第一篇：函数应用题的几种常见模型教案
函数应用题的几种常见模型
函数应用题主要有以下几种常见模型：
1、一次函数模型
例1某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.5元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则每天应从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚多少元？
注：现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长和拉力的关系等，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长,即为增函数，一次项系数为负时为减函数。
2、二次函数模型
例2某工厂生产的商品A，若每件定价为80元，则每年可销售80万件，政府税务部门对市场销售的商品A要征收附加税，为增加国家收入又要有利于生产发展，必须合理确定税率，根据市场调查，若政府对商品A征收附加税率为p%时，每年销售额将减少10p万件。据此，试问：
（1）若税务部门对商品A征收的税金不少于96万元，求p的范围；（2）若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高，求此时p的值。
注：在第二问即二次函数求最值问题，一定要注意隐含条件。所以应用题中变量的取值范围是一个非常值得重视的问题。
3、指数函数模型
例3某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系；
（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）；
（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年增长率应该控制在多少？
注：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示。通常可以表示为yN(1p)(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式。
x4、分段函数模型
例4通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f(t)越大，表明学生注意力越大），经过实验分析得知：
t224t100,0t10f(t)240,10t20, 7t380,20t40（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？
（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
注：对于一些较复杂的问题，有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题，需先后或年同时构造、利用几个函数模型，即分段函数模型方可。
5、幂函数模型
例5在固定电压差（电压差为常数）下，当电流通过圆柱体电线时，其强度I与电线半径r的三次方成正比。
（1）写出函数解析式；
（2）若电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，求电流通过半径为r毫米的电线时，其电流强度的表达式；
（3）已知（2）中的电流通过的电线半径为5毫米，计算该电流的强度。注：本题是以物理概念为背景建立函数关系的问题，关键是分清各个量的物理意义及相关关系。
6、对数函数模型
例6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2O，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量。10（1）计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
第二篇：高中函数应用题模型全总结
高中函数应用题模型全总结
函数应用题主要有以下几种常见模型：
1.一次函数模型
例1某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.5元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则每天应从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一 个月最多可赚多少元？
2二次函数模型
例2某工厂生产的商品A，若每件定价为80元，则每年可销售80万件，政府税务部门对市场销售的商品A要征收附加税，为增加国家收入又要有利于生产发展，必须合理确定税率，根据市场调查，若政府对商品A征收附加税率为p%时，每年销售额将减少10p万件。据此，试问：（1）若税务部门对商品A征收的税金不少于96万元，求p的范围；（2）若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高，求此时p的值。
3指数函数模型
例3某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）；（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年增长率应该控制在多少？
第三篇：应用题模型
学习内容和要求：
1、了解一元一次方程这条内容的知识系统，理解等式、方程、方程的解、解方程、一元一次方程的标准形式和解的情况
2、掌握解一元一次方程的方法步骤
3、掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤
4、认识到用代数方法解决数字问题的优越性。
学习重点：有关一元一次方程的概念及解一元一次方程的基本方法
学习难点：灵活运用解方程的变形步骤及解应用题
1、行程问题：
[解题指导]
（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间。
（2）基本类型有
1）相遇问题；
2）追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
例1：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？
（2）两车同时开出，相背而两车相距600公
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车行多少小时后里？
而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ 的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
此题关键是要理解清楚相向.相背.同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。
（1）分析：相遇问题，画图表示为：
等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480
解这个方程，230x=390
∴ x=1
答：快车开出1 小时两车相遇。
（2）分析：相背而行，画图表示为：
等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。
解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=600
解这个方程，230x=120
∴ x=
答：
车相距600公
解：设x
由题意得，(140-90)x+480=600
小时后两
里。
（3）分析：等量关系为：快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里。
小时后两车相距600公里，50x=120
∴ x=2.4
答：2.4小时后两车相距600公里。
（4）分析；追及问题，画图表示为：
等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：设x小时后快车追上慢车。
由题意得，140x=90x+480
解这个方程，50x=480
∴ x=9.6
答：9.6小时后快车追上慢车。
（5）分析：追及问题，相等关系与（4）类似。
解：设快车开出x小时后追上慢车。
由题意得，140x=90(x+1)+480
50x=570
∴ x=11.4
答：快车开出11.4小时后追上慢车。
例2：甲、乙二人同时从A地去往相距51千米的B地，甲骑车，乙步行，甲的速度比乙的速度快3倍还多1千米/时，甲到达B地后停留1小时，然后从B地返回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好6个小时，求二人速度各是多少？
分析：本题属于相遇问题，用图表示（甲用实线，乙用虚线表示）。注意：甲在B地还停留1
等量关系为：甲走路程+乙走路程=51×2。
解：设乙速为x千米/小时，则甲速为(3x+1)千米/小时，小时。A、B两地相距51千米。
由题意得，6x+(3x+1)(6-1)=51×2
解这个方程，6x+(3x+1)×=102
12x+27x+9=204
39x=195
∴
3x+1=15+1=16
答：甲速为16千米/时，乙速为5千米/时。
例3：某船从A码头顺流而下到达B码头，然后逆流返回，到达A、B两码头之间的C码头，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为7.5千米时，水流速度为2.5千米/时。A、C两码头之间的航程为10千米，求A、B两码头之间的航程。
分析：这属于行船问题，这类问题中要弄清（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，（2）逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。
解：设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为(x-10)千米，由题意得，+=7
解这个方程，+=7，3x=90
∴
答：A、B两码头之间的航路为30千米。
例4：环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，环城一周是20千米，求两个人的速度。
分析：这是环形问题，本题类似于追及问题，距离差为环城一周20千米。相等关系为：最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20千米。
解；设最慢的人速度为x千米/时，则最快的人的速度为x千米/时，由题意得，x×-x×=20 解这个方程，×x=20
∴ x=10
x=35
答：最快的人的速度为35千米/时，最慢的人的速度为10千米/时。
8、配套问题：
[解题指导]：这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。
例5：某车间有工人85人，平均每人每天可以加工大齿轮8个或小齿轮10个，又知1个大齿轮和三个小齿轮配为一套，问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套？
分析：这个问题的等量关系为：小齿轮个数=3倍大齿轮个数
解：设应安排x个工人加工大齿轮，则有(85-x)个工人加工小齿轮，由题意得，(85-x)×10=3×8x
解这个方程，850-10x=24x
34x=850
∴ x=25
85-x=85-25=60
答：应安排25个工人加工大齿轮，其余60人加工小齿轮，才能使生产的产品刚好成套。
第二阶段
9、其他实际应用问题：
[解题指导]这类问题的关键是理解所给问题中的实际关系
例7：某商品的进价为1600元，原售价为2200元因库存积压需降价出售，若每件商品仍想获得10%的利润需几折出售。
分析：等量关系为：原价×折扣=进价×（1+10%）
解：设需x折出售，由题意得，2200×=1600(1+10%)
220x=1600×1.10
x=8
答：需8折出售。
例8：已知甲、乙两种商品的原单价和为100元。因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了2%，求甲、乙两种商品的原单价各是多少？
分析：甲原单价×（1-10%）+乙原单价×（1+5%）=100×（1+2%）。
解：设甲商品原单价为x 元，则乙商品原单价为(100-x)元。
由题意得，(1-10%)x+(1+5%)(100-x)=100×(1+2%)
解这个方程，0.9x+1.05(100-x)=102
90x+10500-105x=10200
15x=300
∴
100-x=80
答：甲商品原单价20元，乙商品原单价为80元。
注意：实际生活中的问题是千变万化的，因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，使问题得解。
列方程解应用题是初一代数学习的重点和难点，受小学算术解法的影响，同学们习惯于题目中求什么就设什么，即直接设未知数，这给有些问题的解决带来了不便，下面向同学们介绍“设间接未知数”解应用题的一般思路与方法。
一、求整体时，可设其中的某部分为未知数
例9 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的新数就比原数大63，求原来的两位数。
分析 此题若直接设原来两位数为未知数，显然不易求解，对这种求整体的问题可设其中的某部分为未知数，这样可使问题获得简便的解答。
略解 设原来的两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为11-x，由题意有：10x+ll-x=10(11-x)+x+63，解得x=9。
答：所求两位数为29。
第三阶段
二、若求其中的某部分时，可设其整体为未知数
例10 某三个数中每两个数之和分别为27、28、29，求这三个数。
分析 这是求部分的问题，如果直接设这三个数分别x、y, z，就要列出一个三元一次方程组，但若采用间接设元法设这三个数的和为未知数，问题就变得异常简捷。
略解设这三个数的和为x，则这三个数分别为x-
27、x-
28、x-29，由题意有：(x-27)+(x-28)+(x-29)=x，解得x=42。
答：这三个数分别为15、14、13。
三、当题设条件中含有“比”时，通常可设其中的一份为x
例11 甲、乙、丙三数的比为7：9：12，甲、乙两数的和减去丙数的差等于20求此三数。
分析 因为7+9+12=28，说明三数的和为28份，甲、乙、丙分别占7份、9份、12份，这样，可设每份为x，则甲、乙、丙三数分别为7x、9x、12x，由题意得：7x+9x-12x=20，以下略。
四、设而不求,巧用间接未知数“过渡”
解应用题必须对题目的条件和关系进行深入的分析，认真的思考，然后合理地选择未知数，并注意发挥未知数的桥梁“过渡”作用，才能使复杂的问题变得简单，从而促成问题的解决。
例12 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。问购甲、乙、丙各1件共需多少元?
分析 若直接设购甲、乙、丙各1件共需n元，则列方程较为繁难，而若设甲、乙、丙三种货物的单价分别为x、y、z元，则由题意有：
由于本题的要求是求出x+y+z，因此我们可以不去求x、y、z的具体值(设而不求)，而采用整体化的数学思想，直接求出结果：
将方程组变形为
，解之得x+y+z=1.05。(注：本题有点难)
五、直难则间，妙用间接未知数“转换”
解决较为复杂的应用题，在直接设元布列方程感到困难时，应及时变换思考的角度，调整和转变原有的思想和方法，合理地设置间接未知数设法进行转化，以寻求新的解决问题的途径和方法。
例13 四盘苹果共100个，把第一盘的个数加上4，第二盘的个数减去4，第三盘的个数乘以4，第四盘的个数除以4，所得的数目一样，问原来四盘苹果各多少个?
分析 本题若从四盘苹果考虑直接设未知数，需要列出四元一次方程组，解起来不胜繁难。如果由“所得的数目一样”这个条件逆想，则由此可推出四盘苹果的数目，因此，设间接未知数x表示这个数目，则容易得到四盘苹果原来的个数分别为x-4, x+4, , 4x, 于是很方便地列出方程：(x-4)+(x+4)+ +4x=100。以下略。
设间接未知数解应用题，当然不限于上述几种情况，但由上足见选择适当的间接未知数在列方程解应用题中的重要作用，同学们应给以足够的重视。
专题辅导
典型应用题练习
1．某车间原计划每周装配36台机床，预计若干周完成任务。在装配了三分之一以后，改进操作技术，工效提高了一倍，结果提前一周半完成任务。求这次任务需装配机床总台数。
2．某班同学参加平整土地劳动，运土人数比挖土人数的一半多3人。若从挖土人员中抽出6人运土，则两者人数相等。求原来运土和挖土各多少人。
3．某年级三个班为灾区捐款。（1）班捐了380元，（2）班捐款数是另两个班级的平均数，（3）班捐款数是三个班总数的，求（2）班，（3）班捐款数。
4．一轮船航行于两个码头之间，逆水需10小时，顺水需6小时。已知该船在静水中每小时航行12千米，求水流速度和两码头间的距离。
5．有一批长度均为50厘米的铁锭，截面都是长方形，一边长10厘米，另一边各不相同，现要铸造一个42.9千克的零件，应选截面另一边长为多少的铁锭（铁锭每立方厘米重7.8克）？
6．甲、乙两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别为200米/分和160米/分。两人同时从起点同向出发。当两人起跑后第一次并肩时经过了多少时间？这时他们各跑了多少圈？
7．检修一处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天。前7天由甲、乙两人合做，但乙中途离开了一段时间，后2天由乙、丙合作完成。问乙中途离开了几天？
8．某商场甲、乙两个柜组十二月份营业额共64万元。一月份甲增长了20%，乙增长了15%，营业额共达到75万元。求两柜组各增长多少万元。
9．某行军纵队以8千米/时的速度行进，队尾的通讯员以12千米/时的速度赶到队伍前送一个文件。送到后立即返回队尾，共用14.4分钟。求队伍长。
10．一个两位数，十位数比个位数字的4倍多1。将两个数字调换顺序后所得数比原数小63。求原数。
11．一桥长1000米，一列火车从车头上桥到车尾离桥用了一分钟时间，整列火车完全在桥上的时间为40秒。求火车的长度及行驶速度。
12．甲从学校出发到相距14千米的A地。当到达距学校2千米的B地时发现遗忘某物品。打电话给乙，乙随即出发在C地追上甲后立即返回。当乙回到学校时甲距A地还有3千米。求学校到C地的距离。
答案：
1．解题策略：本题主要等量关系是“提前一周半完成任务”。即原计划周数-实际完成任务周数=1。只需设元后分别列出左边两表达式即可。
列方程解应用题的关键是通过数量关系的研究，将实际问题转换为抽象的数学问题来解决，因此常有面目迥然不同而问题实质相同。在练习中要注意比较，归纳，提高我们的分析、解题能力。
解法一：设这次任务需装配机床总台数为x台，则原计划装配周，现在实际装配的前一段时间为
周，后一段时间为 周，则根据题意，得
解这个方程：
3x-x-x=162
x=162
经检验，它是所列方程的解，也符合题意。
答：这次任务需装配机床总数为162台。
解法二：如解法一设元，注意到提前的时间实质是完成后任务中所提前的，解法三：设装配了以后还余x台，则总任务是x÷ x(台)，根据题意，得。
错误辨析：涉及“多少”、“快慢”等数量关系，要注意辨清有关量的大小。本题易将被减数与减数搞错。尤其当分子相同，分母不同时要注意。
2．解题策略：本题等量关系明显，设元后只要把相应语句“译”成等式，即所需方程，不妨可称作“译式”问题。解题要注意设元要有利于列方程，并尽量应用原始的等量关系。如本题不宜运土人数为x。
解：设挖土同学原为x人，则运土人数原为(x+3)人。
根据题意，得x-6=x+3+6，解这个方程：x-x=3+6+6
x=30
x+3=18
经检验适合所列方程，也符合题意。
答：原来运土18人，挖土30人。
错误辨析：劳力调配问题中需注意一队调出人员是否调入另一队。本题易忽视运土人数的增加而列成x-6=x+3。
3．解题策略：解应用题中的设元要善于应用已知条件，在列方程时要能通过分析，寻找隐含的等量关系，使方程简单、易解。
解法一：设（3）班捐款x元，则（2）班捐款元，根据题意，得x=，解这个方程：5x=760+2x+380+x
2x=1140
x=570
=475
答：（2）班捐款475元，（3）班捐款570元。
解法二：同上法设元，注意到（2）班的捐款数也是三个班级的平均数，则三个班捐款数是其3倍。
可设方程x= ·3·。
解法三：设三个班捐款总数为x元，则（2）班为
求得x=1425后再求各班捐款数。
元，根据题意，得 x-380=x。
4．解题策略：涉及航行中的顺、逆流问题，基本关系是：船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度；船在逆水中的速度=船在静水中的速度-水流速度。然后根据行程问题的一般法则求解。
解法一：设水流速度为x千米/时，根据题意，得6(12+x)=10(12-x)，解这个方程，得x=3，路程为6(12+x)=90。
答：水流速度是3千米/时，两码头间路程90千米。
解法二：设两个码头间路程为x千米，根据题意，得-12=12-，解这个方程，得x=90。
5．解题策略：几何体变换问题的关键是注意变换前后的体积等量关系，并且要熟悉常见几何体的体积公式。本题要由铸造零件的规格给出重量，应有一个转换过程，并注意单位名称一致。
解：设需要截面另一边长为x厘米的铁锭，则铁锭体积为50×10x立方厘米，所铸零件重量为42.9千克，则其体积为立方厘米，根据题意，得50×10x=
解这个方程，得x=11。
答：需要截面另一边长为11厘米的铁锭。
错误辨析：方程右边易漏乘1000，未将单位化为一致。
6．解题策略：环形线路上的相遇问题与直线情形相仿。其同时同地同向的追及问题关键在于理解速度较快者每追上较慢者一次，即多行一圈。其余关系与通常的追及、相遇问题一致。
解：设两人到第一次并肩时花了x分钟。根据题意，得200x-160x=400。
解这个方程，得x=10。
这时甲、乙跑的圈数分别是10×200÷400=5和10×160÷400=4。
答：两人起跑后第一次并肩花了10分钟时间，甲，乙两人分别跑了5圈和4圈。
7．解题策略：做一项工作，但没有具体数量指标，只提完成与否的，通常称作工程问题。工作总量用1表示。基本等量关系是工作量=工作效率×工作时间。其中工作效率是单位时间内完成的工作量，通常是单独完成时间的倒数。如本题甲的工作效率是，乙的工作效率为题，也属此类。，丙的工作效率为。涉及到几个施工单位合作、先后工作等，在建立方程时取其工作量之和。常见的水池进出水问
解：设乙中途离开了x天，则乙工作了(7-x+2)天，其工作量是，甲的工作量是，丙的工作量是。根据题意，得。
解这个方程：
9+9-x+3=18
x=3
答：乙中途离开了3天。
8．解题策略：一次增长（减少）百分率问题的基本关系是原有量×(1±p%)=现有量，这里p%是增长或减少的百分率。要注意原有量与现有量的相互换算。这类问题还需注意设元的合理性，简化计算。
解法一：设一月份营业额甲柜组增加x万元，则乙柜组增加了(75-64-x)万元。
根据题意，得=64，解这个方程，得x=5.6，则11-x=5.4。
答：甲、乙两柜组分别增加了5.6万元和5.4万元。
解法二：设甲、乙两柜组十二月份营业额为x万元和(64-x)万元。根据题意，得
20%·x+15%·(64-x)=75-64，解得x=28，则20%x=5.6，15%·(64-x)=5.4。
错误辨析： 这类题要防止所设未知数与列出方程不符。如本题不能按解法一设元，而列得解法二的方程。
9．解题策略：对行程问题中的追及和相遇两类基本等量关系我们应熟练掌握，并能通过对综合问题的分析，灵活应用。本题通讯员赶到队前实质为在追赶队前第一人，所花时间为路程（队伍长）除以速度差；同理，返回时可视为通讯员与队末一人作相向运动至相遇为止。
解：设队伍长为x千米，根据题意，得
解这个方程：，25x+5x=24，x=0.8。
答：队伍长0.8千米。
错误辨析：列方程时易将右边误写作14.4。这类问题一般单位不一致，应注意互化。
10．解题策略：对多位数应用题一般不能设直接未知数，而应采用位值制设元（即如一个三位数的百位数字a,十位数字b，个数数字c，则这个三位数是100a+10b+c）。然后通常可由“译式”列得方程。有时在解题中还要注意字母的取值范围。
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为4x+1，这个两位数是10(4x+1)+x。
根据题意，得[10(4x+1)+x]-[10x+(4x+1)]=63。
解这个方程，得x=2。
故原数为10(4x+1)+x=92。
答：这个两位数是92。
11．解题策略：这类问题通常考虑短时间内火车与通道的相对运动，关键要辨明实际路程，且要重视对关键语句的透彻理解。如本题“从车头上桥到车尾离桥”即告诉我们所要考虑的路程应是桥与火车的长度之和（如图1所示）。而“火车完全在桥上”，则路程为桥与火车的长度之差（如图2）。这类问题若确定一个点观察，如果设以车尾一人（图中画“Δ”处）作标准，则关系更明显。
解法一：设火车长为x，根据题意，得
解这个方程，得x=200。
=20。
答：火车长度为200米，火车行驶速度为20米/秒。
解法二：设火车行驶速度为x米/秒。
根据题意，得60x-1000=1000-40x。
解这个方程，得x=20。
12．解题策略：这类题通常已知量极少。连同所求未知数往往只涉及行程问题三个基本量中的一个。难以用常规方法列出方程。可考虑两条途径：（1）大胆设“辅助元”，在解方程过程中通常可自然消去；（2）应用比例寻求等量关系。如相同时间下路程与速度成正比例，相同路程下速度与时间成反比例等。
解法一：设学校到C地的距离为x千米，甲的速度为a千米/分，乙的速度为b千米/分。
由乙追甲至C地时间相等可得，同理可得。
比较两式，得
即x-2=11-x。
解得x=6.5。，答：学校到C地距离为6.5千米。
解法二：同上法设元。
因甲从B地到C地与乙从学校到C地时间相等，故他们所行路程比等于速度比，得，同理，所以。
因为x≠0，可解得结果。
解法三：设B、C间距离为x千米，则学校到C地距离为(x+2)千米。因甲后来所行两段路程的时间都等于乙人学校到C地的时间，故这两段路程应相等。得2+2x+3=14。
错误辨析：这类题忌不加分析，乱套行程问题的任一模式。
反馈练习
1．下列各式中，是方程的有（）
①3x+4=7 ②5y+3 ③a(b+c)=ab+ac ④8x-2y=3 ⑤s=vt
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2．在下列方程中，与3x-2=1的解相同的有（）
A.5x+3=6 B.5x-2=4 C.4x-3=1 D.3x+2=1
3．下列解法中，正确的是（）
5、某幼儿园小班给孩子们分苹果，若每人分5个还少2个，若每人分4个则多出8个，问这个班共有多少个孩子？现有苹果多少个？
答案：
1、C
2、C
3、C
4、x=36
5、解：设这个班有x个孩子，则5x-2=4x+8，解得x=10(个)∴5x-2=5×10-2=48(个)答：这个班有10个孩子，现有苹果48个。
第四篇：3．2 函数模型及其应用 教学设计 教案
教学准备
1.教学目标
1.知识与技能 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.2.过程与方法 进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.2.教学重点/难点
重点 利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.难点 将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.3.教学用具
投影仪等.4.标签
数学，函数的应用
教学过程
（一）创设情景，揭示课题.现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.（二）实例尝试，探求新知
例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.1）写出速度v关于时间t的函数解析式；
2）写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象； 3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象.本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：
其中t表示经过的时间，表示
时的人口数，r表示人口的年均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）
1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？ 探索以下问题：
1）本例中所涉及的数量有哪些？
2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？
3）根据表中数据如何确定函数模型？
4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？ 如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？
本例的题型是利用给定的指数函数模型
解决实际问题的一类问题，引
与t.导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定t的近似值.课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t与月份的x关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.探索以下问题：
1）本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？ 2）如何对所确定的函数模型进行评价？
本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体的函数模型.引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用.三.归纳小结，发展思维.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法； 1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系； 2）利用待定系数法，确定具体函数模型； 3）对所确定的函数模型进行适当的评价； 4）根据实际问题对模型进行适当的修正.从以上各例体会到：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式.在实际应用时，经常需要将函数对应关系的一种形式向另一种转化.（四）布置作业：教材P120习题32（A组）第6~9题.课堂小结
1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系； 2）利用待定系数法，确定具体函数模型； 3）对所确定的函数模型进行适当的评价； 4）根据实际问题对模型进行适当的修正.课后习题
作业：教材P107习题3.2（A组）第5、6题.板书 略
第五篇：3．2 函数模型及其应用教学设计教案
教学准备
1.教学目标
1、知识与技能 能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。
2、过程与方法 体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。
3、情感、态度、价值观 深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。
2.教学重点/难点
重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。
3.教学用具
投影仪等.4.标签
数学，函数的应用
教学过程 教学设想
（一）创设情景，揭示课题
2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。
这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。
（二）尝试实践
探求新知
例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表（身高：cm；体重：kg）
1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。
2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为4375px，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？ 探索以下问题：
1）借助计算器或计算机，根据统计数据，画出它们相应的散点图； 2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？ 3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重数关系比较合适？
4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？
本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测.此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法.与身高的函例2.将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：
1）描点画出水温随时间变化的图象；
2）建立一个能基本反映该变化过程的水温y（℃）关于时间x的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？ 本例意图是引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，自主完成或合作交流讨论.课堂练习：某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件.由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好.为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？ 探索过程如下：
1）首先建立直角坐标系，画出散点图；
2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： 一次函数模型：二次函数模型：
幂函数模型：
指数函数模型：
（＞0，）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.（三）归纳小结，巩固提高.通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：
（四）布置作业：
作业：教材P107习题32（B组）第1、2题：
课堂小结
通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：
课后习题 作业：
教材P107习题32（B组）第1、2题：
板书 略
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