中考冲刺：几何综合问题(提高)

中考冲刺：几何综合问题(提高)

一、选择题

1.（2015春•江阴市校级期中）在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位置如图所示，∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N分别在线段AC、线段BC上运动，当△MON的面积达到最大时，存在一种使得△MON周长最小的情况，则此时点M的坐标为（）

A．（0，4）

B．（3，4）

C．（，4）

D．（，3）

2.如图，△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．点B与点D重合，点A，B（D），E在同一条直线上，将△ABC沿DE方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B，D之间的距离为x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，则准确反映y与x之间对应关系的图象是（）

A

B

C

D

二、填空题

3.（2016•绥化）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=，则AE=______（提示：可过点A作BD的垂线）

4.如图，一块直角三角形木板△ABC，将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方向翻滚，使它滚动到

△A″B″C″的位置，若BC=1cm，AC=cm，则顶点A运动到A″时，点A所经过的路径是_________cm．

三、解答题

5.（2017•莒县模拟）在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点，连结CG．

（1）如图1，当点E在BC边上时．求证：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM．

（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，（1）中的结论②是否成立？请写出结论，不用证明．

（3）试问当点E运动到什么位置时，△MCE是等腰三角形？请说明理由．

6.如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，动点P、Q分别从A、B两点同时以每秒1个单位长的速度按顺时针方向沿△ABC的边运动，当Q运动到A点时，P、Q停止运动.设Q点运动时间为t秒，点P运动的轨迹与PQ、AQ围成图形的面积为S.求S关于t的函数解析式.7.正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．

（1）如图1，若正方形ABCD的边长为2，BE=1，FC=，求证：AE∥BF；

（2）如图2，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点，且AF：FC=3：1，BC=2，求BF的长．

8.将正方形ABCD和正方形BEFG如图1摆放，连DF．

（1）如图2，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转90°，连DF、CG相交于M，则=_____，∠DMC=_____；

（2）如图3，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延长线交CG于M，试探究与∠DMC的值，并证明你的结论；

（3）若将图1中的正方形BEFG绕B点逆时针旋转β（0°＜β＜90°），则=_______，∠DMC=_________．请画出图形，并直接写出你的结论（不用证明）．

9.已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．

（1）如图（1）当C、A、D在同一直线上时，连CE、BD，判断CE和BD位置关系，填空：CE_____BD．

（2）如图（2）把△ADE绕点A旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立，写出你的结论，并说明理由．

（3）如图（3）在图2的基础上,将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置,连接BE′、DC′,过点A作AN⊥BE′于点N，反向延长AN交DC′于点M．求的值．

10.将正方形ABCD和正方形CGEF如图1摆放，使D点在CF边上，M为AE中点，（1）连接MD、MF，则容易发现MD、MF间的关系是______________

（2）操作：把正方形CGEF绕C点旋转，使对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M，探究线段MD、MF的关系，并加以说明；

（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出猜想，不需要证明.答案与解析

【答案与解析】　　一、选择题

1.【答案】B.【解析】如图，过点M作MP∥OA，交ON于点P，过点N作NQ∥OB，分别交OA、MP于两点Q、G，则S△MON=S△OMP+S△NMP=MP•QG+MP•NG=MP•QN，∵MP≤OA，QN≤OB，∴当点N与点B重合，QN取得最大值OB时，△MON的面积最大值=OA•OB，设O关于AC的对称点D，连接DB，交AC于M，此时△MON的面积最大，周长最短，∵=，即=，∴AM=3，∴M（3，4）．

故选B．

2.【答案】B.二、填空题

3.【答案】2.【解析】过A作AF⊥BD，交BD于点F，∵AD=AB，∠DAB=90°，∴AF为BD边上的中线，∴AF=BD，∵AB=AD=，∴根据勾股定理得：BD==2，∴AF=，在Rt△AFE中，∠EAF=∠DCA=30°，∴EF=AE，设EF=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：x2+3=4x2，解得：x=1，则AE=2．

故答案为：2.4.【答案】.三、解答题

5.【答案与解析】

（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，在△ABM和△CBM中，∴△ABM≌△CBM（SAS）．

②∵△ABM≌△CBM

∴∠BAM=∠BCM，又∵∠ECF=90°，G是EF的中点，∴GC=EF=GF，∴∠GCF=∠GFC，又∵AB∥DF，∴∠BAM=∠GFC，∴∠BCM=∠GCF，∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°，∴GC⊥CM；

（2）解：成立；理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，在△ABM和△CBM中，∴△ABM≌△CBM（SAS）

∴∠BAM=∠BCM，又∵∠ECF=90°，G是EF的中点，∴GC=GF，∴∠GCF=∠GFC，又∵AB∥DF，∴∠BAM=∠GFC，∴∠BCM=∠GCF，∴∠GCF+∠MCF=∠BCM+MCFE=90°，∴GC⊥CM；

（3）解：分两种情况：①当点E在BC边上时，∵∠MEC＞90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM=EC，∴∠EMC=∠ECM，∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，∴2∠BAE+∠BAE=90°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB=；

②当点E在BC的延长线上时，同①知BE=．

综上①②，当BE=戓BE=时，△MCE是等腰三角形．

6.【答案与解析】

当P运动到C点时：t=6

当Q运动到A点：t=

∴分两种情况讨论

（1）当0≤t≤6时，如图：

作PH⊥AB于H，则△APH为等腰直角三角形

此时

AP=t，BQ=t，则AQ=-t

PH=APsin45°=t

∴S△AQP=AQ·PH

=·(-t)·t

=t2+3t

（2）当6＜t≤时，如图：

过P过PH⊥AB于H，此时△PBH为等腰直角三角形

AC+CP=t，BQ=t

∴BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t

∴PH=BPsin45°=(12-t)

∴S四边形AQPC=S△ABC-S△BPQ

=AC·BC-BQ·PH

=·6·6-·t·(12-t)

=18-t+t2

=t2-t+18.综上，.7.【答案与解析】

（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC

在△BFC中，∵BF2+FC2=12+()2=4，BC2=22=4

∴BF2+FC2=BC2

∴∠BFC=90°…（3分）

∴∠AEB+∠EBF=180°

∴AE∥BF…（4分）

（2）解：∵Rt△ABC中，AB=BC=2，由勾股定理，得

AC==2．

∵AF：FC=3：1，∴AF=AC=，FC=AC=

∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合∴∠EAB=∠FCB，BE=BF，AE=CF=，∵四边形ABCD是正方形

∴∠ABC=90°

∴∠BAC+∠ACB=90°

∴∠EAB+∠BAC=90°

即∠EAF=90°

在Rt△EAF中，EF==，在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2

∵BE=BF

∴BF=EF=．

8.【答案与解析】

（1）如图2，连接BF，∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，∴∠FBC=∠CBD=45°，∴∠CBD=∠GBC=90°，而BF=BG，BD=BC，∴△BFD∽△BGC，∴∠BCG=∠BDF，=

而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，∴=，∠DMC=45°；

（2）如图3，∵将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延长线交CG于M，∴B、E、D三点在同一条直线上，而四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，∴∠CBD=∠GBC=45°，BF=BG，BD=BC，∴△BFD∽△BGC，∴=，∠BCG=∠BDF

而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，即∠DMC=45°；

（3）=，∠DMC=45°,图略.9.【答案与解析】

（1）CE⊥BD．

（2）延长CE交BD于M，设AB与EM交于点F．

∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAE=∠BAD．

又∵△ABC≌△ADE，∴AC=AE，AB=AD，∴∠ACE=，∠ABD=，∴∠ACE=∠ABD．

又∵∠AFC=∠BFM，∠AFC+∠ACE=90°，∴∠ABD+∠BFM=90°，∴∠BMC=90°，∴CE⊥BD．

（3）过C′作C′G⊥AM于G，过D作DH⊥AM交延长线于点H．

∵∠∠E′NA=∠AGC′=90°，∴∠NE′A+∠NAE′=90°，∠NAE′+∠C′AG=90°，∴∠NE′A=∠C′AG，∵AE′=AC′

∴△ANE′≌△C′GA（AAS），∴AN=C′G．

同理可证△BNA≌△AHD，AN=DH．

∴C′G=DH．

在△C′GM与△DHM中，∠C′GM=∠DHM=90°，∠C′MG=∠DMH，C′G=DH，∴△C′GM≌△DHM，∴C′M=DM，∴．

10.【答案与解析】

（1）如图1，延长DM交FE于N，图1

∵正方形ABCD、CGEF，∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，∴∠1=∠2，又∵MA=ME，∠3=∠4，∴△AMD≌△EMN，∴MD=MN，AD=EN．

∵AD=DC，∴DC=NE．

又∵FC=FE，∴FD=FN．

又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD；

（2）MD=MF，MD⊥MF．

如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN．∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2．

又∵AM=EM，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM，∴AD=EN，MD=MN．

∵AD=DC，∴DC=NE．

又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．

又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∴∠DCF=∠NEF=45°，∴△FDC≌△FNE，∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，∴MD=MF，MD⊥MF；

（3）FM⊥MD，MF=MD．

如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．

∴∠ADC=∠H，AD∥EH，∴∠3=∠4．

∵AM=ME，∠1=∠2，∴△AMD≌△EMN，∴DM=NM，AD=EN．

∵正方形ABCD、CGEF，∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．

∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．

∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，∴∠DCF=∠5=∠NEF．

∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF．

∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．

∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°．

∴FM⊥MD，MF=MD．