九年级数学利润问题解决的教案

第一篇：九年级数学利润问题解决的教案

九年级数学利润问题解决的教案

【知识链接】

1．利润问题是一种常见的百分数应用题，随着社会经济的发展和教学内容的不断更新，像利润、利息等社会生活中的问题也逐步进入我们的课本，成为我们必学的数学知识。

2．一件商品的定价（售出价）是由成本和利润合并而成的。一件商品的“成本”不仅指“进货价”（简称“进价”），还包括运费、仓储费、损耗费。为了简便，有时就用“进货价”（简称“进价”）代替了“成本”，把运费、仓储费、损耗费等也计算在内。利润＝售出价－成本 利润率＝利润售出价100﹪=（－１）×100﹪ 成本成本3．商店有时降价出售商品，称打“折扣”出售。“几折”就是表示十分之几，也就是百分之几十。如某种商品打八折出售，就是按原售出价的80﹪出售。4．存入银行的钱叫本金。取款时，银行根据利率多付的钱叫利息。利率由银行（国家）规定，有按年计算的，也有按月计算的。利息＝本金×利率×时间

实际生活中，储户在领取利息时，银行要扣除20﹪的利息税，即储户实际所得利息＝本金×利率×存款时间－本金×利率×存款时间×20﹪ 本章所列有关利息问题的例题及练习题均不计利息税

【例题精讲】

例1．某商店某天上午按每件7元的利润卖出一种商品13件，下午按每件11元的利润卖出同一种商品12件，所得金额与上午一样多。这种商品的进货价每件是多少元？

提示：售出价＝进货价＋利润

例2．某超市采购员到某服装厂订购了定价为100元的服装80套。采购员对厂长说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4套。”厂长听后算了一下：若减价5﹪，则由于采购员多订购，所获利润反而比原来多100元。问：这种服装每套的成本价是多少元？

例3．某工厂向甲、乙两家银行共申请贷款40万元。已知甲银行的贷款年利率为12﹪，乙银行的贷款年利率为14﹪。一年后该工厂共计付给两家银行的贷款利息总数为5万元整，那么该工厂向甲、乙两家银行各申请贷款多少万元？

例4．某商店开张，为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售。已知某种皮鞋的进价为每双60元，八折售出后，商店获得的利润率为40﹪。问这种皮鞋标价为多少元？

例5．某商店将某种热销商品按原价提价40﹪进行标价，然后在广告中写上“八折优惠销售”，结果每件商品比原价多赚了270元，那么这种商品的原价是多少元？

例6．某种商品的进价是400元，标价为600元，打折销售时的利润率为5﹪，那么，此商品是按几折销售的？

例7．某商店经销一种商品，由于进货价降低了6.4﹪，使得利润率提高了8﹪，那么原来经销此种商品的利润率是多少？

【在线练习】 A级

1．小明决定将1000元存入银行三年，当年的年利率为2．53﹪，三年后到期共取出多少元?

2．“五一”期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣。某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折（按售价的70﹪销售）和九折（按售价的90﹪销售），共付款386元，这两种商品的原销售价之和为500元。问：这两种商品的原销售价分别为多少元？

3．某商品按20﹪的利润定价，然后按8.8折卖出，实际获得利润84元，求商品的成本为多少元？

4．由于西瓜的大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80﹪。小李第一天买了2千克，第二天买了3千克，第三天买了5千克，共花了38元。若这10千克西瓜都在第三天买，则能少花多少元？

B级 5．某鞋店以每双13元购进一批儿童皮鞋，售出价为14．8元，卖到还剩5双时，除去购进这批儿童皮鞋的所有开支，则还获利88元。问这批儿童皮鞋一共购进了多少双？

6．某种商品的利润率为20﹪，如果进货价降低20﹪，售出价保持不变，那么这时的利润率将是多少？

7．某商店用3000元购进个50足球和40个篮球。售出时，足球每个加价9﹪，篮球每个加价11﹪，全部卖完后共获利润298元。问每个足球和篮球的进货价是多少元？

C级

28．某商店出售某种商品，每出售一件可获利18元，售出后，每件商品降价

510元出售，结果全部售完，共获利润3000元。这个商店共出售这种商品多少件？

9．某商品按定价出售，每个可获得45元的利润，现在按定价打八五折出售8个所能获得的利润与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样，这一商品每个定价是多少元？

10．某公园规定：每张个人票为5元，供个1人入园，每张团体票30元，供不超过10人的团体入园，买10张或更多团体票可优惠10﹪，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又增加了两个人，幸好这两人每人带来了m元钱，结果人刚好都能购票入园，问m是多少元？

例1

利润问题例题及练习答案

设进货价为每件x元，则有：

(x7)13(x11)12

解得：x41

答：这种服装每套的成本价是41元

设这种服装每套的成本价是x元, 则有： 例2

(100x)80100(1001000.05x)[804(1000.05)] 解得：x70

答：这种服装每套的成本价是70元

例3 设该工厂向甲银行申请贷款x万元, 则有：

X×12﹪+(40-X)×14﹪=5 解得：x30

40-30=10 答：该工厂向甲、乙两家银行各申请贷款30万元、10万元。

例

4设这种皮鞋标价为x元, 则有：

0.8x6040﹪

60解得：x105

答：这种皮鞋标价为105元。

例5 设这种商品的原价是x元，则有：

x(1+40﹪)·80﹪-x=270 解得：x=2250 答：这种商品的原价是2250元。

例6

设此商品是按x折销售的, 则有：

600x104005﹪

400解得：x=7 答：此商品是按7折销售的。

例7

设原进价为1，原利润为x﹪,则原销售价为1+ x﹪，现进价为1-6.4﹪，销售价仍为1+ x﹪，现利润为（x6.4）﹪，则有：(x8)﹪=（x6.4）﹪÷（１-6.4﹪）

解得：x=17 答：原来经销此种商品的利润率是17﹪。

练习答案： A级

1．1000+1000×2.53﹪×3=175.9

2．甲、乙两种商品的原销售价分别为320元、180元 3．1500元

4．设第一天每千克西瓜x元，依题意列方程：

2x+3x×80﹪+5x×80﹪=38 解得：x=5 若这10千克西瓜都在第三天买只需花：5×10×80﹪×80﹪=32（元）38-32=6（元）故能少花6元 B级 5．90双

6．(1.20.8)0.850﹪

7.每个足球和篮球的进货价分别为32元、35元。C级

8．设商店共出售这种商品x件, 22

18x(1810)(1)x3000

解得：x=250

9．设这子种商品每个的成本为x元，则定价为每个（x+45）元，于是：

(x4535)1212x(x45)0.8588x

解得：x=155，则定价为每个155+45=200元 10．原145人准备的钱是3014(110﹪）+5×5=403元 147人入园，需30×15×（1-10﹪）=405（405-403）÷2=1元，即m1

第二篇：九年级上利润问题专题

1.某商店购进一种商品,进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件? 2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产ⅹ只熊猫的成本为R（元）,售价每只为P（元）,且R P与x的关系式分别为R=500+30X,P=170—2X.（1）当日产量为多少时每日获得的利润为1750元?（2）若可获得的最大利润为1950元,问日产量应为多少? 3.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商品要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元? 4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现,如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么每件童装应降价多少元? 5.西瓜经营户以2元／千克的价格购进一批小型西瓜,以3元／千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?

6、某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润=（售价-成本价）×销售量）

请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：

（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；（2）求出线段BC所对应的函数关系式．

7、某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

8、某水产批发市场经销一种成本为40元的水产品，据市场测算，若按每千克50元销售一个月能售出500千克，若销售价每上涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价每千克为x元，请回答下列问题：（1）试确定月销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）设经营此水产品的月销售利润为w元，写出w关于x的函数关系式；

（3）该水产批发市场将销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？

9、某公司经销一种绿茶，每千克成本为5 0元．市 场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：

注意：销售利润=（销售单价-每千克成本）×销售量（1）求y与x的关系式；

（2）当x取何值时，销售利润y的值是2450元？

（3）公司想要在这段时间内获得2500元的销售利润，行不行，为什么？

10、利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？

11、某商店经销一批小家电，每个小家电的成本为40元．据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．针对这种小家电的销售情况，请回答以下问题：

（1）当销售单价定为60元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价定为x元（x＞50），月销售利润为y元，求y（用含x的代数式表示）；

（3）现该商店要保证每月盈利8750元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？

12、某种商品以8元购进，若按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的办法来增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件．

（1）当售价提高多少元时，每天利润为700元？

（2）设售价为x元，利润为y元求y与x之间的函数关系式】

13、商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，销售量就减少10千克．设每千克水产品涨价x元，针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

（1）商店月销售量减少 千克，每千克水产品盈利元（用含x的代数式表示）；

（2）在上述条件不变、销售正常情况下，商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应在50元的基础上提高多少元？

14、某药店购进一种药品，进价4元．试销中发现这种药品每天的销售量p（件）与每件的销售价x（元）满足关系：p=40-2x．（1）用含有x的代数式表示一件药品的利润．

（2）若商店每天销售这种商品要获得56元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？

15、某小型加工厂的某种产品按质量分为10个档次，加工第一档次（即最低档次）的产品一天生产38件，每件利润5元，每提高一个档次，利润每件增加1元．

（1）当产品质量是第4档次时，提高了几档？每件利润是多少元？（2）由于加工工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少2件，若加工第x档的产品一天的总利润为y元．（其中x为正整数，且1≤x≤10）．求出y与x的函数关系式．

16、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）存在一次函数关系：y=-x+120．

（1）若商场要想获得800元的利润，则销售单价应是多少元？（2）若设该商场获得利润为W元，求w与x之间的函数关系式

第三篇：中美数学问题解决案例比较

中美数学问题解决案例比较

赵小云

(杭州师范学院数学系, 浙江杭州 310036)

[ 摘要]近年来, 中美两国的数学教育都十分重视“问题解决”, 把它作为数学教学目标之

一.在此, 通过对两国同一数学内容的问题解决教学案例进行比较, 分析各自在教学目标、教学引入、教学内容、教学方法及教学效果方面的优势与不足, 对指导我国新一轮课程改革和教学改革具有参考意义.[ 关键词] 教学案例;数学问题解决

中图分类号: G633.6 文献标识码: A 文章编号: 1003-7667(2007)05-0079-04

作者简介: 赵小云(1962-), 男, 浙江东阳人, 杭州师范学院数学系副教授、硕士.一、问题的提出

从80 年代美国提出问题解决至今, 我国学者对数学问题解决的研究已经相当深入, 包括理论探讨、实施细节、方法策略、评价标准, 等等, 但对其跨文化比较研究还十分欠缺.对数学问题解决教学的个性与共性进行比较研究, 能使我们认识到自身的不足与问题的所在.同时, 通过比较研究, 突现出我国在数学问题解决教育中的特点、长处及所取得的成就, 向国外介绍我国的数学教育成就和经验, 共同提高国际数学教育水平.本文以相似三角形为教学案例进行分析.二、两国数学问题解决教学案例及其比较分析

(一)教学目标的比较与分析

我国的教学目标:(1)掌握相似三角形的判定定理和性质定理的直接、间接以及综合运用方法;(2)了解相似三角形在实际生活中运用的意义, 初步掌握这类应用问题的类型及问题解决的过程和方法.[1]

美国的教学目标:(1)使学生能够在问题解决过程中建立新的数学知识———掌握相似三角形的判定和性质定理;(2)针对课堂上的问题建立公式、表示、抽象和推广;(3)运用各种不同的策略解决问题并能够迁移到其他情境当中.[2]

两国在教学中都把课题所学的知识与生活中的实际问题及所连带出的相关问题联系起来, 都注重把实际问题抽象成数学问题的过程的教学,使学生掌握分析和解决实际问题的策略与方法.相比之下, 我国对学生要求更高, 因为教学目标不仅要求学生解决实际问题, 而且要求学生熟练掌握复杂证明题的解答, 培养学生抽象概括能力、辩证思维能力、数学表达 能力等;美国的教学目标注重发展学生学习数学的思维方法、情感, 没有给学生增加抽象证明题, 一般通过解决课堂知识的实际应用所连带出的相关问题, 拓宽学生的认知领域.(二)教学引入的比较与分析

我国的教学引入是比较传统的方法, 即通过几道证明题来回顾相似三角形的一般证明方法,从中先复习判定和性质定理, 而后再引出实际问中美数学问题的解决。

美国的教学课中教师引入了测距仪, 因为它的原理就是相似三角形的性质.课中, 美国教师先出示了一个自己制作的构造简单的测距仪, 这种呈现无疑吸引了学生的兴趣.接着, 教师与学生共同回顾相似三角形的性质, 尤其是怎样把相似三角形的性质运用于简单的测距仪中, 一旦学生开始了解测距仪的构造及工作原理, 教师就允许他们使用测距仪测量距离.美国的教育注重对学生能力的培养, 注重启发学生的学习兴趣, 注重培养学生成为一个好的学习者.美国大多数学生不喜欢数学, 认为数学只不过就是一些空洞的符号和推理,毫无实用价值,因此学习数学毫无意义.[3]

在这种情况下, 如何激发学生的学习兴趣, 如何把学生吸引到学习的过程中来, 如何使学生认识到他们所学的知识和现实世界的联系, 如何提高他们的学习能力和问题解决的能力, 就是教师努力的方向.在这个教学案例中, 美国教师就通过直观教学, 即介绍测距仪的工作原理来回顾相似三角形的性质, 教师并没有给出典型的相似三角形判定和利用其性质定理的例子, 与我国直接给出若干证明问题的引出大相径庭.美国的教学擅长让学生明确数学来源于生活, 数学知识的学习具有实际的意义, 这激发了广大学生的兴趣, 促进了他们学习抽象数学的积极性.(三)教学内容的比较与分析

1.中美两国教学内容简介

我国问题解决教学的内容来源于课本, 首先给出了若干证明题, [4]让学生们独立思考, 然后进行小组合作, 交流解法, 找出最佳的证明方法和规律;接着给出两道实际问题.学生根据问题解决一般步骤, 在老师指导下运用定理对上述两题进行解答.美国则通过活动教学, 即在实际操作中体会相似三角形的性质.学生在室外进行活动操作时的步骤是: 学生来到草地, 先把一根 2 米高的旗杆放在远处, 杆顶挂一面小红旗, 学生通过调整测距仪, 从测距仪上有 2 厘米高的小狭缝中看到小旗顶端, 再测出眼睛到小狭缝的距离, 利用相似三角形的性质就能计算出旗杆离学生的未知距离.学生们根据相似三角形的性质可以得出以下结论:

眼睛到小缝的距离

小缝的高度眼睛到旗杆的距离（未旗杆的高度知）

教师向学生提问,“等式在任何情况下都准确吗? ”一些学生意识到如果使用者并不是在地平面观察, 那么图 1 中两个讨论的相似三角形并不绝对相似.这样, 给出的等式左右两边就不相等, 只是一个近似值而已.接着, 教师提问学生:“出现的误差是否重要? ”学生们在课上通过独立思考与合作交流的方式, 运用所学的相似三角形的性质和判定定理等知识来得出近视距离与实际距离差异的公式.2.比较与分析

在课堂教学内容方面, 我国喜欢根据数学知识的内在结构发展一节课内各部分内容间的联系.数学题的题量较大, 包括一定的证明题, 以求能提高学生运用性质定理和判定定理熟练解决常规问题的能力及逻辑思维能力等, 解决问题的效率较高;同时, 也给出了一定量的生活实际问题,需要学生联系实际, 画出图表, 并把这些问题转化为数学问题进行解决.可以看出, 这些实际问题与美国的实践内容是差不多的.但我国的教学过程严格按照问题解决的一般步骤, 学生仍旧是倾向于熟练掌握解答或证明的技巧, 教师忽视了对学生发现问题、提出问题和兴趣的培养等.美国教师教学内容则更广泛地包括课内外的各种论题, 很少涉及到证明题, 内容要比我国的简单, 学生擅长运用一些实际的问题, 而对抽象的证明题无所适从, 教学过程倾向于两个阶段: 知识的获取和知识的应用.就如美国这个课题教学, 是通过学生亲身操作测距仪测量未知距离, 从中体会相似三角形性质定理的具体运用, 并从实际操作中发现问题, 分析问题, 解决问题.在教学结构的各个环节中更注重向学生展示数学知识的形成过程, 让学生在过程中体验知识的产生、发展和完善, 并通过组织积极有效的数学活动, 发展学生数学构建意识和探索创新能力, 通过观察、实验、尝试等, 发展学生的直觉思维能力、合情推理能力, 为数学知识的逻辑化过程提供了充分的感性认识, 从而降低了抽象的逻辑化过程的难度.并且, 通过解决实际问题培养学生的应用意识, 积累问题解决的经验.另外, 美国学生能够在动手操作中发现新的问题.因为美国学生在亲身实践中发现或受启发而认识到这一点: 若人与旗杆不在一个平面时, 情况会不同, 考虑答案又会怎样? 先前得出的公式仍然成立吗? 若成立, 则算出的结果与实际值有误差吗? 这样的学习完全是主动参与和善于发现问题的, 学生充满了探索热情, 积极地进行误差的计算, 其中又对相似三角形的判定进行了复习与运用.(四)教学方法手段的比较与分析

我国教师在启发学生解典型的相似三角形判

定的证明题时, 一般的步骤是: 若相似三角形不明显, 则先启发学生寻找两个相似三角形, 再由结论引出判定的方法, 让学生选择合适的一种, 接着要求学生写出证题思路, 提出变式训练, 改变条件和结论.在启发学生解决实际问题时, 首先把它转化为数学问题, 学生在老师的启示下找出已知条件和未知条件, 画出图形, 写出已知、所求.接着, 教师要求学生思考解决方法, 小组合作交流解法;然后, 通过教师的启发, 学生的尝试, 设立未知数, 解决这个问题.美国教师教学中也用了启发式教学, 在操作中启发学生用具体的数学公式来表示怎样计算所要测量的距离;得出普遍结论后, 又提示是否有特殊情况存在, 启发学生想到如果人与杆不在同一水平地面时的情况;特别在学生计算误差中又提出了数学公式.比较两国教师的启发方法, 我们可以看出我国教师意图在启发中教会学生解决问题的一般步骤方法, 起引导解题思路的作用.美国教师则更关注让学生在解决问题、得出公式的同时发现问题,在数学的学习中领略数学美, 进行情感教育.两国在问题解决教学过程中都运用了直观教学法, 但美国教师的教学直观性更优于我国教师,直观教具的出示远比让学生画图更形象生动, 更能激发学生的学习兴趣, 化抽象为具体.而且美国的教学中还有活动课部分, 创设一定的情境让学生在动手操作中学会数学的应用, 真正体现了寓教于乐.此外, 两国在教学过程中都用了小组合作交流学习的方法, 拓宽了解题的思路, 增加了解题的方法, 在问题解决的过程中, 提倡学生互相交流、合作, 这样能发现多种解决问题的方法.在合作交流中学生更重要的是自己发现问题, 深入研究, 进行发散性思考, 得出结论, 勇于与他人交流,哪怕这个结论不一定正确或合理.(五)教学最终效果的比较与分析

我国数学问题解决教学的最后总结回顾了本章节所用到的方法和规律, 如证明角相等的方法、证明边相等的方法、证明线段等积式和比例式的方法、求线段长的方法、平移思想和实际问题抽象成数学问题的方法等, 并要求撰写课题学习报告,提出了若干要求.美国教学只是总结影响误差的因素.首先, 误差与观察者眼睛离地面的高度和所测的真实距离的比率成正比, 这个比率越小越好;其次, 误差是与观察者眼睛的高度和旗杆的高度的差成正比,如果它们相等, 那么误差就为零.通过教学与总结, 我国教师的教学使学生熟练地掌握了运用相似三角形的判定定理和性质定理证明常规问题, 并会解决与之相关的实际问题, 从而对于问题解决的一般步骤比较了解,常规策略能运用自如, 并培养了抽象概括能力、逻辑思维能力, 形成了个人独立思考与小组合作交流相结合的良好方法.在这方面, 我国学生解决问题的能力的确强于美国学生.但从另一方面来看, 美国教师的教学全面调动了学生的积极性,把源于生活娱乐的问题搬进了课堂, 在愉快教育的同时, 学生又获得了能力的培养, 掌握了一样现实生活中的操作技能, 同时, 对几何这一课时的内容有了基本的了解, 能够解决常规的计算题,虽然对证明类型的题目并不擅长, 但培养了发现问题, 提出问题的能力.这样, 使他们感受到“生活中处处有数学, 处处要用到数学”, 激发他们对日常生活问题探讨的兴趣, 真正体现了数学的应用价值.三、结论与思考

通过上面的比较分析我们可以看到, 我国注重学生问题解决的一般步骤和方法, 从而培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力的优点值得我们继续发扬;而美国那种把源于生活

和娱乐的问题搬进课堂, 全面调动学生的积极性, 在愉快教育的同时, 帮助学生获得了能力, 掌握了现实生活中的操作技能, 这都是值得我们今后学习和借鉴的.培养学生发现问题, 提出问题的能力, 使他们感受到“生活中处处有数学, 处处要用到数学”, 从而激发学生对日常生活问题探讨的兴趣, 真正体现数学的应用价值, 这是我国数学教育中的弱点.1.提供有吸引力的学习背景, 注重学生兴趣和个性的发展

教师在教学中, 应该根据学生、教学内容、教学环境的具体情况, 注重数学与现实世界的联系,营造一种现实而有吸引力的学习背景, 激发学生学习数学的兴趣与动机, 让学生在自然的情境中,在教师的帮助下自己动手、动脑“做数学”, 用观察、模仿、实验、猜想等手段收集资料, 获得体验,从而学会运用数学解决生活中的问题.2.注重自主探索与合作交流, 使学生多方面的能力得到培养

问题解决教学方式要体现教学以发展学生的能力为主的教育观念.教学方式要提供给学生这样一种学习环境: 学生要进行调查探索运用数学方法去思考、判断和推理.学生们要进行交流与合作, 要面对各种各样的挑战.问题解决的过程是对学生多方面能力培养的过程, 特别是数学思维和运用数学的能力的培养.数学目标是借助数学问题引进的, 需要进行一系列的主题活动和问题解决活动, 学生通过小组合作或独立作业进行, 每部分结束时要进行问题的总结, 旨在综合和巩固学生所学过的知识和技能.3.重视对学生提出问题、发现问题能力的培养

问题提出的本质是让学生经历“补充数学, 而不仅仅是吸收数学, 并且新观点新思想的产生是数学思维的一个重要的令人激动的方面”.只有让学生真正地认识到“发现———提出问题”的重要性, 才能使学生自觉地去注意世界、观察世界, 以探究的眼光去看待问题, 提出有质量的问题, 进而使学生产生强烈的兴趣, 达到教学的目的.故在问题解决教学中, 教师要重视培养学生发现问题、提出问题的能力, 保护学生提出问题的积极性;教师也要讲究提问的艺术, 要合乎情理, 力求自然.4.重视对学生情感态度、价值观的培养

问题解决教学应重视培养学生的情感态度与价值观, 提高学生学习数学的信心.学习数学的过程应当成为积极的、愉快的和富于想象的过程, 教学中让学生形成积极的情感体验, 如教学中穿插一些体现数学美、揭示数学发展史的小篇章等, 使学生学习数学时不再望而生畏, 促进学生主动学习与探索.参考文献:

[ 1][ 4] 李红婷.数学“问题解决教学”课堂教学纪实与评析

[ J].山东教育, 2001,(3): 50-55.[ 2][ 5] Paul M.Cuicchi and Paul S.Hutchison.Using a Simple

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学报, 1998,(1): 33-37.

第四篇：九年级数学《中心对称》教案

《中心对称》教案

情境感知

两人轮流往一个圆形桌子上摆放硬币，规则是每人每次摆一个，硬币不能互相重叠，也不能有一部分在桌面边缘之外，摆好之后不许移动．这样经过多次摆放，直到谁最先摆不下硬币就认输．假如两个都不是内行，是先放着获胜，还是后放者获胜？假如是你和别人一起做这个游戏，你打算怎样放才能稳操胜券？

基础准备

一、中心对称

1．把一个图形_______________________________________________，那么称这两个图形关于该点对称，也称这两个图形成_____________，这个点叫做____________，____________叫做对称点．

2．关于中心对称的两个图形，对称点________________都经过对称中心，而且被对称中心所______________．关于中心对称的两个图形是___________图形．

问题1．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果OAOC，BODO，那么与△AOB成中心对称的是（）

（A）△BOC．（B）△COD．（C）△DOA．（D）△ABC．

二、中心对称图形

3．把一个图形_______________________________________________，那么这个图形叫做中心对称图形．

问题2．下列图形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？是中心对称图形，请指出对称中心．

（1）角．（2）正三角形．（3）平行四边形．（4）等腰梯形．（5）矩形．（6）菱形．（7）正方形．（8）圆．

三、关于原点对称的点的坐标

4．两个点关于原点对称时，它们的_______________相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（__________，__________）．

问题3．与M（10，6）关于原点对称的点的坐标为（）

（A）（10，6）．（B）（10，6）．（C）（10，6）．（D）（10，6）．

要点探究

探究1．识别轴对称图形与中心对称图形

例1．下列图形中，不是轴对称图形而是中心对称图形的是（）（A）等边三角形．（B）平行四边形．（C）矩形．（D）正方形．

解析：A不是中心称图形，不符合要求．C、D既是轴对称图形，又是中心对称图形，也不符合要求．

答案：B．

智慧背囊：轴对称图形是沿某条直线翻折180后两部分图形完全重合，而中心对称图形是绕某一点旋转180后与原图形完全重合．解题时注意两者的区别．

活学活用：下列各组图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）（A）正方形、长方形、平行四边形．（B）等边三角形、正方形、长方形．（C）正方形、长方形、圆．（D）平行四边形、正方形、等腰三角形．

探究2．利用中心对称探究数学问题

例2．如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的中线．若AB5，AC3，求AD的取值范围．

解析：画出与已知图形成中心对称的图形，利用中心对称的特征解决问题．

答案：延长AD到点E，使ADDE，连BE．∵ADED，DCDB，∠ADC∠EDB，∴△ADC≌△EDB，∴BEAC3，而AB5，∴22AD8，∴1AD4．

智慧背囊：利用中线倍长构造中心对称图形是解决中线问题常用方法之一．

活学活用：在数轴上表示1和1的两个点关于原点成中心对称，那么4x2的区域关于原点对称的区域是什么？在数轴上表示出来．

探究3．中心对称的创新应用

例3．请你在下图中沿虚线用四种不同的方法，把44正方形方格图形分割成两个完全一样的图形．

解析：正方形是轴对称图形，共有对称轴共四条，有两条是沿着虚线的．正方形又是中心对称图形，通过对称中心沿着虚线画一条关于这一点中心对称的折线即可．

答案：提供下面答案供参考，聪明的同学们，你还有其它分割方法吗？

智慧背囊：本题利用轴对称和中心对称性质分割图形为全等形．实质上，都是通过正方形的对称中心沿虚线格作出对称分割．

活学活用：一个每边长均为4m的荷花池如图所示，O是荷花池的中心，O到各顶点的距离相等．现计划在池中安装13盏灯，使其夜景变得更加漂亮．请你设计一个安装方案（要求相邻两盏灯间的距离d的取值范围为1md2m，同时设计的图案要美观）．

随堂尝试

A基础达标

1．选择题

（1）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

（A）角．（B）等边三角形．（C）矩形．（D）平行四边形．

（2）在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于原点对称的坐标是（）

（A）（2，3）．（B）（2，3）．（C）（2，3）．（D）（3，2）．

（3）如图①，小明将四张牌放在桌上，然后蒙上眼睛，请一位同学上前，将某一张旋转180o．小明解开蒙具，看到四张牌如图②所示，他很快就确定被旋转过的牌是（）

（A）方块4．（B）黑桃5．（C）梅花6．（D）红桃7．

图①

图②

（4）如图，可由某个图案绕该图的中心旋转180而成的是（）

o

（A）

（B）

（C）

（D）（5）如图，在等边△ABC中，AB9，点O在AB上，且AO3，点P是AC上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（）

（A）4．（B）5．（C）6．（D）8． 2．填空题

（1）△ABC中，AB7，AC9，则中线AD的取值范围是_______________．（2）在下面的四个图形中，图形①与图形____________成轴对称，图①与图形_____________成中心对称（填写符合要求的图形所对应的序号）．

图①

图②

图③

图④

（3）如图，三个大小不等的圆的圆心相互重合，且最大圆的半径为5cm，那么，图中阴影部分的面积为____________cm2（结果中保留）．

（第（3）题）

（第（4）题）

（第（5）题）

（4）如图是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针方向旋转，至少旋转____________度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．

（5）如图，Rt△ACB中，∠C90，AE3，BE5，正方形CDEF的顶点都在△ABC的边上，△AED绕点E逆时针旋转90后与△GEF重合，那么阴影部分的面积为_________．

3．在方格图中画出△ABC关于O的对称图形．

（第3题）

（第4题）

4．如图，有一长方形土地，地内有一口井，现将这块地平分给甲、乙两个承包户种植蔬菜，要求两家合用这口井浇地．请问应如何分？在图中画出分界线．

B能力升级

5．有55的小正方形组成的图形如图所示，去掉中心的一个方格，余下24格，要求把它分成大小相等，形状相同的四块，请你在下面的三个图形中分别设计三个不同分法．

6．由4个全等的正方形组成的“L”形图案如图所示，请按要求在网格中画图．（1）在图①中添加1个正方形，使它成为轴对称图形；（2）在图②中添加1个正方形，使它成为中心对称图形；

（3）在图③中改变1个正方形的位置，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形．

C感受中考

7．在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，△ABC与△ABC构成的图形是中心对称图形．

（1）画出此中心对称图形的对称中心O；

（2）画出将△A'B'C'，沿直线DE方向向上平移5格得到的△ABC；

（3）要使△ABC与△A1B1C1重合，则△ABC绕点C顺时针方向旋转，至少要旋转多少度？（直接写出答案）

8．下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

课后实践

乾隆和纪晓岚楹联中的对称

传说乾隆下江南时，曾光顾了一个小酒店．当时，大雪飘飘，顾客寥寥，乾隆有兴而发，出了一个上联——“水冷酒一滴二滴三滴”，要随从纪晓岚对下联，纪晓岚是乾隆的宠臣，文学功底厚实．纪晓岚看后，觉得这副对联很难对上，因为水冷酒三个字很特殊，它们的偏旁正好是一滴二滴三滴，要找到这样的三个字，即要有意义，又要与数字有联系，还要保证对称，确实不容易．不过纪晓岚毕竟是纪晓岚，也稍加思索，写出了下联——“丁香花百头千头万头”．这真是太妙了！丁香花三个字出很特殊，丁字的头与百字头一样，香字的头是千，花字的头与万字头一样．水冷酒使人联想到寒冬腊月，而丁香花使人联想到春意融融．这副对联内在对称，不禁叫人拍案叫绝．

第五篇：试论小学数学“问题解决”教学策略

试论小学数学“问题解决”教学策略

我国的小学数学教学与国际上其他一些国家的小学数学教学比较，具有重视基础知识教学，基本技能训练，数学计算、推理和空间想象能力培养等显著特点。然而，改革开放使我国数学教育界看到了小学数学教学的不足，其中突出的两个问题是：学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。要从根本上改变这一现状，还应在小学数学课程设计上有所突破。

我们在2013年3月25日，进行了“小学生问题解决策略选择的城乡对比研究”。调查结果显示，小学生解答基本题的正确率为63.4%，解答变式题的正确率为51.8%，从总体上分析，我们欠发达地区小学生的问题解决能力有待进一步提高。

根据认知理论，数学学习过程是一个数学认知过程。数学教育的根本任务是发展学生的数学认知结构。小学数学问题解决能力的形成，是主体通过学习新的内容并和原有的数学认知结构相互作用，以形成新的数学认知结构的过程。为此，我们提出“分解目标，设计问题；讨论问题，提出方案；策略交流，解决问题”的问题解决教学策略。

一、分解目标，精心设计“问题”

目标分解要根据小学数学课程标准，结合学生实际将知识目标分解成若干个目标，落实到课堂教学的各个环节当中逐个解决。在教学中，一般采用“低起点，小梯度，多训练，分层次”的方法，将学习目标分解成若干层次，设计出由浅入深的基础题，逐步加深，在适合学生的最近发展区内运用一系列问题串设问，层层递进，消除学生的学习障碍，提高学生的学习信心，从而突破教学重难点。

二、讨论问题，提出方案

这是寻求阶段，即利用数学认知结构寻求问题解决的途径。在这一阶段，教师要引导学生讨论问题、提出方案，致力于“问题解决”能力的培养。小学数学“问题串”目标分解教学过程中，我们要求教师做好导学工作――设计好“问题串”，把新知识的学习过程交给学生自主探究与合作学习，让学生在自主探究中发展能力、在合作学习中构建新知。在这一阶段，教师应当帮助学生建立有效的学习小组，鼓励合作，强调几何直观，关注学法指导。

1.建立有效学习小组

学习小组有同质小组和异质小组两大类，基于学生学习能力的发展不平衡，小学数学“问题串”目标分解教学面临着学生学习水平不一致的问题。为了让不同发展水平的学生都能解决问题，我们建议组建异质学习小组，让不同层次的学生多层次、多方位交流信息，共同探究，最大限度地发挥学习小组的合作功能。教师一方面要督促后进生聆听优生对问题的分析，另一方面要关注学习小组讨论中的思维活动、学习态度、学习精神等信息，更重要的是收集通过小组学习也不容易理解的知识，找准学生学习的难点，为后续的讲解寻求切入点。

2.鼓励合作

新课标指出，学生是学习的主体，“问题解决”的过程就应该是学生自己对数学知识的再创造过程。我们提出，要留给学生自主探索的机会，给足学生合作交流的空间，把学习的自主权还学生，激励学生在独立思考的基础上合作解决问题。

3.强调几何直观

皮亚杰说过，“认识一个客体，必须动之以手”。事实证明，学生提出的问题，很多可以让学生自己操作学具来解决。如学生提出问题：“圆柱上下两个底面的面积相等吗？”对于这个问题，我们不急于将结果告诉学生，而是让他们讨论：“你能用什么方法检验圆柱上下底面的面积是否相等？”这样学生在学习过程中动手、动脑、动口、动眼，既知其然，又知其所以然。

4.关注学法指导

中国有句古话叫“授人以鱼不如授人以渔”，说的是传授给人知识，不如传授给人学习知识的方法。要提高学生解决问题的能力，教给他们一些比较完整的解决问题过程和常用方法是十分必要的。当前，新课程反对将“应用题”分类，其根本目的是担心教师将解决问题的过程与方法讲得过分精细、强调得过分强烈。然而，作为小学阶段的学生必须掌握的几种解题方法，如画图法、假设法、列表法、估算法等，我们应该教给学生，这样，他们解决问题才能有章可循，有道可走。

三、策略交流，解决问题

“问题解决”的核心内容就是要让学生创造性地解决问题。不同的人思维方式也不同，其解决问题的方法也不相同。我们应当给予学生充分的信任，决不提前暗示，更不可替代学生的思考。教师应该做的是创设情境，让学生在自信中沉思，在策略交流中收获。利用“追问”，让学生知其然；利用“反问”，让学生知其所以然；通过“类比”引导学生提出新的问题。在“提出问题――解决问题――提出新问题――解决新问题”的过程中交流策略，发展能力。

例如学习完“三角形内角和”时，可以提出这样的问题：“你认为三角形除了内角和是180度这个秘密外，还有没有其他秘密？你准备怎么去探究？”一个问题就让能够学生主动整理本堂课的学习方法，并将方法迁移到另一个探究活动中。

1.模拟练习，运用问题

新鲜有趣，与生活贴近的问题，易引起学生的兴趣，更有利于帮助学生理清教学与实际问题的联系。数学源于生活又高于生活，小学生的数学学习，不仅仅是解决问题、掌握现成的数学知识和技能，更重要的是要知道如何运用课堂所想的问题去探究新的世界。因此，在教学中，还要引导学生应用所学的知识解决一些实践性的问题。

小学数学中的知识，在现实生活中有着广泛的应用。比如“年月日”，“元角分”，“周长和面积”，等等。我们要善于鼓励学生把自己在现实生活中发现的数学问题说出来，写下来，通过交流、评比，提高他们到实践中去学数学的自觉性。做错题集、写数学日记、撰写数学小论文都是很好的练习，既可以巩固新知，又可以提高学生运用问题的能力。

2.总结经验，构建新知

新课程提出要学生在数学学习活动中积累数学活动经验，我们可在课堂结尾处预设一个启发学习方式的问题，以此帮助学生回顾学习过程，总结学习方式，形成自主学习能力。

如果小学生缺乏解决问题的能力，那么他们所知的事实、概念和步骤是毫无用处的。培养学生解决问题的能力，让学生在解决问题的过程中体验成功，让成功激励所有学生乐意去解决问题，这就是“问题解决”策略教学所追求的目标。这种活动富有“挑战性”和“启发性”，对改善我国的小学生数学学习具有现实意义。

（责编 金 铃）