中考冲刺：几何综合问题(基础)

冲刺：几何综合问题(基础)

一、选择题

1.（2016•天水）如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外（点B′与C重合）停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（）

A．

B．

C．

D．

2.如图，将直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移到△DEF的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边DE交BC于点G．如果BG=4，EF=12，△BEG的面积等于4，那么梯形ABGD的面积是（）

A.16

B.20

C.24

D.28

二、填空题

3.（2016•海淀区二模）据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图所示，木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为______

m．

4.如图，线段AB=8cm，点C是AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形（△AMC和△CNB），则当BC=_____________cm时，两个等腰直角三角形的面积和最小．

三、解答题

5.有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合；　将直尺沿AB方向平移（如图②），设平移的长度为xcm（0≤x≤10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2．

（1）当x=0时（如图①），S=________；

（2）当0＜x≤4时（如图②），求S关于x的函数关系式；

（3）当4＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；

（4）直接写出S的最大值．

6.问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易证：△ABD≌△CAE.（不需要证明）

特例探究：如图②,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE,AD与CE交于点F.求证：△ABD≌△CAE．

归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．

拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．

7.如图正三角形ABC的边长为6cm,⊙O的半径为rcm，当圆心O从点A出发，沿着线路AB－BC－CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动.⑴若r=cm,求⊙O首次与BC边相切时，AO的长；

⑵在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下r的取值范围及相应的切点的个数；

⑶设⊙O在整个移动过程中，在△ABC内部，⊙O未经过的部分面积为S，在S＞0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围.8.（2015•德州）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．

（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．

（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：

如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．

9.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12

cm，BC=9

cm，DC=13

cm，点P是线段AB上一个动点.设BP为x

cm，△PCD的面积为y

cm2．

（1）求AD的长；

（2）求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

（3）在线段AB上是否存在点P，使得△PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.10.如图，平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P从点A出发沿边线AB—BC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当P与C重合时停下运动，过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q.设P运动时间为t秒，直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S.求S关于t的函数解析式.答案与解析

【答案与解析】　　一、选择题

1.【答案】B.【解析】如图1所示：当0＜x≤1时，过点D作DE⊥BC′．

∵△ABC和△A′B′C′均为等边三角形，∴△DBC′为等边三角形．

∴DE=BC′=x．

∴y=BC′•DE=x2．

当x=1时，y=，且抛物线的开口向上．

如图2所示：1＜x≤2时，过点A′作A′E⊥B′C′，垂足为E．

∵y=B′C′•A′E=×1×=．

∴函数图象是一条平行与x轴的线段．

如图3所示：2＜x≤3时，过点D作DE⊥B′C，垂足为E．

y=B′C•DE=（x﹣3）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．

故选：B．

2.【答案】B.二、填空题

3.【答案】134.4.【答案】4.三、解答题

5.【答案与解析】

（1）由题意可知：

当x=0时，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AE=EF=2，则阴影部分的面积为：S=×2×2=2；

故答案为：2；

（2）在Rt△ADG中，∠A=45°，∴DG=AD=x，同理EF=AE=x+2，∴S梯形DEFG=（x+x+2）×2=2x+2．

∴S=2x+2；

（3）①当4＜x＜6时（图1），GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x，则S△ADG=AD.DG=x2，S△BEF=（10-x）2，而S△ABC=×12×6=36，S△BEF=（10-x）2，∴S=36-x2-（10-x）2=-x2+10x-14，S=-x2+10x-14=-（x-5）2+11，∴当x=5，（4＜x＜6）时，S最大值=11．

（4）S最大值=11．

6.【答案与解析】

特例探究：

证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD与△CAE中，∴△ABD≌△CAE（SAS）；

归纳证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：

∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．

在△ABD与△CAE中，∴△ABD≌△CAE（SAS）；

拓展应用：∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBC．

在△ABD与△CAE中，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA-∠BDA=18°．

7.【答案与解析】

（1）设⊙O首次与BC相切于点D，则有OD⊥BC．

且OD=r=．

在直角三角形BDO中，∵∠OBD=60°，∴OB==2．

∴AO=AB-OB=6-2=4（厘米）；

（2）由正三角形的边长为6厘米．可得出它的一边上的高为3厘米．

①当⊙O的半径r=3厘米时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3；

②当0＜r＜3时，⊙O在移动中与△ABC的边相切六次，即切点个数为6；

③当r＞3时，⊙O与△ABC不能相切，即切点个数为0．

（3）如图，易知在S＞0时，⊙O在移动中，在△ABC内部为经过的部分为正三角形．

记作△A′B′C′，这个正三角形的三边分别于原正三角形三边平行，且平行线间的距离等于r．

连接AA′，并延长AA′，分别交B′C′，BC于E，F两点．

则AF⊥BC，A′E⊥B′C′，且EF=r．

又过点A′作A′G⊥AB于G，则A′G=r．

∵∠GAA′=30°，∴AA′=2x．

∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=9-3r，B′C′=

A′E=2（3-r）．

∴△A′B′C′的面积S=B′C′.A′E=3（3-r）2．

∴所求的解析式为S=3（3-r）2（0＜r＜3）．

8.【答案与解析】

解：（1）如图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD•BC=AP•BP；

（2）结论AD•BC=AP•BP仍然成立．

理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．

∵∠DPC=∠A=∠B=θ，∴∠BPC=∠ADP，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD•BC=AP•BP；

（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E．

∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3．

由勾股定理可得DE=4．

∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=5﹣4=1．

又∵AD=BD，∴∠A=∠B，∴∠DPC=∠A=∠B．

由（1）、（2）的经验可知AD•BC=AP•BP，∴5×1=t（6﹣t），解得：t1=1，t2=5，∴t的值为1秒或5秒．

9.【答案与解析】

⊥BC于点E．

据题意知，四边形ABED是矩形，AB=DE，AD=BE.在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DE=12，CD=13，∴

EC=5．

∴AD=BE=BC-EC=4．

（2）若BP为x，则AP=12-x.S△BPC=BP·BC=x.S△APD=AP·AD=24-2x.∴S△PCD=S梯形ABCD-S△BPC-S△APD=78-x-24+2x=-x+54.即

y=-x+54，0≤x≤12.当x=0时，y取得最大值为54

cm2.（3）若△PCD是直角三角形，∵∠BCP＜90°，∴∠PCD≠90°

∴分两种情况讨论，如图2.①当∠DPC=90°时

∵∠APD+∠BPC=90°，∠BPC+∠PCB=90°，∴∠APD=∠PCB.∴

△APD∽△BCP.∴.即.解得x=6.∠APD=∠BPC=45°的情况不存在，不考虑.②当∠P1DC=90°时，在Rt△P1BC中，P1C2=BP12+BC2=x2+92，在Rt△P1AD中，P1D2=P1A2+AD2=(12-x)2+42，∵∠P1DC=90°，CD2+P1D2=P1C2.即132+(12-x)2+42=x2+92.解得.综上，当x=6或，△PCD是直角三角形.10.【答案与解析】

当Q点与D点重合时，AQ=AD=6，此时AP=AQ=3=t

当P与B点重合时，t=10，当

P点运动到C时，t=16，∴分三类情况讨论

（1）当0≤t≤3时，如图：

AP=t，PQ=t，∴S=AP·PQ=t2

（2）当3＜t≤10时，示意图：

过D作DH⊥AB于H，AD=t，则

DH=ADsinA=6·=3，AH=ADcosA=3

∴DQ=PH=AP-AH=t-3

∴S=(AP+DQ)·DH

=(t+t-3)·3=3t-

（3）当10＜t≤16时，如图：

AB+BP=t

CP=AB+BC-(AB+BP)=16-t

∴CQ=CP=8-

QP=·CQ=8-t

∴S=S□ABCD-S△CPQ

=AB·h-·CQ·PQ

=10·3-·(8-)·(8-)

=30-(64-8t+)

=

综上，.