中考冲刺:代几综合问题(提高)
一、选择题
1.(2016•鄂州)如图,O是边长为4cm的正方形ABCD的中心,M是BC的中点,动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动,到M时停止运动,速度为1cm/s.设P点的运动时间为t(s),点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2),则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是()
A.
B. C.D.
2.如图,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化,那么表示y与x之间函数关系的图象大致为()
二、填空题
3.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(4,10),点C在y轴上,且△ABC是直角三角形,则满足条件的C点的坐标为______________.
4.(2016•梧州)如图,在坐标轴上取点A1(2,0),作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1,作等腰直角三角形A1B1A2;又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2,作等腰直角三角形A2B2A3;…,如此反复作等腰直角三角形,当作到An(n为正整数)点时,则An的坐标是______.
三、解答题
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm,现有两个动点P,Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动;点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动.过点P作
PE∥BC交AD于点E,连接EQ.设动点运动时间为t秒(t>0).
(1)连接DP,经过1秒后,四边形EQDP能够成为平行四边形吗?请说明理由;
(2)连接PQ,在运动过程中,不论t取何值时,总有线段PQ与线段AB平行.为什么?
(3)当t为何值时,△EDQ为直角三角形.
6.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是梯形,OA∥BC,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(3,4),点C在y轴的正半轴上.动点M在OA上运动,从O点出发到A点;动点N在AB上运动,从A点出发到B点.两个动点同时出发,速度都是每秒1个单位长度,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止,设两个点的运动时间为t(秒)
(1)求线段AB的长;当t为何值时,MN∥OC?
(2)设△CMN的面积为S,求S与t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围;S是否有最小值?若有最小值,最小值是多少?
7.条件:如下图,A、B是直线l同旁的两个定点.
问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是______;
(2)如图2,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值;
(3)如图3,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.
8.如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片,O为原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=15,OC=9,在AB上取一点M,使得△CBM沿CM翻折后,点B落在x轴上,记作N点.
(1)求N点、M点的坐标;
(2)将抛物线y=x2﹣36向右平移a(0<a<10)个单位后,得到抛物线l,l经过点N,求抛物线l的解析式;
(3)①抛物线l的对称轴上存在点P,使得P点到M、N两点的距离之差最大,求P点的坐标;
②若点D是线段OC上的一个动点(不与O、C重合),过点D作DE∥OA交CN于E,设CD的长为m,△PDE的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并说明S是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
9.如图,直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点,tan∠OCB=.
(1)求B点的坐标和k的值;
(2)若点A(x,y)是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点.当点A运动过程中,试写出△AOB的面积S与x的函数关系式;
(3)探索:在(2)的条件下:
①当点A运动到什么位置时,△AOB的面积是;
②在①成立的情况下,x轴上是否存在一点P,使△POA是等腰三角形?若存在,请写出满足条件的所有P点的坐标;若不存在,请说明理由.
10.(2015•成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.
(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示);
(2)点E是直线l上方的抛物线上的一点,若△ACE的面积的最大值为,求a的值;
(3)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
11.如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动).
(1)如图①,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?请直接写出结论,不必证明或说明理由;
(2)如图②,当点M在BC上时,其它条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;
(3)若点M在点C右侧时,请你在图③中画出相应的图形,并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由.
答案与解析
【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】A.【解析】分两种情况:
①当0≤t<4时,作OG⊥AB于G,如图1所示:
∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,AD=AB=BC=4cm,∵O是正方形ABCD的中心,∴AG=BG=OG=AB=2cm,∴S=AP•OG=×t×2=t(cm2),②当t≥4时,作OG⊥AB于G,如图2所示:
S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+(2+t﹣4)×2=t(cm2);
综上所述:面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象是过原点的线段,故选A.
2.【答案】A.三、填空题
3.【答案】
(0,0),(0,10),(0,2),(0,8)
4.【答案】(2×3n﹣1,0).【解析】∵点B1、B2、B3、…、Bn在直线y=2x的图象上,∴A1B1=4,A2B2=2×(2+4)=12,A3B3=2×(2+4+12)=36,A4B4=2×(2+4+12+36)=108,…,∴AnBn=4×3n﹣1(n为正整数).
∵OAn=AnBn,∴点An的坐标为(2×3n﹣1,0).
故答案为:(2×3n﹣1,0).
三、解答题
5.【答案与解析】
解:
(1)能,如图1,∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动,点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒
∴AP=1,BQ=1.25,∵AC=4,BC=5,点D在BC上,CD=3,∴PC=AC-AP=4-1=3,QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75,∵PE∥BC,解得PE=0.75,∵PE∥BC,PE=QD,∴四边形EQDP是平行四边形;
(2)如图2,∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动,点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,∴PC=AC-AP=4-t,QC=BC-BQ=5-1.25t,∴
∴PQ∥AB;
(3)分两种情况讨论:
①如图3,当∠EQD=90°时,显然有EQ=PC=4-t,又∵EQ∥AC,∴△EDQ∽△ADC
∴,∵BC=5,CD=3,∴BD=2,∴DQ=1.25t-2,∴
解得t=2.5(秒);
②如图4,当∠QED=90°时,作EM⊥BC于M,CN⊥AD于N,则EM=PC=4-t,在Rt△ACD中,∵AC=4,CD=3,∴AD=,∵∠CDA=∠EDQ,∠QED=∠C=90°,∴△EDQ∽△CDA,∴
t=3.1(秒).
综上所述,当
t=2.5秒或t=3.1秒时,△EDQ为直角三角形.
6.【答案与解析】
解:
(1)过点B作BD⊥OA于点D,则四边形CODB是矩形,BD=CO=4,OD=CB=3,DA=3
在Rt△ABD中,.
当 时,,.
∵,∴,即(秒).
(2)过点作轴于点,交的延长线于点,∵,∴,.
即,.,.,∴
.
即().
由,得.
∴当时,S有最小值,且
7.【答案与解析】
解:
(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AC垂直平分BD,∴PB=PD,由题意易得:PB+PE=PD+PE=DE,在△ADE中,根据勾股定理得,DE=;
(2)作A关于OB的对称点A′,连接A′C,交OB于P,PA+PC的最小值即为A′C的长,∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°
作OD⊥A′C于D,则∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D=
∴;
(3)分别作点P关于OA、OB的对称点M、N,连接OM、ON、MN,MN交OA、OB于点Q、R,连接PR、PQ,此时△PQR周长的最小值等于MN.
由轴对称性质可得,OM=ON=OP=10,∠MOA=∠POA,∠NOB=∠POB,∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°,在Rt△MON中,MN===10.
即△PQR周长的最小值等于10.
8.【答案与解析】
解:
(1)∵CN=CB=15,OC=9,∴ON==12,∴N(12,0);
又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3,设AM=x
∴32+x2=(9﹣x)2,∴x=4,M(15,4);
(2)解法一:设抛物线l为y=(x﹣a)2﹣36
则(12﹣a)2=36
∴a1=6或a2=18(舍去)
∴抛物线l:y=(x﹣6)2﹣36
解法二:
∵x2﹣36=0,∴x1=﹣6,x2=6;
∴y=x2﹣36与x轴的交点为(﹣6,0)或(6,0)
由题意知,交点(6,0)向右平移6个单位到N点,所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l:y=(x﹣6)2﹣36;
(3)①由“三角形任意两边的差小于第三边”知:P点是直线MN与对称轴x=6的交点,设直线MN的解析式为y=kx+b,则,解得,∴y=x﹣16,∴P(6,﹣8);
②∵DE∥OA,∴△CDE∽△CON,∴;
∴S=
∵a=﹣<0,开口向下,又m=﹣
∴S有最大值,且S最大=﹣.
9.【答案与解析】
解:
(1)∵y=kx﹣1与y轴相交于点C,∴OC=1;
∵tan∠OCB=,∴OB=;∴B点坐标为:;
把B点坐标为:代入y=kx﹣1得:k=2;
(2)∵S=,y=kx﹣1,∴S=×|2x﹣1|;∴S=|x﹣|;
(3)①当S=时,x﹣=,∴x=1,y=2x﹣1=1;
∴A点坐标为(1,1)时,△AOB的面积为;
②存在.
满足条件的所有P点坐标为:P1(1,0),P2(2,0),P3(,0),P4(,0).
10.【答案与解析】
解:(1)令y=0,则ax2﹣2ax﹣3a=0,解得x1=﹣1,x2=3
∵点A在点B的左侧,∴A(﹣1,0),如图1,作DF⊥x轴于F,∴DF∥OC,∴=,∵CD=4AC,∴==4,∵OA=1,∴OF=4,∴D点的横坐标为4,代入y=ax2﹣2ax﹣3a得,y=5a,∴D(4,5a),把A、D坐标代入y=kx+b得,解得,∴直线l的函数表达式为y=ax+a.
(2)设点E(m,a(m+1)(m﹣3)),yAE=k1x+b1,则,解得:,∴yAE=a(m﹣3)x+a(m﹣3),∴S△ACE=(m+1)[a(m﹣3)﹣a]=(m﹣)2﹣a,∴有最大值﹣a=,∴a=﹣;
(3)令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a,即ax2﹣3ax﹣4a=0,解得x1=﹣1,x2=4,∴D(4,5a),∵y=ax2﹣2ax﹣3a,∴抛物线的对称轴为x=1,设P1(1,m),①若AD是矩形的一条边,由AQ∥DP知xD﹣xP=xA﹣xQ,可知Q点横坐标为﹣4,将x=﹣4带入抛物线方程得Q(﹣4,21a),m=yD+yQ=21a+5a=26a,则P(1,26a),∵四边形ADPQ为矩形,∴∠ADP=90°,∴AD2+PD2=AP2,∵AD2=[4﹣(﹣1)]2+(5a)2=52+(5a)2,PD2=[4﹣(﹣1)]2+(5a)2=52+(5a)2,∴[4﹣(﹣1)]2+(5a)2+(1﹣4)2+(26a﹣5a)2=(﹣1﹣1)2+(26a)2,即a2=,∵a<0,∴a=﹣,∴P1(1,﹣).
②若AD是矩形的一条对角线,则线段AD的中点坐标为(,),Q(2,﹣3a),m=5a﹣(﹣3a)=8a,则P(1,8a),∵四边形ADPQ为矩形,∴∠APD=90°,∴AP2+PD2=AD2,∵AP2=[1﹣(﹣1)]2+(8a)2=22+(8a)2,PD2=(4﹣1)2+(8a﹣5a)2=32+(3a)2,AD2=[4﹣(﹣1)]2+(5a)2=52+(5a)2,∴22+(8a)2+32+(3a)2=52+(5a)2,解得a2=,∵a<0,∴a=﹣,∴P2(1,﹣4).
综上可得,P点的坐标为P1(1,﹣4),P2(1,﹣).
11.【答案与解析】
解:
(1)判断:EN与MF相等
(或EN=MF),点F在直线NE上.(2)成立.
证明:连结DE,DF.
∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC.
又∵D,E,F是三边的中点,∴DE,DF,EF为三角形的中位线.∴DE=DF=EF,∠FDE=60°.
又∠MDF+∠FDN=60°,∠NDE+∠FDN=60°,∴∠MDF=∠NDE.
在△DMF和△DNE中,DF=DE,DM=DN,∠MDF=∠NDE,∴△DMF≌△DNE.
∴MF=NE.
(3)画出图形(连出线段NE),MF与EN相等的结论仍然成立(或MF=NE成立).