一、选择题
1.(2016•江西模拟)已知二次函数y=x2﹣(m﹣1)x﹣m,其中m>0,它的图象与x轴从左到右交于R和Q两点,与y轴交于点P,点O是坐标原点.下列判断中不正确的是()
A.方程x2﹣(m﹣1)x﹣m=0一定有两个不相等的实数根
B.点R的坐标一定是(﹣1,0)
C.△POQ是等腰直角三角形
D.该二次函数图象的对称轴在直线x=﹣1的左侧
2.若一个图形绕着一个定点旋转一个角α(0°<α<180°)后能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做旋转对称图形.例如:等边三角形绕着它的中心旋转120°(如图所示)能够与原来的等边三角形重合,因而等边三角形是旋转对称图形.显然,中心对称图形都是旋转对称图形,但旋转对称图形不一定是中心对称图形.下面图所示的图形中,是旋转对称图形的有()
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题
3.阅读下列材料,并解决后面的问题.
在锐角△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.过A作AD⊥BC于D(如图),则sinB=,sinC=,即AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即.
同理有,.
所以………(*)
即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
在锐角三角形中,若已知三个元素a、b、∠A,运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C,请你按照下列步骤填空,完成求解过程:
第一步:由条件a、b、∠A ______∠B;
第二步:由条件
∠A、∠B. ______∠C;
第三步:由条件.____________c.
4.(榆树市期末)我们知道,在平面内,如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转的这个角称为这个图形的一个旋转角.例如,正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为90°.
(1)判断下列说法是否正确(在相应横线里填上“对”或“错”)
①正五边形是旋转对称图形,它有一个旋转角为144°.__________________
②长方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°.__________________
(2)填空:下列图形中时旋转对称图形,且有一个旋转角为120°的是__________________.(写出所有正确结论的序号)
①正三角形
②正方形
③正六边形
④正八边形
(3)写出两个多边形,它们都是旋转对称图形,都有一个旋转角为72°,其中一个是轴对称图形,但不是中心对称图形;另一个既是轴对称图形,又是中心对称图形.
.(写在横线上)
三、解答题
5.阅读材料:
为解方程,我们可以将看作一个整体,然后设,那么原方程可化为①,解得y1=1,y2=4.
当y=1时,∴,∴ ;
当y=4时,∴,∴ .
故原方程的解为:,,.
解答问题:(1)上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用________法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想;
(2)请利用以上知识解方程.
6.阅读材料,解答问题:图2-7-2表示我国农村居民的小康生活水平实现程度.地处西部的某贫困县,农村人口约50万,2002年农村小康生活的综合实现程度才达到68%,即没有达到小康程度的人口约为
(1-68
%)×50万=
16万.
(1)假设该县计划在2002年的基础上,到2004年底,使没有达到小康程度的16万农村人口降至10.24万,那么平均每年降低的百分率是多少?
(2)如果该计划实现2004年底该县农村小康进程接近图2-7-2中哪一年的水平?(假设该县人口2年内不变)
7.(2016•吉林一模)类比平行四边形,我们学习筝形,定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图①,若AD=CD,AB=CB,则四边形ABCD是筝形.
(1)在同一平面内,△ABC与△ADE按如图②所示放置,其中∠B=∠D=90°,AB=AD,BC与DE相交于点F,请你判断四边形ABFD是不是筝形,并说明理由.
(2)请你结合图①,写出一个筝形的判定方法(定义除外).
在四边形ABCD中,若______,则四边形ABCD是筝形.
(3)如图③,在等边三角形OGH中,点G的坐标为(﹣1,0),在直线l:y=﹣x上是否存在点P,使得以O,G,H,P为顶点的四边形为筝形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
8.先阅读下列材料,再解答后面的问题:
材料:23=8,此时,3叫做以2为底8的对数,记为.一般地,若则n叫做以为底b的对数,记为,则4叫做以3为底81的对数,记为.
问题:(1)计算以下各对数的值:.(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式?之间又满足怎样的关系式
(3)由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗?
根据幂的运算法则:以及对数的含义证明上述结论.
9.某校研究性学习小组在研究相似图形时,发现相似三角形的定义、判定及其性质,可以拓展到扇形的相似中去.例如,可以定义:“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”;相似扇形有性质:弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方….请你协助他们探索这个问题.
(1)写出判定扇形相似的一种方法:若______,则两个扇形相似;
(2)有两个圆心角相等的扇形,其中一个半径为a、弧长为m,另一个半径为2a,则它的弧长为______;
(3)如图1是一完全打开的纸扇,外侧两竹条AB和AC的夹角为120°,AB为30cm,现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇(如图2),求新做纸扇(扇形)的圆心角和半径.
10.阅读材料,如图(1)所示,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为P,求证:.
证明:
∴ .
解答问题:
(1)上述证明得到的性质可叙述为________.
(2)已知:如图(2)所示,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD且相交于点P,AD=3
cm,BC=7
cm,利用上述性质求梯形的面积.
11.阅读下面的材料:
小明在学习中遇到这样一个问题:若1≤x≤m,求二次函数的最大值.他画图研究后发现,和时的函数值相等,于是他认为需要对进行分类讨论.
他的解答过程如下:
∵二次函数的对称轴为直线,∴由对称性可知,和时的函数值相等.
∴若1≤m<5,则时,的最大值为2;
若m≥5,则时,的最大值为.
请你参考小明的思路,解答下列问题:
(1)当≤x≤4时,二次函数的最大值为_______;
(2)若p≤x≤2,求二次函数的最大值;
(3)若t≤x≤t+2时,二次函数的最大值为31,则的值为_______.
答案与解析
【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】D;
【解析】令y=0得x2﹣(m﹣1)x﹣m=0,则(x+1)(x﹣m)=0,解得:x1=﹣1,x2=m.
∵m>0>﹣1,∴R(﹣1,0)、Q(m,0).∴方程由两个不相等的实数根.
∴A、B正确,与要求不符;
当x=0,y=﹣m,∴P(0,﹣m).∴OP=PQ.∴△OPQ为等腰直角三角形.
∴C正确,与要求不符;
∵抛物线的对称轴为x=﹣=,m>0,∴x>﹣.
∴D错误,与要求相符.
2.【答案】C;
二、填空题
3.【答案】,∠A+∠B+∠C=180°,a、∠A、∠C或b、∠B、∠C,或
4.【答案】(1)①对;②对;(2)①③(3)正五边形,正十边形
【解析】解:(1)①=72°,∴正五边形是旋转对称图形,它有一个旋转角为144°,说法正确;
②=90°,∴长方形是旋转对称图形,它有一个旋转角为180°,说法正确;
(2)①正三角形的最小旋转角为=120°;
②正方形的最小旋转角为=90°;
③正六边形的最小旋转角为=60°;
④正八边形的最小旋转角为=45°;
则有一个旋转角为120°的是①③.
(3)=72°,则正五边形是满足有一个旋转角为72°,是轴对称图形,但不是中心对称图形;
正十边形有一个旋转角为72°,既是轴对称图形,又是中心对称图形.
三、解答题
5.【答案与解析】
(1)换元;
(2)设,则原方程可化为,解得y1=3,y2=-2.
当y=3时,所以.
因为不能为负,所以y=-2不符合题意,应舍去.所以原方程的解为,.
6.【答案与解析】
(1)设平均每年降低的百分率为.据题意,得
16(1-x)2 =10.24,(1-x)2 =0.64,(1-x)=
±0.8,x1=1.8(不合题意,舍去),x2=0.2.
即平均每年降低的百分率是20%.(2)×100%=7
9.52%.所以根据图2-7-2所示,如果该计划实现2004年底该县农村小康进程接近1996年全国农村小康进程的水平
7.【答案与解析】
解:(1)四边形ABFD是筝形.
理由:如图②,连接AF.
在Rt△AFB和Rt△AFD中,∴Rt△AFB≌Rt△AFD(HL),∴BF=DF,又∵AB=AD,∴四边形ABFD是筝形.
(2)若要四边形ABCD是筝形,只需△ABD≌△CBD即可.
当AD=CD,∠ADB=∠CDB时,在△ABD和△CBD中,∴△ABD≌△CBD(SAS),∴AB=CB,∴四边形ABCD是筝形.
故答案为:AD=CD,∠ADB=∠CDB.
(3)存在,理由如下:
过点H作HP1⊥OG于点M交直线y=﹣x于点P1点,连接GP1,过点G作GP2⊥OH与N交直线y=﹣x于点P2,连接HP2,如图③所示.
∵△OGH为等边三角形,∴HM为OG的垂直平分线,GN为OH的垂直平分线,且OG=GH=HO,∴P2O=P2H,P1O=P1G,∴四边形OHGP1为筝形,四边形OGHP2为筝形.
∵△OGH为等边三角形,点G的坐标为(﹣1,0),∴点H的坐标为(,),点M的坐标为(,0),点N的坐标为(,).
①∵H(,),M(,0),∴直线HM的解析式为x=,令直线y=﹣x中的x=,则y=﹣.
∴P1的坐标为(,﹣);
②设直线GN的解析式为y=kx+b,则有,解得:,∴直线GN的解析式为y=﹣x+.
联立,解得:,故点P2的坐标为(﹣1,1).
综上可知:在直线l:y=﹣x上存在点P,使得以O,G,H,P为顶点的四边形为筝形,点P的坐标为(,﹣)或(﹣1,1).
8.【答案与解析】
(1),(2)4×16=64,+ =
(3)+ =
证明:设=b1 , =b2
则,∴
∴b1+b2=
即+ =
9.【答案与解析】
(1)答案不唯一,例如“圆心角相等”、“半径和弧长对应成比例”;
(2)2m;
(3)∵两个扇形相似,∴新扇形的圆心角为120°
设新扇形的半径为r,则.即新扇形的半径为cm.10.【答案与解析】
(1)对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半.
(2)∵四边形ABCD为等腰梯形,∴AC=BD.
由AD∥BC,可得PD:PB=3:7,故设PD=3x,则PB=7x,∴在Rt△APD中,,.
∴BD=10x=,∴(cm2).
11.【答案与解析】
(1)当时,二次函数的最大值为 49 ;
(2)∵二次函数的对称轴为直线,∴由对称性可知,当和时函数值相等.∴若,则当时,的最大值为.若,则当时,的最大值为17.(3)的值为 或.