中考冲刺：代数综合问题(提高)

中考冲刺：代数综合问题(提高)

一、选择题

1.如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点，以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（）

A．点G

B．点E

C．点D

D．点F

2．已知函数y=，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）

A．0

B．1

C．2

D．3

3.（2016秋•重庆校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确的个数是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

二、填空题

4．若a+b-2-4=3-c-5，则a+b+c的值为______.5．已知关于x的方程x2+（k-5）x+9=0在1＜x＜2内有一实数根，则实数k的取值范围是______．

6.（和平区校级期中）关于x的方程，2kx2-2x-3k=0的两根一个大于1，一个小于1，则实数k的的取值范围是______.三、解答题

7．（2016•梅州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．

（1）求实数k的取值范围．

（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，求k的值．

8.已知关于的一元二次方程．

（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．

（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．

（3）在（2）的条件下，将抛物线绕原点旋转，得到图象，点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与图象、交于两点，当线段的长度最小时，求点的坐标

9.抛物线，a＞0，c＜0，．

（1）求证：；

（2）抛物线经过点，Q．

①

判断的符号；

②

若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，点B（点A在点B左侧），请说明，．

10.已知：二次函数y=．

（1）求证：此二次函数与x轴有交点；

（2）若m-1=0,求证方程有一个实数根为1；

（3）在（2）的条件下，设方程的另一根为a,当x=2时，关于n的函数与的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与、的图象分别交于点C、D，若CD=6，求点C、D的坐标.答案与解析

【答案与解析】　　一、选择题

1.【答案】A；

【解析】

在直角梯形AOBC中

∵AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9

∴点A的坐标为（9，12）

∵点G是BC的中点

∴点G的坐标是（18，6）

∵9×12=18×6=108

∴点G与点A在同一反比例函数图象上，故选A．

2.【答案】D；

【解析】

函数y=的图象如图：

根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∴k=3．故选D．

3.【答案】B；

【解析】①∵抛物线开口朝上，∴a＞0．

∵抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0．

当x=0时，y=c+2＞2，∴c＞0．∴abc＞0，①错误；

②∵抛物线与x轴只有一个交点，∴b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a=0，∴b2﹣4ac=8a＞0，②错误；

③∵抛物线的顶点为（﹣1，0），∴抛物线解析式为y=a（x+1）2=ax2+2ax+a=ax2+bx+c+2，∴a=c+2＞2，③正确；

④∵b=2a，c＞0，∴4a﹣2b+c=c＞0，④正确．

故选B．

二、填空题

4.【答案】20；

【解析】整理得：（a-1-2+1）+（b-2-4+4）+（c-3-6+9）=0

（-1）2+（-2）2+（-3）2=0，∴=1，=2，=3，∵a≥1，b≥2，c≥3，∴a=2，b=6，c=12，∴a+b+c=20．

故答案为：

20．5.【答案】

【解析】利用数形结合的方法将问题转化成二次函数y=

x2+（k-5）x+9图象开口向上，与x轴的一个交点的横坐标在1＜x＜2内，故有两种情况，分析得出结论.6.【答案】k＞0或k＜-2.【解析】设y=2kx2-2x-3k,∵方程2kx2-2x-3k=0d的两根一个大于1，一个小于1，∴当k＞0，抛物线开口向上，x=1时，y＜0，即2k-2-3k＜0，解得k＞-2，∴k＞0

∴当k＜0，抛物线开口向下，x=1时，y＞0，即2k-2-3k＞0，解得k＜-2.∴k＜-2

∴k的取值范围为：k＞0或k＜-2.三、解答题

7.【答案与解析】

解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；

（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1•x2，∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2．

8.【答案与解析】

（1）证明：

∵不论取何值时，∴，即

∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．

（2）将代入方程，得

再将代入，原方程化为，解得．

（3）将代入得抛物线：，将抛物线绕原点旋转得到的图象的解析式

为：．

设，则，∴当时，的长度最小，此时点的坐标为

9.【答案与解析】

（1）证明：∵，∴ ．

∵

a＞0，c＜0，∴，．

∴ ．

（2）解：∵

抛物线经过点P，点Q，∴

①

∵，a＞0，c＜0，∴，．

∴ ＜0．

＞0．

∴ ．

②

由a＞0知抛物线开口向上．

∵，∴

点P和点Q分别位于x轴下方和x轴上方．

∵

点A，B的坐标分别为A，B（点A在点B左侧），∴

由抛物线的示意图可知，对称轴右侧的点B的横坐标满足．

（如图所示）

∵

抛物线的对称轴为直线，由抛物线的对称性可，由（1）知，∴ ．

∴，即．

10.【答案与解析】

（1）证明：令，则有

△=

∵，∴△≥0

∴二次函数y=与x轴有交点

（2）解：解法一：由，方程可化为

解得：

∴方程有一个实数根为1

解法二：由，方程可化为

当x=1时，方程左边=1+(n-2)+1-n=0

方程右边=0

∴左边=右边

∴方程有一个实数根为1

（3）解：方程的根是：

∴

当=2时，设点C（）则点D（）

∵CD=6，∴

∴

∴C、D两点的坐标分别为C（3，4），D（3，-2）或C（-1，0），D（-1，-6）