2020山西省中考数学试卷+解析

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2020山西省初中毕业生升学文化课考试

第Ⅰ卷 选择题(共30分)

一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)

1.计算(-6)÷(-)的结果是()

A.-18

B.2

C.18

D.-2

2.自新冠肺炎疫情发生以来,全国人民共同抗疫,各地积极普及科学防控知识.下面是科学防控知识的图片,图片上有图案和文字说明,其中的图案是轴对称图形的是()

3.下列运算正确的是()

A.3a+2a=5a2

B.-8a2÷4a=2a

C.(-2a2)3=-8a6

D.4a3·3a2=126

4.下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的,其中主视图与左视图相同的几何体是()

5.泰勒斯是古希腊时期的思想家,科学家,哲学家,他最早提出了命题的证明.泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长,标杆的高度,金字塔的影长,推算出金字塔的高度,这种测量原理,就是我们所学的()

第5题图

A.图形的平移

B.图形的旋转

C.图形的轴对称

D.图形的相似

6.不等式组的解集是()

A.x>5

B.3<x<5

C.x<5

D.x>-5

7.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,且x1

A.y2>y1>y3

B.y3>y2>y1

C.y1>y2>y3

D.y3>y1>y2

8.中国美食讲究色香味美,优雅的摆盘也会让美食锦上添花.图①中的摆盘,其形状是扇形的一部分,图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘),通过测量得到AC=BD=12

cm,C,D两点之间的距离为4

cm,圆心角为60°,则图中摆盘的面积是()

第8题图

A.80π

cm2

B.40π

cm2

C.24π

cm2

D.12π

cm2

9.竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度,某人将一个小球从距地面1.5

m的高处以20

m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为()

A.23.5

m

B.22.5

m

C.21.5

m

D.20.5

m

10.如图是一张矩形纸板,顺次连接各边中点得到菱形,再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形,将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上,则飞镖落在阴影区域的概率是()

第10题图

A.B.C.D.第Ⅱ卷 非选择题(共90分)

二、填空题(本大题共5小题,每个小题3分,共15分)

11.计算:(+)2-=________.

12.如图是一组有规律的图案,它们是由边长相等的正三角形组合而成,第1个图案有4个三角形,第2个图案有7个三角形,第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去,第n个图案有________个三角形(用含n的代数式表示).

第12题图

13.某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会,组织了6次预选赛,其中甲,乙两名运动员较为突出,他们在6次预选赛中的成绩(单位:秒)如下表所示:

12.0

12.0

12.2

11.8

12.1

11.9

12.3

12.1

11.8

12.0

11.7

12.1

由于甲,乙两名运动员的成绩的平均数相同,学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔,那么被选中的运动员是____________.

14.如图是一张长12

cm,宽10

cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24

cm2的有盖的长方体铁盒,则剪去的正方形的边长为

cm.15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为________.

三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

16.(本题共2个小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,共10分)

(1)计算:

(-4)2×(-)3-(-4+1).

(2)下面是小彬同学分式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.

=-

第一步

=-

第二步

=-

第三步

第四步

第五步

=-

第六步

任务一:填空:①以上化简步骤中,第____步是进行分式的通分,通分的依据是________,或填为:__________________②第____步开始出现错误,这一步错误的原因是__________________________;

任务二:请直接写出该分式化简后的正确结果;

任务三:除纠正上述错误外,请你根据平时的学习经验,就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.

17.(本题6分)2020年5月份,省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动,本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元(每次只能使用一张),某品牌电饭煲按进价提高50%后标价,若按标价的八折销售,某顾客购买该电饭煲时,使用一张家电消费劵后,又付现金568元,求该电饭煲的进价.

18.(本题7分)如图,四边形OABC是平行四边形,以点O为圆心,OC为半径的⊙O与AB相切于点B,与AO相交于点D,AO的延长线交⊙O于点E,连接EB交OC于点F,求∠C和∠E的度数.

第18题图

19.(本题9分)

2020

年国家提出并部署了“新基建”项目,主要包含“特高压,城际高速铁路和城市轨道交通,5G基站建设,工业互联网,大数据中心,人工智能,新能源汽车充电桩”等.《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域(5G基站建设,工业互联网,大数据中心,人工智能,新能源汽车充电桩)总体的人才与就业机会.下图是其中的一个统计图.

(1)请根据图中信息,解答下列问题:(1)填空:图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是________亿元;

(2)甲,乙两位待业人员,仅根据上面统计图中的数据,从五大细分领域中分别选择了“5G基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向,请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么;

(3)小勇对“新基建”很感兴趣,他收集到了五大细分领域的图标,依次制成编号为W,G,D,R,X的五张卡片(除编号和内容外,其余完全相同),将这五张卡片背面朝上,洗匀放好,从中随机抽取一张(不放回),再从中随机抽取一张,请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为W(5G基站建设)和R(人工智能)的概率.

20.(本题8分)阅读与思考

下面是小宇同学的数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务.

×年×月×日 星期日

没有直角尺也能作出直角

今天,我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图①所示的四边形木板,他已经在木板上画出一条裁割线AB,现根据木板的情况,要过AB上的一点C,作出AB的垂线,用锯子进行裁割,然而手头没有直角尺,怎么办呢?

第20题图①  第20题图②

办法一:如图①,可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30

cm,然后分别以D,C为圆心,以50

cm与40

cm为半径画圆弧,两弧相交于点E,作直线CE,则∠DCE必为90

°.办法二:如图②,可以取一根笔直的木棒,用铅笔在木棒上点出M,N两点,然后把木棒斜放在木板上,使点M与点C重合,用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q,保持点N不动,将木棒绕点N旋转,使点M落在AB上,在木板上将点M对应的位置标记为点R,然后将RQ延长,在延长线上截取线段QS=MN,得到点S,作直线SC,则∠RCS=90°.我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢?……

任务:

(1)填空:“办法一”依据的一个数学定理是______________________;

(2)

根据“办法二”的操作过程,证明∠RCS=90°;

(3)①尺规作图,请在图③的木板上,过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹,不写作法);

(第20题图③)

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).

21.(本题10分)图①是某车站的一组智能通道闸机,当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份,识别成功后,两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内,这时行人即可通过.图②是两圆弧翼展开时的截面图,扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”,两圆弧翼成轴对称,BC和EF均垂直于地面,扇形的圆心角∠ABC=∠DEF=28°,半径BA=ED=60

cm,点A与点D在同一水平线上,且它们之间的距离为10

cm.(第21题图)

(1)

求闸机通道的宽度,即BC与EF之间的距离(参考数据:

sin

28°≈0.47,cos

28°≈0.88,tan

28°≈0.53);

(2)经实践调查,一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍,180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟,求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数.

22.(本题12分)综合与实践

问题情境:

如图①,点E为正方形ABCD内一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBE′(点A的对应点为点C),延长AE交CE′于点F,连接DE.(第22题图)

猜想证明:

(1)试判断四边形BE′FE的形状,并说明理由;

(2)如图②,若DA=DE,请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明;

解决问题:

(3)如图①,若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长.

23.(本题13分)综合与探究

如图,抛物线y=x2-x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A、D两点,与y轴交于点E,点D的坐标为(4,-3).

(第23题图)

(1)请直接写出A,B两点的坐标及直线l的函数表达式;

(2)若点P是抛物线上的点,点P的横坐标为m

(m≥0),过点P作PM⊥x轴,垂足为M,PM与直线l交于点N,当点N是线段PM的三等分点时,求点P的坐标;

(3)若点Q是y轴上的点,且∠ADQ=45°,求点Q的坐标.

2020年山西省初中毕业学业考试

1.C 【解析】原式=6×3=18,故选C.2.D 【解析】逐项分析如下:

选项

逐项分析

正误

A

不是轴对称图形

B

不是轴对称图形

C

不是轴对称图形

D

是轴对称图形

3.C 【解析】逐项分析如下:

选项

逐项分析

正误

A

原式=(3+2)a=5a≠5a2

B

原式=-2a2-1=-2a≠2a

C

原式=-8a2×3=-8a6

D

原式=12a3+2=12a5≠12a6

4.B 【解析】A.主视图是,左视图是,两视图不相同,选项错误;B.主视图是,左视图是,两视图相同,选项正确;C.主视图是,左视图是,两视图不相同,选项错误;D.主视图是,左视图是,两视图不相同,选项错误.

5.D 【解析】金字塔高度的测量原理是图形的相似,故选D.6.A 【解析】解2x-6>0,得x>3,解4-x<-1,得x>5,∴不等式组的解集为x>5.7.A 【解析】∵k<0,∴反比例函数的图象位于第二、四象限内.∵x1

8.B 【解析】如解图,连接CD,∵OA=OB,AC=BD,∴OC=OD.∵∠COD=60°,∴OC=OD=CD=4.∵AC=BD=12

cm,∴OA=OB=16

cm,∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD=-=40π(cm2).

9.C 【解析】根据题意得h=-5t2+20t+1.5=-5(t-2)2+21.5,∵-5<0,∴当t=2

s时,h取最大值为21.5

m.第10题解图

10.B 【解析】如解图,连接HF,EG,则HF=AB,EG=BC.∴S菱形EFGH=HF·EG=AB·BC=S矩形ABCD.∵QM=HF,MN=EG,∴S矩形MNPQ=QM·MN=HF·EG=AB·BC=S矩形ABCD.∴S阴影=S菱形EFGH-S矩形MNPQ=S矩形ABCD.∴飞镖落在阴影区域的概率==.11.5 【解析】原式=3+2+2-2=5.12.(3n+1)【解析】根据题意得,第1个图案的三角形个数:4=3×1+1;第2个图案的三角形个数:7=3×2+1;第3个图案的三角形个数:10=3×3+1;…;由上述规律可知,第n个图案的三角形个数:3n+1.13.甲 【解析】根据题意得,甲的极差为12.2-11.8=0.4,乙的极差为12.3-11.7=0.6,∵甲与乙的平均数相同,甲的极差小于乙的极差,所以甲的成绩较稳定,故选甲.

14.2 【解析】设剪去的正方形的边长为x

cm,则制作的长方体铁盒的底面边长分别为(10-2x)cm和cm,根据题意列出方程为·(10-2x)=24,解得x=2或x=9,当x=9时,10-2x<0,不合题意,舍去,∴x=2.第15题解图

15.【解析】如解图,过点E作EG⊥BD于点G,AB===5,由三角形的面积公式得,CD==,∴AD==.∴BD=AB-AD=.∵E是BC的中点,EG∥CD,∴BG=DG=,EG=CD=.∵DC∥GE,∴△ADF∽△AGE.∴=,即=,∴DF=.16.(1)解:原式=16×(-)-(-3)(3分)

=-2+3=1;(4分)

(2)解:任务一:①三,分式的基本性质,分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变;②五,括号前是“-”号,去掉括号后,括号里的第二项没有变号;(2分)

任务二:-;(9分)

任务三:答案不唯一,如:最后结果应化为最简分式或整式;约分、通分时,应根据分式的基本性质进行变形;分式化简不能与解分式方程混淆等.(10分)

17.解:设该电饭煲的进价为x元.(1分)

根据题意,得(1+50%)x·80%-128=568.(4分)

解得x=580.(5分)

答:该电饭煲的进价为580元.(6分)

18.解:如解图,连接OB.(1分)

∵AB与⊙O相切于点B,∴OB⊥AB,∴∠OBA=90°.(2分)

∵四边形OABC是平行四边形,∴AB∥OC.∴∠BOC=∠OBA=90°.(3分)

∵OB=OC,∴∠C=∠OBC=(180°-∠BOC)=×(180°-90°)=45°.(4分)

∵四边形OABC是平行四边形,∴∠A=∠C=45°.(5分)

∴∠AOB=180°-∠A-∠OBA=180°-45°-90°=45°.(6分)

∴∠E=∠AOB=×45°=22.5°.(7分)

第18题解图

19.解:(1)300;

(2)甲更关注在线职位增长率,在“新基建”五大细分领域中,2020年一季度“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率最高;(3分)

乙更关注预计投资规模,在“新基建”五大细分领域中,“人工智能”在2020年预计投资规模最大;(4分)

(3)列表如下:(6分)

第二张

第一张

第一张

W

G

D

R

X

W

(W,G)

(W,D)

(W,R)

(W,X)

G

(G,W)

(G,D)

(G,R)

(G,X)

D

(D,W)

(D,G)

(D,R)

(D,X)

R

(R,W)

(R,G)

(R,D)

(R,X)

X

(X,W)

(X,G)

(X,D)

(X,R)

或画树状图如下:

第19题解图

由列表(或画树状图)可知一共有20种等可能结果,其中抽到“W”和“R”的结果有2种.(8分)

所以,P(抽到“W”和“R”)==.(9分)

20.(1)解:勾股定理的逆定理(或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形);(2分)

(2)证明:由作图方法可知:QR=QC,QS=QC,∴∠QCR=∠QRC,∠QCS=∠QSC.(4分)

又∵∠SRC+∠RCS+∠RSC=180°,∴∠QCR+∠QCS+∠QRC+∠QSC=180°.(5分)

∴2(∠QCR+∠QCS)=180°.∴∠QCR+∠QCS=90°.即∠RCS=90°.(6分)

(3)解:①如解图,直线CP即为所求.(7分)

第20题解图

②答案不唯一,如:三边分别相等的两个三角形全等(或SSS);等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合(或等腰三角形“三线合一”);到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上,等.(8分)

21.解:(1)如解图,连接AD,并向两方延长,分别交BC,EF于点M,N.(1分)

由点A与点D在同一水平线上,BC,EF均垂直于地面可知,MN⊥BC,MN⊥EF,∴MN的长度就是BC与EF之间的距离.同时,由两圆弧翼成轴对称可得AM=DN.(2分)

第21题解图

在Rt△ABM中,∠AMB=90°,∠ABM=28°,AB=60

cm,∵sin∠ABM=,∴AM=AB·sin∠ABM.(3分)

∴AM=60×sin

28°≈60×0.47=28.2

cm.(4分)

∴MN=AM+DN+AD=2AM+AD=28.2×2+10=66.4

cm.∴BC与EF之间的距离为66.4

cm.(5分)

(2)解法一:设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人.(6分)

根据题意,得-3=,(7分)

解得x=30.(8分)

经检验x=30是原分式方程的解.(9分)

当x=30时,2x=60.答:一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人.(10分)

解法二:设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为x人.(6分)

根据题意,得+3=.(8分)

解得x=60.(9分)

经检验x=60是原分式方程的解.

答:一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人.(10分)

22.解:(1)四边形BE′FE是正方形.(1分)

理由:由旋转可知:∠E′=∠AEB=90°,(2分)

∠EBE′=90°.(3分)

又∵∠AEB+∠FEB=180°,∠AEB=90°,∴∠FEB=90°.∴四边形BE′FE是矩形.(4分)

由旋转可知,BE′=BE.∴四边形BE′FE是正方形.(5分)

(2)CF=FE′.第22题解图①

证明:如解图①,过点D作DH⊥AE,垂足为点H,(6分)

则∠DHA=90°,∠1+∠3=90°,∵DA=DE,∴AH=AE.(7分)

∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DA,∠DAB=90°.∴∠1+∠2=90°.∴∠2=∠3.∵∠AEB=∠DHA=90°,∴△AEB≌△DHA.(8分)

∴AH=BE.由(1)知四边形BE′FE是正方形,∴BE=E′F.∴AH=E′F.(9分)

由旋转可得CE′=AE,∴FE′=CE′.∴CF=FE′;(10分)

(3)3.(12分)

【解法提示】如解图②,过点A作DH⊥AE于点H,设正方形BEFE′的边长为x,则AE=CE′=x+3,BE=x,由勾股定理得,AE2+BE2=AB2,∴(x+3)2+x2=152,解得x=9(负值已舍),∴BE=9,AE=12.∵∠DAH+∠BAE=∠DAE+∠ADH=90°,∴∠ADH=∠BAE,又∵AD=BA,∠AHD=∠AEB=90°,∴△ADH≌△BAE(AAS),∴AH=BE=9,DH=AE=12,∴EH=AE-AH=12-9=3,∴DE====3.第22题解图②

23.解:(1)A(-2,0),B(6,0),直线l的函数表达式为y=-x-1;(3分)

【解法提示】当y=0时,代入y=x2-x-3,得x2-x-3=0,解得x1=-2,x2=6.∵点A在点B的左侧,∴点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(6,0).设直线l的表达式为y=kx+b,∵直线l与抛物线交于A,D两点,点D的坐标为(4,-3),点A的坐标为(-2,0),∴将D(4,-3),A(-2,0)代入,得解得∴直线l的表达式为y=-x-1.(2)如解图①,根据题意可知,点P与点N的坐标分别为

P(m,m2-m-3),N(m,-m-1).

PM=|m2-m-3|=-m2+m+3,MN=|-m-1|=m+1,NP=(-m-1)-(m2-m-3)=-m2+m+2.第23题解图①

分两种情况:

①当PM=3MN时,得-m2+m+3=3(m+1).(4分)

解得m1=0,m2=-2(舍去).

当m=0时,m2-m-3=-3.∴点P的坐标为(0,-3).(5分)

②当PM=3NP时,得-m2+m+3=3(-m2+m+2).(6分)

解得m1=3,m2=-2(舍去).

当m=3时,m2-m-3=-.∴点P的坐标为(3,-).

∴当点N是线段PM的三等分点时,点P的坐标为(0,-3)或(3,-);(7分)

(3)∵直线y=-x-1与y轴交于点E,∴点E坐标为(0,-1).

分两种情况:①如解图②,当点Q在y轴正半轴上时,记为点Q1,第23题解图②

过点Q1作Q1H⊥直线l,垂足为点H.则∠Q1HE=∠AOE=90°,∵∠Q1EH=∠AEO,∴△Q1HE∽△AOE.∴=,即=.∴Q1H=2HE.(8分)

又∵∠Q1DH=45°,∠Q1HD=90°,∴∠HQ1D=∠Q1DH=45°.∴DH=Q1H=2HE.∴HE=ED.(9分)

连接CD,∵点C的坐标为(0,-3),点D的坐标为(4,-3),∴CD⊥y轴.

∴ED===2.∴HE=2,Q1H=4.∴Q1E===10.∴OQ1=Q1E-OE=10-1=9.∴点Q1的坐标为(0,9).(10分)

②如解图②,当点Q在y轴负半轴上时,记为点Q2,过点Q2作Q2G⊥直线l,垂足为G.则∠Q2GE=∠AOE=90°,∵∠Q2EG=∠AEO,∴△Q2GE∽△AOE.∴=.即=.∴Q2G=2EG.(11分)

又∵∠Q2DG=45°,∠Q2GD=90°,∴∠DQ2G=∠Q2DG=45°.∴DG=Q2G=2EG.∴ED=EG+DG=3EG.(12分)

由①可知,ED=2.∴3EG=2,∴EG=,∴Q2G=.∴EQ2===.∴OQ2=OE+EQ2=1+=.∴点Q2的坐标为(0,-).

∴点Q的坐标为(0,9)或(0,-).(13分)

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