中考冲刺：创新、开放与探究型问题(基础)

中考冲刺：创新、开放与探究型问题(基础)

一、选择题

1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是()

A．0.88　　　B．0.89

C．0.90

D．0.91

2．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有（）

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

3．（2016秋•永定区期中）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（）

A．226

B．181

C．141

D．106

二、填空题

4．（2015秋•淮安校级期中）电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上的P0点，BP0=4．第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2 跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第2015次落点为P2016，则P3与P2016之间的距离为______．

5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D，请你按图中箭头所指方向(如A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是________(用含n的代数式表示)．

6.(1)如图(a)，∠ABC＝∠DCB，请补充一个条件：________，使△ABC≌△DCB．

(2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC≌△ADE．

三、解答题

7．如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点(点E不与B，C两点重合)，EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G．

(1)求证：四边形EFOG的周长等于2OB；

(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明．

8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线，直线的解析式为．如果将坐标纸折叠，使直线与重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合．

(1)求直线的解析式；

(2)设直线与相交于点M．问：是否存在这样的直线，使得如果将坐标纸沿直线折叠，点M恰好落在x轴上？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

9．（2015•黄陂区校级模拟）正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A重合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C重合），另一条直角边与边CD的延长线交于点F．

（1）如图①，求证：AE=AF；

（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EG，求证：EG=BE+DG；

（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由．

10.（2016•天门）如图①，半圆O的直径AB=6，AM和BN是它的两条切线，CP与半圆O相切于点P，并于AM，BN分别相交于C，D两点．

（1）请直接写出∠COD的度数；

（2）求AC•BD的值；

（3）如图②，连接OP并延长交AM于点Q，连接DQ，试判断△PQD能否与△ACO相似？若能相似，请求AC：BD的值；若不能相似，请说明理由．

答案与解析

【答案与解析】　　一、选择题

1.【答案】A；

【解析】

不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个．

∴P(取到“连加进位数”)＝．

2.【答案】D；

【解析】如图，①过圆点O作AB的垂线交和于M1，M2．

②以B为圆心AB为半径作弧交圆O于M3．

③以A为圆心，AB为半径弧作弧交圆O于M4．

则M1，M2，M3，M4都满足要求．

3.【答案】C；

【解析】设第n个图形中棋子的颗数为an（n为正整数），观察，发现规律：a1=1，a2=1+3+2=6，a3=1+3+5+4+3=16，…，∴an=1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n﹣2）+…+n=n2+=n2﹣n+1，当n=8时，a8=×82﹣×8+1=141．

二、填空题

4.【答案】1．

【解析】

∵BC=10，BP0=4，知CP0=6，∴CP1=6．

∵AC=9，∴AP2=AP1=3．

∵AB=8，∴BP3=BP2=5．

∴CP4=CP3=5，∴AP4=4．

∴AP5=AP4=4，∴BP5=4．

∴BP6=BP5=4．

此时P6与P0重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．

2016÷6=336，即P2016与P0重合，∴P3与P2016之间的距离为P3P0=1．故答案为：1．

5.【答案】B；

603；

6n+3．

【解析】

由题意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6个数重复一次“A→B→C→D→C→B→”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是201×3＝603；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(2n+1)×3＝6n+3．

6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A＝∠D，或AB＝DC；(2)图(b)中∠D＝∠B，或等．

三、解答题

7.【答案与解析】

(1)证明：∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB．

又∵BC＝CB，AB＝DC，∴△ABC≌△DCB．

∴∠1＝∠2．

又∵

GE∥AC，∴∠2＝∠3．

∴∠1＝∠3．

∴EG＝BG．

∵EG∥OC，EF∥OB，∴四边形EGOF是平行四边形．

∴EG＝OF，EF＝OG．

∴四边形EGOF的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB．

(2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC上一个动点(点E不与B，C两点重合)，EF∥BD，交AC于点F，EG∥AC交BD于点G．

求证：四边形EFOG的周长等于2OB．图略．

方法2：如图丙，已知正方形ABCD中，……其余略．

8.【答案与解析】

解：(1)直线与y轴交点的坐标为(0，1)．

由题意，直线与关于直线对称，直线与x轴交点的坐标为(-1，0)．

又∵直线与直线的交点为(-3，3)，∴直线过点(-1，0)和(3，3)．

设直线的解析式为y＝kx+b．则有

解得

所求直线的解析式为．

(2)∵直线与直线互相垂直，且点M(-3，3)在直线上，∴如果将坐标纸沿直线折叠，要使点M落在x轴上，那么点M必须与坐标原点O重合，此时直线过线段OM的中点．

将，代入y＝x+t，解得t＝3．

∴直线l的解析式为y＝x+3．

9．【答案与解析】

解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．

∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD，∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD，∴∠BAE=∠DAF．

在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（ASA）

∴AE=AF；

（2）如图②，连接AG，∵∠MAN=90°，∠M=45°，∴∠N=∠M=45°，∴AM=AN．

∵点G是斜边MN的中点，∴∠EAG=∠NAG=45°．

∴∠EAB+∠DAG=45°．

∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，∴∠DAF+∠DAG=45°，即∠GAF=45°，∴∠EAG=∠FAG．

在△AGE和AGF中，∴△AGE≌AGF（SAS），∴EG=GF．

∵GF=GD+DF，∴GF=GD+BE，∴EG=BE+DG；

（3）G不一定是边CD的中点．

理由：设AB=6k，GF=5k，BE=x，∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，∴CG=CF﹣GF=k+x，在Rt△ECG中，由勾股定理，得

（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，解得：x1=2k，x2=3k，∴CG=4k或3k．

∴点G不一定是边CD的中点．

10.【答案与解析】

解：（1）∠COD=90°．

理由：如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∵CA、CP是切线，∴∠ACO=∠OCP，同理∠ODP=∠ODB，∵∠ACD+∠BDC=180°，∴2∠OCD+2∠ODC=180°，∴∠OCD+∠ODC=90°，∴∠COD=90°．

（2）如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴∠A=∠B=90°，∴∠ACO+∠AOC=90°，∵∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠ACO=∠BOD，∴RT△AOC∽RT△BDO，∴=，即AC•BD=AO•BO，∵AB=6，∴AO=BO=3，∴AC•BD=9．

（3）△PQD能与△ACQ相似．

∵CA、CP是⊙O切线，∴AC=CP，∠1=∠2，∵DB、DP是⊙O切线，∴DB=DP，∠B=∠OPD=90°，OD=OD，∴RT△ODB≌RT△ODP，∴∠3=∠4，①如图②中，当△PQD∽△ACO时，∠5=∠1，∵∠ACO=∠BOD，即∠1=∠3，∴∠5=∠4，∴DQ=DO，∴∠PDO=∠PDQ，∴△DCQ≌△DCO，∴∠DCQ=∠2，∵∠1+∠2+∠DCQ=180°，∴∠1=60°=∠3，在RT△ACO，RT△BDO中，分别求得AC=，BD=3，∴AC：BD=1：3．

②如图②中，当△PQD∽△AOC时，∠6=∠1，∵∠2=∠1，∴∠6=∠2，∴CO∥QD，∴∠1=∠CQD，∴∠6=∠CQD，∴CQ=CD，∵S△CDQ=•CD•PQ=•CQ•AB，∴PQ=AB=6，∵CO∥QD，∴=，即=，∴AC：BD=1：2．