确定集合B：30
确定集合C：13
确定元素数量3：5
代入公式，列方程：
因此，选A。
进阶训练
1.两个集合容斥关系
例5：某校学生参加数学竞赛的有120名男生，80名女生，参加英语竞赛的有120名女生，80名男生。已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人?（）A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】 A 【解析】 [题钥]
假设260名学生当中有m名男生、n名女生，同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为x。
对于男生：
“m名男生”，相当于元素总量为m。
“参加数学竞赛的有120名男生”，相当于集合为120。
“参加英语竞赛的”，“80名男生”，相当于集合为80。
“其中75名男生两科竞赛都参加了”，相当于集合为75。
对于女生：
“n名女生”，相当于元素总量为n。
“参加数学竞赛的”、“80名女生”，相当于集合为80。
“参加英语竞赛的有120名女生”，相当于集合为120。
同时参加了教学和英语竞赛的女生人数，相当于集合为x。
“已知该校总共有260名学生参加竞赛”，可知260名学生都参加了竞赛，没有“数学竞赛和英语竞赛都没参加”的情况。相当于集合、集合为0。
[解析]
根据题意，设：
260名学生当中有m名男生、n名女生； 同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为x。
对于男生：
确定元素总量：m
确定集合：120
确定集合：80
确定集合：75
确定集合：0
对于女生：
确定元素总量：n
确定集合：80
确定集合：120
确定集合：x
确定集合：0
男女生总数，即m＋n＝260。
代入两集合公式，列方程：
则有
即同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为65。
由于参加数学竞赛的女生有80名，则参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数：
80－65＝15名。
因此，选A。2.三个集合容斥关系
例6：(广州2007－33)如右图所示，每个圆纸片的面积都是36，圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积分别为7、6、9，三个圆纸片覆盖的总面积为88，则图中阴影部分的面积为?()
A.66 B.68 C.70 D.72 【答案】 C 【解析】 [题钥]
“三个圆纸片覆盖的总面积为88”，相当于元素总量W为88，集合为0。“每个圆纸片的面积都是36”，相当于集合A、集合B、集合C都为36。
“圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积分别为7、6、9”，相当于集合为6，集合为9。
为7，集合要求“阴影部分的面积”，可先求出集合。
[解析]
根据题意，确定元素总量W：88
确定集合A：36
确定集合B：36
确定集合C：36
确定集合：7
确定集合：6
确定集合：9
确定集合：0
代入公式：
=（88-0）-（36+36+36-7-6-9）
=2
“由中间向外围”进行数据标记，进行简单加减运算，如下图过程所示：
据图可知，阴影部分的面积为：22＋25＋23＝70。
因此，选C。例7：(江苏2009A类－19)某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是（）。A.69 B.65 C.57 D.46 【答案】 D 【解析】 [题钥]
“某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查”、“20人一部也没有看过”，相当于元素总量W为125－20＝105。
“有80人看过甲片”，相当于集合A为89。
“有47人看过乙片”，相当于集合B为47。
“有63人看过丙片”，相当于集合C为63。
“其中有24人三部电影全看过”，相当于元素数量3为24。
求解“只看过其中两部电影的人数”，此类题目属于整体重复型问题，可采用方程法求解。
[解析] 根据题意，设：
只看过其中一部电影的人数为x，即元素数量1为x；
看过其中两部电影的人数为y，即元素数量2为y；
确定元素总量W：125－20＝105
确定集合A：89
确定集合B：47
确定集合C：63
确定元素数量3：24
代入公式，列方程：
因此，选D。
例8：建华中学共有1600名学生，其中喜欢乒乓球的有1180人，喜欢羽毛球的有1360人，喜欢篮球的有1250人，喜欢羽毛球的有1040人，问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人？ A.20 B.30 C.40 D.50 【答案】 B 【解析】 [题钥]
观察题目，发现采用公式法，文氏图法都是比较麻烦的。那么逆向考虑，看下各项活动都不喜欢的人有多少人，当这各项活动都不喜欢的人互不重叠的时候，可满足四项活动都喜欢的人最少。
[解析]
根据题意，可知：
不喜欢乒乓球的有：1600-1180=420人； 不喜欢羽毛球的有：1600-1360=240人；
不喜欢篮球的有：1600-1250=350人；
不喜欢足球的有：1600-1040=560人；
若这些人互不重叠则可满足四项运动都喜欢的人最少，为：
1600-（420+240+350+560）=30人。
第二篇：容斥原理五年级试题
容斥原理五年级试题一
1、在1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的数共有多少个?
2、六年级一班有45名同学，每人都参加暑假体育培训班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。问三项都报的有多少人?
3、某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人参加，老师告诉同学既参加数学又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
4、某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没有得满分者3人。问这个班最多多少人?最少多少人?
5、向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的35，其余不赞成;赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的13多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人?
6、分母是1001的最简真分数共有多少人?
7、李老师出了两道数学题，全班40人中，第一有30人做对，第二题有12人未做对，两题都做对的有20人。
(1)第2题对第1题不对有几个人?
(2)两题都不对的有几人?
8、每边长为10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为宽1厘米的方框，把五个这样的方框放在桌面上，成为如的图案。问桌面上放这些方框盖住部分的面积是多少平方厘米?
9、一次数学竞赛都是填空题，小明答错的恰是题目总数的14，小亮答错5题，两人都答错的题目的总数的16，已知小明，小亮都答对题目超过了试题总数的一半，则他们都答对了多少道题?
10、在1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个?
容斥原理五年级试题二
1、全班有46名同学,仅会打乒乓球的有18人,会打乒乓球以及会打羽毛球的有7人,不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人,问,仅会打羽毛球的有多少人?
2、电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问：两个频道都没有看过的有多少人?
3、一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人?
4、在小于100的自然数中既不能被3整除，又不能被2整除的数有多少个?
5、某班45名同学参加了体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远均得优者7人，跳高、百米均得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没有达到优，求三项都是优的人数。
6、某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没有评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学?最少有多少名同学?
7、六一儿童节那天，全班45人到颐和园去玩，有33人划了船，20人爬了山。5名同学因身体不好，他们既没有划船也没有爬山，他们游览了长廊。问：既划了船也爬了山的同学有多少人?
8、六(3)班有32人参加数学竞赛，27人参加英语竞赛，22人参加语文竞赛，其中参加英语、数学两科的有12人，参加英语和语文两科的有14人，参加数学和语文两科的有10人，这个班至少有多少人?
9、分母是273的最剪真分数共有多少个?
10、博文学校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加语文竞赛的有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人?
第三篇：小五班容斥问题讲义
小五班容斥问题讲义
容斥原理1.二量重叠问题：总和=A+B-AB 容斥原理2.三量重叠问题：总和=A+B+C-AB-AC-BC+ABC 例题1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书。借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人。语文、数学两种课外书都借的有（）人。
练习1.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为（）人。
练习2.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有（）人。
练习3.民兵进行训练，每横排人数一样多，每竖行人数也一样多，李军站的位置从前面数是第4人，从后面数是第6人，从左面数是第3人，从右面数是第2人，一共有多少人参加训练? 练习4.王红从前面数是第6人，郝文排在最后，和王红间隔3个人，王红和黄克在同一横排上，王红从左数是第2个人，黄克从右数是第1人，他们间隔5人。三二班同学一共有多少人? 练习5.六一儿童节那天，全班45人到颐和园去玩，有33人划了船，20人爬了山，5名同学因身体不好，他们既没划船也没爬山，他们游览了长廊。问：既划了船也爬了山的同学有多少？
例题2.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有（）人,最多有（）人。
例题3.在1至100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有（）个。练习1.在1至10000中不能被5或7整除的数共有（）个。
练习2.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有（）个。练习3.在1到10000这10000个自然数中，即不能被8整除也不能被125整除的数有多少个？ 练习4.有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占，标有4的倍数的卡片占，标有12的倍数的卡片有15张．那么，这些卡片一共有多少张?
例题4.五一小学举行小学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的。现在知道五、六年级共展出22幅画，问：其它年级共展出多少幅画？ 练习1.东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的。现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅? 练习2.光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法共有多少幅?
练习3.实验小学举办学生书法展.学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅.一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅.一、二年级参展的书法作品共有多少幅?
例题5.洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？(9)练习1.把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？(12)例题6.罗明、李阳和赵刚每人都有几本书，罗明和李阳共有33本，罗明和赵刚共有39本，李阳和赵刚共有34本。问：他们三人各有几本书？
练习3.甲班和乙班共88人，乙班和丙班共97人，丙班和丁班共94人。求甲班和丁班共多少人？
例题7.二年一班共42名同学，其中少先队员33人。这个班男生20人，女生中有4人不是少先队员，求男生中有多少人是少先队员。
练习1.某班有学生46人，在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现，有电子琴的22人，两种琴都没有的14人，只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。问：只有电子琴的有多少人？
例题8.一次数学测验，甲答错了题目总数的1/4，乙答错了3道题，两人都答错的题目是题目总数的1/6。求甲、乙都答对的题目数。
练习1.一次数学速算练习，甲答错题目总数的1/9，乙答对7道题，两人都答对的题目是题目总数的1/6。问：甲答对了多少道题？
例题9.有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?
例题10.某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队．已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有（4）人．
练习1.某班有42人，其中26人爱打蓝球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打蓝球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球。没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好。问：既爱打蓝球又爱打排球的有几人？ 练习2.100个学生只有一人没学过外语，学过英语的有39人，学过法语的有49人，学过俄语的有41人，学过英语也学过法语的有14人，学过英语也学过俄语的有13人，学过法语也学过俄语的有9人。问：三种语言都学过的有多少人？ 练习3.64个小学生都订了报纸，其中订A报的28人，订B报的41人，订C报的20人，并且同时订A、B报的10人，同时订A、C报的12人，同时订B、C报的也是12人。问：三种报都订的有多少人？
练习4.在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。其中6人要了汽水，6人要了可乐，4人要了果汁，有3人既要了汽水又要了可乐，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可乐又要了果汁。问：(1)三样都要的有几人？(2)只要一样的有几人？
练习5.在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕，2个人既带了汉堡又带了芝士蛋糕。问：
（1）三种都带了的有几人？（2）只带了一种的有几人？ 答案：0人，4人
练习6.六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人。问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？
练习7.五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人。求这个班的学生人数。
练习8.建平学校第14届秋季运动会中，参加100米短跑的共156人，比参加200米短跑的少40人，比参加50米短跑的多26人，同时参加100米和50米短跑的有74人，同时参加200米和100米的有80人，是同时参加50米和200米人数的2倍，同时参加50米、100米和200米的有30人，求这届运动会中参加50、100米和200米的共有多少人？
练习9.在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3支铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支? 例题11.分母是1001的最简真分数有（）个。练习1.以105为分母的最简真分数共有多少个？
练习2.在前200个自然数中，能被2或3或5整除的有多少个？
练习3.试求：在1000以内(含1000)的自然数中，不能被3、5、8任何一个整除的数的个数。
例题12.有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与同时参加跑和跳两项的人数都是17人。问：仅参加跑和投掷两项的有多少人？
练习1.学校数学竞赛出了A、B、C三道题，至少做对一道的有25人，其中做对A题的有10人，做对B题的有13人，做对C题的有15人。如果三道题都做对的只有一人，那么只做对两道题和只做对一道题的各有多少人？
练习2.某年级60人中有2/3的同学爱打乒乓球，3/4的同学爱踢足球，4/5的同学爱打蓝球，这三项运动都爱好的有22人。问：这个年级最多有多少人这三项运动都不爱好？
练习3.某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球。那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？
练习4.康大六校五年二班学生参加语文、数学、英语三科考试，90分以上的语文有21人，数学有19人，英语有20人，语文、数学都在90分以上的有9人，数学、英语在90分以上的有7人，语文、英语都在90分以上的有8人，另有5人三科都在90分以下，这个班最多能有多少人？
练习5.图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过? 练习6.甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了7.5个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个? 练习7.学校举行棋类比赛，设象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加两项。根据报名的人数，学校决定对象棋的前六名、围棋的前四名和军棋的前三名发放奖品。问：获奖人数最多为几人？最少为几人？
例题13.某小学的统计数字表明：学校共有学生1200名，其中男生650名，高年级学生300名，三好学生100名，男生中的三好学生60名，高年级学生中男生160名，高年级女生中三好学生20名，非高年级女生中不是三好学生的400名。试证明：这个统计数字一定有错误。
练习1.全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会。至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀。如果全班有6个人数学不及格，问：(1)全班数学成绩优秀的有几名？(2)全班有几个人即会游泳又会滑冰？
例题14.某工厂一季度有80％的人全勤，二季度有85％的人全勤，三季度有95％的人全勤，四季度有90％的人全勤。问：全年全勤的人至多占全厂人数的百分之几？至少占百分之几？
练习1.五（6）班有54人参加秋游活动其中35人喜欢玩“捉特务”，45人喜欢玩“老鹰捉小鸡”，40人喜欢踢足球，50人喜欢跳牛皮筋，你是否可以肯定这个班至少有多少学生对这四项活动都喜欢。
第四篇：容斥问题知识点及实例解析
一、知识点 ?
1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。
如：集合A={0，1，2，3，„„，9}，其中0，1，2，„9为A的元素。
2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。A∪B读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集A∪B。
? 例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}
3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表示：
? 例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。
4、容斥原理（包含与排除原理）：
（用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3）
原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：
第一步：先求出?A?+?B?（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；
第二步：减去?A∩B?（即“排除”加了两次的元素）
总结为公式：|A∪B|=?A?+?B?-?A∩B? 原理二：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：
第一步：先求?A?+?B?+?C?；
第二步：减去?A∩B?，?B∩C?，?C∩A?；
第三步：再加上?A∩B∩C?。
即有以下公式：
?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?-?A∩B?-?B∩C?-|C∩A|+|A∩B∩C?
二、例题分析：
例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求?A∪B?。
解1：A={2，4，6，„20}，共有10个元素，即|A|=10 B={3，6，9，„18}，共有6个元素，即|B|=6 A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A∩B|=3 所以?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。
解2：本题可直观地用图示法解答
? 如图,其中,圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体,其中阴影部分的数6,12,18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即A∩B中的数)只要数一数集合A∪B中的数的个数即可。例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人？
解：设A={数学成绩90分以上的学生} B={语文成绩90分以上的学生} 那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，?A?=25，?B?=21，?A∪B?=38 现要求两科均在90分以上的学生人数，即求?A∩B?，由容斥原理得 ?A∩B?=?A?+?B?-?A∪B?=25+21-38=8 点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。
例3 某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少？
解：设A={打篮球的同学}；B={跑步的同学} 则 A∩B={既打篮球又跑步的同学} A∪B={参加打篮球或跑步的同学} 应用容斥原理?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=39+37-25=51（人）
例4 求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个？
分析：这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数。”但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。
解：设A={100以内的5的倍数} B={100以内的7的倍数} A∩B={100以内的35的倍数} A∪B={100以内的5的倍数或7的倍数} 则有?A?=20，?B?=14，?A∩B?=2 由容斥原理一有：?A∪B?=?A?+?B?-?A∩B?=20+14-2=32 因此，不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数是：100-32=68（个）
点评：从以上的解答可体会出一种重要的解题思想：有些问题表面上看好象很不一样，但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。
例5 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人；同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人；三个小组都参加的有2人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人？
解1：设A={数学小组的同学}，B={语文小组的同学}，C={外语小组的同学}，A∩B={数学、语文小组的同学}，A∩C={参加数学、外语小组的同学}，B∩C={参加语文、外语小组的同学}，A∩B∩C={三个小组都参加的同学} 由题意知：?A?=23，?B?=27，?C?=18 ?A∩B?=4，?A∩C?=7，?B∩C?=5，?A∩B∩C?=2 根据容斥原理二得：
?A∪B∪C?=?A?+?B?+?C?-?A∩B?-?A∩C|-?B∩C|+|A∩B∩C? =23+27+18-（4+5+7）+2 =54（人）
解2： 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。? ? ? 设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域Ⅶ（即A∩B∩C）表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2（人）。区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5（人）。区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为5-2=3（人）。区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14（人）。同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为：
14+20+8+2+5+3+2=54（人）
点评：解法2简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。
例6 学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。问有多少同学只喜欢看电影？有多少同学既喜欢看球赛又喜欢看电影（但不喜欢看戏剧）？（假定每人至少喜欢一项）
解法1：画三个圆圈使它们两两相交，彼此分成7部分（如图）这三个圆圈分别表示三种不同爱好的同学的集合，由于三种都喜欢的有12人，把12填在三个圆圈的公共部分内（图中阴影部分），其它6部分填上题目中所给出的不同爱好的同学的人数（注意，有的部分的人数要经过简单的计算）其中设既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为χ，这样，全班同学人数就是这7部分人数的和，即
16+4+6+（40-χ）+（36-χ）+12=100 解得 χ=14 只喜欢看电影的人数为 36-14=22 ? 解法2：设A={喜欢看球赛的人}，B={喜欢看戏剧的人}，C={喜欢看电影的人}，依题目的条件有|A∪B∪C|=100，|A∩B|=6+12=18（这里加12是因为三种都喜欢的人当然喜欢其中的两种），|B∩C|=4+12=16，|A∩B∩C|=12，再设|A∩C|=12+χ由容斥原理二：|A∪B∪C |=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| 得：100=58+38+52-（18+16+х+12）+12 解得：х=14 ∴36-14=22 所以既喜欢看电影又喜欢看球赛的人数为14，只喜欢看电影的人数为22。
点评：解法1没有用容斥原理公式，而是先分别计算出（未知部分设为х）各个部分（本题是7部分）的数目，然后把它们加起来等于总数，这种计算方法也叫“分块计数法”，它是利用图示的方法来解决有关问题，希望同学们能逐步掌握此类方法，它比直接用容斥原理公式更直观，更具体。
例
7、某车间有工人100人，其中有5个人只能干电工工作，有77人能干车工工作，86人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人？
解：工人总数100，只能干电工工作的人数是5人，除去只能干电工工作的人，这个车间还有95人。利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为163，然后找出这一公共部分，即163-95=68 例
8、某次语文竞赛共有五道题（满分不是100分），丁一只做对了（1）、（2）、（3）三题得了16分；于山只做对了（2）、（3）、（4）三题，得了25分；王水只做对了（3）、（4）、（5）三题，得了28分，张灿只做对了（1）、（2）、（5）三题，得了21分，李明五个题都对了他得了多少分？
解：由题意得：前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰好是试题总分的三倍。五人得分总和是16+25+28+21=90。因此，五道题满分总和是90÷3=30。所以李明得30分。
例9，某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名？
解：本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课的外语教师的人数。至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容斥原理,至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为50+45+40-15-10-8+4=106（人）不教这三门课的外语教师的人数为120-106=14（人）。
第五篇：小学奥数教案——容斥问题
教案
容斥问题
一 本讲学习目标
理解并掌握容斥问题。
二 重点难点考点分析
容斥问题涉及到一个重要原理——包含和排除原理。也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。
三 概念解析
容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质1和性质2分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等于性质1加上性质2减去它们的共同性质。
四 例题讲解
一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？
四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？
某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答的不对？
某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
在1到100的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是6的倍数的数有多少个？
光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品一共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组一共有多少人？
一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。问这个俱乐部里两种棋都会下的有多少人？
100个人参加测试，要求回答五道试题，并且规定凡答对3题或3题以上的为测试合格。测试结果是：答对第一题的有81人，答对第二题的有91人，答对第三题的有85人，答对第四题的79人，答对第五题的有74人，那么至少有多少人合格。
五 课堂练习
在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数，也不是5的倍数的数有多少个？
实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。
一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅。
一、二年级参展的书法作品共有多少幅？
六 课后作业
六
（一）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅不是三年级的，有19幅不是四年级的，三、四年级参展的图画共有8幅，其他年级参展的画共有多少幅？
五年级有22名学生参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？
七 励志或学科小故事——阿契塔
阿契塔（Archytas）希腊数学家。公元前约420年生于意大利塔伦通（现塔兰托）；公元前约350年卒。阿契塔是毕达哥拉斯学派的成员，居住在塔伦通，那里是当时保留到最后的一个纺织毕达哥拉斯学派的活动中心。阿契塔象公元前四世纪的许多希腊学者那样，致力于说服希腊各城邦联合起来反对日
效力增长的外来势力。可是，同所有其他希腊学者一样，他也失败了。希腊人坚持彼此之间的自相残杀，直到被马其顿所征服。
阿契塔的洒趣在于希腊的三大问题之一——立方倍积，即给定一个立方体，仅用圆规和直尺作另一个立方体，使这个立方体的体积是给定的立方体的两倍。后来发现，在所指定的条件下，这个问题是不可解，但是在经过一番努力之后，阿契塔发现了与比例中项（即在两个外项之间插入的一些线或数值）有关的一些定理，他使用比立方倍积问题所给条件的严格要求要自由一引起的工具，通过精巧的三维构体这个问题。他是试图把纯粹的技艺应用于力学的第一个希腊数学家，当时他按照自己的方式创立了关于声音和音理论。他仿照算术级数（1，2，3，4„„）和几何级数（1，2，4，8，„„），提出了调和级数（1，0.5，0.33，0.25，„„）的概念，他主张音调取决于空气的振动速度。他是正确的，但是他完全没有波动的概念。他相信音调高的声音在空气、物体中传播的速度比音调低的声音快，这当然是错误的。据信他还是滑轮的发明者。
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