专题13
反比例函数中的直角三角形问题
1、如图,正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,过点A作AC垂直x轴于点C,连结BC.若△ABC的面积为2.
(1)求k的值;
(2)x轴上是否存在一点D,使△ABD为直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
2、如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于A、B两点,与x轴交于C点,点A的坐标为(n,6),点C的坐标为(-2,0),且tan∠ACO=2.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求点B的坐标;
(3)在x轴上求点E,使△ACE为直角三角形.(直接写出点E的坐标)
【答案】(1)y=,y=2x+4;(2)B(-3,-2);(3)E1(1,0),E2(13,0)
3、如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(a≠0)的图象在第一象限交于A,B两点,A点的坐标为(m,6),B点的坐标为(2,3),连接OA,过B作BC⊥y轴,垂足为C.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)在射线CB上是否存在一点D,使得△AOD是直角三角形,求出所有可能的D点坐标.
解:(1)∵点B(2,3)在反比例函数y=的图象上,∴a=3×2=6,∴反比例函数的表达式为y=,∵点A的纵坐标为6,∵点A在反比例函数y=图象上,∴A(1,6),∴,∴,∴一次函数的表达式为y=﹣3x+9;
(2)如图,①当∠OD1A=90°时,设BC与AO交于E,则E(,3),∴AE=OE=D1E=,∵E(,3),∴D1的坐标为(,3);
②当∠OAD2=90°时,可得直线AD2的解析式为:y=﹣x+,当y=3时,x=19,∴D2的坐标为(19,3),综上所述,当△AOD是直角三角形,D点坐标为(,3)或(19,3)
4、如图1,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(m为常数,m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点.
(1)求∠OCD的度数;
(2)如图2,连接OQ、OP,当∠DOQ=∠OCD﹣∠POC时,求此时m的值;
(3)如图3,点A,点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点.再以OA、OB为邻边作矩形OAMB.若点M恰好在函数y=(m为常数,m>1,x>0)的图象上,且四边形BAPQ为平行四边形,求此时OA、OB的长度.
解:(1)设直线PQ的解析式为y=kx+b,则有,解得,∴y=﹣x+m+1,令x=0,得到y=m+1,∴D(0,m+1),令y=0,得到x=m+1,∴C(m+1,0),∴OC=OD,∵∠COD=90°,∴∠OCD=45°.
(2)如图2,过Q作QM⊥y轴于M,过P作PN⊥OC于N,过O作OH⊥CD于H,∵P(m,1)和Q(1,m),∴MQ=PN=1,OM=ON=m,∵∠OMQ=∠ONP=90°,∴△OMQ≌△ONP(SAS),∴OQ=OP,∠DOQ=∠POC,∵∠DOQ=∠OCD﹣∠POC,∠OCD=45°,∴∠DOQ=∠POC=∠QOH=∠POH=22.5°,∴MQ=QH=PH=PN=1,∵∠OCD=∠ODC=45°,∴△DMQ和△CNP都是等腰直角三角形,∴DQ=PC=,∵OC=OD=m+1,∴CD=OC=,∵CD=DQ+PQ+PC,∴=2+2,∴m=+1;
(3)如图3,∵四边形BAPQ为平行四边形,∴AB∥PQ,AB=PQ,∴∠OAB=45°,∵∠AOB=90°,∴OA=OB,∴矩形OAMB是正方形,∵点M恰好在函数y=(m为常数,m>1,x>0)的图象上,∴M(,),即OA=OB=,∵AB=PQ,∴,解得:m=或(舍),∴OA=OB====.
5、如图,反比例函数y=的图象经过点,射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B(﹣1,a),射线AC与x轴交于点E,与y轴交于点C,∠BAC=75°,AD⊥y轴,垂足为D.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求DC的长;
(3)在x轴上是否存在点P,使得△APE与△ACD相似,若存在,请求出满足条件点P的坐标,若不存在,请说明理由.
解:(1)∵反比例函数y=的图象经过点,∴k=﹣2,∴反比例函数的解析式为:;
(2)过点B作BM⊥AD于M,把B(﹣1,a)代入得,∴B(﹣1,2),∴AM=BM=2﹣1,∴∠BAM=45°,∵∠BAC=75°,∴∠DAC=75°﹣45°=30°,∴CD=AD•tan∠DAC=2×=2;
(3)存在,如图,∵OC=CD﹣OD=1,∴OE=OC=,①当AP⊥x轴时,△APE~△CDA,则:OP1=AD=2,∴P1(﹣2,0),②当AP⊥AE时,△APE~△DCA,∵AP1=1,∠AP2P1=90°﹣30°=60°∴
则,综上所述,满足条件点P的坐标为(﹣2,0),(﹣,0).
6、如图①,直线y=﹣x+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(2,6),B(a,3)两点,BC∥x轴(点C在点B的右侧),且BC=m,连接OC,过点C作CD⊥x轴于点D,交反比例函数图象于点E.
(1)求b的值和反比例函数的解析式;
(2)填空:不等式﹣x+b>的解为;
(3)当OC平分∠BOD时,求的值;
(4)如图②,取BC中点F,连接DF,AF,BD,当四边形ABDF为平行四边形时,求点F的坐标.
(1)将A(2,6)代入y=﹣x+b得,﹣3+b=6,解得:b=9,将A(2,6)代入y=得,k=12,∴反比例函数的解析式为:y=;
(2)当y=3时,3=,解得:x=4,∴B(4,3),由图象可知不等式﹣x+b>的解为:2<x<4,故答案为:2<x<4;
(3)将B(a,3)代入y=得,=3,解得:a=4,∵OC平分∠BOD,∴∠BOC=∠COD,∵BC∥x轴,∴∠BCO=∠COD,∴∠BOC=∠BCO,∴OB=BC,∵B(4,3),∴OB=BC=5,∴C(9,3),∴E(9,),D(9,0),∴DE=,CE=3﹣=,∴==;
(4)作AH⊥BC于H,则H(2,3),∴AH=3,BH=2,∵四边形ABDF为平行四边形,∴AB∥DF,AB=DF,∴∠CFD=∠CBQ,∵∠AHB=∠DCF=90°,∠ABH=∠CBQ,∴∠CFD=∠ABH,∴△ABH≌△DFC(AAS),∴CF=BH=2,∵F是BC中点,∴BF=CF=BC=2,∵B(4,3),∴F(6,3).
7、定义:在平面直角坐标系中,把点先向右平移1个单位,再向上平移2个单位的平移称为一次斜平移.已知点A(1,0),点A经过n次斜平移得到点B,点M是线段AB的中点.
(1)当n=3时,点B的坐标是,点M的坐标是;
(2)如图1,当点M落在y=的图象上,求n的值;
(3)如图2,当点M落在直线l上,点C是点B关于直线l的对称点,BC与直线l相交于点N.
①求证:△ABC是直角三角形;
②当点C的坐标为(5,3)时,求MN的长.
解:(1)根据平移的性质,点A(1,0)经过n次斜平移得到点B的坐标为(1+n,2n),∴当n=3时,点B的坐标是(4,6),∵点M是线段AB中点,∴点M的坐标是(2.5,3),故答案为:(4,6),(2.5,3)
(2)由题意,A(1,0),B(1+n,2n),∴线段AB中点M(,n),∵点M落在y=的图象上,∴×n=4,解得n=2或n=﹣4(舍去),∴n=2;
(3)①连接CM,如图1,∵M是AB的中点,∴AM=BM,由轴对称可知:BM=CM,∴AM=CM=BM,∴∠MAC=∠ACM,∠MBC=∠MCB,∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°,∴∠ACM+∠MCB=90°,即∠ACB=90°,∴△ABC是直角三角形;
②∵点C的坐标为(5,3),点A(1,0),∴AC==5,∵点C是点B关于直线l的对称点,∴BN=CN,∵点M是线段AB的中点.
∴AM=BM,∴MN=AC=.
8、如图(1),正方形ABCD顶点A、B在函数y=(k>0)的图象上,点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上,当k的值改变时,正方形ABCD的大小也随之改变.
(1)若点A的横坐标为5,求点D的纵坐标;
(2)如图(2),当k=8时,分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′两点的坐标;
(3)当变化的正方形ABCD与(2)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时,求k的取值范围.
解:(1)如图,过点A作AE⊥y轴于点E,则∠AED=90°.
∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC,∠ADC=90°,∴∠ODC+∠EDA=90°.
∵∠ODC+∠OCD=90°,∴∠EDA=∠OCD,在△AED和△DOC中,∴△AED≌△DOC(AAS),∴OD=EA=5,∴点D的纵坐标为5;
(2)作A′M⊥y轴于M,B′N⊥x轴于点N,设OD′=a,OC′=b,同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E,∴C′N=OD′=A′M=a,B′N=C′O=D′M=b,∴A′(a,a+b),B′(a+b,b),∵点A′、B′在反比例函数y=的图象上,∴a(a+b)=8,b(a+b)=8,∴解得a=b=2或a=b=﹣2(舍去),∴A′、B′两点的坐标分别为(2,4),(4,2);
(3)设直线A′B′的解析式为y=mx+n,把A′(2,4),B′(4,2)代入得,解得,∴直线A′B′解析式为y=﹣x+6,同样可求得直线C′D′解析式为y=﹣x+2,由(2)可知△OCD是等腰直角三角形,设点A的坐标为(m,2m),点D坐标为(0,m),当A点在直线C′D′上时,则2m=﹣m+2,解得m=,此时点A的坐标为(,),∴k=×=;
当点D在直线A′B′上时,有m=6,此时点A的坐标为(6,12),∴k=6×12=72;
综上可知:当变化的正方形ABCD与(2)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时,k的取值范围为≤x≤72.
9、如图,如图,一次函数y=﹣x+b与反比例函数的图象交于点A(m,1)和B
(1,﹣3).
(1)填空:一次函数的解析式为,反比例函数的解析式为;
(2)点P是x轴正半轴上一点,连接AP,BP.当△ABP是直角三角形时,求出点P的坐标.
解:(1)∵点A(m,1)和B
(1,﹣3)在反比例函数的图象上,∴k=1×(﹣3)=﹣3,k=m×1,∴m=﹣3,∴点A(﹣3,1),∴反比例函数解析式为:y=;
∵一次函数y=﹣x+b过点B(1,﹣3),∴﹣3=﹣1+b,∴b=﹣2,∴一次函数解析式为:y=﹣x﹣2;
故答案为:y=﹣x﹣2,;
(2)如图1,当∠ABP=90°时,过点P作CD⊥x轴,过点A作AC⊥DC于C,过点B作BD⊥CD于D,设点P的坐标为(x,0),∴AC=x+3,CP=1,PD=3,BD=x﹣1,∵∠APB=90°,∴∠APC+∠BPD=90°,又∵∠APC+∠CAP=90°,∴∠CAP=∠BPD,又∵∠C=∠BDP=90°,∴△ACP∽△PBD,∴,∴,∴x1=﹣1,x2=﹣1﹣(舍去),∴点P(﹣1+,0);
当∠ABP=90°时,∵直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C,与y轴交于点D,∴点C(﹣2,0),点D(0,﹣2),∴OC=2,OD=2,CD=2,BC=3,∵tan∠OCD=,∴,∴CP=6,∵点C(﹣2,0),∴点P(4,0),综上所述:点P的坐标为(,0)或(4,0).
10、如图,一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B两点,与x轴交于点C.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点P在x轴上,且△APC的面积为5,求点P的坐标;
(3)若点P在y轴上,是否存在点P,使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)把点A(1,a)代入y=﹣x+3,得a=2,∴A(1,2),把A(1,2)代入反比例函数,∴k=1×2=2;
∴反比例函数的表达式为;
(2)∵一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点C,∴C(3,0),设P(x,0),∴PC=|3﹣x|,∴S△APC=|3﹣x|×2=5,∴x=﹣2或x=8,∴P的坐标为(﹣2,0)或(8,0);
(3)存在,理由如下:联立,解得:或,∴B点坐标为(2,1),∵点P在y轴上,∴设P(0,m),∴AB==,AP=,PB=,若BP为斜边,∴BP2=AB2+AP2,即
=2+,解得:m=1,∴P(0,1);
若AP为斜边,∴AP2=PB2+AB2,即
=+2,解得:m=﹣1,∴P(0,﹣1);
综上所述:P(0,1)或
P(0,﹣1).
11、如图,直线y=﹣x+6与反比例函数y=(x>0)分别交于点D、A(AB<AC),经探索研究发现:结论AB=CD始终成立.另一直线y=mx(m>0)交线段BC于点E,交反比例函数y=(x>0))图象于点F.
(1)当BC=5时:
①求反比例函数的解析式.
②若BE=3CE,求点F的坐标.
(2)当BE:CD=1:2时,请直接写出k与m的数量关系.
解:(1)①针对于直线y=﹣x+6,令x=0,则y=6,∴A(0,6),∴OA=6,令y=0,则0=﹣x+6,∴x=8,∴D(8,0),∴OD=8,∴AD=10,∵BC=5,∴AB+CD=AD﹣BC=5,∵AB=CD,∴AB=,过点B作BG⊥y轴于G,∴∠AGB=90°=∠AOB,∵∠BAG=∠DAO,∴△ABG∽ADO,∴,∴,∴AG=,BG=2,∴OG=OA﹣AG=,∴B(2,),∵点B在反比例函数y=(x>0))图象上,∴k=2×=9,∴反比例函数的解析式为y=;
②∵BC=5,∴BE+CE=5,∵BE=3CE,∴BE=,∴AE=AB+BE=,过点E作EH⊥y轴于H,∴∠AHE=90°=∠AOB,∵∠HAE=∠OAD,∴△HAE∽△OAD,∴,∴,∴AH=,BG=5,∴OH=OA﹣AH=,∴E(5,),∴直线OE的解析式为y=x,联立,解得,(舍)或,∴F(2,);
(2)∵BE:CD=1:2,∴BE=a,则CD=2a,∴AB=CD=2a,∴AE=AB+BE=3a,过点E作EH⊥y轴于H,同(1)的方法得,△HAE∽△OAD,∴,∴,∴AH=a,EH=a,∴OH=OA﹣AH=6﹣a,∴E(a,6﹣a),将点E坐标代入直线y=mx(m>0)中,解得am=6﹣a,∴a=,将点E的坐标代入反比例函数y=(x>0)中,解得,k=a(6﹣a)=a(10﹣3a)=×(10﹣)=.
13、如图,已知直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数y=图象上,过点B作BF⊥OC,垂足为F,设OF=t.
(1)求∠ACO的正切值;
(2)求点B的坐标(用含t的式子表示);
(3)已知直线y=2x+2与反比例函数y=图象都经过第一象限的点D,联结DE,如果DE⊥x轴,求m的值.
解:(1)∵直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,∴点A(﹣1,0),点C(0,2)
∴OA=1,OC=2,∴tan∠ACO==;
(2)∵四边形ACBE是矩形,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCF=90°,且∠BCF+∠CBF=90°,∴∠ACO=∠CBF,∵OF=t,∴CF=2﹣t,∵tan∠CBF=tan∠ACO=,∴BF=4﹣2t,∴点B(4﹣2t,t);
(3)如图,连接DE,交x轴于H点,∵DE⊥x轴,∴∠AHE=90°,∴∠HAE+∠AEH=90°,且∠CAO+∠HAE=90°,∠CAO+∠ACO=90°,∠ACO+∠BCF=90°,∴∠AEH=∠BCF,且∠CFB=∠AHE,AE=BC,∴△BCF≌△AEH(AAS)
∴AH=BF=4﹣2t,CF=HE,∵点A(﹣1,0),∴点H(3﹣2t,0),∴当x=3﹣2t时,y=2(3﹣2t)+2=8﹣4t,∴点D坐标为(3﹣2t,8﹣4t),∵点D,点B都在反比例函数y=上,∴(3﹣2t)(8﹣4t)=t(4﹣2t)
∴t1=2(不合题意舍去),t2=;
∴点B(,)
∴m=×=.
14、如图,过原点的直线y1=mx(m≠0)与反比例函数y2=(k<0)的图象交于A、B两点,点A在第二象限,且点A的横坐标为﹣1,点D在x轴负半轴上,连接AD交反比例函数图象于另一点E,AC为∠BAD的平分线,过点B作AC的垂线,垂足为C,连接CE,若AD=2DE,△AEC的面积为.
(1)根据图象回答:当x取何值时,y1<y2;
(2)求△AOD的面积;
(3)若点P的坐标为(m,k),在y轴的轴上是否存在一点M,使得△OMP是直角三角形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵直线y1=mx(m≠0)与反比例函数y2=(k<0)的图象交于A、B两点,且点A的横坐标为﹣1,∴点A,点B关于原点对称,∴点B的横坐标为1,∴当x取﹣1<x<0或x>1时,y1<y2;
(2)连接OC,OE,由图象知,点A,点B关于原点对称,∴OA=OB,∵AC⊥CB,∴∠ACB=90°,∴OC=AB=AO,∴∠OAC=∠OCA,∵AC为∠BAD的平分线,∴∠OAC=∠DAC,∴∠OCA=∠DAC,∴AD∥OC,∴S△AEO=S△ACE=,∵AD=2DE,∴AE=DE,∴S△AOD=2S△AOE=3;
(3)作EF⊥x轴于F,作AH⊥x轴于H,则EF∥AH,∵AD=2DE,∴DE=EA,∵EF∥AH,∴==1,∴DF=FH,∴EF是△DHA的中位线,∴EF=AH,∵S△OEF=S△OAH=﹣,∴OF•EF=OH•HA,∴OH=OF,∴OH=HF,∴DF=FH=HO=DO,∴S△OAH=S△ADO=3=1,∴﹣=1,∴k=﹣2,∴y=﹣,∵点A在y=﹣的图象上,∴把x=﹣1代入得,y=2,∴A(﹣1,2),∵点A在直线y=mx上,∴m=﹣2,∴P(﹣2,﹣2),在y轴上找到一点M,使得△OMP是直角三角形,当∠OMP=90°时,PM⊥y轴,则OM=2,∴点M的坐标为(0.﹣2);
当∠OPM=90°时,过P作PG⊥y轴于G,则△OPM是等腰直角三角形,∴OM=2PG=4,∴点M的坐标为(0.﹣4);
综上所述,点M的坐标为(0.﹣2)或(0,﹣4).