中考冲刺：代数综合问题(基础)

中考冲刺：代数综合问题(基础)

一、选择题

1.如图所示，已知函数和y＝kx(k≠0)的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是（）

A．

B．

C．

D．

2.（2016•河北模拟）如图，点A是x轴正半轴上的任意一点，过点A作EF∥y轴，分别交反比例函数和的图象于点E、F，且，连接OE、OF，有下列结论：①这两个函数的图象关于x轴对称；②△EOF的面积为（k1﹣k2）；③；④当∠EOF=90°时，其中正确的是（）

A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

3．下列说法中

①若式子有意义，则x＞1.②已知∠α=27°，则∠α的补角是153°.③已知x=2

是方程x2-6x+c=0的一个实数根，则c的值为8.④在反比例函数中，若x＞0

时，y

随x的增大而增大，则k的取值范围是k＞2.其中正确的命题

有（）

A.1

个

B.2

个

C.3

个

D.4

个

二、填空题

4．如图所示，是二次函数(a≠0)和一次函数(n≠0)的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围______________．

5．已知二次函数若此函数图象的顶点在直线y＝-4上,则此函数解析式为______．

6.（2016•历下区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＜0；④b＞a+c；⑤a+2b+c＞0，其中正确的结论有______．

三、解答题

7．（北京校级期中）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0

（1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；

（3）在（2）中开口向上的抛物线y=mx2﹣（m+1）x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=﹣x上有一个动点P．求使PA+PB取得最小值时的点P的坐标，并求PA+PB的最小值．

8.善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．

（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；

（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；

（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大?

9.已知P（）和Q（1，）是抛物线上的两点．

（1）求的值；

（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由

（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．

10.已知：关于x的一元二次方程，其中．

（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）,若点D的坐标为（0，-2）,且AD·BD=10，求抛物线的解析式；

（3）已知点E（a，）、F（2a，y）、G（3a，y）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．

答案与解析

【答案与解析】　　一、选择题

1.【答案】C；

【解析】本题考查方程组的解(数)与直线交点(形)坐标之间的关系．

2.【答案】B；

【解析】①∵点E在反比例函数的图象上，点F在反比例函数的图象上，且，∴k1=OA•EA，k2=﹣OA•FA，∴，∴这两个函数的图象不关于x轴对称，即①错误；

②∵点E在反比例函数y1=的图象上，点F在反比例函数y2=的图象上，∴S△OAE=k1，S△OAF=﹣k2，∴S△OEF=S△OAE+S△OAF=（k1﹣k2），即②正确；

③由①可知，∴③错误；

④设EA=5a，OA=b，则FA=3a，由勾股定理可知：OE=，OF=．

∵∠EOF=90°，∴OE2+OF2=EF2，即25a2+b2+9a2+b2=64a2，∴b2=15a2，∴=，④正确．

综上可知：正确的结论有②④．

3.【答案】B；

【解析】

若式子有意义，则x≥1，①错误；

由∠α=27°得∠α的补角是=180°-27=153°，②正确.把x=2

代入方程x2-6x+c=0得4-6×2+c=0，解得c=8，③正确；反比例函数中，若x＞0

时，y

随x的增大而增大，得：k-2＜0，∴k＜2，④错误.故选B.二、填空题

4.【答案】-2≤x≤1；

【解析】本题考查不等式与比较函数值的大小之间的关系．

5.【答案】，；

【解析】

∵顶点在直线y＝-4上，∴．，m＝±1．

∴此函数解析式为：，．

6.【答案】①②④⑤；

【解析】∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣=1，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；

根据图象知道当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②正确；

根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③错误；

根据图象知道当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故④正确；

∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴a+2b+c=﹣3a+c，∵a＜0，c＞0，∴a+2b+c=﹣3a+c＞0，故⑤正确．

故答案为：①②④⑤．

三、解答题

7.【答案与解析】

（1）证明：由题意得m≠0，∵△=（m+1）2﹣4m×1=（m﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；

（2）解：方程的两个实数根为x=，∴x1=1，x2=，∵方程的两个实数根都是整数，且m为整数，∴m=±1；

（3）由（2）知，m=±1．

∵抛物线y=mx2﹣（m+1）x+1的开口向上，∴m=1，则该抛物线的解析式为：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2．

易求得A（1，0），B（0，1）．

如图，点B关于直线y=﹣x的对称点C的坐标为（﹣1，0），连接AC，与直线y=﹣x的交点即为符合条件的点P．此时点P与原点重合，则P（0，0）．所以PA+PB=AC=2．

8.【答案与解析】

（1）设y＝kx，当x＝1时，y＝2，解得k＝2，∴y＝2x(0≤x≤20)．

（2）当0≤x＜4时，设y＝a(x-4)2+16．

由题意，∴a＝-1，∴y＝-(x-4)2+16，即当0≤x＜4时，．当4≤x≤10时，y＝16．

（3）设小迪用于回顾反思的时间为x(0≤x≤10)分钟，学习收益总量为y，则她用于解题的时间为(20-x)分钟．

当0≤x＜4时，．当x＝3时，．

当4≤x≤10时，y＝16+2(20-x)＝56-2x．y随x的增大而减小，因此当x＝4时，综上，当x＝3时，此时20-x＝17．

答：小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习收益总量最大．

9.【答案与解析】

解：

（1）因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．

所以抛物线对称轴，所以．

（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0．

因为，=16-8=80．

所以，方程有两个不同的实数根，分别是，．

（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式

为．

若使抛物线的图象与轴无交点，只需无实数解即可．

由==<0，得

又是正整数，所以的最小值为2．

10.【答案与解析】

解：

（1）将原方程整理，得，△=＞0

∴ ．

∴或．

（2）由（1）知，抛物线与轴的交点分别为（m，0）、（4,0），∵A在B的左侧，.∴A（m，0），B（4,0）.则，．

∵AD·BD=10，∴AD2·BD2=100.∴.解得.∵，∴.∴，.∴抛物线的解析式为.（3）答：存在含有、y、y，且与a无关的等式，如：（答案不唯一）.证明：由题意可得，.∵左边=.右边=－－4

=.∴左边=右边.∴成立.