《结构动力学》小论文
利用对称性求解动力问题
组员姓名：
专业班级:
土木班
指导老师：
完成时间：2014年X月
《结构动力学》小论文
——动力计算中对称性的运用问题
一、摘要
用柔度法计算对称结构的振动频率和周期时，选取半结构可以简化计算。学习之初，对如何建立等效的半结构模型存在一些疑问，通过老师的讲解以及自己的摸索，逐渐形成了一个比较清晰的概念，这篇小论文将就这一问题和如何选取对称结构进行一个小结。
二、对称法理论分析简介
1.利用对称性求解多自由度体系的自振频率及其相应的主振型
（a）
结构对称，质量分布也对称。该类结构不仅可以利用对称性求自振频率和主振型；而且应充分的利用对称性进行简化计算。
图（1）
图1为一对称结构，质量分布也对称，其自由振动的微分方程为
yi=-j=14mjyjδij
（i=1,2,3,4）
（a）
由于对称性，有：
m1=m4，m2=m3
δ11=δ44，δ22=δ33，δ13=δ42，δ21=δ34
根据位移互等定理，有δij=δji（i不等于j）。将式（a）的第一式和第四式相加，第二式和第三式相加，分别得：
y1’=-m1y1’δ11‘-m2y2’δ12’
（b）
y2’=-m1y1’δ21‘-m2y2’δ22‘
（b）
式中：
y1’=y1+y4，y2’=y2+y3
δ11，=δ11+δ14，δ22，=δ22+δ23
δ12，=δ21，=δ12+δ13=δ21+δ24
再将式（a）的第一式减去第四式，第二式减去第三式，分别可得：
y1‘’=-m1y1‘’δ11‘’-m2y2‘’δ12‘’
（c）
y2‘’=-m1y1‘’δ21‘’-m2y2‘’δ22‘’
（c）
式中：
y1‘’=y1-y4，y2‘’=y2-y3
δ11‘’=δ11-δ14，δ22‘’=δ22-δ23，δ12‘’=δ21‘’=δ12-δ13=δ21-δ24
至此，把一组四元二阶方程式（a)简化为两组二元二阶微分方程式（b)和(c)，也就是说，求四个自由度体系的频率和主振型简化成求两个自由度体系的频率和主振型。
利用对称性计算频率和主振型时，通常可取半边结构计算。图1所示体系，其主振型不外乎图2，3和4，5所示的四种形式。图2，3为对称振型，图4，5为对称振型。它们分别可取图6和7所示的半边结构进行计算.下面给一算例：
例：求图示结构的自振频率及相应的主振型，EI为常数
图一
图二
对称结构，计算正对称振型时，B截面既不能转动，又不能移动，如图二，可取半边结构如下图三
图三
图四
计算反对称振型时，振型如图五，B截面只能转动，不能移动，可取半边结构如图六
图六
图五
图七
两种振型见图二和图五，由计算结果可知，该结构反对称主振型为第一主振型，其对应频率为第一主频率。
因此不管是静定结构还是超静定结构，是计算静态问题还是动态问题，对称结构在计算时通常可以简化，我们应充分利用对称性，使求解得以简化，以加快解题速度，达到更好的效果。
但对称法中还有很多值得商榷的小问题，以例题的形式开始讨论：
三、建立等效半结构模型
1、自由振动时半结构的选取
例1
试求图示刚架的自振频率。
L
EI
EI
EI
L
m
m
解：（1）结构对称，可取半结构。计算简图如下：
根据柔度系数的定义，在质量m处作用单位力，画出结构的弯矩图，图乘即得到柔度系数。
EIE
EI
EI
L
L/2
半结构计算简图
弯矩图
需注意，由于取了半结构，在计算自振频率时，质量应由原来的2m变为m进行计算。
（2）求整个结构的柔度系数，计算简图如下：
计算简图
弯矩图
绘弯矩图时，由于结构对称，可取半结构进行计算。但最终对整个结构进行图乘。
注意，此题实际上并没有取半结构，因此计算频率时质量仍为2m，虽然柔度系数为取半结构计算时的二倍，但与质量相乘可以约分，所得结果与取半结构计算是一样的。
（3）结论：
①
计算对称结构的自振频率时，如果取半结构，则质量应为原来的二分之一；对于半结构求柔度系数，应按柔度系数的定义在结构上施加单位力，绘出半结构的弯矩图并图乘，即所有的计算都是基于半结构的；
②
若仅仅对于绘弯矩图阶段取半结构，则单位力应变为原来的二分之一，求出整个结构的弯矩图并图乘，即计算是基于整个结构的，因此最后求频率时质量不变，实际上对于整个题目而言并没有取半结构；
2、受迫振动时半结构的选取
例2
图示结构在柱顶有电动机，试求电动机转动时的最大水平位移和柱端弯矩的幅值。已知电动机的质量集中于柱顶，W=20kN，电动机水平离心力的幅值，电动机转速，柱的线刚度。
h=6m
W
I=∞
解：（1）此题结构对称，仍可取半结构计算。根据结构的振动形式（水平振动），其半结构的选取以及弯矩图如下所示。
半结构计算简图
弯矩图
图乘，得：
注意，由于取了半结构，质量变为原来的一半（），外力幅值也应取原来的二分之一，即。
（2）求整个结构的柔度系数，仅在绘弯矩图时取半结构。则与例1相同，求柔度系数时施加在半结构的单位力变为，但结构的质量与施加在结构上的外力大小不变。计算过程如下。
弯矩图
图乘得：
注意，解法二实际上仍是基于整个结构的，仅仅在绘弯矩图时应用了对称性，因此质量与外力均不变。
（3）结论：
受迫振动时，有外力作用于对称结构上，如果选取半结构进行计算，则不仅质量变为原来一半，外力幅值也应变为原来的二分之一。但外力的频率不变。
四、总结
如何选取半结构（如什么时候该用滑动支座和铰支座），选取半结构之后各物理量应如何做出相应变化（如，求柔度系数时单位力是否变为原来一半，外力幅值是否变化等），以及如何避免计算结果与正确值相差二倍。对此，我们组经过讨论以及在做题的过程中也思考了很多。其实，现在看来，这个问题就变得很简单了，只要明白，如果一开始就利用对称性取了半结构，那么后面的求解都是基于半结构的；而如果仅仅在求柔度系数绘弯矩图时取半结构，那么计算还是基于整个结构的，这样就能明白到底哪些量应变为原来的一半，哪些不用变了。最后感谢龙老师对我们的谆谆教诲，让我们对结构有了更深的了解。
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