2021年中考数学：几何专题复习之特殊四边形专题（较难）

2021年中考数学：几何专题复习之

特殊四边形专题（较难）

一．选择题

1．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，AE与BC交于点F，则下列说法正确的是（）

A．当∠B＝90°时，则EF＝2

B．当F恰好为BC的中点时，则▱ABCD的面积为12

C．在折叠的过程中，△ABF的周长有可能是△CEF的2倍

D．当AE⊥BC时，连接BE，四边形ABEC是菱形

2．如图，E为正方形ABCD边CD上一点，连接BE，AC．若EC＝1，2∠ABE＝3∠ACB，则AB＝（）

A．

B．

C．

D．

3．如图，点A、B在函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，且点A在点B的左侧过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C，连接AB、MN．若△CMN和△ABC的面积分别为1和4，则k的值为（）

A．4

B．4

C．

D．6

4．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（）

A．①③

B．②④

C．①③④

D．②③④

5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为边BC的中点，P为BD的一个动点，则PC+PE的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

6．已知点M是平行四边形ABCD内一点（不含边界），设∠MAD＝θ1，∠MBA＝θ2，∠MCB＝θ3，∠MDC＝θ4．若∠AMB＝110°，∠CMD＝90°，∠BCD＝60°．则（）

A．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝10°

B．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝30°

C．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝30°

D．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°

7．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）

A．10

B．12

C．16

D．18

8．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝（）

A．

B．

C．2

D．

二．填空题

9．如图，▱ABCD的面积为32，E，F分别为AB、AD的中点，则△CEF的面积为

．

10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．

（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为；

（2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为

．

11．如图，菱形ABCD的边长为2，点E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF＝BD＝2，设△BEF的面积为S，则S的取值范围是

．

12．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝6，E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点．连接EF，FM，则FM＝

；线段EF的最大值为

．

13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝7，连接BD，把线段BD绕点D逆时针方向旋转90°得线段DQ．在BC边上取点P，使BP＝2，连接PQ交DC延长线于点E，则线段DE长为

．

14．在三角形ABC中，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，AH⊥BC于点H，若∠DEF＝50°，则∠CFH＝

．

15．如图是一张三角形纸片，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，从纸片上裁出一矩形，要求裁出的矩形的四个顶点都在三角形的边上，其面积为2，则该矩形周长的最小值＝

．

16．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为

．

17．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为

．

18．直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于D、A两点，过点A、D分别作x轴的垂线段，垂足为点B，C．若四边形ABCD是正方形，则a的值为

．

19．如图，矩形ABCD中，E为CD上一点，F为AB上一点，分别沿AE，CF折叠，D，B两点刚好都落在矩形内一点P，且∠APC＝120°，则AB：AD＝

．

20．如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥CG交AB于E，BE＝BC，连接CE交BG于F，则∠BFC等于

．

三．解答题

21．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．

（1）求证：AF∥CH．

（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长．

（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．

22．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．

（1）证明：PD＝PE．

（2）连接PC，求PC的最小值．

（3）设点O是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使∠DPO＝90°？若存在，请直接写出AP的长．

23．当k值相同时，我们把正比例函数y＝x与反比例函数y＝叫做“关联函数”．

（1）如图，若k＞0，这两个函数图象的交点分别为A，B，求点A，B的坐标（用k表示）；

（2）若k＝1，点P是函数y＝在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B重合），设点P的坐标为（m，），其中m＞0且m≠2．作直线PA，PB分别与x轴交于点C，D，则△PCD是等腰三角形，请说明理由；

（3）在（2）的基础上，是否存在点P使△PCD为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，E是AD上一点，△ABE沿BE折叠，点A恰好落在线段CE上的点F处．

（1）求证：CF＝DE．

（2）设＝m．

①若m＝，试求∠ABE的度数；

②设＝k，试求m与k满足的关系．

25．如图，正方形ABCD中，G是对角线BD上一个动点，连接AG，过G作GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足

（1）求证：GE+GF＝AB；

（2）①写出GE、GF、AG三条线段满足的等量关系，并证明；

②求当AB＝6，AG＝时，BG的长．

26．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D两点重合），连接AE，作EF⊥AE于E，交直线CB于F．

（1）如图1，当点F在线段CB上时，通过观察或测量，猜想△AEF的形状，并证明你的猜想；

（2）如图2，当点F在线段CB的延长线上时，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）若AE将△ABD的面积分成1：2的两部分，求AF：CF的值．

27．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点E，连接BE，作EF⊥BE交AD于点F．过点E作直线CD的对称点G，连接CG，DG，EG．

（1）求证：△BEC≌△DGC；

（2）求证：四边形FEGD为平行四边形；

（3）若AB＝4，▱FEGD有可能成为菱形吗？如果可能，此时CE长；如果不可能，请说明理由．

28．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．

（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．

（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．

29．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AC上一点，点E，点F关于CD对称．

（1）若ED∥CF，①求证：四边形ECFD是菱形．

②若点E为AC的中点，求证：AD＝EF．

（2）连接BD，BE，BF，若四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，求的值．

30．（1）如图1，将一矩形纸片ABCD沿着EF折叠，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H．

①判断EG与EH是否相等，并说明理由．

②判断GH是否平分∠AGE，并说明理由．

（2）如图2，如果将（1）中的已知条件改为折叠三角形纸片ABC，其它条件不变．

①判断EG与EH是否相等，并说明理由．

②判断GH是否平分∠AGE，如果平分，请说明理由；如果不平分，请用等式表示∠EGH，∠AGH与∠C的数量关系，并说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：A、如图1中，∵∠B＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠DAC＝∠CAE，∴∠ACF＝∠CAF，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，在Rt△ABF中，则有x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝，∴EF＝8﹣＝，故选项A不符合题意．

B、如图2中，当BF＝CF时，∵AF＝CF＝BF，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴S平行四边形ABCD＝AB•AC＝6×2＝12，故选项B符合题意．

C、在折叠过程中，△ABF与△EFC的周长相等，选项C不符合题意．

D、如图3中，当AE⊥BC时，四边形ABEC是等腰梯形，选项D不符合题意．

故选：B．

2．解：如图，AC，BE交于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∵2∠ABE＝3∠ACB，∴∠ABE＝＝67.5°，∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠ABE＝∠AFB，∴AB＝AF，∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠CEF＝67.5°，∵∠CFE＝∠AFB＝67.5°，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，设AB＝x，则AC＝x+1，在Rt△ABC中，AC＝，∴x+1＝，解得x＝+1，故选：B．

3．解：设点M（a，0），N（0，b）

∵AM⊥x轴，且点A在反比例函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，∴点A的坐标为（a，），BN⊥y轴，同理可得：B（，b）

则点C（a，b）

s△CMN＝＝ab＝1

∴ab＝2

∵AC＝，BC＝

＝＝4

即，且ab＝2

（k﹣2）2＝16

解得：k＝6，k＝﹣2（舍去）

故选：D．

4．解：连接FC，如图所示：

∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，∴FA＝FB＝FC，∵△ACE是等边三角形，∴EA＝EC，∵FA＝FC，EA＝EC，∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；

∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．

∵∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠EAF＝90°，∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，∴DF∥AE，DA∥EF，∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；

∵四边形ADFE为平行四边形，∴DA＝EF，AF＝2AG，∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG；

在△DBF和△EFA中，∴△DBF≌△EFA（SAS）；

综上所述：①③④正确，故选：C．

5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴点A和点C关于BD对称，BC＝AB＝4，∵E为边BC的中点，∴BE＝BC＝2，连接AE交BD于P，则此时，PC+PE的值最小，PC+PE的最小值＝AE，∵AE＝＝＝2，∴PC+PE的最小值是2，故选：A．

6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∴∠BAM＝60°﹣θ1，∠DCM＝60°﹣θ3，∴△ABM中，60°﹣θ1+θ2+110°＝180°，即θ2﹣θ1＝10°①，△DCM中，60°﹣θ3+θ4+90°＝180°，即θ4﹣θ3＝30°②，由②+①，可得（θ4﹣θ3）+（θ2﹣θ1）＝40°，即θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°，故选：D．

7．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，∴S阴＝8+8＝16，（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）

故选：C．

8．解：延长GH交AD于M点，如图所示：

∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG，∵AF的中点H，∴AH＝FH，在△AMH和△FGH中，∴△AMH≌△FGH（ASA）．

∴AM＝FG＝1，MH＝GH，∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2，在Rt△MDG中，GM＝＝＝2，∴GH＝GM＝，故选：A．

二．填空题（共12小题）

9．解：连接AC、DE、BD，如图：

∵E为AB中点，∴S△BCE＝S△ABC＝S平行四边形ABCD＝8，同理可得：S△CDF＝8，∵F为AD中点，∴SAEF＝S△AED＝S△ABD＝S平行四边形ABCD＝4，∴S△CEF＝S平行四边形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCE﹣S△CDF＝32﹣8﹣8﹣4＝12；

故答案为：12．

10．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，∵BE＝5，∴AE＝＝＝3，∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，∴正方形CEFG的面积＝EC2＝17．

故答案为17．

（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，∵＞0，∴x＝2时，△DFG的面积的最小值为6．

故答案为6．

11．解：∵菱形ABCD的边长为2，BD＝2，∴△ABD和△BCD都为正三角形，∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC，∵AE+DE＝AD＝2，而AE+CF＝2，∴DE＝CF，∴△BDE≌△BCF（SAS）；

∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，∴△BEF为正三角形；

设BE＝BF＝EF＝x，则S＝•x•x•sin60°＝x2，当BE⊥AD时，x最小＝2×sin60°＝，∴S最小＝×（）2＝，当BE与AB重合时，x最大＝2，∴S最大＝×22＝，∴≤S≤．

故答案为：≤S≤．

12．解：连接EM，∵E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点，∴FM＝，EM＝，当EF＝EM+MF时，线段EF最大，即EF＝1+3＝4，故答案为：1；4．

13．解：如图，过点Q作QH⊥CD于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝7，∵BP＝2，∴CP＝5，∵把线段BD绕点D逆时针方向旋转90°得线段DQ，∴BD＝DQ，∠BDQ＝90°，∴∠BDC+∠QDC＝90°，且∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠QDC＝∠DBC，且BD＝DQ，∠BCD＝∠DHQ＝90°，∴△BDC≌△DQH（AAS）

∴DC＝HQ＝5，BC＝DH＝7，∴CH＝DH﹣CD＝2，∵CP＝HQ＝5，∠PEC＝∠QEH，∠PCE＝∠QHE，∴△PCE≌△QHE（AAS）

∴CE＝EH，且CH＝2，∴CE＝EH＝1，∴DE＝DC+CE＝5+1＝6，故答案为：6．

14．解：∵点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，∴EF∥BC，DE∥AC（三角形的中位线的性质）

又∵EF∥BC，∠DEF＝50°，∴∠DEF＝∠EDB＝50°（两直线平行，内错角相等），∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠FCH＝50°（两直线平行，同位角相等），又∵AH⊥BC，∴△AHC是直角三角形，∵HF是斜边上的中线，∴HF＝AC＝FC，∴∠FHC＝∠FCH＝50°．

∴∠CFH＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故答案为：80°．

15．解：①当矩形的其中一边在AC上时，如图1所示：

设CE＝x，则BE＝3﹣x，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴DE＝（3﹣x），∴S矩形DECF＝CE•DE＝x（3﹣x）＝2，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，当x＝1时，该矩形周长＝（CE+DE）×2＝（1+2）×2＝4+2，当x＝2时，该矩形周长＝（CE+DE）×2＝2+4，∵（4+2）﹣（2+4）＝2﹣2＝2（﹣1）＞0，∴矩形的周长最小值为2+4；

②当矩形的其中一边在AB上时，如图2所示：

设CF＝x，则BF＝3﹣x，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴FG＝2x，EF＝（3﹣x），∴S矩形DECF＝FG•EF＝2x•（3﹣x）＝2，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，所以和（1）的结果一致，综上所述：矩形周长的最小值为2+4．

故答案为：2+4．

16．解：连接BN、CM，作NP⊥BC于P，如图所示：

∵△ABM和△ACN是等边三角形，∴AB＝AM，AN＝AC＝CN＝3，∠BAM＝∠CAN＝∠ACN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠NAB，在△CAM和△NAB中，∴△CAM≌△NAB（SAS），∴CM＝NB，∵D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，∴DG是△BMN的中位线，EF是△BCN的中位线，DE是△BCM的中位线，∴DG∥BN，DG＝BN，EF∥BN，EF＝BN，DE＝CM，∴DG∥EF，DG＝EF，DG＝DE，∴四边形DEFG是平行四边形，又∵DG＝DE，∴四边形DEFG是菱形，∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN，∵∠BAC＝60°，∴∠NCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACN＝60°，∵NP⊥BC，∴∠CNP＝90°﹣60°＝30°，∴PC＝CN＝，PN＝PC＝，∴BP＝BC+PC＝5+＝，∴BN＝＝＝7，∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN＝，∴四边形DEFG的周长＝4×＝14，故答案为：14．

17．解：

∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，故答案为：40°．

18．解：∵直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于点D、A，∴A（，a），D（2a，a），当直线在x轴的正半轴时，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，即2a﹣＝a，解得a＝﹣1或a＝1．

当直线在x轴的负半轴时，同理可得，2a﹣＝﹣a，解得a＝±．

故答案为：±1或±．

19．解：如图，设AD＝BC＝x．过点P作PH⊥AC于H．

由翻折的性质可知，PA＝PC＝BC＝x，∵∠APC＝120°，PH⊥AC，∴AH＝CH，∠APH＝∠CPH＝60°，∴AC＝2AH＝2•PA•sin60°＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴CD＝AB＝＝＝x，∴＝＝，故答案为：1．

20．解：∵BE＝BC，∠ABC＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，∵GE⊥CG，∴∠AGE+∠CGD＝90°，∵∠DCG+∠CGD＝90°，∴∠AGE＝∠DCG，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AGE∽△DCG，∴，∵G是AD的中点，∴AG＝DG，∴，∵∠D＝∠CGE＝90°，∴△CDG∽△CGE，∴∠DCG＝∠GCE＝（90°﹣45°）＝22.5°，∵G是AD的中点，∴由矩形的对称性可知∠ABG＝∠DCG＝22.5°，由三角形的外角性质得，∠BFC＝∠ABG+∠BEC＝22.5°+45°＝67.5°．

故答案为：67.5°．

三．解答题（共10小题）

21．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，∴∠ABE+∠FAB＝90°，∴∠APB＝90°，∴AF⊥BE，又∵CH⊥BE，∴AF∥CH；

（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，∴BE＝＝＝4，∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，∴AP＝＝，在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，∵∠APB＝∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，∴∠ABP＝∠HCB，∵CH⊥BE，∴∠HCB＝90°，又∵AB＝BC，∴△ABP≌△BCH（AAS），∴BH＝AP＝，∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．

（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，∵CH⊥BP，PH＝BH，∴CP＝BC，∴∠CBP＝∠CPB，∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，∴∠QPE＝∠QEP，在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，∴QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，∵DC2+DQ2＝CQ2，∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，∴b2＝4ab，即b＝4a，∴＝4．

22．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝90°，∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠EAP＝45°，在△DAP和△EAP中，∴△DAP≌△EAP（SAS）

∴PD＝PE；

（2）解：如图1，作CP′⊥AP′于P′，则P′C最小，∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠EAP，∵∠DAP＝∠EAP，∴∠DAP＝∠DFA＝45°，∴FC＝DF＝AD＝2，∠P′FC＝45°，∴P′C＝FC×＝，∴PC的最小值为；

（3）解：如图2，∵DF＝FC，OA＝OC，∴OF∥AD，∴∠DFO＝180°﹣∠ADF＝90°，∴当点P与点F重合时，∠DPO＝90°，此时，AP＝＝2，当点P在AF上时，作PG⊥AD于G，PH⊥AB于H，∵AP平分∠DAB，PG⊥AD，PH⊥AB，∴PG＝PH，设PG＝PH＝a，由勾股定理得，DP2＝（2﹣a）2+a2，OP2＝（2﹣a）2+（1﹣a）2，OD2＝5，当∠DPO＝90°时，DP2+OP2＝OD2，即（2﹣a）2+a2+（2﹣a）2+（1﹣a）2＝5，解得，a1＝2（舍去），a2＝，当a＝时，AP＝，综上所述，∠DPO＝90°时，AP＝2或．

23．解：（1）∵两个函数图象的交点分别为A，B，∴，∴x2＝k2，∴x＝±k，∴点A坐标为（﹣k，﹣1），点B坐标（k，1），（2）∵k＝1，∴点A坐标为（﹣1，﹣1），点B坐标（1，1），∵点P的坐标为（m，），∴直线PA解析式为：y＝+，当y＝0时，x＝m﹣1，∴点C（m﹣1，0）

同理可求直线PB解析式为：y＝﹣x+，当y＝0时，x＝m+1，∴点D（m+1，0）

∴PD＝＝，PC＝＝，∴PC＝PD，∴△PCD是等腰三角形；

（3）如图，过点P作PH⊥CD于H，∵△PCD为直角三角形，PH⊥CD，∴CD＝2PH，∴m+1﹣（m﹣1）＝2×

∴m＝1，∴点P（1，1），∵点B（1，1），且点P是函数y＝在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B重合），∴不存在点P使△PCD为直角三角形．

24．（1）证明：由折叠的性质可知，∠BEA＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠EBC，∠BCF＝∠CED，∴∠BEF＝∠EBC，∴BC＝CE，∵∠BFC＝∠D＝90°，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴CF＝DE．

（2）解：①由翻折可知BA＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，在Rt△BFC中，sin∠BCF＝＝＝＝，∴∠BCF＝60°，∴∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABF＝90°﹣30°＝60°，∵∠ABE＝∠FBE，∴∠ABE＝∠ABF＝30°．

②∵＝k，＝m，∴AE＝kAD，AB＝mAD，∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k），在Rt△CED中，CE2＝CD2+DE2，即AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2，整理得，m2＝2k﹣k2．

25．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴△DGE和△BGF是等腰直角三角形，∴GE＝DG，GF＝BG，∴GE+GF＝（DG+BG）＝BD，∴GE+GF＝AB；

（2）解：GE2+GF2＝AG2，理由如下：

连接CG，如图所示：

在△ABG和△CBG中，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CE＝GF，∴GE2+CE2＝CG2，∴GE2+GF2＝AG2；

设GE＝x＝CF，则GF＝6﹣x＝BF，由勾股定理得：x2+（6﹣x）2＝（）2，∴x＝1或x＝5

当x＝1时，∴BF＝GF＝5，∴BG＝＝＝5，当x＝5时，∴BF＝GF＝1，∴BG＝＝＝，26．解：（1）△AEF是等腰直角三角形，理由如下：

过点E作直线MN∥AB，交AD于M，交BC于N，如图1所示：

∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且MN∥AB，∴四边形ABNM和四边形MNCD都是矩形，△NEB和△MDE都是等腰直角三角形，∴AM＝BN，∠AME＝∠ENF＝90°，EN＝BN，∴AM＝EN，∵EF⊥AE，∴∠AEM+∠FEN＝∠AEM+∠EAM＝90°，∴∠EAM＝∠FEN，在△AME和△ENF中，∴△AME≌△ENF（ASA），∴AE＝EF，∵AE⊥EF，∴△AEF是等腰直角三角形；

（2）（1）中的结论还成立，理由如下：

过点E作直线MN∥DC，交AD于M，交BC于N，如图2所示：

由（1）同理可得：AM＝BN＝EN，∠EAM＝∠FEN，∵∠AME＝∠ENF＝90°，在△AME和△ENF中，∴△AME≌△ENF（ASA）；

∴AE＝EF，∵AE⊥EF，∴△AEF是等腰直角三角形；

（3）分两种情况：

①△ADE的面积：△ABE的面积＝1：2时，如图1所示：

则BE＝2DE，设正方形ABCD的边长为3a，则BD＝3a，由（1）得：AE＝EF，ME＝NF，DM＝CN，△AEF、△NEB和△MDE都是等腰直角三角形，∴AF＝AE，BE＝BN＝2a，DE＝ME＝a，∴AM＝BN＝2a，CN＝NF＝DM＝ME＝a，∴CF＝NF+CN＝2a，AE＝＝＝a，∴AF＝AE＝a，∴＝＝；

②△ADE的面积：△ABE的面积＝2：1时，如图2所示：

则DE＝2BE，设正方形ABCD的边长为3a，则BD＝3a，同（1）得：AF＝AE，BE＝BN＝a，DE＝ME＝2a，∴AM＝BN＝a，CN＝NF＝DM＝ME＝2a，∴CF＝NF+CN＝4a，AE＝＝＝a，∴AF＝AE＝a，∴＝＝；

综上所述，若AE将△ABD的面积分成1：2的两部分，则AF：CF的值为或．

27．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCA＝∠DCA＝45°，AD∥DC，∵点E与点G关于直线CD对称，∴EC＝GC，∠DCG＝∠DCA＝45°，EG⊥CD，∴∠BCE＝∠DCG，在△BEC和△DGC中，∴△BEC≌△DGC（SAS）；

（2）证明：∵EG⊥CD，AD⊥DC，AD∥BC，∴EG∥DF∥BC，∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°，∴∠DGE＝∠DGC﹣45°，∵BE⊥EF，∴∠FEG＝360°﹣90°﹣45°﹣∠BEC＝225°﹣∠BEC，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGE+∠FEG＝∠DGC﹣45°+225°﹣∠BEC＝180°，∴EF∥DG，∴四边形FEGD为平行四边形；

（3）解：过E作MN⊥AD于N，MN⊥BC于M，如图所示：

则∠EBM+∠BEM＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEM+∠FEN＝90°，∴∠EBM＝∠FEN，∵BM＝AN，AN＝EN，∴BM＝EN，在△BME和△ENF中，∴△BME≌△ENF（ASA），∴BE＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴BE＝DE，∴DE＝EF，当四边形GD为菱形时，DF＝EF，∴△DEF是等边三角形，∴∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，设CM＝x，则EM＝x，∵∠EBM＝30°，∴BM＝x，∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，∴BC＝BM+EM＝（+1）x＝4，解得：x＝2（﹣1），∴CE＝x＝2﹣2．

28．（1）证明：连接MN，如图1所示：

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，∴四边形ABNM是平行四边形，又∵∠B＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝3，在△AME和△CNF中，∴△AME≌△CNF（SAS），∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，∴∠MEF＝∠NFE，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形，又∵AE＝CF＝1，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，∴MN＝EF，∴四边形EMFN为矩形．

（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：

则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，解得：x＝2±，∵0＜x＜2，∴x＝2﹣．

29．（1）证明：①如解图1，∵点E，点F关于CD对称．

∴DE＝DF；CE＝CF，OE＝OF，CD⊥EF，∴∠ECO＝∠FCO，∵ED∥CF，∴∠FCO＝∠EDO，∴∠ECO＝∠EDO，∴DE＝EC，∴DE＝DE＝EC＝CF，∴四边形ECFD是菱形．

②由得①得四边形ECFD是菱形，∴EO＝OF＝，OD＝OC，又∵AE＝EC，∴OF＝．

∴AD＝EF

（2）解：四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，则有以下情况：

Ⅰ．第一种情况：若∠BFD＝90°时，E、F、C三点重合，BF＝BE，即．

Ⅱ．第二种情况：若∠BDF＝90°时，如解2，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝∠DBC＝45°，BE＝DE，∴∠FDC＝45°，∵E，点F关于CD对称，∴∠EDC＝45°，即E为AC与BD的交点，EF⊥CD，∴EF∥BC，∴∠DEF＝∠BDC＝45°，∴△EFD为等腰直角三角形，∴DF＝DE＝BE，在Rt△BDF中，BF＝＝，∴即＝．

Ⅲ．点E为AC上一点，所以∠DBF＝90°不存在．

综上所述：若四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，的值为1或．

30．解：（1）①EG＝EH，理由如下：

如图，∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC

∴AF∥BE，且GH∥EF

∴四边形GHEF是平行四边形

∴∠GHE＝∠GFE

∵将一矩形纸片ABCD沿着EF折叠，∴∠1＝∠GEF

∵AF∥BE，GH∥EF

∴∠1＝∠GFE，∠HGE＝∠GEF

∴∠GEF＝∠HGE

∴∠GHE＝∠HGE

∴HE＝GE

②GH平分∠AGE

理由如下：

∵AF∥BE

∴∠AGH＝∠GHE，且∠GHE＝∠HGE

∴∠AGH＝∠HGE

∴GH平分∠AGE

（2）①EG＝GH

理由如下，如图，∵将△ABC沿EF折叠

∴∠CEF＝∠C＇EF，∠C＝∠C＇

∵GH∥EF

∴∠GEF＝∠HGE，∠FEC＇＝∠GHE

∴∠GHE＝∠HGE

∴EG＝EH

②∠AGH＝∠HGE+∠C

理由如下：

∵∠AGH＝∠GHE+∠C＇

∴∠AGH＝∠HGE+∠C