中考数学总复习几何变换之翻折探究专题（含答案）

中考数学总复习--几何变换之翻折探究专题

思考与解决几何图形的问题，主要是借助基本图形的性质（定义，定理等）和图形之间的关系．许多基本图形的性质都源于这个图形本身的“变换特征”，而最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”很多的情况也是同样具有“变换”形式的联系．本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，绝大多数都有一定的位置关系，或成轴对称关系，或成平移关系，或成旋转的关系（包括中心对称）．这样，在解决具体的几何图形问题时，图形本身所显示或暗示的“变换特征”，对我们识别出、构造出基本图形和图形关系（如全等三角形），有着极为重要的启发和引导的作用．

图形的翻折问题本质上是轴对称问题，满足轴对称的性质，即：

1.折叠图形关于折痕对称

2.对应边、角相等

3.对应点的连线被折痕垂直平分

我们解决翻折问题一般也是从以上性质出发解决的．

先讲翻折题的三种常见方法

【题目】（16

年秋锡山区期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形

ABCO的边

在x

轴上，边

在y

轴上，点

B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线

翻折，点

落在点

D的位置，且

交

轴于点

E，那么点

D的坐标为

．

法一：求．定．点．关．于．定．直．线．的．对．称．点．（万能方法）

如答图

1，连

BD，交

于

G，则△ABC∽△AGB∽△BFD，∴BD＝2BG＝AB·

·2＝3×

×2＝

6，DF＝BD·

＝

＝3，BF＝3DF＝9，10

∴D（－4，12）

法二：由．直．角．翻．折．主．动．寻．求．K．型．相．似．（特殊技巧）

如答图

1，由∠ADC＝90°⟹△ADN∽△DCF，相似比为

3：1，设

ON＝CF＝x，则

DN＝3x，DF＝3－3x，由

AN＝3DF

得

x＋1＝3（3－3x），解得

x＝4，∴D（－4，12）

法三：由．翻．折．主．动．寻．求．等．腰．三．角．形．（特殊技巧）

如答图

2，延长

交

轴于

H，可得

CH＝AH，设

DH＝y，则

AH＝y，在Rt△ADH

中用勾股定理可得

y＝4

易得

DM＝12，∴D（－4，12）

法四：由．翻．折．主．动．寻．求．等．腰．三．角．形．（特殊技巧）

如答图

2，设

CE＝AE＝a，则

OE＝3－a，在Rt△AOE

中用勾股定理可得

a＝5，3

由比例关系可得

OM＝4，∴D（－4，12）

【例题剖析】

题型一：利用对应边相等，对应角相等

例

1－1、（2015

年无锡）10．如图，Rt△ABC

中，∠ACB＝90º，AC＝3，BC＝4，将边

沿

翻折，使点

落在AB

上的点

处；再将边

沿

翻折，使点

落在CD的延长线上的点

B′处，两条折痕与斜边

分别交于点

E、F，则线段

B′F的长为（）

．

B．

C．

D．

【解答】选

〖点评〗本题的关键点在于发现并证明∠B′FB

是直角，由翻折可知∠A＝∠ADC＝∠B′DF，∠A＋∠B＝90°

又∠B＝∠B′========‹∠B′FB

是直角⟹△B′DF

是“345”的三角形

又由翻折可知

B′C＝BC＝4，CD＝AC＝3，例

1－2、（18

年

月锡山区二模）17．如图，在△ABC

中，∠ACB＝90°，点

D，E

分别在AC，BC

上，且∠CDE＝∠B，将△CDE

沿

折叠，点

恰好落在AB

边上的点

处．若

AC＝8，AB＝10，则

CD的长为

．

【解答】CD＝25

答图

母子三角形

〖点评〗本题的关键点在于发现并证明

是

AB的中点，如答图，由翻折⟹CF⊥DE=====

‹

∠1＝∠B

直角三角形斜边上的中线定理的逆命题

∠1＝∠2====‹∠2＝∠B⟹CF＝BF======================

‹F

是

中点

本题也可以根据

度翻折构造

型相似来解决，如答图

〖针对练习〗

1、（18

年

月宜兴一模）16．如图，在矩形

ABCD

中，AB＝4，BC＝6，E

是

BC的中点，连结

AE，将△ABE

沿

折叠，点

落在点

处，连结

CF，则

sin∠EFC＝

．

【解答】4

题型二：利用（或构造）等腰三角形

例

2－1、（18

年

月宜兴一模）10．一张矩形纸片

ABCD，其中

AD＝8

cm，AB＝6

cm，先沿对角线

对折，点

落在点

C′的位置，BC′交

于点

G（图

1）；再折叠一次，使点

与点

重合，得折痕

EN，EN

交

于点

M（图

2），则

EM的长为（）

A．2

B．3

C．

D．7

【解答】选

〖点评〗本题的关键点在于发现并利用△DEN

是等腰三角形，由翻折⟹∠CDB＝∠EDB，作高EH

是折痕⟹EN∥CD⟹∠END＝∠BDC⟹∠END＝∠EDN⟹EN＝ED===

‹△DEN

是

“556”的三角形

例

2－2、（12

年南长区一模）已知正方形

ABCD的边长为

6cm，点

是射线

上的一个动点，连接

交射线

于点

F，将△ABE

沿直线

翻折，点

落在点

B′处．

（1）

当BE＝1

时，CF＝

cm；

（2）

当BE＝2

时，求

sin∠DAB′的值；

（3）

略

【解答】当

点在BC

边上时，sin∠DAB′＝

5，当

点在BC的延长线上时，sin∠DAB′

＝3，5

〖点评〗本题三种方法都可以，方法一：如答图

1，构造等腰三角形

AGF，再由勾股定理得到方程

x2＋62＝（9－x）2

解得

x＝5，所以

sin∠DAB′＝

方法二：如答图

2，△ABE∽△AHB∽△B′GB，三边之比都为

2：3：

13，∴BH＝

BE＝

×4＝

⟹BB′＝2BH＝

⟹BG＝

BB′＝48

⟹AG＝30

⟹sin∠

DAB′＝

方法三：如答图

3，构造相似三角形△AB′F∽△B′EG，且相似比为

3：2，可得方程组

3x＋2y＝6

，解得

x＝10

13，所以

sin∠DAB′＝

2＋

2＝36

y＝24

另一种情况类似，参考答图

答图

例

2－3、（17

年滨湖二模）18．如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，AC＝3

cm，BC＝4

cm，点

从

点出发向终点

运动，速度为

cm/秒，运动时间为

秒，作

EF∥AB，点

是点

关于

EF的对称点，连结

AP，当△AFP

恰好是直角三角形时，t的值为

．

【解答】t＝25或7

答图

〖点评〗本题的关键点在于

与折痕

垂直，也即与

垂直，在∠APE＝90°时，可得等腰三角形

ABE。

首先∠AFP

不可能是直角，否则易得∠CFE＝45°，与题意不符；

如果∠FAP＝90°，则

AP∥BC⟹CP＝5AC＝15

⟹CE＝CP·1·5＝25

∠F‸E＝∠FEC＝∠B

如果∠APE＝90°，则

A、P、E

三点共线⟹∠FEP＝∠BAE===========‹∠BAE＝∠

B⟹AE＝BE⟹32＋t2＝（4－t）2⟹t＝7

题型三：利用（或构造）“K”字形相似

例

3－1、探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”

化．例如在相似三角形中，K

字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图1）：

（1）

请就图

证明上述“模块”的合理性；

（2）

请直．接．利．用．上述“模块”的结论解决下面两个问题：

①如图

2，已知点

A（－2，1），点

在直线

y＝－2x＋3

上运动，若∠AOB＝90°，求此时点

B的坐标；

②如图

3，过点

A（－2，1）作

轴与

轴的平行线，交直线

y＝－2x＋3

于点

C、D，求点

关于直线

CD的对称点

E的坐标．

【解答】（1）略；（2）①B（3，3）；

②过点

作

EN⊥AC的延长线于点

N，过点

作

DM⊥NE的延长线于点

M，∵A（－2，1），∴C

点的纵坐标为

1，D

点的横坐标为－2，∴C（x，1），D（－2，y），∴1＝－2x＋3，y＝－2×（－2）＋3，∴x＝1，y＝7，∴C（1，1），D（－2，7）．设

E（x，y），∴DM＝x＋2，ME＝7－y，CN＝x－1，EN＝y－1，由对称可知：DE＝AD＝6，CE＝AC＝3

∵∠M＝∠N＝∠DEC＝90°，∴△DME∽△ENC，∴DM

＝

＝DE，EN

∴x＋2

＝

＝x

香

1，y香1

7香y

∴解得：

x＝14

y＝17

∴B（14，17）

例

3－2、（14

外国语一模，18）如图，将等边△ABC

折叠，使点

落在边

上，对应点

为

D，设折痕为

MN，如果CD

＝

3，则BM的值为

．

【解答】BM

＝

〖点评〗方法一：如答图

1，根据翻折，得到∠MDN＝60°⟹△ADN∽△CMD⟹

＝

CD＋DM＋MC

＝CD＋BM＋MC

＝CD＋BC

＝8

AD＋DN＋NA

AD＋BN＋NA

AD＋AB

方法二：如答图

2，分别边

点作

DF⊥BC

于

点，作

DE⊥AB

于

点，则设

AD＝4，CD＝6，则

CF＝3，DF＝3

3，AE＝2，DE＝2

3，x2＝

香x

2＋

再设

BM＝x，BN＝y，则有

y2＝

香

2＋

x＝38

解得

y＝19

∴DM

＝

答图

〖针对练习〗

1、（2016

河南）如图，已知

AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点

为射线

上的一个动点，连接

AE，将△ABE

沿

折叠，点

落在点

B′处，过点

B′作

AD的垂线，分别交

AD、BC

于点

M、N，当点

B′为线段

MN的三等分点时，BE的长为

．

【答案】322或355

题型四：利用相似算对称点

例

4－1、（11

年东林，26）如图

1，直线

y＝－3x＋3

与

轴、y

轴交于

A、B

两点，C

点为

线段

上一点，一动点

在x

轴上．

（1）

当

点运动到与原点

重合时，P

点关于直线

BC的对称点恰好落在直线

上，求此时

PC的长；

（2）

如图

2，若

点为线段

AO的中点，问：P

点运动到何处，点

关于直线

BC的对称点落在直线

上？

【解答】（1）方法较多，PC＝3

（2）C（2，0），△AOB

三边之比为

2：3：

设

P（t，0），则

CP＝2－t，由△AOB∽△PHD∽△PECàDH＝

PD＝

·2PE＝

·2·

PC＝12（2－t）＝24香12晦，13

PH＝3DH＝18（2－t）àOH＝36香5晦，13

∴D（36香5晦，24香12晦），代入

y＝－3x＋3

可得

t＝16

例

4－2、（2016

无锡，27）如图，已知□ABCD的三个顶点

A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作□ABCD

关于直线

AD的对称图形

AB1C1D．

（1）

若

m＝3，试求四边形

CC1B1B的面积

S的最大值；

（2）

若点

恰好落在y

轴上，试求n的值．

【解答】（1）如图

1，∵□ABCD

与四边形

AB1C1D

关于直线

对称，∴四边形

AB1C1D

是平行四边形，CC1⊥EF，BB1⊥EF，∴BC∥AD∥B1C1，CC1∥BB1，∴四边形

BCEF、B1C1EF

是平行四边形，∴S□BCEF＝S□BCDA＝S□B1C1DA＝S□B1C1EF，∴S□BCC1B1＝2S□BCDA．

∵A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m＝3，∴AB＝m－n＝3－n，OD＝2n，∴S

BCDA＝AB•OD＝（3－n）•2n＝－2（n2－3n）＝－2（n－3）2＋9，□

∴S

＝2S

＝－4（n－3）2＋9．

□BCC1B1

□BCDA

∵－4＜0，∴当

n＝3时，S

最大值为

9；

□BCC1B1

（2）当点

恰好落在y

轴上，如图

2，∵DF⊥BB1，DB1⊥OB，∴∠B1DF＋∠DB1F＝90°，∠B1BO＋∠OB1B＝90°，∴∠B1DF＝∠OBB1．

∵∠DOA＝∠BOB1＝90°，∴△AOD∽△B1OB，∴OA

＝

OB1，OD

∴

＝

OB1，2n

∴OB1＝m．

由轴对称的性质可得

AB1＝AB＝m－n．

在Rt△AOB1

中，n2＋（m）2＝（m－n）2，2

整理得

3m2－8mn＝0．

∵m＞0，∴3m－8n＝0，∴n

＝

3．m

〖针对练习〗

1、（18

年滨湖区一模）28．如图，在Rt△ABC

中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，G

是边

AB的中点，平行于

AB的动直线

分别交△ABC的边

CA、CB

于点

M、N，设

＝m．

（1）

当

m＝1

时，求△MNG的面积；

（2）

若点

关于直线

l的对称点为点

G′，请求出点

G′恰好落在△ABC的内部（不含边界）时，m的取值范围；

（3）

略

【解答】（1）9；（2）7＜t＜4

题型五：翻折形成辅助圆

例

5－1、如图，在边长为

2的菱形

ABCD

中，∠A＝60°，M

是

边的中点，N

是

边上一动

点，将△AMN

沿

所在的直线翻折得到△A＇MN，连接

A＇C，则

A＇C

长度的最小值是

．

【答案】

7－1，〖点评〗本题的关键点在于根据翻折判断出点

A′的轨迹是以

为圆心，MA

为半径的圆弧，最后利用圆外一点到圆上的最短距离找到最小值

例

5－2、（2017

无锡）28．如图，已知矩形

ABCD

中，AB＝4，AD＝m，动点

从点

出发，在边

上以每秒

个单位的速度向点

运动．连结

CP，作点

关于直线

PC的对称点

E．设点

P的运动时间为

t（s）．

（1）

若

m＝6，求当

P、E、B

三点在同一直线上时对应的t的值；

（2）

已知

满足：在动点

从点

到点

A的整个运动过程中，有且只有一个时刻

t，使点

到直线

BC的距离等于

3，求所有这样的m的取值范围．

【解析】由翻折⟹点

在以

为圆心，CD

为半径的圆上

（1）

点

E的确定

当

P、E、B

三点共线时，由∠PEC＝90°à∠BEC＝90°à点

又在以

为直径的圆上⟹

点

是两圆交点，易得△BEC≌△PAB⟹BP＝BC＝6

而

BE＝

香

42＝2

∴t＝PD＝PE＝6－2

也可以利用翻折得到∠DPC＝∠EPC，结合∠DPC＝∠PCB⟹∠EPC＝∠PCB⟹BP＝BC＝

（2）

点

E的确定

点

到直线

BC的距离等于

3，点

又在以

为圆心，CD

为半径的圆上à点

只能有图中两种情况，然后由点

E的位置反推出点

P的两个极限位置即可

由△P2DC∽△DHE2⟹

D‸2

＝

⟹

D‸2

＝

⟹DP2＝4

7，若

DP2＞DA，则

要舍去，CD

只存在唯一的E

点；

E2H

由△P1DC∽△DFE1⟹

D‸1

＝

⟹

D‸1

＝

⟹DP1＝4

7，若

DP1＞DA，则

和

都要舍

去，不存在E

点

E1F

∴P

点应在P1P2

之间，477≤m＜4

例

5－3、（16

年滨湖区一模）27．如图

1，∠AOB＝45°，点

P、Q

分别是边

OA、OB

上的两点，且

OP＝2cm．将∠O

沿

折叠，点

落在平面内点

处．

（1）

①当

PC∥QB

时，OQ＝；

②当

PC⊥QB

时，求

OQ的长．

（2）

当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求

OQ的长．

【解答】（1）2；

（2）2

2＋2，2

2－2；

（3）

符合条件的点

个．

①当点

在∠AOB

内部或一边上时，OQ＝2，2，2

②当点

在∠AOB的外部时，OQ＝

6＋

2，6－

〖点评〗本题的关键点在于根据翻折判断出点

C的轨迹是以

为圆心，OP

为半径的圆，难点在于分类要全面

〖针对练习〗

1、（2017

宿迁）26．如图，在矩形纸片

ABCD

中，已知

AB＝1，BC＝

3，点

在边

上移动，连接

AE，将多边形

ABCE

沿直线

翻折，得到多边形

AB′C′E，点

B、C的对应点分别为点

B′、C′．

（1）

当

B′C′恰好经过点

时（如图

1），求线段

CE的长；

（2）

若

B′C′分别交边

AD，CD

于点

F，G，且∠DAE＝22.5°（如图

2），求△DFG的面积；

（3）

在点

从点

移动到点

D的过程中，求点

C′运动的路径长．

【解答】（1）CE＝

6－2；（2）5

香

6；（3）2

题型六：翻折的构造

例

6－1、如图，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN

于点

H，且

MH＝2，NH＝3，求

AH的长．

【解答】方法一：根据定长对定角作辅助圆；

方法二：折叠，如答图，作两次轴对称得到正方形

ABCD，即而可得

AH＝6，例

6－2、如图，△ABC

中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D

是△ABC

内一点，且

AD＝AC，BD＝CD，则∠ADB的度数为（）

A．135°

B．120°

C．150°

D．140°

【解答】选

A，如答图，补成完整的正方形，显然∠ADB＝135°

例

6－3、（18

年

月宜兴一模）9．如图，Rt△ABC

中，∠CAB＝90°，在斜边

上取两点

M、N（不包含

C、B

两点），且

tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1．设

MN＝x，BM＝n，CN＝

m，则以下结论不可能成立的是（）

A．m＝n

B．x＝m＋n

C．x＜m＋n

D．x2＝m2＋n2

【解答】选

D，方法一，构造旋转，如答图

1；

方法二，构造折叠，如答图

2；

题型七：综合型

例

7－1、（14

年江南中学，10，03

年天津）如图，在△ABC

中，已知

AB＝2a，∠A＝30°，CD

是

边的中线，若将△ABC

沿

对折起来，折叠后两个小△ACD

与△B′CD

重叠

部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的1，有如下结论：①BC的边长可以等于

a；②

折叠前的△ABC的面积可以等于

2；③折叠前的△ABC的面积可以等于

2；④折叠

后，以

A、B′为端点的线段与中线

一定平行且相等，其中正确的结论是（）

A．①③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

解：如图，设

B′D

与

相交于

O，∵CD

是

边的中线，∴S

ACD＝S

BCD＝1S

ABC，△

△

∵重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的1，4

∴点

是

AC、B′D的中点，∴四边形

ADCB′是平行四边形，∴AB′∥CD，B′C∥AD，B′C＝AD，故④正确；

∴B′C∥BD，B′C＝BD，∴四边形

BCB′D

是平行四边形，由翻折变换的性质得，BC＝B′C，∴平行四边形

BCB′D

是菱形，∴BC＝BD＝1AB＝1×2a＝a，故①正确；

若

S△ABC＝

3a2，2

∵四边形

AB′CD

为平行四边形，∴S

COD＝1S

ACD＝1S

ABC，满足条件，即

ABC

△

△的值可以等于

3a2，故②正确，2

假设折叠前的△ABC的面积可以等于

3a2，设点

到

AB的距离为

h，则1×2ah＝

3a2，解得

h＝

3a，3a2÷tan30°＝

3a÷

3＝a，2

∴垂足为

AB的中点

D，∴翻折后点

A、B

重合，不符合题意，∴假设不成立，则③错误．

综上所述，正确的结论有①②④．

故选：B．

课后练习

1、如图，矩形

ABCD

中，AD＝5，AB＝8，点

为

上一个动点，把△ADE

沿

折叠，若点

D的对应点

D′，连接

D′B，以下结论中：

①D′B的最小值为

3；

②当

DE＝5时，△ABD′是等腰三角形；

③当

DE＝2

时，△ABD′是直角三角形；

④△ABD′不可能是等腰直角三角形；

其中正确的有

．（填上你认为正确结论的序号）

【解答】①②④

2、如图，在一张矩形纸片

ABCD

中，AB＝4，BC＝8，点

E、F

分别在AD、BC

上，将纸片

ABCD

沿直线

折叠，点

落在AD

上的一点

处，点

落在点

处，有以下四个结论：①四边形

CFHE

是菱形；②EC

平分∠DCH；③线段

BF的取值范围为

3≤BF≤4；

④当点

与点

重合时，EF＝2

5．以上结论中，你认为正确的有（）个．

A．1

B．2

C．3

D．4

【解答】选C3、（2017

年无锡）10．如图，△ABC

中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点

是

边的中点，将△ABD

沿

翻折得到△AED，连

CE，则线段

CE的长等于（）

A．2

B．5

C．5

D．7

【解答】选

D3、（18

年省锡中二模）27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线

y＝ax2－2ax＋c

与

轴交于

A、B

两点（点

在点

B的左侧），且

AB＝4，又

是第一象限抛物线上的一点，抛物线对称轴交

轴于点

F，交直线

于点

E，AE：EP＝1：2．

（1）

求点

A、点

B的坐标；

（2）

直线

交

轴于点

G，若

CG＝5

3，求此抛物线的解析式；

（3）

在（2）的条件下，若点

是射线

上一动点，沿着

翻折△ADF

得到△A′DF（点

A的对应点为

A′），△A′DF

与△ADB

重叠部分的面积为△ADB的1，求此时△ADB的面

积．

【解答】（1）A（－1，0），B（3，0）；（2）y＝

3x2－2

3x－

3；

△

（3）如答图

1，S

ADB＝8

答图

注：如果把题目改为“D

点在直线

上”，则有如答图

2的另一种情况

图形性质与图形间关系的发现，既要借助于推理，但更要借助于直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更敏锐、使这种观察更具眼力．

中考数学总复习几何变换之翻折探究专题（含答案）

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