2.1
试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？
解：
四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0,1,2,3}
八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0,1,2,3,4,5,6,7}
二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0,1}
假设每个消息的发出都是等概率的，则：
四进制脉冲的平均信息量H(X1)
=
log2n
=
log24
=
bit/symbol
八进制脉冲的平均信息量H(X2)
=
log2n
=
log28
=
bit/symbol
二进制脉冲的平均信息量H(X0)
=
log2n
=
log22
=
bit/symbol
所以：
四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。
2.2
居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？
解：
设随机变量X代表女孩子学历
X
x1（是大学生）
x2（不是大学生）
P(X)
0.25
0.75
设随机变量Y代表女孩子身高
Y
y1（身高>160cm）
y2（身高<160cm）
P(Y)
0.5
0.5
已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的即：p(y1/
x1)
=
0.75
求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量
即：
2.3
一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问
(1)
任一特定排列所给出的信息量是多少？
(2)
若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？
解：
(1)
52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：
(2)
52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：
2.4
设离散无记忆信源，其发出的信息为(202120******1032011223210)，求
(1)
此消息的自信息量是多少？
(2)
此消息中平均每符号携带的信息量是多少？
解：
(1)
此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：
此消息的信息量是：
(2)
此消息中平均每符号携带的信息量是：
2.5
从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？
解：
男士：
女士：
2.6
设信源，求这个信源的熵，并解释为什么H(X)
log6不满足信源熵的极值性。
解：
不满足极值性的原因是。
2.7
证明：H(X3/X1X2)
≤
H(X3/X1)，并说明当X1,X2,X3是马氏链时等式成立。
证明：
2.8证明：H(X1X2
。。
Xn)
≤
H(X1)
+
H(X2)
+
…
+
H(Xn)。
证明：
2.9
设有一个信源，它产生0，1序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按P(0)
=
0.4，P(1)
=
0.6的概率发出符号。
(1)
试问这个信源是否是平稳的？
(2)
试计算H(X2),H(X3/X1X2)及H∞；
(3)
试计算H(X4)并写出X4信源中可能有的所有符号。
解：
(1)
这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间而且不论以前发生过什么符号……”
(2)
(3)
2.10
一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源X的符号集为{0,1,2}。
(1)
求平稳后信源的概率分布；
(2)
求信源的熵H∞。
解：
(1)
(2)
2.15黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X={黑，白}。设黑色出现的概率为P(黑)
=
0.3，白色出现的概率为P(白)
=
0.7。
(1)
假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H(X)；
(2)
假设消息前后有关联，其依赖关系为P(白/白)
=
0.9，P(黑/白)
=
0.1，P(白/黑)
=
0.2，P(黑/黑)
=
0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵H2(X);
(3)
分别求上述两种信源的剩余度，比较H(X)和H2(X)的大小，并说明其物理含义。
解：
(1)
(2)
(3)
H(X)
H2(X)
表示的物理含义是：无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度，有记忆信源的结构化信息较多，能够进行较大程度的压缩。
2.1
同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：
(1)
“3和5同时出现”这事件的自信息；
(2)
“两个1同时出现”这事件的自信息；
(3)
两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；
(4)
两个点数之和（即2,3,…,12构成的子集）的熵；
(5)
两个点数中至少有一个是1的自信息量。
解：
(1)
(2)
(3)
两个点数的排列如下：
共有21种组合：
其中11，22，33，44，55，66的概率是
其他15个组合的概率是
(4)
参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：
(5)
2.13
某一无记忆信源的符号集为{0,1}，已知P(0)
=
1/4，P(1)
=
3/4。
(1)
求符号的平均熵；
(2)
有100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”和（100
m）个“1”）的自信息量的表达式；
(3)
计算(2)中序列的熵。
解：
(1)
(2)
(3)
2.14
对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下：
若把这些频度看作概率测度，求：
(1)
忙闲的无条件熵；
(2)
天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵；
(3)
从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。
解：
(1)
根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下：
(2)
设忙闲为随机变量X，天气状态为随机变量Y，气温状态为随机变量Z
(3)
2.18
有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为
Y
X
x1=0
x2=1
y1=0
1/8
3/8
y2=1
3/8
1/8
并定义另一随机变量Z
=
XY（一般乘积），试计算：
(1)
H(X),H(Y),H(Z),H(XZ),H(YZ)和H(XYZ)；
(2)
H(X/Y),H(Y/X),H(X/Z),H(Z/X),H(Y/Z),H(Z/Y),H(X/YZ),H(Y/XZ)和H(Z/XY)；
(3)
I(X;Y),I(X;Z),I(Y;Z),I(X;Y/Z),I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。
解：
(1)
Z
=
XY的概率分布如下：
(2)
(3)
2.16
有两个随机变量X和Y，其和为Z
=
X
+
Y（一般加法），若X和Y相互独立，求证：H(X)
≤
H(Z),H(Y)
≤
H(Z)。
证明：
同理可得。
2.17
给定声音样值X的概率密度为拉普拉斯分布，求Hc(X)，并证明它小于同样方差的正态变量的连续熵。
解：
2.18
连续随机变量X和Y的联合概率密度为：，求H(X),H(Y),H(XYZ)和I(X;Y)。
（提示：）
解：
2.19
每帧电视图像可以认为是由3Í105个像素组成的，所有像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现，问每帧图像含有多少信息量？若有一个广播员，在约10000个汉字中选出1000个汉字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少（假设汉字字汇是等概率分布，并彼此无依赖）？若要恰当的描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？
解：
1)
2)
3)
2.20
设是平稳离散有记忆信源，试证明：。
证明：
2.21
设是N维高斯分布的连续信源，且X1,X2,…,XN的方差分别是，它们之间的相关系数。试证明：N维高斯分布的连续信源熵
证明：
相关系数，说明是相互独立的。
2.22
设有一连续随机变量，其概率密度函数
(1)
试求信源X的熵Hc(X)；
(2)
试求Y
=
X
+
A
(A
0)的熵Hc(Y)；
(3)
试求Y
=
2X的熵Hc(Y)。
解：
1)
2)
3)
3.1
设信源通过一干扰信道，接收符号为Y
=
{
y1,y2
}，信道转移矩阵为，求：
(1)
信源X中事件x1和事件x2分别包含的自信息量；
(2)
收到消息yj
(j=1,2)后，获得的关于xi
(i=1,2)的信息量；
(3)
信源X和信宿Y的信息熵；
(4)
信道疑义度H(X/Y)和噪声熵H(Y/X)；
(5)
接收到信息Y后获得的平均互信息量。
解：
1)
2)
3)
4)
5)
3.2
设二元对称信道的传递矩阵为
(1)
若P(0)
=
3/4,P(1)
=
1/4，求H(X),H(X/Y),H(Y/X)和I(X;Y)；
(2)
求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布；
解：
1)
2)
3.3
设有一批电阻，按阻值分70%是2KΩ，30%是5
KΩ；按瓦分64%是0.125W，其余是0.25W。现已知2
KΩ阻值的电阻中80%是0.125W，问通过测量阻值可以得到的关于瓦数的平均信息量是多少？
解：
对本题建立数学模型如下：
以下是求解过程：
3.4
若X,Y,Z是三个随机变量，试证明
(1)
I(X;YZ)
=
I(X;Y)
+
I(X;Z/Y)
=
I(X;Z)
+
I(X;Y/Z)；
证明：
(2)
I(X;Y/Z)
=
I(Y;X/Z)
=
H(X/Z)
–
H(X/YZ)；
证明：
(3)
I(X;Y/Z)
≥0，当且仅当(X,Y,Z)是马氏链时等式成立。
证明：
当时等式成立
所以等式成立的条件是X,Y,Z是马氏链
3.5若三个随机变量，有如下关系：Z
=
X
+
Y，其中X和Y相互独立，试证明：
(1)
I(X;Z)
=
H(Z)
H(Y)；
(2)
I(XY;Z)
=
H(Z)；
(3)
I(X;YZ)
=
H(X)；
(4)
I(Y;Z/X)
=
H(Y)；
(5)
I(X;Y/Z)
=
H(X/Z)
=
H(Y/Z)。
解：
1)
2)
3)
4)
5)
3.6
有一个二元对称信道，其信道矩阵为。设该信源以1500二元符号/秒的速度传输输入符号。现有一消息序列共有14000个二元符号，并设P(0)
=
P(1)
=
1/2，问从消息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列无失真的传递完？
解：
信道容量计算如下：
也就是说每输入一个信道符号，接收到的信息量是0.859比特。已知信源输入1500二元符号/秒，那么每秒钟接收到的信息量是：
现在需要传送的符号序列有140000个二元符号，并设P(0)
=
P(1)
=
1/2，可以计算出这个符号序列的信息量是
要求10秒钟传完，也就是说每秒钟传输的信息量是1400bit/s，超过了信道每秒钟传输的能力（1288
bit/s）。所以10秒内不能将消息序列无失真的传递完。
3.7
求下列各离散信道的容量（其条件概率P(Y/X)如下：）
(1)
Z信道
(2)
可抹信道
(3)
非对称信道
(4)
准对称信道
解：
1)
Z信道
这个信道是个一般信道，利用一般信道的计算方法：
a.由公式，求βj
b.由公式，求C
c.由公式，求p(yj)
d.由公式，求p(xi)
由方程组：
解得
因为s是条件转移概率，所以0
≤
s
≤
1，从而有p(x1)，p(x2)
≥
0，保证了C的存在。
2)
可抹信道
可抹信道是一个准对称信道，把信道矩阵分解成两个子矩阵如下：
3)
非对称信道
这个信道是个一般信道，利用一般信道的计算方法
a.由公式，求βj
b.由公式，求C
c.由公式，求p(yj)
d.由公式，求p(xi)
由方程组：
解得
p(x1)，p(x2)
≥
0，保证了C的存在。
(4)
准对称信道
把信道矩阵分解成三个子矩阵如下：
3.8
已知一个高斯信道，输入信噪比（比率）为3。频带为3kHz，求最大可能传输的消息率。若信噪比提高到15，理论上传送同样的信息率所需的频带为多少？
解：
3.9
有二址接入信道，输入X1,X2和输出Y的条件概率P(Y/X1X2)如下表（ε
1/2），求容量界限。
X1X2
Y
0
00
1-ε
ε
01
1/2
1/2
1/2
1/2
ε
1-ε
3.10
有一离散广播信道，其条件概率为试计算其容量界限（已知）。
3.11
已知离散信源，某信道的信道矩阵为试求：
(1)
“输入x3，输出y2”的概率；
(2)
“输出y4”的概率；
(3)
“收到y3的条件下推测输入x2”的概率。
解：
1)
2)
3)
3.12
证明信道疑义度H(X/Y)
=
0的充分条件是信道矩阵[P]中每列有一个且只有一个非零元素。
证明：
[P]每列有一个且只有一个非零元素
=〉
H(X/Y)
=
0
取[P]的第j列，设而其他
3.13
试证明：当信道每输入一个X值，相应有几个Y值输出，且不同的X值所对应的Y值不相互重合时，有H(Y)
–
H(X)
=
H(Y/X)。
证明：
信道每输入一个X值，相应有几个Y值输出，且不同的X值所对应的Y值不相互重合。这种信道描述的信道转移矩阵[P]的特点是每列有一个且只有一个非零元素。
取[P]的第j列，设而其他
3.14
试求以下各信道矩阵代表的信道的容量：
(1)
[P]
=
(2)
[P]
=
(3)
[P]
=
解：
1)
这个信道是一一对应的无干扰信道
2)
这个信道是归并的无干扰信道
3)
这个信道是扩展的无干扰信道
3.15
设二进制对称信道是无记忆信道，信道矩阵为，其中：p
0，<
1，p
+
=
1，>>
p。试写出N
=
3次扩展无记忆信道的信道矩阵[P]。
解：
3.16
设信源X的N次扩展信源X
=
X1X2…XN通过信道{X,P(Y/X),Y}的输出序列为Y
=
Y1Y2…YN。试证明：
(1)
当信源为无记忆信源时，即X1,X2,…,XN之间统计独立时，有；
(2)
当信道无记忆时，有；
(3)
当信源、信道为无记忆时，有；
(4)
用熵的概念解释以上三种结果。
证明：
1)
2)
3)
如果信源、信道都是无记忆的。上面证明的两个不等式应同时满足，即：
必然推出，而如果是平稳分布，即，那么。
4)
流经信道的信息量也是信宿收到的信息量，它等于信源信息的不确定度减去由信道干扰造成的不确定度。
当信源无记忆、信道有记忆时，对应于本题的第一种情况。信源是无记忆的，信源的不确定度等于N倍的单符号信源不确定度，信道是有记忆的，信道干扰造成的不确定度小于N倍单符号信道的不确定度。因此，这两部分的差值平均互信息量大于N倍的单符号平均互信息量。
当信源有记忆、信道无记忆时，对应于本题的第二种情况。信源是有记忆的，信源的不确定度小于N倍的单符号信源不确定度，信道是无记忆的，信道干扰造成的不确定度等于N倍单符号信道的不确定度。因此，这两部分的差值平均互信息量小于N倍的单符号平均互信息量。
当信源无记忆、信道无记忆时，对应于本题的第三种情况。信源是无记忆的，信源的不确定度等于N倍的单符号信源不确定度，信道是无记忆的，信道干扰造成的不确定度等于N倍单符号信道的不确定度。因此，这两部分的差值平均互信息量等于N倍的单符号平均互信息量。
3.17
设高斯加性信道，输入、输出和噪声随机变量X,Y,N之间的关系为Y
=
X
+
N，且E[N2]
=
σ2。试证明：当信源X是均值E[X]
=
0，方差为的高斯随机变量时，信道容量达其容量C，且。
证明：
根据概率论中的结论：n是正态分布，X是正态分布，则Y
=
X
+
n也是正态分布，而且。所以，前提是取最大值，也就是说取最大值。因为当X是均值为零的正态分布时，所以这是满足的前提条件。
3.18
设加性高斯白噪声信道中，信道带宽3kHz，又设{(信号功率+噪声功率)/噪声功率}=10dB。试计算该信道的最大信息传输速率Ct。
解：
3.19
在图片传输中，每帧约有2.25Í106个像素，为了能很好地重现图像，能分16个亮度电平，并假设亮度电平等概分布。试计算每分钟传送一帧图片所需信道的带宽（信噪功率比为30dB）。
解：
3.20
设电话信号的信息率5.6Í104比特/秒，在一个噪声功率谱为N0=
5Í10-6
mW/Hz、限频F、限输入功率P的高斯信道中传送，若F=4kHz，问无差错传输所需的最小功率P是多少瓦？若F→∞，则P是多少瓦？
解：
4.1
一个四元对称信源，接收符号Y
=
{0,1,2,3}，其失真矩阵为，求Dmax和Dmin及信源的R(D)函数，并画出其曲线（取4至5个点）。
解：
因为n元等概信源率失真函数：
其中a
=
1,n
=
4,所以率失真函数为：
函数曲线：
其中：
4.2
若某无记忆信源，接收符号，其失真矩阵求信源的最大失真度和最小失真度，并求选择何种信道可达到该Dmax和Dmin的失真度。
4.3
某二元信源其失真矩阵为求这信源的Dmax和Dmin和R(D)函数。
解：
因为二元等概信源率失真函数：
其中n
=
2,所以率失真函数为：
4.4
已知信源X
=
{0,1}，信宿Y
=
{0,1,2}。设信源输入符号为等概率分布，而且失真函数，求信源的率失真函数R(D)。
4.5
设信源X
=
{0,1,2,3}，信宿Y
=
{0,1,2,3,4,5,6}。且信源为无记忆、等概率分布。失真函数定义为
证明率失真函数R(D)如图所示。
4.6
设信源X
=
{0,1,2}，相应的概率分布p(0)
=
p(1)
=
0.4，p(2)
=
0.2。且失真函数为
(1)
求此信源的R(D)；
(2)
若此信源用容量为C的信道传递，请画出信道容量C和其最小误码率Pk之间的曲线关系。
4.7
设0
α,β
1,α
+
β
=
1。试证明：αR(D’)
+βR(D”)
≥
R(αD’
+βD”)
4.8
试证明对于离散无记忆N次扩展信源，有RN(D)
=
NR(D)。其中N为任意正整数，D
≥
Dmin。
4.9
设某地区的“晴天”概率p(晴)
=
5/6，“雨天”概率p(雨)
=
1/6，把“晴天”预报为“雨天”，把“雨天”预报为“晴天”造成的损失为a元。又设该地区的天气预报系统把“晴天”预报为“晴天”，“雨天”预报为“雨天”的概率均为0.9；把把“晴天”预报为“雨天”，把“雨天”预报为“晴天”的概率均为0.1。试计算这种预报系统的信息价值率v（元/比特）。
4.10
设离散无记忆信源其失真度为汉明失真度。
(1)
求Dmin和R(Dmin)，并写出相应试验信道的信道矩阵；
(2)
求Dmax和R(Dmax)，并写出相应试验信道的信道矩阵；
(3)
若允许平均失真度D
=
1/3，试问信源的每一个信源符号平均最少有几个二进制符号表示？
解：
4.11
设信源（p
0.5），其失真度为汉明失真度，试问当允许平均失真度D
=
0.5p时，每一信源符号平均最少需要几个二进制符号表示？
解：
因为二元信源率失真函数：
其中a
=
1（汉明失真）,所以二元信源率失真函数为：
当时
5.1
设信源
(1)
求信源熵H(X)；
(2)
编二进制香农码；
(3)
计算平均码长和编码效率。
解：
(1)
(2)
xi
p(xi)
pa(xi)
ki
码字
x1
0.2
0
000
x2
0.19
0.2
001
x3
0.18
0.39
011
x4
0.17
0.57
x5
0.15
0.74
x6
0.1
0.89
1110
x7
0.01
0.99
1111110
(3)
5.2
对信源编二进制费诺码，计算编码效率。
解：
xi
p(xi)
编码
码字
ki
x1
0.2
0
0
00
x2
0.19
0
010
x3
0.18
011
x4
0.17
0
x5
0.15
0
x6
0.1
0
1110
x7
0.01
1111
5.3
对信源编二进制和三进制哈夫曼码，计算各自的平均码长和编码效率。
解：
二进制哈夫曼码：
xi
p(xi)
编码
码字
ki
s6
s5
0.61
0
s4
0.39
s3
0.35
0
s2
0.26
x1
0.2
0
x2
0.19
x3
0.18
0
000
x4
0.17
001
x5
0.15
0
010
s1
0.11
x6
0.1
0
0110
x7
0.01
0111
三进制哈夫曼码：
xi
p(xi)
编码
码字
ki
s3
s2
0.54
0
s1
0.26
x1
0.2
x2
0.19
0
00
x3
0.18
01
x4
0.17
02
x5
0.15
0
x6
0.1
x7
0.01
5.4
设信源
(1)
求信源熵H(X)；
(2)
编二进制香农码和二进制费诺码；
(3)
计算二进制香农码和二进制费诺码的平均码长和编码效率；
(4)
编三进制费诺码；
(5)
计算三进制费诺码的平均码长和编码效率；
解：
(1)
(2)
二进制香农码：
xi
p(xi)
pa(xi)
ki
码字
x1
0.5
0
0
x2
0.25
0.5
x3
0.125
0.75
x4
0.0625
0.875
1110
x5
0.03125
0.9375
11110
x6
0.015625
0.96875
111110
x7
0.0078125
0.984375
1111110
x8
0.0078125
0.9921875
1111111
二进制费诺码：
xi
p(xi)
编码
码字
ki
x1
0.5
0
0
x2
0.25
0
x3
0.125
0
x4
0.0625
0
1110
x5
0.03125
0
11110
x6
0.015625
0
111110
x7
0.0078125
0
1111110
x8
0.0078125
1111111
(3)
香农编码效率：
费诺编码效率：
(4)
xi
p(xi)
编码
码字
ki
x1
0.5
0
0
x2
0.25
x3
0.125
0
x4
0.0625
x5
0.03125
0
220
x6
0.015625
221
x7
0.0078125
0
2220
x8
0.0078125
2221
(5)
5.5
设无记忆二进制信源
先把信源序列编成数字0，1，2，……，8，再替换成二进制变长码字，如下表所示。
(1)
验证码字的可分离性；
(2)
求对应于一个数字的信源序列的平均长度；
(3)
求对应于一个码字的信源序列的平均长度；
(4)
计算，并计算编码效率；
(5)
若用4位信源符号合起来编成二进制哈夫曼码，求它的平均码长，并计算编码效率。
序列
数字
二元码字
0
1000
01
1001
001
1010
0001
1011
00001
1100
000001
1101
0000001
1110
00000001
1111
00000000
0
5.6
有二元平稳马氏链，已知p(0/0)
=
0.8，p(1/1)
=
0.7，求它的符号熵。用三个符号合成一个来编写二进制哈夫曼码，求新符号的平均码字长度和编码效率。
5.7
对题5.6的信源进行游程编码。若“0”游程长度的截至值为16，“1”游程长度的截至值为8，求编码效率。
5.8
选择帧长N
=
(1)
对************0000遍L-D码；
(2)
对************0010遍L-D码再译码；
(3)
对************0000遍L-D码；
(4)
对************10010遍L-D码；
(5)
对上述结果进行讨论。
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