函数模型的应用实例教学设计[定稿]

第一篇：函数模型的应用实例教学设计[定稿]

函数模型的应用实例教学设计

教学目标：

1、能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.2、感受运用函数概念建立模型的过程和方法,对给定的函数模型进行简单的分析评价.3、体会数学在实际问题中的应用价值.教学过程：

一、创设情景，引入新课

通过一个情境，了解建立一次函数模型和指数函数型模型。一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，不只是理论上的数学问题，它们都与现实世界有着紧密的联系，我们如何利用这些函数模型来解决实际问题？利用这些函数模型预测未来，改造世界。

二、实例分析

实例

1、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示:(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;设问：图中每一个矩形的面积的意义是什么? 单位时间内行驶的路程。

阴影部分的面积为360，阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km(2)试建立汽车行驶路程 S km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.设问：如何建立函数关系式？根据S= vt建立函数关系。单位小时内速度不同，所以构成了一次函数的分段形式.（3）假设这辆汽车的里程表在行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时间 t h的函数解析式，与（２）的结论有何关系？

汽车的行驶里程=里程表读数-2004，分段函数的定义域是指每个范围的并集.说明：1.本例所给出的函数模型是一个速度-时间图象，向另一种图象模型和解析式模型转化，建立了分段函数模型。

2.解决应用题的一般步骤：

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论；

④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．

实例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长

y y0e提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：

rt(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增

长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;设问：描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的,确定这种函数模型需要几个因素? y0和r 设问：根据表中数据如何确定函数模型? 先求1951-1959年各年的人口增长率,再求年平均增长率r,确定y0的值,从而确定人口增长模型.y55196e得到马尔萨斯人口增长模型：

0.0221t,tN设问：对所确定的函数模型怎样进行检验?根据检验结果对函数模型又应作出如何评价? 作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐标系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否在图象上.由图可以看出,所得模型1950-1959年的实际人口数据基本吻合.(2)如果按数据表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿? 该模型只能大致描述自然状态下的人口增长情况，而对于受到人为影响的人口增长情况，如计划生育。如果不实行计划生育，我国将面临难以承受的压力，计划生育政策，利国利民.设问：如何根据所确定的函数模型具体预测我国某个时期的人口数,实质是何种计算方法? 已知函数值,求自变量的值.设问：依据表中增长趋势，你算一算我国2050年的人口数？ 利用函数模型既能解决现实问题，也可预测未来走向.说明：本题体现数学建模的思想，检验模型，更体现模型的实际应用价值。

练习1：某人开汽车以60km/h的速率从A地到150km远处的 B 地，在B地停留1小时后，再以50km/h的速率返回A 地。把汽车与A地的距离S表示为从A地出发时开始经过的时间t（小时）的函数，并画出函数的图像。

60t0t2.5S1502.5t3.515050(t3.5)3.5t6.5练习2：水库蓄水量随时间而变化，现有t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量V(t)(单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为

(1)该水库的蓄求量小于40的时期称为枯水期.以 i1ti2t14t0t10V(t)4t103t404010t12

i月份 i1,2，12表示第 问一年内哪几个月份是枯水期？

(2)求一年内该水库的最大蓄水量.设问：想一想：生活中我们该如何节约用水？

三、小结： 本节重点是：

1、体验函数模型是用来解决客观世界中存在的有关实际问题；

2、建立分段函数的函数模型时，要注意定义域“不重、不漏”的原则；

3、利用函数模型既能解决现实问题，也可预测未来走向。

4、建立（确定）函数模型的基本步骤： 第一步：审题

读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解题中所给的图形、表格的现实意义，进而把握住新信息，确定相关变量的关系。第二步：建模

确定相关变量后，根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。第三步：求模

利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。第四步：还原再转译为具体问题作出解答。

四、作业:（1）教材107页1、2、4.（2）社会实践题：找到身边的函数应用模型实例两例。

第二篇：3．2 函数模型及其应用 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

1.知识与技能 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.2.过程与方法 进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.2.教学重点/难点

重点 利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.难点 将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.3.教学用具

投影仪等.4.标签

数学，函数的应用

教学过程

（一）创设情景，揭示课题.现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.（二）实例尝试，探求新知

例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.1）写出速度v关于时间t的函数解析式；

2）写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象； 3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象.本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：

其中t表示经过的时间，表示

时的人口数，r表示人口的年均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）

1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？ 探索以下问题：

1）本例中所涉及的数量有哪些？

2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？

3）根据表中数据如何确定函数模型？

4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？ 如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？

本例的题型是利用给定的指数函数模型

解决实际问题的一类问题，引

与t.导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定t的近似值.课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t与月份的x关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.探索以下问题：

1）本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？ 2）如何对所确定的函数模型进行评价？

本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体的函数模型.引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用.三.归纳小结，发展思维.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法； 1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系； 2）利用待定系数法，确定具体函数模型； 3）对所确定的函数模型进行适当的评价； 4）根据实际问题对模型进行适当的修正.从以上各例体会到：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式.在实际应用时，经常需要将函数对应关系的一种形式向另一种转化.（四）布置作业：教材P120习题32（A组）第6~9题.课堂小结

1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系； 2）利用待定系数法，确定具体函数模型； 3）对所确定的函数模型进行适当的评价； 4）根据实际问题对模型进行适当的修正.课后习题

作业：教材P107习题3.2（A组）第5、6题.板书 略

第三篇：3．2 函数模型及其应用教学设计教案

教学准备

1.教学目标

1、知识与技能 能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。

2、过程与方法 体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。

3、情感、态度、价值观 深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。

2.教学重点/难点

重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。

3.教学用具

投影仪等.4.标签

数学，函数的应用

教学过程 教学设想

（一）创设情景，揭示课题

2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。

这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。

（二）尝试实践

探求新知

例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表（身高：cm；体重：kg）

1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。

2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为4375px，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？ 探索以下问题：

1）借助计算器或计算机，根据统计数据，画出它们相应的散点图； 2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？ 3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重数关系比较合适？

4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？

本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测.此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法.与身高的函例2.将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：

1）描点画出水温随时间变化的图象；

2）建立一个能基本反映该变化过程的水温y（℃）关于时间x的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？ 本例意图是引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，自主完成或合作交流讨论.课堂练习：某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件.由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好.为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？ 探索过程如下：

1）首先建立直角坐标系，画出散点图；

2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： 一次函数模型：二次函数模型：

幂函数模型：

指数函数模型：

（＞0，）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.（三）归纳小结，巩固提高.通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：

（四）布置作业：

作业：教材P107习题32（B组）第1、2题：

课堂小结

通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：

课后习题 作业：

教材P107习题32（B组）第1、2题：

板书 略

第四篇：3.4 函数模型及其应用 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

函数应用

2.教学重点/难点

函数应用建模

3.教学用具 4.标签

教学过程

1．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为

()A．10%

B．12% C．25%

D．40% 解析：利润300万元，纳税300·p%万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为 200－1000×2%＝180(万元)，纳税180·p%万元，共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)，p%＝＝25%.答案：C 2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为

()A．36万件

B．18万件

C．22万件

D．9万件

解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值． 答案：B 3．某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件

()A．100元

B．110元 C．150元

D．190元 解析：设售价提高x元，则依题意 y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20 000 ＝－5(x－90)2＋60 500.故当x＝90时，ymax＝60 500，此时售价为每件190元． 答案：D 4．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是

()A．x＝60t B．x＝60t＋50t C．x＝ D．x＝

解析：到达B地需要＝2.5小时，所以当0≤t≤2.5时，x＝60t； 当2.5＜t≤3.5时，x＝150；

当3.5＜t≤6.5时，x＝150－50(t－3.5)． 答案：D 5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是

()A．y＝100x

B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x

D．y＝100log2x＋100 解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型． 答案：C

二、填空题

6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．

解析：依题意知：＝，即x＝(24－y)，∴阴影部分的面积

S＝xy＝(24－y)y＝(－y2＋24y)，∴当y＝12时，S有最大值为180.答案：180 7．(2011·浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________．

解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有

3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，解得t≥或者t≤－(舍去)，故1＋x%≥，解得x≥20.答案：20

三、解答题

8．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： R(x)＝.其中x是仪器的月产量．

(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)解：(1)设每月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而f(x)＝.(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，∴当x＝300时，有最大值25 000；

当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，f(x)＜60 000－100×400＜25 000.∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．

9．当前环境问题已成为世界关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说污染非常小．现有以下数据：

①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约跑12千米；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16千米；③一辆出租车日平均行程为200千米． 请根据以上数据回答问题：

(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱？

解：(1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为W′元，由题意可知，W＝200×＝(t≥0，t∈N＋)，200×≤W′≤200×，即37.5t≤W′≤40t(t≥0，t∈N＋)，又>40t，即W>W′，所以使用液化气比使用汽油省钱．(2)①设37.5t＋5 000＝，解得t≈545.5，又t≥0，t∈N＋，所以t＝546.②设40t＋5 000＝，解得t＝750.所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t∈[546,750]且t∈N＋时，省出的钱可以等于改装设备花费的钱．

10．某人要做一批地砖，每块地砖(如图1所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，且CE＝CF，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；

(2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？

解：(1)证明：图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90°，180°，270°后得到，∴EF＝FG＝GH＝HE.∴△CFE为等腰直角三角形． ∴四边形EFGH是正方形．(2)设CE＝x，则BE＝0.4－x，每块地砖的费用为W，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，W＝x2·3a＋×(0.4－x)×0.4×2a＋ a ＝a(x2－0.2x＋0.24)＝a[(x－0.1)2＋0.23](0＜x＜0.4)，由a＞0，当x＝0.1时，W有最小值，即总费用最省． 答：当CE＝CF＝0.1米时，总费用最省．

第五篇：高中数学论文集A版高一年级函数模型的应用实例内容的教学设计

A版高一年级函数模型的应用实例内容的教学设计

宁波市武岭中学

杨建军 315502 yjianjunls@163.com 一个实际问题的解决方案应该是有多种的，因此本课采用“预设和生成”的教育理念，兼容多种方案，使学生真正能够在利用函数模型来解决实际问题的同时，如何来处理与采纳某种方案。本教学设计注重了学生的探究能力的培养，突出了学生的主体地位，体现了新课程的其它新的理念。

本课是在学习了初中一次、二次及反比例函数与高中基本函数模型的基础上，通过建立和运用函数基本模型，体验数学建模、拟合等数学基本思想，发展学生的创新意识和数学应用意识。本授课班级双基能力较强，但是由于学生刚刚接触对数型函数等新知识点，有可能对于建立这些函数模型比较困难。1 教学三维目标、重点、难点、准备。1．1教学三维目标

（1）知识与技能：使学生学会建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测。

（2）过程与方法：通过例题与作业中的具体实例，让学生了解函数模型的广泛应用。

（3）情感态度与价值观：利用函数模型解决问题前，进行拟合检验，培养学生的负责态度。

1．2教学重点：由面临的实际问题建立函数模型，检验函数模型，并利用得到的函数模型解决问题。

1．3教学难点：如何根据面临的实际问题建立函数模型。1．4教学准备：PPT制作与几何画板制作。2 教学过程。

（学生）：（对5种基本初等函数进行回顾）（教师）：（打开PPT）函数建模的基本思想与方法：

把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述称为数学建模。数学建模的形式是多样的。解应用题的关键是建立数学建模，把实际问题通过分析、联想、抽象转化为数学问题。函数知识内容丰富、应用广泛，不仅数学问题，而且社会生活、生产和自然科学领域中有许多问题都需要用函数知识来解决，如成本最底、利润最高、用料最省、路程最短等常可归纳为函数的最值问题。

运用建模思想解函数应用题的一般步骤是： 读(阅读材料，审题，找基本量或关系)；

建(提取信息，抽象成数学语言，根据相关定义及数学知识建立模型)； 求(根据数学思想和方法，求解函数模型，得出结论)；

还(把数学结论还原到实际问题中，通过分析、判断、检验得到实际正确解答，写出答案)。

一.由变量之间的依存关系建立函数关系；

二.由所掌握的数据资料,即根据确定性,随机性数据建立函数关系,这种往往要画散点图。

例：某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，1.37万件。由于产品质量好服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好，为使推销员在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？

（学生）：画散点图。（学生们接下来画散点图，过1分钟。）板书：画散点图

图1（教师）：（打开几何画板），如图1所示各点：把4个点分别记为A、B、C、D。观察这4个点有何联系？

（学生）：这4个点基本上在同一条直线上。（学生）：应该是一次函数，是yaxb,(a0)。

板书：由图可知：①用一次函数f(x)axb,(a0)拟合，把B、C坐标值代入，得 2 f(2)2ab1.2a0.1，故f(x)0.1x1。f(3)3ab1.3b1∴f(1)1.1与实际的误差为0.1，f(4)1.4与实际的误差为0.03（教师）：（打开几何画板），如图1蓝线所示：

（教师）：我们仔细地观察图形，发现A、D都在直线的下方，我们可以——（学生）：二次函数可以吗？（有点不肯定）

板书：②用二次函数g(x)ax2bxc,(a0)拟合，把A、B、C坐标值代入，得g(1)abc1a0.052g(2)4a2bc1.2b0.35，故g(x)0.05x0.35x0.7 g(3)9a3bc1.3c0.7∴g(4)0.05420.3540.71.3与实际误差为0.07（教师）：（打开几何画板），如图1黑线所示。

（教师）：观察这些数据，我们可以发现随着自变量的增加函数值也在增加，但是增加的速度是越来越慢的，那我们可以——

（学生甲）：对数函数。（学生乙）：幂函数。（学生丙）：指数函数。（教师）：要求掌握的是可以用

11次的幂函数，从经过的点来看不是次的幂函数，但是我们221次的幂型函数来拟合。212板书：③用幂型函数q(x)axb,(a0)拟合，把A、B坐标值代入，得

1q(1)ab1a0.48，故q(x)0.48x20.52 q(2)2ab1.2b0.52∴q(3)1.35与实际误差为0.05，q(4)1.48与实际误差为0.11，（教师）：（打开几何画板），如图1红线所示：

（教师）：因为图象不经过(0,1)这个点，可以肯定不是指数函数。

（学生）：课本上有个例子是用yab来拟合的，是不是这个也可以的？（学生基本上已经开始打开思路）

板书：④用指数型函数s(t)abc,(a0)拟合，把A、B、C坐标值代入，得

xx 3

(1)s(1)abc12s(2)abc1.2(2)，s(3)ab3c1.3(3)ab2ab0.2a0.8（2）-（1）、（3）-（1）得，∴c1.4 3b0.5abab0.3故s(x)0.80.5x1.4。∴s(4)1.35与实际的误差为0.02

（教师）：（打开几何画板），如图1绿线所示：

（学生）：（议论，基本能想到在整个函数式子后面加一个常数，很少想到图象的左右平移，即在x后边加一个常数）

（教师）：同学们都能想到在整个式子后加一个常数，我们知道这是图象的上下平移；难道同学们就不能想到图象的左右平移，那这样的式子应该是——

（学生）：x后边加一个常数。

板书：⑤用对数型函数t(x)loga(xb)c,(a0且a1)拟合，把A、B、C坐标值

t(1)loga(1b)c1(1)loga代入，得t(2)loga(2b)c1.2(2)，（2）-（1）、（3）-（1）得t(3)log(3b)c1.3(3)logaa0.22ba1b(4)2b33b2)()，∵(a0.2)3(a0.3)2，∴(3b1b1b(5)a0.31b2b520.38250.25)()123，∴b0.382，a(a)(1b10.382,b0.382代入（1）得c1.100，把a1232b0.21b，3b0.31b故t(x)log123(x0.382)1.100，∴t(4)1.367与实际的误差为0.003（教师）：刚才我们算了一个比较小的误差，现在这个误差是更小的。（教师）：（打开几何画板），如图1墨绿线所示：

（教师）：从图象中我们可以看到D点更加接近于曲线，所以说假如你们作为厂长的话，你们选择的函数模型应该是t(x)log123(x0.382)1.100，以这个函数模型作为依据来估计以后几个月的需求量。由实际的趋势我们也可以知道当一种新的产品投入市场后的一段时间内，假如产品好的话，肯定会比较畅销。过了这段时间由于市场饱和及工厂设备或另一 4 种新的产品出现等情况，必定要导致原来产品的平稳期。所以说我们也应该选择这一函数模型。在刚才的函数模拟中有同学提出是否可以在式子前乘上一个系数，这是完全可以的。由于时间的关系我们就不继续展开了，同学们可以在课后去研究一下是否可行。

实际上对于这样一个具体的问题，我们假如继续去模拟新的函数模型有可能会更加吻合。这里只能说没有最好的，只有更好的，所以说答案也是不一定唯一的。马尔萨斯人口增长模型也是在他经过无数次的拟合后得到的一个模型。

下面我们来看一下我们刚才的基本过程：（打开PPT）（如图2）（说明：各方块在PPT中是逐一出现的）

图2 实行了新的课程之后，我们要学习的一门重要学科就是《研究性学习》。刚才的过程给了我们一个比较好的实例，如何来解决实际的问题，对于同学们搜集到的数据如何进行处理。

（打开PPT）小结：（1）（2）（3）（说明：小结部分可由学生自己总结得到）作业：某厂生产一种机器的固定投入为0.5万元,但每生产100 台,需要另投入0.25万元.市场对此产品的需求量为500台,销售收入函数为1R(x)5xx2(万元),其中x是产品售出的数量(单位:百台).2(1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?(3)年产量是多少时,工厂才不会亏本?

3 板书设计

函数建模： ③ 小结： 步骤： ④ 解：① ⑤ 作业：

② 4 教学反思。

作为新课改下的一节研究性的课堂教学，主要有以下几个理念的体现：（1）“预设和生成”的教育理念

一个问题摆上讲台，首先要有自己的一份思想，同时人与人的思想都不相同，总是有许多学生能够提出新的问题，这时我们要学会去引导与解决。

（2）导积极主动、勇于探索的学习方式

新课程里倡导的是学生的主动探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式。这节课里的5种函数模型基本上都是学生在主动探索中来发现，这样有助于发展他们的创新意识。

（3）提高学生的数学思维能力

同学们在运用所学的数学知识解决问题时，不断地运用了直观感知、数据处理、观察发现、归纳类比、反思与建构等思维过程。

（4）发展学生的数学应用意识

越来越多的学生认为高中数学的学习已经是越来越没用了。实际上数学越来越多地在生活、经济、政治、文化等领域中发挥了不可替代的作用。

（5）与时俱进地体现“双基”

我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统。新课改要求着我们继续发扬这种传统，但也要适当的改变。例如一些计算可以由计数器来完成，不加入一些人为性的计算技巧等。

（6）注重信息技术与数学课程的整合

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。本节课中的散点图以及各函数图象如果不是在几何画板中来完成就会影响了时间又影响了各函数拟合效果。

参考文献：1.课标教案 数学A版 必修1 人民教育出版社、延边教育出版社 2006.7 2.数学教材标准学案 数学 必修1 中国广播电视出版社 2006.6 3.数学教材学习讲义 内蒙古人民出版社 2005.8 4.数学1 必修 人民教育出版社 2004.5 5.数学课程标准 人民教育出版社 2003.4